重庆市南岸区第十一中学校2023-2024学年八年级上学期12月月考 数学试题（含解析）

这是一份重庆市南岸区第十一中学校2023-2024学年八年级上学期12月月考 数学试题（含解析），共31页。试卷主要包含了下列各数中为无理数的是，下列命题中，是真命题的是等内容，欢迎下载使用。

一.选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．下列各数中为无理数的是（ ）
A．B．C．D．2022
2．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．如果点的坐标满足，那么点一定在第一象限B．等腰三角形的角平分线、中线和高重合
C．等腰三角形两腰上的高相等D．有一个角等于的三角形是等边三角形
3．在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
4．若点在第四象限，到轴的距离是3，到轴的距离是4，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
5．将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．某班五个合作学习小组的人数分别如下：5，5，，6，8，已知这组数据的平均数是6，则的值是（ ）
A．5B．C．6D．7
7．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ）
A．
B．

C．
D．

8．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为，则底部边缘A处与E之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
9．已知关于，的方程组和有相同的解，那么值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
10．一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲、乙之间的距离s（km）与骑行时间t（h）之间的函数关系如图所示，下列结论：①A，B两村相距10km；②甲出发2h后到达C村；③甲每小时比乙多骑行8km；④相遇后，乙又骑行了30min或55min时两人相距4km．其中正确的是（ ）
A．①③④B．①②③C．①②④D．①②③④
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答
11．若点的坐标为，则点在第 象限．
12．某同学对本地区5月份连续6天的最高气温做了记录，每天最高气温与的上下波动数据分别为：，，，，，0，则这6天中气温波动数据的方差为 .
13．如图，在中，D、E分别在上，若，则∠A的度数为 ．
14．一次函数的图象向下平移两个单位后经过点，则平移后的一次函数表达式是 ．
15．在中，，如果将折叠，使点B与点A重合，且折痕交边于点M，交边于点N．如果是直角三角形，那么的面积是 ．
16．如图，平面直角坐标系中，已知直线上一点，连接，以为边做等腰直角三角形，，过点作线段轴，直线与直线交于点，且，直线与直线交于点，则点的坐标是 ．
17．如图，将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，，，点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上，点在第二象限，所在直线的函数表达式是，若保持的长不变，当点在轴的正半轴滑动，点随之在轴的负半轴上滑动，则在滑动过程中，点与原点的最大距离是 ．
18．某水果店进了一批苹果、橘子、车厘子，这些水果刚好包装成50个相同规格的水果礼盒出售（礼盒的售价即是三种水果的价格之和）．其中苹果、橘子、车厘子进价之比为；苹果、橘子、车厘子售价分别比其进价高；每个礼盒的苹果、橘子、车厘子的数量之比为．年前水果店一共卖出水果礼盒若干，剩下的礼盒在年后全部售完，由于存放较久，三种水果都降价．降价后的苹果、橘子、车厘子售价分别是进价的、、．把剩下的礼盒按照降价后的方式全部售完后，年前礼盒装销售的苹果的收入与年后降价后礼盒装销售的苹果收入之比为；则这批水果最后的总利润率为 ．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题、20题每题8分，26题题12分，其余每题各
19．计算：
(1)；
(2)．
20．在平面直角坐标系中，的位置如图所示．

(1)分别写出以下顶点的坐标：______；______；
(2)在网格中画出关于轴对称的，并写出顶点关于轴对称的点的坐标______；
(3)在轴上找一点，使，求出点的坐标．
21．为进一步加强学生对“垃圾分类”的重视程度，某中学初一、初二年级组织了“垃圾分类知识”比赛，现从初一、初二年级各抽取10名同学的成绩进行统计分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A：，B：，C：，D：），绘制了如下的图表，请根据图中的信息解答下列问题．
初一年级10名学生的成绩是：69，78，96，77，68，95，86，100，85.86；
初二年级10名学生的成绩在C组中的数据是：86，87，87；
初一、初二年级抽取学生比赛成绩统计表：
(1)的值为 ；
(2)根据以上数据，你认为该校初一、初二年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由；（写出一条理由即可）
(3)若两个年级共有2500人参加了此次比赛，估计参加此次比赛成绩优秀（）的学生共有多少人？
22．春节临近，坚果和炒货都进入销售旺季，某批发商去年12月售出一批开心果和夏威夷果，其中开心果的售价为60元/千克，夏威夷果的售价为50元/千克，开心果的销量比夏威夷果的销量多500千克，总销售额为85000元．
(1)该批发商去年12月开心果和夏威夷果的销量分别为多少千克？
(2)由于供不应求，该批发商开始调整价格，今年1月开心果销售价格在去年12月基础上增长了2a%，销量减少了100千克；今年1月夏威夷果销售价格在去年12月基础上增加了元，销量下降了10%，最终今年每月总销售额比去年12月总销售额多了5900元，求a的值．
23．我们知道，演绎推理的过程称为证明，证明的出发点和依据是基本事实.证明三角形全等的基本事实有：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，三边分别相等的两个三角形全等.
