2024年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（四）

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A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意知方程即有两个不同的解，
即与有两个不同的交点，
记，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以当时，函数有极大值，当时，函数有极小值.
又因为时，；时，，且，
如下图：
数形结合可知时，函数恰有两个零点.
故选：C．
2．（2023·广东·高三校联考阶段练习）若直角坐标平面内，两点满足：①点，都在函数的图象上；②点，关于原点对称，则称点是函数的一个“姊妹点对”点对与可看作是同一个“姊妹点对”．已知函数恰有两个“姊妹点对”，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意知函数恰有两个“姊妹点对”，
等价于函数，与函数，的图象恰好有两个交点，
所以方程，即在上有两个不同的解，
构造函数，则，
当时，，函数区间上单调递增，不符合题意；
当时，令，解得，所以函数在区间上单调递增，
令，解得，所以函数在区间上单调递减，
所以，解得，
又由，所以函数在上有且仅有一个零点，
令，则，
令，解得，所以函数在区间上单调递增，
令，解得，所以函数在区间上单调递减，
所以，
所以，即，
又由，
所以函数在上有且仅有一个零点．
综上可得：，即实数的取值范围是．
故选：A.
3．（2023·广东广州·高三统考阶段练习）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，
所以，即，
.
故选：D.
4．（2023·广东广州·高三统考阶段练习）已知数列满足，记，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为数列满足，，
所以，
所以，故AB错误；
又，
所以，即，
所以，故C正确；
因为，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，故D错误.
故选：C.
5．（2023·广东广州·高三校联考阶段练习）若曲线的一条切线为（为自然对数的底数），其中为正实数，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，，设切点为，则，
，.
原式，当且仅当，即时等号成立，
即.
故选:C.
6．（2023·广东广州·高三校联考阶段练习）已知是定义在上的函数，且满足为偶函数，为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的周期为2B．函数关于直线对称
C．函数关于点中心对称D．
【答案】C
【解析】∵为偶函数，
∴，
∴，
故
即，
∴函数的图象关于直线对称.
∵为奇函数，
∴，
∴，所以函数的图象关于点对称，故B错误，C正确；
由及知，，
∴，
∴，即，
∴，故
∴函数的周期为4，A错误，
，故D错误.
故选：C.
7．（2023·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）若存在实数a，对任意的x∈[0，m]，都有(sin x－a)·(cs x－a)≤0恒成立，则实数m的最大值为( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】在同一坐标系中，作出y＝sin x和y＝cs x的图象，
当m＝时，要使不等式恒成立，只有a＝，
当m＞时，在x∈[0，m]上，必须要求y＝sin x和y＝cs x的图象不在y＝a＝的同一侧.
∴由图可知m的最大值是.
故选：C.
8．（2023·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知函数的定义域为R，，且在上递增，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】函数，满足，则关于直线对称，
所以，即，
又在上递增，所以在上递减，
则可得函数的大致图象，如下图：
所以由不等式可得，或，解得或，
故不等式的解集为.
故选：D.
9．（2023·湖北·高三黄石二中校联考阶段练习）已知，化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，
且，则，可得，
所以；
又因为，
且，可得，
所以；
综上所述：.
故选：A.
10．（2023·湖北·高三黄石二中校联考阶段练习）设是定义域为的奇函数，且，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，则，
可知4为的周期，
且，可得.
故选：C.
11．（2023·湖北·高三黄石二中校联考阶段练习）已知向量，，若关于的方程在上的两根为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，
，
可得：，设，
当时，.
且由，得在上的对称轴为.
∵方程在上的两根为，
∴，，
且由得，∴.
∴，
∵当时，，∴，即有.
又∵，∴，则，
∴由得：，
∴.
故选：B.
12．思路：函数图象的对称轴和对称中心可结合图象的对称轴和对称中心求解.
13．方法：利用整体代换的方法求解，令，，可解得对称轴方程；令，，可解得对称中心横坐标，纵坐标为.
