2022-2023学年河南省周口市沈丘县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河南省周口市沈丘县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列二次根式是最简二次根式的是( )
A. 14B. 12C. 8D. 13
2.下列方程中是一元二次方程的是( )
A. x2−1=0B. y2+x=1C. 2x+1=0D. x+1x=1
3.抛物线y=(x−1)2+2的顶点坐标是( )
A. (1,2)B. (1,−2)C. (−1,2)D. (−1,−2)
4.如图，菱形ABCD中，过点C作CE⊥BC交BD于点E，若∠BAD=118°，则∠CEB=( )
A. 59°
B. 62°
C. 69°
D. 72°
5.用配方法解一元二次方程2x2−2x−1=0，下列配方正确的是( )
A. (x−14)2=34B. (x−14)2=32C. (x−12)2=34D. (x−12)2=32
6.如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC上的点，且DE/​/BC，EF/​/AB，若BF：FC=2：3，AB=15，则BD=( )
A. 6B. 9C. 10D. 12
7.受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是( )
A. 6.2(1+x)2=8.9B. 8.9(1+x)2=6.2
C. 6.2(1+x2)=8.9D. 6.2(1+x)+6.2(1+x)2=8.9
8.如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是( )
A. AB2=BC⋅BD
B. AB2=AC⋅BD
C. AB⋅AD=BD⋅BC
D. AB⋅AD=AD⋅CD
9.定义运算：m☆n=mn2−mn−1.例如：4☆2=4×22−4×2−1=7.则方程1☆x=0的根的情况为( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根D. 只有一个实数根
10.如图，点E为▱ABCD的AD边上一点，且AE：ED=1：3，点F为AB的中点，EF交AC于点G，则AG：GC等于( )
A. 1：2B. 1：5C. 1：4D. 1：3
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若ba=12，则a+ba的值等于______．
12.喜迎党的二十大召开，学校推荐了四部影片：《1921》、《香山叶正红》、《建党伟业》、《建军大业》.甲、乙同学用抽卡片的方式决定本班观看哪部，四张卡片正面分别是上述影片剧照，除此之外完全相同．将这四张卡片背面朝上，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人恰好抽到同一部的概率是 ．
13.如图，在△ABC中，点D在AB上(不与点A，B重合)，连接CD.只需添加一个条件即可证明△ACD与△ABC相似，这个条件可以是 (写出一个即可)．
14.关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且x12+x22=316，则m=______．
15.如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，E为AD的中点，F为线段EC上一动点，P为BF中点，连接PD，则线段PD长的取值范围是 ．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
先化简，再求值：x2+2x+12x−6÷(x−1−3xx−3)，其中x为方程x2−9x+18=0的实数根．
17.(本小题8分)
2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准(2022年版)》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校以中国传统节日端午节为契机，组织全体学生参加包粽子劳动体验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．
根据图表信息，解答下列问题：
(1)本次调查的学生总人数为______，表中x的值为______；
(2)该校共有500名学生，请你估计等级为B的学生人数；
(3)本次调查中，等级为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
18.(本小题8分)
位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一.某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度，如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°，测角仪的高度为1.6m．
(1)求观星台最高点A距离地面的高度(结果精确到0.1m.参考数据：sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40， 2≈1.41)；
(2)“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．
19.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程(x−3)(x−2)=|m|．
(1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．
20.(本小题8分)
2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．为满足市场需求，某超市购进一批吉祥物“冰墩墩”，进价为每个15元，第一天以每个25元的价格售出30个，为了让更多的消费者拥有“冰墩墩”，从第二天起降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出3个．
(1)当售价小于25元时，试求出第二天起每天的销售量y(个)与每个售价x(元)之间的函数关系式；
(2)如果前两天共获利525元，且第二天销售数量不低于30个，则第二天每个“冰墩墩”的销售价格为多少元？