（1）请选择利用以上基本事实和三角形内角和定理，结合下列图形，证明：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
（2）把三角形的三条边和三个角统称为三角形的六个元素.如果两个三角形有四对对应元素相等，这两个三角形一定全等吗？请说明理由.
24．材料一：对于一个四位数，若满足千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个数为“间位等和数”，例如：
，∵，∴5247是“间位等和数”；
，∵，∴3145不是“间位等和数”
材料二：将一个四位数千位上的数字与百位上的数字对调，十位上的数字与个位上的数字对调后可以得到一个新的四位 数，记．例如，对调千位上的数字与百位上的数字及十位上的数字与个位上的数字得到2574，所以．
（1）判断3564和1572是否为“间位等和数”，并说明理由；
（2）若和都是“间位等和数”，其中，（，，，且，，，均为整数），规定：，若，求的最小值．
25．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AP交x轴于点P（p，0），与y轴交于点A（0，a），且a、p满足+（p﹣1）2＝0．
(1)求直线AP的解析式；
(2)如图1，直线x＝﹣2与x轴交于点N，点M在x轴上方且在直线x＝﹣2上，若△MAP的面积等于6，请求出点M的坐标；
(3)如图2，已知点C（﹣2，4），若点B为射线AP上一动点，连接BC，在坐标轴上是否存在点Q，使△BCQ是以BC为底边的等腰直角三角形，直角顶点为Q，若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
26．如图，在ABC中，∠ABC＝60°，点D，E分别为AB，BC上一点，BD＝BE，连接DE，DC，AC＝CD．
（1）如图1，若AC＝3，DE＝2，求EC的长；
（2）如图2，连接AE交DC于点F，点M为EC上一点，连接AM交DC于点N，若AE＝AM，求证：2DE＝MC；
（3）在（2）的条件下，若∠ACB＝45°，直接写出线段AD，MC，AC的等量关系．
年级
平均数
中位数
众数
初一年级
84
85.5
c
初二年级
84
b
92
1．B
【分析】本题考查无理数的定义，根据无理数的定义判断无理数．
【详解】A. 是分数，不是无理数，不符合题意；
B. 是无理数，符合题意；
C. 是分数，不是无理数，不符合题意；
D. 2022是整数，不是无理数，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查无理数的定义，能够根据无理数的定义判断出无理数是解决本题的关键．
2．C
【分析】利用点的坐标特点、等腰三角形的性质、等边三角形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、如果点的坐标满足，则x和y同号，那么点可能在第一、三象限，故为假命题，不符合题意；
B、等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线和底边上的高重合，故为假命题，不符合题意；
C、等腰三角形两腰上的高相等，故为真命题，符合题意；
D、有一个角等于的等腰三角形是等边三角形，故为假命题，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解点的坐标特点、等腰三角形的三线合一的性质、等边三角形的判定方法等知识，难度不大．
3．D
【分析】现将选项中的二次根式化为最简二次根式，之后看哪个选项中根号下是2，即为正确答案
【详解】解：A. 因为=2，所以与不是同类二次根式，A错误；
B. 因为是最简二次根式，所以与不是同类二次根式，B错误；
C. 因为，所以与不是同类二次根式，C错误；
D. 因为，所以与是同类二次根式，D正确；
故选：D.