对于、，可利用类似方法求解（注意的图象无对称轴）.
14．（2023·湖北·高三鄂南高中校联考阶段练习）已知定义在上的函数的图像关于直线对称，且关于点中心对称.设，若，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可知，且，所以，
则，所以是以4为周期的周期函数.
由可知，，则，
所以，
由得，，
所以，则，所以，
，…，
，
所以.
故选：C.
15．（2023·湖北恩施·高三校考阶段练习）如图，在平行四边形中，是边的中点，是的一个三等分点（），若存在实数和，使得，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为是的一个三等分点（），所以.因为是边的中点，所以.又，所以.
故选：C.
16．（2023·山东潍坊·高三统考阶段练习）设是定义域的奇函数，是偶函数，且当，.若，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为是定义域的奇函数，所以，，
因为当，，所以，从而，
因为是偶函数，即的图像关于轴对称，
因为图像是图像向左平移一个单位得到的，
所以的图像关于对称，故，
因为，所以，
因为，，
所以.
故选：B.
17．（2023·山东潍坊·高三统考阶段练习）已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于轴对称，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意可知，方程在上有解，
即在上有解，
令，，则，
时，时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则的最小值为，
又，，
则的最大值为，
所以的值域为，
即可得的取值范围是.
故选：C
18．（2023·山东滨州·高三校联考阶段练习）已知正方体的棱长为3，点P在内运动，且满足PB=2，则点P的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设点B到平面的距离为，
因为，所以，
因为正方体的棱长为3，
所以等边的边长为，所以，
所以，解得，
所以点B为球心，2为半径的球面与平面相交的圆半径为为半径的圆，又因为等边的内切圆半径为，所以交线长为.
故选：C.
19．（2023·山东滨州·高三校联考阶段练习）设数列的前项和为，，且，若存在，使得成立，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．8
【答案】D
【解析】由已知，所以，
所以数列是常数列.
又，所以，即，
所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，故，
由存在，使得成立可知，
存在，使得成立，即，
设，则，从而.
记（），
由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
又，所以，，
所以的最小值是8.
故选：D.
20．（2023·山东聊城·高三校考阶段练习）设函数则满足不等式的x的取值范围是（ ）
A．-23+2578,+∞B．C．D．
【答案】D
【解析】根据和与1的大小分类讨论．由已知是上的增函数，当时，，
当，即，不等式显然成立，
当时，，，所以，
当时，，，不等式成立，
综上不等式的解为．
故选：D．
21．（2023·山东聊城·高三校考阶段练习）边长为8的等边所在平面内一点O，满足，若M为边上的点，点P满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图，由，得，
即，取BC中点G，AB中点H，连接GH，
则，即，
取GH中点K，延长KG到O，使，则O为所求点，
此时，
所以，，
∵点P满足，M为边上的点，
∴当M与A重合时，有最大值，为，
而，
∴的最大值为，D正确.
故选：D.
22．（2023·福建莆田·高三莆田一中校考阶段练习）已知函数，方程有6个不同的实数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题设，图象如下图示，
令，要使原方程有6个不同的实数解，则有两个不同实根且，
若，则，则，此时，，显然此时不合题意，
故由图知：，即的两个零点分别在区间和内，
而开口向上，故.
