精品解析：2023年广东省深圳市南山区育才教育集团中考三模数学试题

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1. 下列各组数中的两个数，互为相反数的是（ ）
A. 和B. 和C. 和D. 和
【答案】B
【解析】
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数判断处理．
【详解】解：A.和，互为倒数，故A错误；
B.和，是互为相反数，故B正确；
C.和，绝对值不同，故C错误；
D.和，绝对值不同，不是相反数，故D错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数的定义，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2. 下面四个几何体的视图中，从上面看是正方形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】俯视图是从物体正面上面看，所得到的图形．
【详解】解：圆柱的俯视图为圆，故选项A不合题意；
三棱锥的俯视图为三角形（三角形的内部有一个点与四个顶点相连接），故选项B不合题意；
球的俯视图为圆，故选项C不合题意；
正方体的俯视图为正方形，故选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了从不同方向看几何体，考查了学生的空间想象能力．
3. 数据，，，，，，的众数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据众数的定义直接解答即可．
【详解】解：在，，，，，，这组数据中，出现的次数最多，故众数为，
故选：B．
【点睛】本题主要考查众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
4. 根据深圳市第七次人口普查数据结果，南山区常住人口约180万人，其中180万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．
【详解】解：180万．
故选：C
【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】运用积的乘方，合并同类项，同底数幂相乘，去括号法则分别计算，作出判断即可．
【详解】解：A．，故选项正确，符合题意；
B．，故选项错误，不符合题意；
C．，故选项错误，不符合题意；
D．，故选项错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了积的乘方，合并同类项，同底数幂相乘，去括号法则等知识点，熟练掌握运算法则是关键．
6. 一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出不等式组的解集，然后根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则将不等式组的解集在数轴上表示出来，再进行判断即可．
【详解】解：
解得：，
解得：，
在数轴上表示不等式组的解集为：

不等式组的解集为：，
、、选项不符合题意，选项符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7. 如图，，平分，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线的性质，得到：，根据角平分线平分角，得到，再根据两直线平行，同旁内角互补，求出的度数即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
故选D．
【点睛】本题考查利用平行线的性质求角度．熟练掌握平行线的性质以及角平分线平分角，是解题的关键．
8. 下列说法错误的是（ ）
A. 对角线垂直且互相平分的四边形是菱形
B. 同圆或等圆中，同弧或等弧对应的圆周角相等
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 对角线垂直且相等的平行四边形是正方形
【答案】C
【解析】
【分析】A选项：应用菱形的判定方法进行判定即可得出答案；
B选项：应用圆周角定理进行判定即可得出答案；
C选项：应用矩形的判定方法进行判定即可得出答案；
D选项：应用正方形的判定方法进行判定即可得出答案．
【详解】A选项：对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，所以A选项说法正确，故A选项不符合题意；
B选项：同圆或等圆中，同弧或等弧对应的圆周角相等，所以B选项说法正确，故B选项不符合题意；
C选项：对角线相等的四边形是不一定是矩形，所以C选项说法不正确，故C选项符合题意；
D选项：对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，所以D选项说法正确，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，矩形与正方形的判定，菱形的判定．掌握相关知识是解题的关键．
9. 我国古代数学著作《算法续宗》中记载了这样一个问题，绳测井深，假若井不知深，先将绳三折入井，绳长四尺；后将绳四折入井，亦长一尺．问井深及绳长各若干？题意，用绳子测量井深，如果将绳子三折测井，井口外留绳子四尺；如果将绳子四折测井，那么井口外余下一尺．问井深几尺？绳长几尺？设绳长为h尺，井深为x尺，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设绳长为h尺，并深为x尺，根据将绳子三折测井，井口外留绳子四尺，可得方程；根据将绳子四折测井，那么井口外余下一尺，可得方程，由此即可得到但．