21.(本小题8分)
已知：如图，△PMN是等边三角形，∠APB=120°，求证：AM⋅PB=PN⋅AP．
22.(本小题8分)
已知二次函数y=x2−4x+3．
(1)用配方法将y=x2−4x+3化成y=(x−h)2+k的形式；
(2)在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象；
(3)当023.(本小题8分)
在△ABC中，CA=CB，∠ACB=α，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．
(1)观察猜想
如图①，当α=60°时，BDCP的值是______ ，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是______ ．
(2)类比探究
如图②，当α=90°时，请写出BDCP的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、 14是最简二次根式，符合题意；
B、 12= 4×3=2 3，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
C、 8= 4×2=2 2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
D、 13= 33，被开方数中含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
2.【答案】A
【解析】解：A.该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
B.该方程是二元二次方程，故本选项不符合题意；
C.该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；
D.该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：A．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了求抛物线的顶点坐标．熟记二次函数的顶点式的形式是解题的关键．直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标．
【解答】
解：∵顶点式y=a(x−h)2+k，顶点坐标是(h,k)，
∴抛物线y=(x−1)2+2的顶点坐标是(1,2)．
故选A．
4.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠ABD=∠CBE，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠BAD=118°，
∴∠ABD=180°−118°2=31°，
∴∠CBE=31°，
∵CE⊥BC，
∴∠BCE=90°，
∴∠CEB=90°−31°=59°．
故选：A．
根据菱形的性质得：AB=AD，∠ABD=∠CBE，根据等腰三角形的性质可得∠ABD=31°，由菱形的对角线平分线组对角可得∠CBE=31°，最后由直角三角形的两个锐角互余可得结论．
本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是熟知菱形的对角线平分每一组对角．
5.【答案】C
【解析】解：方程2x2−2x−1=0，
整理得：x2−x=12，
配方得：x2−x+14=34，即(x−12)2=34．
故选：C．
方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵EF//AB，BF：FC=2：3，
∴BFFC=AEEC=23，
∴ACEC=53，
∵DE/​/BC，
∴ABBD=ACEC，
∴15BD=53，
∴BD=9，
故选：B．
根据平行线分线段成比例可得BFFC=AEEC=23，从而可得ACEC=53，再利用平行线分线段成比例得出ABBD=ACEC，然后进行计算即可解答．
本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：依题意得6.2(1+x)2=8.9，
故选：A．
利用该地92号汽油五月底的价格=该地92号汽油三月底的价格×(1+该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率)2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵△ABC∽△DBA，
∴BDAB=ABBC=ADAC；
∴AB2=BC⋅BD，AB⋅AD=BD⋅AC；
故选：A．
可根据相似三角形的对应边成比例进行判断，要注意相似三角形的对应边和对应角．
此题主要考查的是相似三角形的性质，正确地判断出相似三角形的对应边和对应角是解答此题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：由题意可知：1☆x=x2−x−1=0，
∴Δ=(−1)2−4×1×(−1)=5>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
根据新定义运算法则以及根的判别式即可求出答案．
本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型．
10.【答案】B
【解析】解：设AC的中点为O，连接FO，
又∵F是AB的中点，
∴FO//BC，FO=12BC，
又∵AD/​/BC，
∴AE//FO，
∴△AEG∽△OFG，
∴AG：GO=AE：FO，
∵AE：ED=1：3，AD=BC，
∴AE：BC=1：4，
∵OF：BC=1：2，
∴AE：OF=1：2，
∴AG：OG=1：2，
∵AO=12OC，
∴AG：CG=1：5，
故选：B．
设AC的中点为O，连接FO，又F是AB的中点，可得EO//BC，EO=12BC，结合平行四边形的性质可证明△AEG∽△OFG，根据相似三角形的性质以及已知条件AE：ED=1：3，可求出AG：GC的值．
本题主要考查了平行四边形的性质，以及相似三角形的判定与性质，熟记平行四边形和相似三角形的各种性质是解题关键．
11.【答案】32
【解析】解：∵ba=12，
∴a+ba=1+ba=1+12=32．
故答案为：32．