故选：C
23．（2023·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）已知函数，，，，若，，则（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设，则在上单调递减，
因为，故，即，
设，则，
故在上单调递增，
因为，故，
即，
由于，，故，
则，即，所以A错误，B正确；
由，，无法确定还是，C，D错误，
故选：B
24．（2023·江苏扬州·高三统考阶段练习）已知函数的图象与直线连续的三个公共点从左到右依次为，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，则函数即为函数，
的最小正周期为，
最小正周期为，
作出函数，的大致图象，如图，
则函数的图象与直线连续的三个公共点，，，
等价于的图象与直线连续的三个公共点，，，
（连续的三个公共点从左到右排列），
由题意不妨设，，位置如图中所示（三点位置可左右平移一个周期），
即，关于直线对称，，
由于，则，故，
而，关于直线对称，故点横坐标为，
将点横坐标代入，得，
则．
故选：A
25．（2023·河北邢台·高三校联考阶段练习）已知函数在上恰有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】令得，
因为，所以．
因为在上恰有两个零点，所以，解得．
故选：C
26．（多选题）（2023·广东·高三校联考阶段练习）已知分别是函数和的零点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】因为，分别是函数，的零点，所以，，那么，可以看做函数和与函数图像交点的横坐标，
如图所示，点，，分别为函数，，的图像与函数图像的交点，所以，因为函数和互为反函数，所以函数图像关于的图像对称，的图像也关于的图像对称，所以点和关于点对称，，，故AB正确；
由反函数的性质可得，因为单调递增，，
所以，所以，故C错；
当时，函数对应的函数值为，函数对应的函数值为，因为
，所以，
所以的范围为，那么，而，所以，故D正确.
故选：ABD.
27．（多选题）（2023·广东广州·高三统考阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，下列命题正确的是（ ）
A．平面平面，且两平面的距离为
B．当点在线段上运动时，四面体的体积恒等于四面体的体积
C．与正方体所有棱都相切的球的体积为
D．若是正方体的内切球的球面上任意一点，是外接圆的圆周上任意一点，则的最小值是
【答案】BCD
【解析】对于A，正方体中，，
即四边形为平行四边形，故，
平面，平面，故平面，
同理可证平面，而平面，
故平面平面；
设B到平面的距离为d，，则,
即，则；
同理求得到到平面的距离为；
连接，则，由于平面平面，
故，平面，
故平面，平面，故，
同理可证，而平面，
故平面，而平面平面，则平面，
又，
故平面和平面之间的距离为，A错误；
对于B，当点在线段上运动时，四面体的体积为；
而四面体的体积，
即当点在线段上运动时，四面体的体积恒等于四面体的体积，B正确；
对于C，与正方体所有棱都相切的球的直径为正方体面对角线长,
故该球体积为，C正确；
对于D，正方体的内切球球心和正方体外接球球心是同一个点，即为正方体的中心，
外接球直径为，内切球直径为1；
而外接圆为正方体外接球的一个小圆，
故由是正方体的内切球的球面上任意一点，是外接圆的圆周上任意一点，
得的最小值为正方体的外接球半径减去正方体球内切球半径，即，D正确，
故选：BCD
28．（多选题）（2023·广东广州·高三校联考阶段练习）已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．若，则有2个零点B．存在，使得有1个零点
C．存在，使得有3个零点D．存在，使得有3个零点
【答案】ABD
【解析】由题，的零点个数可转化为与的函数图象交点个数，
画出函数图象如下，
若，函数与在和各有一个交点，故有2个零点，故A正确；
当时，当，，
，，
故在上至少有一个零点，又，结合图象知，在上有两个零点，
即与有两个不同的交点，则当直线绕点顺时针旋转时，存在直线与的图象相切，即有1个零点，故B正确，
当时，与至多有两个交点，故C错误；
当时，如图，存在函数与的图象分别在和上分别有1个和2个交点，故存在 ，使得有3个零点，故D正确.
故选：ABD.
29．（多选题）（2023·广东广州·高三校联考阶段练习）已知函数的零点为，函数的零点为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】，
又函数的零点为，则，其中.
，得在上单调递增，又其有零点，则为其唯一零点.
又，得.
注意到，，
则，且.
对于A，因，，
则，故A正确.
对于B，因，则.
令.在上单调递减，
则，得在上单调递增.
则，即，故B错误.
对于C选项，因，，则，故.
则由基本不等式结合有：，故C正确.
对于D选项，因，则，由C选项分析可知.
则令，.
得在上单调递增，故，即.故D正确.
