2023-2024学年辽宁省铁岭市西丰县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省铁岭市西丰县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列式子中，是分式的是( )
A. 53B. x3C. 3xD. x2+13
2.计算8ab÷2a的结果是( )
A. 4bB. 4abC. 4aD. 4
3.KN95型口罩可以保护在颗粒物浓度很高的空间中工作的人不被颗粒物侵害，也可以帮助人们预防传染病.“KN95”表示此类型的口罩能过滤空气中95%的粒径约为0.0000003m的非油性颗粒.其中，0.0000003用科学记数法表示为( )
A. 3×10−6B. 3×10−7C. 0.3×10−6D. 0.3×10−7
4.如果x2+2mx+9是一个完全平方式，则m的值是( )
A. 3B. ±3C. 6D. ±6
5.化简−x+2yx2−4y2的结果是( )
A. 1x+2yB. −1x+2yC. 1x−2yD. −1x−2y
6.如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a>b).把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是( )
A. a2−b2=(a+b)(a−b)B. (a+b)2=a2+2ab+b2
C. (a−b)2=a2−2ab+b2D. a2−ab=a(a−b)
7.如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，若DF=6m，DE=8m，AD=4m，则BF等于( )
A. 18mB. 16mC. 12mD. 10m
8.我国是一个水资源贫乏的国家，每一个公民都应自觉养成节约用水的意识和习惯，为提高水资源的利用率，某住宅小区安装了循环用水装置．经测算，原来a天用水b吨，现在这些水可多用4天，现在每天比原来少用水吨．( )
A. 4ba(a−4)B. −4ba(a−4)C. −4ba(a+4)D. 4ba(a+4)
9.如图，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AC，F是BC中点，连接AF，若AB=4，AC=6，DE=3，则△AFB的面积为( )
A. 7.5B. 8C. 9D. 12
10.某快递公司为提高配送效率，引进了甲、乙两种型号的“分拣机器人”，已知甲型号每小时分拣数量比乙型号每小时分拣数量多50件，且甲型号分拣1000件与乙型号分拣800件所用时间相同.若设甲型号每小时分拣数量为x件，则可列方程为( )
A. 1000x−50−800xB. 1000x+50=800xC. 1000x=800x+50D. 1000x=800x−50
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.因式分解：ax2−9a= ______ ．
12.在平面直角坐标系xOy中，点P(3,−5)关于y轴的对称点的坐标是______．
13.若分式1x−2有意义，则x的取值范围为 ．
14.计算1x−23x的结果是______ ．
15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC16.如图，∠ACB=90°，AC=BC，点C(1,2)，A(−2,0)，则点B坐标是 ．
三、解答题：本题共8小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
(1)计算：(6x3y4z−4x2y3z+2xy3)÷2xy3；
(2)分解因式：(a−b)(a−4b)+ab．
18.(本小题5分)
解方程：
2xx−1=x3x−3+1．
19.(本小题6分)
先化简，再求值：(x2−2x+1x2−1−1x+1)÷2x−4x2+x，其中x=2−1．
20.(本小题6分)
如图1，是小飞制作的蝴蝶风筝，蝴蝶风筝的骨架图如图2所示，其中AB=DC，OB=OC，∠B=∠C，∠AOD+∠BOC=210°．
(1)求∠AOB的度数；
(2)尺规作图作出图2的对称轴MN(只保留作图痕迹，不必写作法)．
21.(本小题6分)
已知关于x的分式方程x+ax−2−5x=1．
(1)若分式方程的解是x=5，求a的值；
(2)若a=5，求分式方程的解．
22.(本小题7分)
列方程解应用题
开展“光盘行动”，拒绝“舌尖上的浪费”，已成为一种时尚.某学校食堂为了激励同学们做到光盘不浪费，提出如果学生每餐做到光盘不浪费，那么餐后奖励香蕉或橘子一份.近日，学校食堂花了2800元和2500元分别采购了香蕉和橘子，采购的香蕉比橘子多150千克，香蕉每千克的价格比橘子每千克的价格低30%，求橘子每千克的价格．
23.(本小题6分)
阅读材料：教科书中提到“a2+2ab+b2和a2−2ab+b2这样的式子叫做完全平方式.”有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题．
例如：
(1)分解因式：x2−2x−3．