先把要求的式子变成1+ba，再进行计算即可得出答案．
此题考查了比例的性质，把要求的式子变成1+ba是解题的关键．
12.【答案】14
【解析】【分析】
画树状图，共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好抽到同一部的结果有4种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是画树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【解答】
解：把写有《1921》、《香山叶正红》、《建党伟业》、《建军大业》的四张卡片分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好抽到同一部的结果有4种，
∴甲、乙两人恰好抽到同一部的概率为416=14，
故答案为：14．
13.【答案】∠ACD=∠B
【解析】解：添加的条件为：∠ACD=∠B，
理由如下：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
故答案为：∠ACD=∠B．
利用相似三角形的判定方法可求解．
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
14.【答案】−18
【解析】解：根据题意得x1+x2=−2m，x1x2=m2，
∵x12+x22=316，
∴(x1+x2)2−2x1x2=316，
∴4m2−m=316，
∴m1=−18，m2=38，
∵Δ=16m2−8m>0，
∴m>12或m<0，
∴m=38不合题意，
故答案为：−18．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca.再由x12+x22=316变形得到(x1+x2)2−2x1x2=316，即可得到4m2−m=316，然后解此方程即可．
15.【答案】 2≤PD≤ 10
【解析】【分析】
根据中位线定理先判断出点P的轨迹是线段P1P2，再根据矩形的性质及已知条件判断△DP1P2是直角三角形，从而得出点D到线段P1P2上各点的连线中，DP1最小，DP2最大．
本题考查矩形的性质、轨迹等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题．
【解答】
解：如图：
当点F与点C重合时，点P在点P1 处，CP1=BP1，
当点F与点E重合时，点P在点P2处，EP2=BP2，
∴P1P2/​/EC且P1P2=12CE，
当点F在EC上除点C、E的位置处时，有BP=FP，
由中位线定理可知：P1P/​/CF且P1P=12CF，
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
∵矩形ABCD中，AB=2，AD=4，E为AD的中点，
∴△ABE，△BEC、△DCP1为等腰直角三角形，
∴∠ECB=45°，∠DP1C=45°，
∵P1P2/​/EC，
∴∠P2P1B=∠ECB=45°，
∴∠P2P1D=90°，
∴DP的长DP1最小，DP2最大，
∵CD=CP1=DE=2，
∴DP1=2 2，CE=2 2，
∴P1P2= 2，
∴DP1= (2 2)2+( 2)2= 10，
故答案为： 2≤PD≤ 10．
16.【答案】解：x2+2x+12x−6÷(x−1−3xx−3)
=(x+1)22(x−3)÷x2−3x−1+3xx−3
=(x+1)22(x−3)⋅x−3(x+1)(x−1)
=x+12(x−1)，
∵x2−9x+18=0，
∴(x−3)(x−6)=0，
∴x−3=0或x−6=0，
∴x=3或x=6；
∵x−3≠0，x2−1≠0，
∴x≠3，x≠±1，
当x=6时，原式=6+12×(6−1)=710．
【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，解一元二次方程−因式分解法，一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.【答案】解：(1)50， 8%；
(2)500×2050=200(人)，
所以估计等级为B的学生人数为200人；
(3)画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率=812=23．
【解析】解：(1)本次调查的学生总人数为8÷16%=50(人)，
所以x=450=8%；
故答案为：50；8%；
(2)500×2050=200(人)，
所以估计等级为B的学生人数为200人；
(3)画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率=812=23．
(1)用D等级人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用4除以总人数得到x的值；
(2)用500乘以B等级人数所占的百分比即可；
(3)画树状图展示所有12种等可能的结果，找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．也考查了统计图．
18.【答案】解：(1)过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，
则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，
∴BC=MN=16m，DE=CN=BM=1.6m，
∵∠AEC=90°，∠ACE=45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴CE=AE，
设AE=CE=x m，
∴BE=(16+x)m，
∵∠ABE=22°，
∴AE=BE⋅tan22°，即x=(16+x)≈0.40，
∴x≈10.7，
∴AD=10.7+1.6=12.3(m)，
答：观星台最高点A距离地面的高度约为12.3m；
(2)∵“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m，
∴本次测量结果的误差为12.6−12.3=0.3(m)，
减小误差的合理化建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法．