故选：ACD
30．（多选题）（2023·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）如图所示，在棱长为2的正方体中，点，分别为棱，上的动点（包含端点），则下列说法正确的是（ ）
A．四面体的体积为定值
B．当，分别为棱，的中点时，则在正方体中存在棱与平面平行
C．直线与平面所成角的正切值的最小值为
D．当，分别为棱，的中点时，则过，，三点作正方体的截面，所得截面为五边形
【答案】ACD
【解析】点，在棱，上运动时，到距离始终为2，到平面的距离始终为2，
所以四面体的体积恒为定值，A正确；
在正方体中，棱可分为三类，分别是，及分别与它们平行的棱，
又不与平面平行，则在正方体中，不存在棱与平面平行，B错误；
正方体棱长为2，如图1，过作于，则有平面，
于是与平面所成角即为，于是，
又长度的最大值为，所以与平面所成角的正切值的最小值为，C正确；
如图2，取中点，连接，有，且，
则四边形是平行四边形，有，过作的平行线交于点，
此时，则，即为过，，三点的平面与平面的交线，
连接，在上取点，使得，同证的方法得，
在棱上取点，使，连接并延长交直线于，则，
即，而，于是四边形是平行四边形，
有，则为过，，三点的平面与平面的交线，
连接，则可得五边形即为正方体中过，，三点的截面，D正确．
故选：ABD
31．（多选题）（2023·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）设是公差为（）的无穷等差数列的前项和，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则是数列的最大项
B．若数列有最小项，则
C．若数列是递减数列，则对任意的：，均有
D．若对任意的，均有，则数列是递增数列
【答案】BD
【解析】对于A：取数列为首项为4，公差为的等差数列，，故A错误；
对于B：等差数列中，公差，，是关于n的二次函数.当数列有最小项，即有最小值，对应的二次函数有最小值，对应的函数图象开口向上，，B正确；
对于C：取数列为首项为1，公差为的等差数列，，，即恒成立，此时数列是递减数列，而，故C错误；
对于D：若数列是递减数列，则，一定存在实数，当时，之后所有项都为负数，不能保证对任意，均有.
故若对任意，均有，有数列是递增数列，故D正确．
故选：BD
32．（多选题）（2023·湖北·高三黄石二中校联考阶段练习）函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的零点为，
C．若，则，
D．若，则
【答案】ACD
【解析】对A：由函数图象得，且函数的周期满足：，
则，解得：，即，
代入点得：，，解得：，
又，所以，故A选项正确；
则，
对B：令，得，，解得：，，
所以函数的零点为，，故B选项错误；
对C：因为，
又，即，且，
则，，所以C选项正确；
对D：又，
即，
则，
所以，其中，，故，
所以，，即，，
则，所以D选项正确；
故选：ACD.
33．（多选题）（2023·湖北·高三黄石二中校联考阶段练习）已知数列的前项和，，数列的前项和满足对任意恒成立，则下列命题正确的是（ ）
A．B．当为奇数时，
C．D．的取值范围为
【答案】AC
【解析】当时，，当时，，适合上式，所以，故A正确；
所以，
当为奇数时，
，故B错误；
当为偶数时，
，
所以，故C正确；
当为奇数时，，
若，则，即，
所以，而，即；
当为偶数时，则得，
即，而，即，
综上所述，，故D错误.
故选：AC.
34．（多选题）（2023·湖北·高三鄂南高中校联考阶段练习）设函数的定义域为，如果对任意的，存在，使得(为常数)，则称函数在上的均值为，下列函数中在其定义域上的均值为的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【解析】对于,函数的定义域为,值域为，
对任意的,方程，即必有解，
则在其定义域上的均值为2，符合题意；
对于,函数的值域为,对任意的,
方程，即必定有解，
则在其定义域上的均值为2，符合题意；
对于,函数的定义域为，值域为，
当时，，若，
可得，方程无解，不符合题意；
对于,函数的定义域为，值域为，
当时，，
方程化为，方程无解，不符合题意.