x2−2x−3
=x2−2x+1−1−3
=(x−1)2−4
=(x−1)2−22
=(x−1+2)(x−1−2)
=(x+1)(x−3)．
(2)求代数式x2−2x−3的最小值．
x2−2x−3=x2−2x+1−4=(x−1)2−4
∵(x−1)2≥0，
∴当x=1时，代数式x2−2x−3有最小值−4．
结合以上材料解决下面的问题：
(1)分解因式：x2−6x+8；
(2)当x为何值时，x2−6x+8有最小值？最小值是多少？
24.(本小题8分)
数学课上，李老师出示了下框中的题目．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
(1)特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE ______ DB；(填“>”“<”或“=”)
(2)特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE ______ DB(填“>”“<”或“=”).理由如下：
如图2，过点E作EF/​/BC，交AC于点F.(请你完成以下解答过程)
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、53是整式，不是分式，故本选项不符合题意；
B、x3分母中不含有字母，不是分式，故本选项符合题意；
C、3x分母中含有字母，是分式，故本选项符合题意；
D、x2+13分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据分式的定义解答即可．
本题考查的是分式的定义，熟知一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：8ab÷2a=4b，
故选：A．
根据单项式除以单项式的法则进行计算，即可解答．
本题考查了整式的除法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.0000003用科学记数法表示为：3×10−7．
故选：B．
本题考查了科学记数法，用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了完全平方式，完全平方式是两数的平方和加减积的2倍，注意符合条件的m值有两个．根据完全平方公式是和的平方加减积的2倍，可得m的值．
【解答】
解：因为x2+2mx+9是一个完全平方式，则2m=±2×1×3，
所以m=±3，
故选：B．
5.【答案】B
【解析】解：−x+2yx2−4y2
=−x−2yx2−4y2
=−x−2y(x−2y)(x+2y)
=−1x+2y，
故选：B．
将分母因式分解，再约分即可求解．
本题主要考查了分式的约分，先将分母进行因式分解是解答本题的关键．注意不要遗漏式子的符号．
6.【答案】A
【解析】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2−b2；
拼成的长方形的面积：(a+b)×(a−b)，
所以得出：a2−b2=(a+b)(a−b)，
故选：A．
这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2−b2；因为拼成的长方形的长为(a+b)，宽为(a−b)，根据“长方形的面积=长×宽”代入为：(a+b)×(a−b)，因为面积相等，进而得出结论．
此题主要考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是求出第一个图的阴影部分面积，进而根据长方形的面积计算公式求出拼成的长方形的面积，根据面积不变得出结论．
7.【答案】A
【解析】解：由题意知，滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
BC=EFAC=DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)，
∴AB=DE=8m，
∴BF=AB+AD+DF=8+4+6=18(m)．
故选：A．
先根据“HL“定理判断出Rt△ABC≌Rt△DEF，再根据全等三角形的性质求出AB，即可求出BF．
本题考查的是全等三角形的判定及性质，熟练掌握直角三角形全等的判定是解决问题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：依题意得：
ba−ba+4=b(a+4)−aba(a+4)=4ba(a+4)．
故选：D．
少用吨数=原来每天用的吨数−现在每天用的吨数．关键描述语是：现在这些水可多用4天．
本题考查了列代数式(分式)，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．
9.【答案】A
【解析】解：如图，过点D作DG⊥AB于点G，
∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AC，DE=3，
∴DG=DE=3，
∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=12AB⋅DG+12AC⋅DE=12×(AB+AC)⋅DE=12×(4+6)×3=15，
∵F是BC中点，
∴S△AFC=12S△ABC=12×15=7.5，
故选：A．
过点D作DG⊥AB于点G，根据角平分线的性质可得DG=DE=3，从而得到S△ABC=S△ABD+S△ACD=15，再由F是BC中点，即可求解．
本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：根据题意得：1000x=800x−50．
故选：D．
根据两种型号的机器人工作效率间的关系，可得出乙型机器人每小时分拣(x−50)件快递，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合甲型号分拣1000件与乙型号分拣800件所用时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
11.【答案】a(x−3)(x+3)
【解析】解：ax2−9a
=a(x2−9)
=a(x−3)(x+3)．
故答案为：a(x−3)(x+3)．
先提公因式然后再用平方差公式分解因式即可．
本题主要考查了分解因式，熟练掌握平方差公式a2−b2=(a+b)(a−b)是解题的关键．
12.【答案】(−3,−5)
【解析】解：在平面直角坐标系xOy中，点P(3,−5)关于y轴的对称点的坐标是(−3,−5)，
故答案为：(−3,−5)．
根据关于y轴对称的点的坐标特征，纵坐标相等，横坐标互为相反数，即可解答．
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标特征是解题的关键．
13.【答案】x≠2
【解析】【分析】
本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零得出不等式是解题的关键．
根据分母不为零，分式有意义，可得答案．
【解答】
解：由题意，得x−2≠0．
解得x≠2，
故答案为：x≠2．
14.【答案】13x
【解析】解：1x−23x
=33x−23x
=13x．
故答案为：13x．
先通分，再按同分母分式加减法法则计算．
本题考查了分式的减法，掌握异分母分式的加减法法则是解决本题的关键．
15.【答案】6
【解析】【分析】
直接利用基本作图方法得出DE垂直平分AB，AF=AH，再利用等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质得出AF+FC=BF+FC=BC，即可得出答案．
此题主要考查了基本作图以及等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，正确得出AF+FC=BF+FC=BC是解题关键．
【解答】
解：由基本作图方法得出：DE垂直平分AB，
则AF=BF，
可得AF=AH，AC⊥FH，
∴FC=CH，
∴AF+FC=BF+FC=BC=3，
∴△AFH的周长为：AF+FC+CH+AH=2BC=6．
故答案为：6．
16.【答案】(3,−1)
【解析】解：如图，过C和B分别作CD⊥OD于D，BE⊥CD于E，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
∠ADC=∠CEB=90°∠CAD=∠BCEAC=BC，
∴△ADC≌△CEB(AAS)，
∴DC=BE，AD=CE，
∵点C的坐标为(1,2)，点A的坐标为(−2,0)，
∴AD=CE=3，OD=1，BE=CD=2，
∴则B点的坐标是(3,−1)．
故答案为：(3,−1)
过C和B分别作CD⊥OD于D，BE⊥CD于E，利用已知条件可证明△ADC≌△CEB，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标．
本题借助于坐标与图形性质，重点考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是做高线构造全等三角形．
17.【答案】解：(1)(6x3y4z−4x2y3z+2xy3)÷2xy3
=3x2yz−2xz+1；
(2)(a−b)(a−4b)+ab
=a2−4ab−ab+4b2+ab
=a2−4ab+4b2
=(a−2b)2．
【解析】(1)把多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加即可；
(2)先计算整式的乘法运算，再利用完全平方公式分解因式即可．
本题考查的是多项式除以单项式，因式分解，熟记多项式除以单项式的运算法则，完全平方公式分解因式是解本题的关键．
18.【答案】解：去分母得：6x=x+3x−3，
解得：x=−32，
检验：把x=−32代入得：3(x−1)≠0，
∴分式方程的解为x=−32．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
19.【答案】解：(x2−2x+1x2−1−1x+1)÷2x−4x2+x
=[(x−1)2(x+1)(x−1)−1x+1]÷2(x−2)x(x+1)