【解析】(1)过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，于是得到BC=MN=16m，DE=CN=BM=1.6m，求得CE=AE，设AE=CE=x m，得到BE=(16+x)m，解直角三角形即可得到结论；
(2)建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法．
本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
19.【答案】解：(1)证明：∵(x−3)(x−2)=|m|，
∴x2−5x+6−|m|=0，
∵Δ=(−5)2−4(6−|m|)=1+4|m|，
而|m|≥0，
∴Δ>0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
(2)∵方程的一个根是1，
∴(1−3)(1−2)=|m|，解得|m|=2，即m=±2，
∴原方程为：x2−5x+4=0，
即(x−4)(x−1)=0，
解得：x1=1，x2=4．
即m的值为±2，方程的另一个根是4．
【解析】此题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)Δ<0⇔方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的解的定义．
(1)要证明方程有两个不相等的实数根，即证明Δ>0即可；
(2)将x=1代入方程(x−3)(x−2)=|m|，求出m的值，进而得出方程的解．
20.【答案】解：(1)依题意得：y=30+3(25−x)=−3x+105，
∴第二天起每天的销售量y(个)与每个售价x(元)之间的函数关系式为y=−3x+105．
(2)依题意得：(25−15)×30+(x−15)(−3x+105)=525，
整理得：x2−50x+600=0，
解得：x1=20，x2=30．
∵第二天销售数量不低于30个，
∴−3x+105≥30，
解得：x≤25，
∴x=20．
答：第二天每个“冰墩墩”的销售价格为20元．
【解析】(1)利用第二天起每天的销售量=30+3×每个降低的价格，即可得出y与x之间的函数关系式；
(2)利用总利润=每个的销售利润×销售数量，结合前两天共获利525元，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，由第二天销售数量不低于30个，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，进而可得出第二天每个“冰墩墩”的销售价格为20元．
本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
21.【答案】证明：∵△PMN是等边三角形，
∴∠PMN=∠PNM=60°=∠MPN．
∴∠A+∠APM=60°，∠AMP=∠PNB=120°．
∵∠APB=120°，
∴∠APM+∠NPB=60°．
∴∠A=∠NPB．
∴△PMA∽△BNP．
∴AM：PN=AP：PB
∴AM⋅PB=PN⋅AP．
【解析】根据相似三角形的判定方法可证△PMA∽△BNM，然后利用相似三角形的性质就可以证得结论．
此题主要考查了等边三角形的性质，也考查了相似三角形的判定与性质．
22.【答案】−1≤y<3
【解析】解：(1)y=x2−4x+3=x2−4x+4−4+3=(x−2)2−1；
(2)该函数过点(0,3)，(1,0)，(2,−1)，(3,0)，(4,3)五个点，
用五点作图画出图象如图所示：
(3)当0故答案为−1≤y<3．
(1)利用配方法求解可得；
(2)结合抛物线的顶点及其与坐标轴的交点作图即可；
(3)从函数图象上可以确定y的取值范围．
本题主要考查抛物线与x轴的交点，顶点式，最值等问题，解题的关键是掌握配方法求抛物线的顶点式、抛物线与坐标轴交点坐标的求法等知识点．
23.【答案】1 60°
【解析】解：(1)∵∠ACB=60°，∠APD=60°，CA=CB，AP=DP，
∴△ACB与△APD都是等边三角形，
∴∠CAB=∠PAD=60°，AC=AB，AP=AD，
∴∠CAP=∠CAB−∠PAB=∠PAD−∠PAB=∠BAD，
在△APC与△ADB中，
AC=AB∠CAP=∠BADAP=AD，
∴△APC≌△ADB(SAS)，
∴BD=CP，∠ACP=∠ABD，
∴BDCP=1；
设CP与BD的延长线交于点I，如图①，
∴∠CIB=180°−∠PCB−∠CBD=180°−(60°−∠ACP)−(60°+∠ABD)=60°+∠ACP−∠ABD=60°，
∴直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为60°；
(2)BDCP= 2，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45°，
理由如下：∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠CAB=45°，ABAC= 2，
同理可得：∠PAD=45°，ADAP= 2，
∴ABAC=ADAP，
∵∠CAB=∠PAD．
∴∠CAB+∠DAC=∠PAD+∠DAC，
即∠DAB=∠PAC，
∴△DAB∽△PAC，
∴BDCP=ABAC= 2，∠DBA=∠PCA，
设BD交CP于点G，BD交CA于点H，如图②，
∵∠BHA=∠CHG，
∴∠CGH=∠BAH=45°，
∴直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45°．
(1)首先根据等边三角形的判定与性质及旋转的性质，即可证得△APC≌△ADB(SAS)，如图①中，设直线PC与直线BD交于点I，再利用全等三角形的性质及角的关系，即可求得结果；
(2)首先根据等腰直角三角形的性质，可证得 ABAC=ADAP，可证得∠DAB=∠PAC，即可证得△DAB∽△PAC，如图②中，设直线BD交CP于G，AC交BD于点H，再利用相似三角形的性质及角的关系，即可求得结果．
本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形和相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形和相似三角形解决问题．等级
时长t(单位：分钟)
人数
所占百分比
A
0≤t<2
4
x
B
2≤t<4
20
C
4≤t<6
36%
D
t≥6
16%