【点睛】本题考查同类二次根式，先把根式化成最简二次根式是解题关键
4．C
【分析】根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是横坐标的绝对值，根据第四象限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得答案．
【详解】解：由点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，得
，，
由点P位于第四象限，得
，，
点P的坐标为，
故选：C．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点的坐标特征是解题关键．
5．C
【分析】先求出和的度数，再根据三角形外角性质求解即可．
【详解】解：由三角板的性质可得：，，
∴，
故选C．
【点睛】此题考查了三角形外角性质，熟记三角形外角性质是解题的关键．
6．C
【分析】直接根据数据的平均数是6求解即可．
【详解】∵数据的平均数是6，
∴，
解得，
故选C．
【点睛】本题考查了根据平均数求数据，熟练掌握运算法则是解题的关键．
7．A
【分析】本题考查了正比例函数及一次函数的图象，分和两种情况分类讨论即可求得答案．解题的关键是了解这两种函数的性质．
【详解】解：当时，，函数的图象过原点且经过二、四象限，的图象经过一、二、三象限，符合选项；
当时，，函数的图象过原点且经过一、三象限，的图象经过一、三、四象限，没有符合选项；
故选：．
8．A
【分析】勾股定理解得出，勾股定理解即可求解．
【详解】解：依题意，，
在中，，
∵，,
在中，，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
9．B
【分析】先根据关于，的方程组和有相同的解，列出方程组求出x、y的值，再代入计算求出a、b的值，最后代入计算即可．
【详解】∵关于，的方程组和有相同的解，
∴，，
解得，
将代入得：
，
解得，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了列二元一次方程组求解，解题的关键是得到，．
10．D
【分析】根据时的值可判断①；先根据函数图象可知甲的速度大于乙的速度，在时两人相遇，然后在时，甲到达村，由此可判断②；根据在时两人相遇即可判断③；分相遇后，甲未到达村、相遇后，甲已到达村两种情况，根据甲、乙两人的速度求解即可判断④．
【详解】解：由图象可知，当时，，
则两村相距，结论①正确；
由函数图象可知，甲的速度大于乙的速度，在时两人相遇，然后在时，甲到达村，之后两人之间的距离开始减小，则结论②正确；
甲每小时比乙多骑行的路程为，则结论③正确；
乙的速度为，甲的速度为，
当两人相遇后，甲未到达村时，，
当两人相遇后，甲已到达村时，，
综上，相遇后，乙又骑行了或时两人相距，结论④正确；
综上，正确的是①②③④，
故选：D．
【点睛】本题考查了从函数图象获取信息，读懂函数图象是解题关键．
11．二
【分析】根据点的坐标，判断出横坐标小于，纵坐标大于，即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∴在第二象限，
故答案为：二．
【点睛】本题考查了判断点所在的象限，熟练掌握各象限的点的坐标符号是解题的关键．
12．
【分析】根据平均数的计算方法，可以求出这6天气温波动数据的平均数，再根据方差公式计算即可．
【详解】解：这6天气温波动数据的平均数（3-4-3+7+3+0）=1，
方差S2= [（3-1）2+（-4-1）2+（-3-1）2+（7-1）2+（3-1）2+（0-1）2]= ．
故答案为：．
【点睛】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
13．60°##60度
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的知识，掌握三角形内角和定理、两直线平行同位角相等，是解答本题的关键．