故选：
35．（多选题）（2023·湖北·高三鄂南高中校联考阶段练习）已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的值可以为（ ）
A．B．4C．D．22
【答案】BC
【解析】因为，设切点为，
则切线方程为，
将，代入得，，
令，则，
或时，，当时，，
故函数的单增区间为和，的单减区间为，
的极大值为，极小值为，
由题意知，，又为整数，
，，，20，21
故选：BC
36．（多选题）（2023·山东潍坊·高三统考阶段练习）关于函数，，下列说法正确的是（ ）
A．对，恒成立
B．对，恒成立
C．函数的最小值为
D．若不等式对恒成立，则正实数的最小值为
【答案】ABD
【解析】设，，
时，，递减，时，，递增，
所以，所以，即恒成立，A正确；
在中令，则，，，
再令得，B正确；
设，定义域为，
，
定义域内恒成立，令是增函数，，，
所以在即在上存在唯一零点，，，
时，，即，递减，时，，即，递增，
所以，C错；
不等式为，，
，所以，即，
令，则，时，，递减，时，，递增，，
因为，所以，
因此不等式恒成立，则恒成立，，即，
设，，
时，，递增，时，，递减，
所以，所以，即的最小值是，D正确．
故选：ABD．
37．（多选题）（2023·山东滨州·高三校联考阶段练习）如图，在正四棱柱中，，分别是棱，，的中点，则（ ）
A．
B．平面
C．直线与是异面直线
D．直线与平面的交点是的外心
【答案】ABD
【解析】由题意得，以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，则，
对于选项A，由题意可知， ，则，，，
所以，即，故A正确；
对于选项 B，因为，则，
又因为，则，所以，即，
又因为，即，，平面，
所以平面，故B正确；
对于选项C，连接，，，，，则，，所以，
由图知，不共线，所以，则四点共面，
所以直线与是共面直线，故C错误；
对于选项D，设直线与平面的交点为，
由正方体的性质知，，
则四面体为正四面体，
又因为平面，则为正三角形的中心，
即为正三角形的外心，故D正确.
故选：ABD.
38．（多选题）（2023·山东滨州·高三校联考阶段练习）已知函数，若存在实数使得方程有四个互不相等的实数根，分别为，且，则下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．D．的取值范围为
【答案】BD
【解析】作出在上的图象，如图所示：
对于A，因为，
又因为方程有四个互不相等的实数根，所以，故A错误；
对于B，由题意可得，，且有，，所以，
故，当，即时，等号成立，故B正确；
对于C，由题意可得，由A可知，
所以，故C错误；
对于D，由题意可知与关于直线对称，且，，所以，故.
因为，所以.
又因为，
所以，在上单调递减，
故,
所以，，所以.
因为，，所以，
在单调递增，所以，故，
所以的取值范围为，故D正确.
故选：BD.
39．（多选题）（2023·山东聊城·高三校考阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．已知向量，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为
B．已知O是所在平面上一点，若，则O点是三角形的外心.
C．若O为△ABC所在平面内任一点，且满足，则△ABC为等腰三角形
D．设向量满足，且，则向量在向量方向上的投影向量为
【答案】BC
【解析】对于A，依题意，且与不共线，则，解得且，A不正确；
对于B，依题意，，
则，同理可得，则O点是的外心，B正确；
对于C，，
则，即，△ABC为等腰三角形，C正确；
对于D，依题意，，即，向量在向量方向上的投影向量为，D不正确.