=(x−1x+1−1x+1)⋅x(x+1)2(x−2)
=x−2x+1⋅x(x+1)2(x−2)
=x2，
当x=2−1=12时，原式=14．
【解析】先根据a2−b2=(a+b)(a−b)，(a±b)2=a2±2ab+b2，化除为乘，对分式化简，最后把x=2−1代入，即可．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式的运用，分式的运算．
20.【答案】解：(1)∵AB=DC，OB=OC，∠B=∠C，
∴△ABO≌△DCO(SAS)，
∴∠AOB=∠DOC，
∵∠AOD+∠BOC=210°，
∴∠AOB+∠DOC=2∠AOB=360°−210°=150°，
∴∠AOB=75°．
(2)如图2，直线MN即为所求．

【解析】(1)由题意可得△ABO≌△DCO，则∠AOB=∠DOC，进而可得2∠AOB=360°−210°=150°，即可得出答案．
(2)连接BC，作线段BC的垂直平分线即可．
本题考查作图−轴对称变换、全等三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称的性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
21.【答案】解：(1)分式方程去分母得：x(x+a)−5(x−2)=x(x−2)，
∵分式方程的解为x=5，
∴把x=5代入整式方程得：5(a+5)−15=15，
解得：a=1；
(2)把a=5代入方程得：x+5x−2−5x=1，
去分母得：x(x+5)−5(x−2)=x(x−2)，
整理得：x2+5x−5x+10=x2−2x，
解得：x=−5，
检验：把x=−5代入得：x(x−2)≠0，
∴分式方程的解为x=−5．
【解析】(1)分式方程去分母转化为整式方程，把x=5代入方程计算即可求出a的值；
(2)把a=5代入方程计算求出x的值，检验即可．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
22.【答案】解：设橘子每千克的价格为x元，则香蕉每千克的价格为70%x元．
根据题意，得280070%x−2500x=150，
解得x=10，
检验：当x=10时，70%x≠0．
所以原分式方程的解为x=10且符合题意．
答：橘子每千克的价格为10元．
【解析】设橘子每千克的价格为x元，则香蕉每千克的价格为70%x元，根据题意可得等量关系：2800元所购买的香蕉的重量−2500元所购买的橘子的重量=150，再列出方程，解出x的值即可．
此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．
23.【答案】解：(1)x2−6x+8
=x2−6x+9−1，
=(x−3)2−12，
=(x−3+1)(x−3−1)，
=(x−2)(x−4)；
(2)∵x2−6x+8=(x−3)2−1，
∴当x=3时，原代数式最小值为−1，
【解析】(1)将多项式加1再减1，利用配方法可得；
(2)将多项式配方后可得结论．
本题主要考查了因式分解以及配方法的应用，非负数的性质，将多项式配方，再利用非负数的性质解答是解题的关键．
24.【答案】=；=；
【解析】解：(1)∵△ABC是等边三角形，点E为AB的中点，
∴∠BCE=∠ACE=30°，∠A=∠ABC=∠ACB=60°，
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD=30°，
∵∠EBC=∠D+∠BED，
∴∠D=∠BED=30°，
∴DB=BE=AE，
故答案为：=；
(2)AE与DB的大小关系是：AE=DB，理由如下：
如图2，过点E作EF/​/BC，交AC于点F．
则∠CEF=∠ECD，∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，
∴∠AEF=∠AFE=∠A，∠EFC=120°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF=AF，
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD，
∴∠CEF=∠D，
∵∠ABC=60°，
∴∠DBE=120°=∠EFC，
∵∠D=∠ECB=∠CEF，
在△DBE和△FEC中，
∠DBE=∠EFC∠D=∠CEFED=EC，
∴△DBE≌△EFC(AAS)，
∴BD=FE，
∴BD=AE，
故答案为：=．
(1)先由等边三角形的性质得到∠BCE=∠ACE=30°，∠ABC=60°，再证出BD=BE，即可得出结论；
(2)作EF/​/BC交AC于F.证明△DBE≌△EFC，推出BD=EF=AE，即可得出BD=AE．
本题查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．如图，在等边△ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC.试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．