由两直线平行同位角相等，可得，再根据三角形内角和定理即可作答．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：60°．
14．
【分析】根据题目先求得一次函数平移后的解析式是，将点代入即可求出答案．
【详解】解：将向下平移两个单位可得：，
把点代入中得，，
解得：，
∴平移后的一次函数表达式是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与几何变换，熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键．
15．1或
【分析】本题是等腰三角形的折叠问题，考查了折叠的性质，等腰三角形三线合一性质，勾股定理，三角形面积等知识．分两种情况：当时，根据及将折叠，使点B与点A重合，可得，可得到的面积；当时，过A作于H，设，则，可得，，又，可得，再利用勾股定理可得，可得到的面积．
【详解】解：当时，如图：
∵，
∴，
∵将折叠，使点B与点A重合，
∴，
∴的面积是：；
当时，
如图，过A作于H，设，
∵，
∴，
∴，
∵将折叠，使点B与点A重合，
∴，
在中，，
在中，，
在中，，
∴，解得：，
∴，
∴，
∴的面积是：．．
故答案为：1或．
16．
【分析】过作轴，交轴于，交于，过作轴，交轴于，，求出，证，推出，，设，求出，得出，求出，得出的坐标，由两点坐标公式求出，在中，由勾股定理求出，得出的坐标，设直线的解析式是，把代入求出直线的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解即可．
【详解】解：过作轴，交轴于，交于，过作轴，交轴于，
，
，，
，
，
，，
在和中，
，
，，
，
设，，
，
，
则，
，即．
直线，
，
点
，
在中，由勾股定理得：，
则的坐标是，
设直线的解析式是，
把代入得：，
即直线的解析式是，
组成方程组
解得：
点，，
故答案为：，．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，全等三角形的性质和判定，解方程组，勾股定理，旋转的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．
17．##
【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，三角形与坐标系的综合题型，关键在于合理利用辅助线，熟练掌握基础知识首先取的中点，连接，，，可求得与的长，然后由三角形三边关系，求得点到原点的最大距离
【详解】解：当时，，则；
当时，则
∴，，
如图所示∶
取的中点，连接，，，
∴，，
∴，，
∴，
当，，三点在一条直线上时，取得最大值，最大值为，
故答案为∶
18．
【分析】设苹果、橘子、车厘子进价分别为，然后分别表示出降价前和降价后苹果、橘子、车厘子的售价，设每个礼盒中苹果，橘子，车厘子的数量分别为，年前销售礼盒z个，则年后销售礼盒个，根据年前礼盒装销售的苹果的收入与年后降价后礼盒装销售的苹果收入之比为，列出比例式求出，然后分别表示出总成本，年前利润和年后利润即可得到答案．
【详解】解：设苹果、橘子、车厘子进价分别为，则降价前苹果、橘子、车厘子的售价分别为，
∴降价后，苹果、橘子、车厘子的售价分别为，
设每个礼盒中苹果，橘子，车厘子的数量分别为，年前销售礼盒z个，则年后销售礼盒个，
∵年前礼盒装销售的苹果的收入与年后降价后礼盒装销售的苹果收入之比为；
∴，
∴，
解得，
经检验：是方程的解，
∴年前销售礼盒40个，年后销售礼盒10个，
这批水果的总成本为，
年前销售利润为
，
年后销售利润为
，
∴总利润率，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，正确设出未知数，根据已知条件求出年前和年后销售礼盒的数量是解题的关键．
19．(1)；