故选：BC
40．（多选题）（2023·山东聊城·高三校考阶段练习）下列命题正确的是（ ）
A．已知幂函数在上单调递增，则
B．函数有两个零点，一个大于0，一个小于0的一个必要不充分条件是
C．已知函数，若，则的取值范围为
D．已知函数满足，，且与的图象的交点坐标依次为，则
【答案】AD
【解析】对于A，幂函数在上单调递增，则且，求得，故A正确；
对于B：若，可得函数满足，可得的零点一个大于0，一个小于0，
若函数有两个零点，一个大于0，一个小于0，
则，即，不能推出，
故是函数有两个零点，一个大于0，一个小于0的充分不必要条件，故B错误；
对于C：由得：，则函数的定义域为，
故，至少满足，即，故C错误；
对于D：函数满足，函数的图象关于对称，
函数的图象关于对称，
所以，，
则，故D正确．
故选：AD．
41．（多选题）（2023·福建莆田·高三莆田一中校考阶段练习）已知定义在的函数满足以下条件：
（1）对任意实数恒有；
（2）当时，的值域是
（3）
则下列说法正确的是（ ）
A．值域为
B．单调递增
C．
D．的解集为
【答案】BCD
【解析】对选项A：令可得，故，
令可得，，
，当时，，则，
综上所述：，错误；
对选项B：任取且，，，
则，所以函数在上单调递增，正确；
对选项C：取得到；
取得到；
取得到，正确；
对选项D：，，
即，
即，
函数单调递增，且，故，正确；
故选：BCD
42．（多选题）（2023·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）已知函数，则以下判断正确的是（ ）
A．函数的零点是
B．不等式的解集是．
C．设，则在上不是单调函数
D．对任意的，都有．
【答案】BD
【解析】对于A项，零点是数不是点，故A错误；
对于B项，令，而恒成立，原不等式等价于，解之得，故B正确；
对于C项，，
所以，
设，则，
设
即定义域上单调递增，，
即存在使得，
即存在使得，
所以时有，
则，在上单调递增，故C错误；
对于D项，设，
由C项结论可知在上单调递增，
所以有，
又，即成立，故D正确.
故选：BD
43．（多选题）（2023·江苏扬州·高三统考阶段练习）已知，，给出下列结论：其中正确结论是（ ）
A．若，，且，则
B．存在，使得的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称
C．若在上恰有7个零点，则的取值范围为
D．若在上单调递增，则的取值范围为
【答案】BC
【解析】对于A，若，，且，
则，故A错误；
对于B，将的图象向左平移个单位长度后得到，
若所得图象关于y轴对称，则，，
即，，所以存在时满足条件，故B正确；
对于C，由，得，
若在上恰有7个零点，
则，即，故C正确；
对于D，由，得，
若在上单调递增，
则，即，故D错误.
故选：BC.
44．（多选题）（2023·江苏扬州·高三统考阶段练习）已知函数，其中是自然对数的底数，函数则（ ）
A．若，则函数的零点为
B．方程有两个不同根，则
C．若，则函数有个的零点
D．若函数有个的零点，则
【答案】BCD
【解析】对于A：若，，
令，当时，，无解，
当时，，，
所以函数的零点为和，故A错误；
对于B：方程有两个不同根等价于与有两个交点，
因为当时，，
所以与在无交点，
所以与在有2个交点，
联立得，即，
由，解得，故B正确；
对于C：设，令，得，即，
因为时，，
所以当时，有两个实数根，且，如图所示，
设，则与轴有两个交点，且，
则，即，解得，
所以当，函数有个的零点，故C正确；
对于D：由C可知，当与轴有两个交点，且，函数有个的零点，
则，即解得，故D正确，
故选：BCD．
45．（多选题）（2023·河北邢台·高三校联考阶段练习）已知定义在的函数满足，且，当时，，则（ ）
A．
B．是偶函数
C．在上单调递减，在上单调递增
D．不等式的解集是
【答案】AD
【解析】令，得，即，则A正确；
由题意可知的定义域是，则是非奇非偶函数，故B错误；
当时，因为，所以，因为，
所以，则在上单调递增，故C错误；
令，得，因为，所以.
因为，所以，所以，所以等价于，
因为在上单调递增，所以，解得，则D正确.