【详解】解：设绳长为h尺，井深为x尺，
由题意得， ，
故选D．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
10. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D为AC边上一个动点，以BD为边在BD的上方作正方形BDEF，当AE取得最小值时，BD的长为（ ）
A. B. 4C. 1D. 8－
【答案】A
【解析】
【分析】过E点作EM⊥AC于M点，证明△CDB≌△MED，即有BC=MD，ME=CD，则有AM=4-ME，在Rt△AME中，，即可求出当AE最小时的ME，再在Rt△BCD中即可求出BD．
【详解】过E点作EM⊥AC于M点，如图，
在矩形BDEF中，DE=BD，∠EDB=90°，
∵∠C=90°，
∴在△BCD中，∠BDC+∠CBD=90°，
∵∠EDB=90°，
∴∠BDC+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠CBD，
∵EM⊥AC，
∴∠DME=90°，
∴∠DME=90°=∠C，
∵DE=BD，
∴△CDB≌△MED，
∴BC=MD，ME=CD，
∵BC=4，AC=8，
∴MD=4，
∴AM=AC-DC-MD=8-ME-4=4-ME，
∴Rt△AME中，，
∴，
整理得：，
∴，
∴当ME=2时，AE取的最小值，
∵ME=2，
∴DC=ME=2，
∴在Rt△BCD中，，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识，构造全等三角形是解答本题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 把多项式分解因式的结果是___________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再用平方差公式因式分解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
12. 工厂质检人员为了检测其产品的质量，从同一批次共1000件产品中随机抽取50件进行检检测出次品1件，由此估计这一批产品中的次品件数是_____．
【答案】20
【解析】
【分析】求出次品所占的百分比，即可求出1000件中次品的件数．
【详解】解：1000×＝20（件），
故答案为：20．
【点睛】考查样本估计总体，求出样本中次品所占的百分比是解题的关键．
13. 已知关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是_________．
【答案】2或
【解析】
【分析】
由题意可得根的判别式等于0，从而得到关于m的方程，进一步可得m的值．
【详解】解：由题意可得：
（m+2）2-4×1×4=0，
即（m+2）2=16，
∴m+2=4或m+2=-4，
∴m=2或m=-6，
故答案为2或-6．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握根的判别式与根情况之间的联系是解题关键 ．
14. 如图，已知函数经过点，延长交双曲线另一分支于点C，过点A作直线交y轴正半轴于点D，交x轴负半轴于点E，交双曲线另一分支于点B，且．则的面积______．
【答案】16
【解析】
【分析】将点坐标代入，求出，根据可得出点的坐标，根据待定系数法可得出直线的表达式，再根据三角形的面积公式代入计算求解即可．
【详解】解：把点代入，
，
反比例函数的表达式为；
，
，
如图，过点作轴，垂足为，
，
，，
，
，
点，
，
，
，即；
设直线的表达式为：，
，
解得，
直线的表达式为：；
直线和反比例函数都关于原点对称，且，
，
联立，
解得或，
，
过点作轴的平行线交于点，则，
，
．
【点睛】本题为反比例函数与一次函数的综合题，涉及待定系数法、相似三角形的性质与判定，方程思想等知识．求出点的坐标是解题的关键；本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
15. 如图，矩形中，，点P为边上的一个动点，线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，，过点作，垂足为点E，若，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据旋转得到，，即可得到是等边三角形，结合矩形性质得到正方形，设，利用勾股定理列式求解即可得到答案；
【详解】解：∵线段绕点B顺时针旋转得到线段BP'，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是正方形，
∴，
设，根据勾股定理可得，
，，
又∵，
∴，
∴，
解得：，（不符合题意舍去），
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
【点睛】本题考查矩形的性质，正方形的性质与判定，三角形全等的性质与判定，勾股定理，等边三角形的判定与性质，解题的关键是作出辅助线得到线段关系根据勾股定理列等式．
三、解答题（本大题共7小题，共55.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 计算：
【答案】3
【解析】