(2)．
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂的意义，平方差公式和完全平方公式，以及解二元一次方程组 ：
（1）先根据乘法公式和负整数指数幂的意义计算，再算加减；
（2）用加减消元法求解即可．
【详解】（1）
（2），
化简，得
，
，得
，
∴，
把代入①，得
，
∴，
∴．
【点睛】
20．(1)，
(2)见解析，
(3)或
【分析】（1）根据点A，B在坐标系内的位置可得其坐标；
（2）分别确定A，B，C关于y轴对称的对称点，，，再顺次连接即可，再根据的位置可得其坐标；
（3）设点，先求解，可得，再解方程可得答案．
【详解】（1）解：由图可得，，
（2）如图所示．

顶点关于轴对称的点的坐标为
（3）设点
由图可知
∴，解得或
所以点的坐标为或．

【点睛】本题考查的是坐标与图形，画关于x轴对称的图形，求解网格三角形的面积，掌握坐标与图形的关系是解本题的关键．
21．(1)173
(2)八年级学生掌握垃圾分类知识较好，理由见解析；
(3)875人
【分析】（1）根据统计图中的数据可以计算出b、c的值，本题得以解决；
（2）根据统计图中的数据可以解答本题；
（3）根据统计图中的数据可知七年级的优秀率是，八年级是，两个年级一起，乘以总人数，从而可以解答本题．
【详解】（1）由七年级的成绩可知，，
由统计图中的数据可知，，
故答案为：173 ；
（2）根据以上数据，该校八年级学生掌握垃圾分类知识较好，理由：两个年级的平均数一样，但是八年级学生的中位数高于七年级，说明八年级成绩好于七年级，故该校八年级学生掌握垃圾分类知识较好，
答：八年级学生掌握垃圾分类知识较好，两个年级的平均数一样，但是八年级学生的中位数高于七年级；
（3）数据可知，七年级比赛成绩优秀的有3人，则七年级的优秀率是，
八年级的C组3个，占比为30%，根据扇形统计图可知八年级的优秀率是，
则参加此次比赛成绩优秀（）的学生人数是人，
答：参加此次比赛成绩优秀（）的学生有875人．
【点睛】此题考查数据的计算，能正确计算部分的百分比，中位数，众数，优秀率，能依据数据的计算结果做出决策.
22．(1)该批发商去年12月开心果和夏威夷果的销量分别为1000千克,500千克；
(2)a=10．
【分析】（1）设该批发商去年12月开心果的销量为x千克，夏威夷果的销量分别为y千克，根据等量关系开心果的销量比夏威夷果的销量多500千克，总销售额为85000元．列方程组，解方程组即可；
（2）根据开心果涨价后销售价格×减少后销量+夏威夷果涨价后的销售价格×降低10%后的销量=12月份销售额+5900，列方程，然后解方程即可．
【详解】（1）解：设该批发商去年12月开心果的销量为x千克，夏威夷果的销量分别为y千克
根据题意，得，
解得，
答该批发商去年12月开心果和夏威夷果的销量分别为1000千克,500千克；
（2）解：，
整理得76500+1440a=90900，
解得：a=10，
经检验a=10是原方程的根，并符合题意．
【点睛】本题考查列二元一次方程组解应用题，一元一次方程解销售问题应用题，掌握列二元一次方程组解应用题，一元一次方程解销售问题应用题的方法与步骤是解题关键．
23．（1）证明见详解；（2）两个三角形一定全等，理由见详解.
【分析】（1）通过两角相等和三角形内角和定理可知第三个角也相等，然后利用两角及夹边分别相等即可证明两三角形全等；
（2）四对对应元素相等，可分三种情况: 给出三条边和任一角对应相等；给出两条边和两个角对应相等； 给出三个角和任一边对应相等，分情况进行讨论即可.
【详解】（1）已知： 证明：
证明：∵ ，
又∵
∴
在和中，
∴
（2）两个三角形一定全等，理由如下：
如果给出三条边和任一角对应相等，可用SSS证明两三角形全等；
如果给出两条边和两个角对应相等，则可用ASA或SAS证明两三角形全等；
如果给出三个角和任一边对应相等，可以ASA证明两三角形全等.
所以两个三角形有四对对应元素相等，这两个三角形一定全等.