故选：AD
46．（多选题）（2023·河北邢台·高三校联考阶段练习）关于x的不等式在上恒成立，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】由，
可得，
即．
记，，
令，，则，
令，则恒成立，
所以在上单调递增且，所以当时，，
所以，当且仅当时，等号成立，即如下图所示：
，
又，，且，从而为与在处的公切线时，才能使原不等式恒成立，
，，则在处的切线方程为，即，
得，．
故选：BC.
47．（2023·广东·高三校联考阶段练习）函数在上不单调，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】，令得，
由于，
分离常数得.
构造函数，，所以在上递减，在上递增，.
下证：
构造函数，，当时，①，
而，即，所以，所以由①可得.所以当时，单调递增.
由于，所以当时，，故，也即.
由于，所以.
所以的取值范围是
故答案为：
48．（2023·广东广州·高三统考阶段练习）双曲线的左，右焦点分别为，，右支上有一点M，满足，的内切圆与y轴相切，则双曲线C的离心率为 ．
【答案】/
【解析】内切圆Q分别与，，，轴切于点S，T，N，P
则四边形、都为正方形，
设内切圆半径为，由圆的切线性质，
则，则 ，①
又因为，②
且双曲线定义得，，③
由①、②、③得，
所以，
从而，
由勾股定理，，所以，解得．
故答案为：
49．（2023·广东广州·高三统考阶段练习）设函数在区间恰有两个零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由，得，
因为函数在区间恰有两个零点，
所以，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：.
50．（2023·广东广州·高三校联考阶段练习）若存在两个正实数x，y使等式成立，（其中）则实数m的取值范围是 .
【答案】
【解析】， ，设 ，设 ，那么 ， 恒成立，所以是单调递减函数，当时， ，当时， ，函数单调递增，当 ， ，函数单调递减，所以 在时，取得最大值， ，即 ，解得： 或 ，写出区间为 ，故填： .
51．（2023·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】因为函数为偶函数，则，
即，①
又因为函数为奇函数，则，
即，②
联立①②可得，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故函数的最小值为．
故答案为：
52．（2023·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知菱形中，对角线，将沿着折叠，使得二面角为120°， ，则三棱锥的外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】将沿折起后，取中点为，连接，，得到，在中由余弦定理求出的长，进一步求出的长,分别记三角形与的重心为、，记该几何体的外接球球心为，连接，，证明与全等，求出，再推出，连接，由勾股定理求出，即可得出外接球的表面积.将沿折起后，取中点为，连接，，则，，
所以即为二面角的平面角，所以；
设，则,在中
，即
解得，即，所以
所以与是边长为的等边三角形.
分别记三角形与的重心为、，则，；即；
因为与都是边长为的等边三角形，
所以点是的外心，点是的外心；
记该几何体的外接球球心为，连接，，
根据球的性质，可得平面，平面，
所以与都是直角三角形，且为公共边，
所以与全等，因此，
所以；
因为，，，且平面，平面，
所以平面；
又平面，所以，
连接，则外接球半径为，
所以外接球表面积为.
故答案为：
53．（2023·湖北·高三黄石二中校联考阶段练习）已知函数若关于的方程，有4个不同的实数根，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】作出的图象，
因为的图象是过定点，并且是绕着该点旋转的两条关于对称的的射线.
当时，为轴，两函数图象只有3个交点，不符合题意.
当时，的是两条向下的射线，两图象只有1个交点，不符合题意.
故，先考虑时两图象的交点情形，
当时，,与刚好只交于点.
证明如下：当时，在点处，由，故，令，则，所以切线方程为：；
当时，在点处，由，故，令，则，所以切线方程为：；
所以当时在，两图象只有一个交点，此时考虑，
当，两函数图象必有一个交点，
当时，，所以两函数图象在有一个交点，
当时，联立得，无解，所以没有交点；
所以当时，只有3个交点，不合题意.
当时，，两射线更加陡峭，
两函数图象在时，没有交点，在有一个交点，则在有两个交点，另外两个交点要在取得，
当，即时，在和各一个交点；
故在时，两图象有4个交点.