【分析】先化简各式，再进行加减运算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算．熟练掌握零指数幂，负整数指数幂的运算法则，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键．
17. 先化简，再求值，其中．
【答案】
【解析】
【分析】首先对括号内的式子进行通分相加，把除法转化为乘法，进行约分，最后代入数值计算即可．
【详解】原式，
当 时，原式
【点睛】本题考查了分式的混合运算以及化简求值，熟练掌握因式分解，通分约分是解题的关键．
18. 某学校射击队计划从甲、乙两名运动员中选取一名队员代表该校参加比赛，在选拔过程中，每名选手射击10次，根据甲、乙队员成绩绘制了如图1、图2所示的统计图：
并求得了乙队员10次射击成绩的平均数和方差：
环，．
（1）甲队员选拔赛成绩的众数是______环，乙队员选拔赛成绩的中位数是______环；
（2）求甲队员10次射击成绩的平均数和方差，根据甲、乙两名队员的选拔赛成绩，你推荐谁代表学校参加比赛，并说明理由；
（3）为提升射击队技战术水平，学校决定除甲、乙外，再从射击队其他5名队员（三名男生，两名女生）中随机选出两名队员同前往观看比赛，请你用画树状图或列表的方法求出恰好选出一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）7与8，6.5
（2）甲的成绩更好更稳定，理由见解析
（3）图表见解析，
【解析】
【分析】（1）根据众数和中位数的定义即可得出答案；
（2）根据平均数的计算公式和方差公式先求出甲的平均数和方差，再与乙队的方差进行比较，即可得出答案；
（3）根据题意列出表格得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【小问1详解】
解：甲的成绩中，7环与8环都出现了3次，次数最多，故众数为7环与8环；
把乙队员选拔赛成绩按从小到大的顺序排列，中位数是第5、第6个数的平均数，
则乙队员选拔赛成绩的中位数是=6.5（环）；
故答案为：7与8，6.5；
【小问2详解】
解：甲队的平均数是：=8（环），
甲队的方差是：×[（6-8）2+3×（7-8）2+3×（8-8）2+（9-8）2+2×（10-8）2]=1.6；
∵1.6＜3.4，
∴甲队代表学校参加比赛；
【小问3详解】
解：列表如下：
由表格可知，共有20种等可能的结果，恰好选出一名男生和一名女生的结果有12种，
则恰好选出一名男生和一名女生的概率是．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19. 如图，是的直径，点是上一点（不与点，重合），连接，．

（1）请在图中用无刻度的直尺和圆规作出的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）
（2）如图，在（1）的条件下，过点作的切线，分别交、的延长线于点、，连接、，若，，，请求出的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的画法求解即可；
（2）连接，过点作于，交于，证出四边形是矩形，得出，求出的长，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
【小问1详解】
解：如图，
【小问2详解】
解：连接，过点作于，交于，

为切线，
，
，
又，
四边形是矩形，
．
是的直径，，，
，
，
．
，
．
．
，
，，
，
和分别为，的高，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质、圆周角定理、三角形的面积等知识，熟记掌握相似三角形的判定与性质、切线的性质是解题的关键．
20. 由于新冠肺炎疫情暴发，某公司根据市场需求代理A、B两种型号的空气净化器，每台A型净化器比每台B型净化器进价多200元，用5万元购进A型净化器与用4.5万元购进B型净化器的数量相等．
（1）求每台A型、B型净化器的进价各是多少元？
（2）公司计划购进A、B两种型号的净化器共50台进行试销，其中A型净化器为m台，购买资金不超过9.8万元，试销时A型净化器每台售价2500元，B型净化器每台售价2180元，公司决定从销售A型净化器的利润中按每台捐献75元作为公司帮扶疫区贫困居民，设公司售完50台净化器并捐献扶贫资金后获得的利润为W，求W的最大值．
【答案】（1）每台A型净化器的进价是2000元，每台B型净化器的进价是1800元；
（2）20800元．
【解析】
【分析】（1）设每台B型净化器的进价是x元，则每台A型净化器的进价是元，根据数量=总价÷单价结合用5万元购进A型净化器与用4.5万元购进B型净化器的数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）由总价=单价×数量结合购买资金不超过9.8万元，即可得出关于m一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，根据总利润=每台的利润×销售数量，即可得出W关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
小问1详解】
设每台B型净化器的进价是x元，则每台A型净化器的进价是元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：每台A型净化器的进价是2000元，每台B型净化器的进价是1800元．
【小问2详解】
∵购进A型净化器m台，