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
24．（1）3564是“间位等和数”， 1572不是“间位等和数”；（2）0
【分析】（1）直接根据满足千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个数为“间位等和数”判断即可；
（2）将和化为各数位数字关系式，根据题意分别写出和，然后根据得出，然后根据a，x的取值范围，分类讨论确定a，x的值，从而可得k的最小值．
【详解】解：（1）
是“间位等和数”；
，
不是“间位等和数”；
（2），
其千位数为5，百位数为，十位数为4，个位数为b，
，即，
，
其千位数为x，百位数为3，十位数为，个位数为2，
，即
，
，
，
解得：，
则由或或，
对应的y和b的值分别为：；；，
，，，且，，，均为整数，
以上情况均符合，
，
则k的值分别为；；，
故k的最小值为：0．
【点睛】本题主要考查新定义下的实数运算，整式的加减，解题的关键是利用类比的思想进行解题．
25．(1)y=3x-3；
(2)（-2，3）；
(3)Q的坐标为（-，0）或（0，）或（0，）
【分析】（1）根据算术平方根的非负性及偶次方的非负性得到a+3=0，p-1=0，求出a，p，得到点P，A的坐标，设直线AP的解析式为y=kx+b，利用待定系数法求出函数解析式；
（2）过M作MD交x轴于D，连接AD，由MD，△MAP的面积等于6，顶点△DAP的面积等于6，求出DP，得到点D坐标，求出直线DM的解析式，即可求出M的坐标；
（3）设B（t，3t-3），分三种情况，①当点Q在轴负半轴时，过B作BE⊥x轴于E，证明△BEQ≌△QNC（AAS），得到OQ=QE-OE=ON+QN，即4-t=2+3-3t，求出t值即可；②当Q在y轴正半轴上时，过C作CF⊥y轴于F，过B作BG⊥y轴于G，证明△CQF≌△QBG（AAS），得到OQ=OG-QG=OF-QF，即3t-3-2=4-t，求出t即可；③当Q在y轴正半轴上时，过点C作CF⊥y轴于F，过B作BT⊥y轴于T，同②可证△CFQ≌△QTB（AAS），得到OQ=OT+QT=OF+QF，即3t-3+2=4+t，求出t值即可．
【详解】（1）解：∵+（p﹣1）2＝0．
∴a+3=0，p-1=0，
解得a=-3，p=1，
∴P(1,0)，A(0,-3)，
设直线AP的解析式为y=kx+b，
∴，解得，
∴直线AP的解析式为y=3x-3；
（2）解：过M作MD交x轴于D，连接AD，
∵MD，△MAP的面积等于6，
∴△DAP的面积等于6，
∴，即，
∴DP=4，
∴D（-3，0）
设直线DM的解析式为y=3x+c，则，
∴c=9，
∴直线DM的解析式为y=3x+9，
令x=-2，得y=3，
∴M（-2，3）；
（3）解：存在
设B（t，3t-3），
①当点Q在x轴负半轴时，过B作BE⊥x轴于E，如图，
∴OE=t，BE=3-3t，
∵△BCQ是以BC为底边的等腰直角三角形，
∴BQ=CQ，∠BQC=90°，
∴∠BQE=90°-∠NQC=∠QCN，
又∵∠BEQ=∠QNC，
∴△BEQ≌△QNC（AAS），
∴QN=BE=3-3t，QE=CN=4，
∴OQ=QE-OE=ON+QN，即4-t=2+3-3t，
∴t=，
∴OQ=，
∴Q（-，0）；
②当Q在y轴正半轴上时，过C作CF⊥y轴于F，过B作BG⊥y轴于G，如图，
∴BG=t，OG=3t-3，
∵△BCQ是以BC为底边的等腰直角三角形，
∴BQ=CQ，∠BCQ=90°，
∴∠CQF=90°-∠BQG=∠GBQ，
又∵∠CFQ=∠BGQ=90°，
∴△CQF≌△QBG（AAS），
∴CF=QG=2，QF=BG=t，
∴OQ=OG-QG=OF-QF，即3t-3-2=4-t，
∴t=，
∴OQ=4-t=，
∴Q（0，）；
③当Q在y轴正半轴上时，过点C作CF⊥y轴于F，过B作BT⊥y轴于T，如图，
∴BT=t，OT=3t-3，
同②可证△CFQ≌△QTB（AAS），
∴CF=BT=t，QF=CF=2，