当时，，两射线趋于平缓，
则两函数图象在有一个交点，在没有交点，则在有2个交点，另两个必须在取得，
若与相切，
则联立得，
；此时两函数图象在有三个公共点.
所以在时，两函数图象在有2个交点，在也有2个公共点，符合题意；
当，两函数图象在有2个交点，在也有3个公共点，不符合题意；
综上所述，的取值范围为.
故答案为：
54．（2023·湖北·高三鄂南高中校联考阶段练习）有这样一个事实:函数与有三个交点，，在直线上.一般地，我们有结论:对于函数与的图象交点问题，当 时，有三个交点，当时有一个交点，借助导数可以推导:当时有两个交点，当时有一个交点，当时没有交点，先推导出的值，并且求：关于的方程在上只有一个零点，的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由与，所以与，
当时，先求？的值，有一个交点时，由题意可知切点在直线上，
设切点横坐标为，由导数几何意义可知又，
， ，则 ；
即当时与有一个交点，
由，则，可得，令，则（且），
由提供的信息可得，或，
解得或，
即的取值范围为.
故答案为：
55．（2023·山东潍坊·高三统考阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围 .
【答案】
【解析】，，
因为函数在上单调递增，
所以，恒成立，
即，恒成立，
设，
，
，，为减函数，
，，为增函数，
所以，即.
故答案为：
56．（2023·山东滨州·高三校联考阶段练习）已知，，若存在，，使得，则称函数与互为“阶逼近函数”.若与互为“1阶逼近函数”，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】由函数，可得，且在上单调递减，
所以函数只有一个零点2，
又由，可得，所以函数在区间上存在零点，
由，可得，
令，可得，
当时，；当时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
且，，，
所以要使函数在区间上存在零点，则满足，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
57．（2023·山东聊城·高三校考阶段练习）已知函数，若，使不等式成立，则实数m的取值范围为 .
【答案】
【解析】令，则问题可转化为在，上有，
易知在上单调递增，故，
①当时，在上单调递增，则，
所以，可得；
②当时，则，不符合题意；
③当时，在上单调递减，则，
所以，可得.
综上所述，.
故答案为：.
58．（2023·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）若函数，当时，恒有，则实数t的取值范围 ．
【答案】
【解析】因为时，恒有，所以，
即恒成立.
设，则，且，
令，则，
所以当时，，在单调递减；当时，，在单调递增；所以，
所以在恒成立，故在单调递增，
所以恒成立，即，所以恒成立，
令，则，，
所以当时，，在单调递增；当时，，在单调递减；所以.
所以.
故答案为：.
59．（2023·江苏扬州·高三统考阶段练习）已知的定义域为且对于任意正数都有，且当时，，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】因为对于任意正数都有，
所以，即，
，即，
，即，
所以是函数的零点，
令，则，即是函数的零点，
因为当时，，
所以时，，
且，
任取，且，
，
即，
因为，且，
所以，
所以，
所以在上单调递增，
所以在上单调递增，
因为，
所以，
故答案为：．
60．（2023·河北邢台·高三校联考阶段练习）某迷宫隧道猫爬架如图所示，，C为一个长方体的两个顶点，，是边长为3米的大正方形的两个顶点，且大正方形由完全相同的9小正方形拼成.若小猫从点沿着图中的线段爬到点，再从点沿着长方体的棱爬到点，则小猫从点爬到点可以选择的最短路径共有 条.

【答案】
【解析】小猫要从点爬到点，需要先从点爬到点，需要走3横3竖，则可选的路径共有条，
再从点爬到点的路径共6条，用分步乘法计数原理可得小猫可以选择的最短路径有20×6=120条.
故答案为：120.
61．（2023·福建莆田·高三莆田一中校考阶段练习）已知定义在上的奇函数满足，当时，.则当， ；若与的图象交于点､､，则 .
【答案】
【解析】当时，，故，
当时，，故，
当时，，故，
，则，故函数周期为，
画出函数图像，如图所示：
根据图像知：.
故答案为：；.