∴购进B型净化器台，
又∵购买资金不超过9.8万元，
∴，
∴．
依题意：获得的利润，
∵，
∴W随m的增大而增大，
∴当时，W取得最大值，最大值．
答：W的最大值为20800元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式及一次函数关系式．
21. 在平面直角坐标系中，由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图所示，抛物线与抛物线：组成一个“月牙线”，相同的交点分别为M，N（点M在点N的左侧），与y轴的交点分别为A，B，且点A的坐标为．
（1）求M，N两点的坐标及抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为D，当时，试判断三角形的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，点是抛物线上一点，抛物线第三象限上是否存在一点Q，使得，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1），
（2）是等腰三角形，见解析
（3）存在，或
【解析】
【分析】（1）令，求解方程，可求M、N点坐标，设抛物线的解析式为，将点A代入即可求函数的解析式；
（2）求出D点坐标，利用两点间距离公式，得到，即可判断三角形形状；
（3）求出P点坐标，直线的解析式，过点P作轴交于点G，根据所求的P点坐标，分两种情况，利用铅锤法求相应的Q点坐标即可．
【小问1详解】
令，则，
解得或，
∴，
设抛物线的解析式为，
将点代入，得，
解得，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
【小问3详解】
∵存在一点Q，使得，理由如下：
∵点是抛物线上一点，
∴，
解得或，
∴或，
设直线解析式为，
∴，
解得，
∴，
过点P作轴交于点G，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴；
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴；
综上所述：Q点坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，弄清“月牙线”的定义，利用铅锤法求三角形的面积是解题的关键．
22. 中华文明源远流长，如图①是汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的图形，人们称之为赵爽弦图，被誉为中国数学界的图腾．年北京国际数学家大会依据赵爽弦图制作了会标，该图有个全等的直角三角形围成几个大正方形和中间一个小正方形，巧妙的证明了勾股定理．
问题发现：
如图①，若直角三角形的直角边，斜边，则中间小正方形的边长______，连接，的面积为______．
知识迁移：
如图②，是正方形内一点，连接，，，当，时，的面积为______．
拓展延伸：
如图③，已知，以点为圆心，适当长为半径画弧，交射线，分别于，两点．
（1）已知为线段上一个动点，连接，过点作，垂足为点；在上取一点，使；过点作交于点，试判断三条线段，，之间的数量关系，并说明理由．
（2）在（1）的条件下，若为射线上一个动点，为射线上一点；当，时，直接写出线段的长．
【答案】问题发现：1，；
知识迁移：5；
拓展延伸：（1），理由见解析；（2）或
【解析】
【分析】问题发现：先由，，，根据勾股定理求得，再由图中的四个直角三角形全等得，则，；
知识迁移：将绕点沿逆时针方向旋转，得到，则，，可证明，则与的面积相等，由求出的面积即可；
拓展延伸：（1）作于点，先证明四边形是矩形，则，，而，于是得；再证明，得，于是得．
（2）分为两种情况，一是点在线段上，设，则，由，且，列方程得，解方程求出符合题意的值，再证明，根据相似三角形的性质求出的值；二是点在线段的延长线上，则点在线段的延长线上，设，则，可列方程，解方程求出符合题意的的值，再根据相似三角形的性质求出的值即可．
【详解】解：问题发现：如图，连接，
，，，
，
图中的四个直角三角形全等，
，
；
，
，
故答案为：，．
知识迁移：如图，
四边形是正方形，
，，
将绕点沿逆时针方向旋转，得到，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
拓展延伸：（1），理由如下：
如图，作于点，
于点，于点，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
．
当点在线段上，如图③，设，
，
，
，且，
，
解得，不符合题意，舍去，
，，
，，
，
，
．
当点在线段的延长线上，如图④，设，
点在线段的延长线上，且，
，
，
解得，，
，，
，
，
．
综上所述，线段的长为或．
故答案为：或．
【点睛】此题重点考查勾股定理及其应用、正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的解法以及分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．男1
男2
男3
女1
女2
男1
（男1，男2）
（男1，男3）
（男1，女1）
（男1，女2）
男2
（男2，男1）
（男2，男3）
（男2，女1）
（男2，女2）
男3
（男3，男1）
（男3，男2）
（男3，女1）
（男3，女2）
女1
（女1，男1）
（女1，男2）
（女1，男3）
（女1，女2）
女2
（女2，男1）
（女2，男2）
（女2，男3）
（女2，女1）