∴OQ=OT+QT=OF+QF，即3t-3+2=4+t，
∴t=，
∴OQ=4+t=，
∴Q（0，）；
综上，Q的坐标为（-，0）或（0，）或（0，）．
【点睛】此题是一次函数与图形的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定即性质，等腰直角三角形的性质，算术平方根的非负性及偶次方的非负性，熟记全等三角形的判定即性质是解题的关键．
26．（1）9﹣；（2）见解析；（3）MC+AD＝AC
【分析】（1）过点C作CG⊥AB于G，先判断出△BDE是等边三角形，求出BD，设出DG=a，则BD=2+a，进而表示出CG，最后用勾股定理建立方程求出a，即可得出结论；
（2）在MC上取一点P，使MP＝DE，连接AP，先判断出△ABE≌△APM，得出∠APM=∠60°，进而得出∠MPQ=∠DEC=120°，再判断出∠EDC=∠ACB，进而判断出△MPQ≌△DEC（ASA），得出MQ=CD，进而判断出△APC≌△QPM（AAS），即可得出结论；
（3）在MC上取一点P，使PM＝DE，先根据等边三角形的性质判断出PE=AD，进而得出BC=MC+AD，再构造特殊直角三角形找出BC与AC的关系，即可得出结论．
【详解】解：（1）如图1，过点C作CG⊥AB于G，
∴∠AGC＝∠AGB＝90°，
∵AC＝CD，
∴AG＝DG，
设DG＝a，
∵BD＝BE，∠ABC＝60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴BD＝DE＝2，
∴BG＝BD+DG＝2+a，
在Rt△BGC中，∠BCG＝90°﹣∠ABC＝30°，
∴BC＝2BG=4+2a，CG＝BG＝6+a，
在Rt△DGC中，CD＝AC＝3，
根据勾股定理得，CG2+DG2＝CD2，
∴(6+a)2+a2＝90，
∴a＝或a＝（舍），
∴BC＝EC+BE＝EC+BD，
∴EC+BD＝2(BD+DG)，
∴EC＝BD+2DG＝2+2a＝2+2×＝9﹣；
（2）如图2，在MC上取一点P，使MP＝DE，连接AP，
∵△BDE是等边三角形，
∴∠BED＝60°，BE＝DE，
∴∠DEC＝120°，BE＝PM，
∵AE＝AM，
∴∠AEM＝∠AME，
∴∠AEB＝∠AMP，
∴△ABE≌△APM（SAS），
∴∠APM＝∠ABC＝60°，
∴∠APC＝120°＝∠DEC，
过点M作AC的平行线交AP的延长线于Q，
∴∠MPQ＝∠APC＝120°＝∠DEC，
∵AC＝CD，
∴∠ADC＝∠DAC，
∴∠CDE＝180°﹣∠BDE﹣∠ADC＝180°﹣60°﹣∠DAC＝120°﹣∠DAC，
在△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠DAC＝120°﹣∠DAC＝∠CDE，
∵MQ//AC，
∴∠PMQ＝∠ACB，
∴∠PMQ＝∠EDC，
∴△MPQ≌△DEC（ASA），
∴MQ＝CD，
∵AC＝MQ，
∴△APC≌△QPM（AAS），
∴CP＝MP，
∴CM＝MP+CP＝2DE；
（3）MC+AD＝AC．
如备用图，在MC上取一点P，使PM＝DE，
由（2）知，MC＝2CP＝2DE，△ABE≌△APM，
∴AB＝AP，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABP是等边三角形，
∴BP＝AB，
∵BE＝BD，
∴PE＝AD，
∴BC＝BE+PE+CP＝DE+PE+DE＝2DE+AD＝MC+AD，
过点A作AH⊥BC于H，设BH＝m，
在Rt△ABH中，AH＝BH＝m，
在Rt△ACH中，∠ACB＝45°，
∴∠CAH＝90°﹣∠ACB＝45°＝∠ACB，
∴CH＝AH＝m，AC＝AH＝m，
∵MC+AD＝BC＝BH+CH＝m+m＝(1+)m，
∴MC+AD＝AC．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，构造全等三角形是解本题的关键．