2022-2023学年 上海市杨浦区国和中学八年级下学期期末数学试卷

这是一份2022-2023学年 上海市杨浦区国和中学八年级下学期期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共6小题，共18分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
下列方程是二项方程的是( )
A. 2x2=0B. x2-x=0C. 12x3-1=0D. y4+2x2=1
下列方程中，有实数根的方程是( )
A. 2x4+1=0B. x3+1=0C. x-1+3=0D. xx-1=1x-1
若直线y=kx+b经过一、二、四象限，则直线y=bx-k的图象只能是图中的( )
A. B. C. D.
如果AB是非零向量，那么下列等式正确的是( )
A. AB=BAB. |AB|=|BA|
C. AB+BA=0D. |AB|+|BA|=0
顺次联结四边形ABCD各边中点得到的四边形是菱形，那么AC与BD只需满足( )
A. 垂直B. 相等C. 互相平分D. 互相平分且垂直
下列命题中，是真命题的是( )
A. 一组对边平行，一组对角互补的四边形是平行四边形
B. 一组对边平行，一组对角互补的四边形是等腰梯形
C. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
D. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是等腰梯形
二、填空题（本大题共12小题，共24分）
若点(3,a)在一次函数y=3x+1的图象上，则a=______．
方程x4-9=0的根是______ ．
方程2x+3=x的解为______．
确定事件的概率是______．
关于x的方程(a-2)x=a2-4(a≠2)的解是______．
已知方程x2+13x-xx2+1=2，如果设xx2+1=y，那么原方程可以变形为关于y的整式方程是______．
从1，2，3，4这四个数字中任取一个数，取出的数为素数的概率是______．
一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，这个多边形是______边形．
如图，已知梯形ABCD中，AB//CD，DE//CB，点E在AB上，且EB=4，若梯形ABCD的周长为24，则△AED的周长为______ ．
如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，对角线AC⊥BD，如果高DE=8cm，那么等腰梯形ABCD的中位线的长为______cm．
如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，将▱ABCD翻折使点B与点D重合，点A落在点E，已知∠AOB=α(α是锐角)，那么∠CEO的度数为______ .(用α的代数式表示)
平行四边形ABCD中，两条邻边长分别为6和8，∠BAD与∠ABC的平分线交于点E，点F是CD的中点，连接EF，则EF=______．
三、解答题（本大题共8小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
(本小题6.0分)
解方程：x+x-3=3
(本小题6.0分)
解方程组：x2+4xy+4y2=9x2+xy=0
(本小题6.0分)
如图，点E在平行四边形ABCD的对角线BD上．
(1)填空：BC-BA=______；BC+DE=______；
(2)求作：AD+AE．
(本小题6.0分)
甲、乙两个工程队要在规定的时间内完成一项工程，甲队单独做可以提前2天完工，乙队单独做要延期5天完成，现在两个工程队先合作4天，余下的由乙队继续去做正好如期完工，求这项工程规定的时间是多少天？
(本小题6.0分)
A、B两地相距600千米，甲、乙两车同时从A地出发驶向B地，甲车到达B地后立即返回，它们各自离A地的距离y(千米)与行驶时间x(时)之间的函数关系图象如图所示．
(1)求甲车行驶过程中y与x之间的函数关系式；
(2)当它们行驶了7小时时，两车相遇，求乙车的速度．
(本小题8.0分)
如图，四边形ABCD中，AD//BC，AD>BC，AB=DC，E是AD.上方一点，分别联结EA、ED、EB、EC，已知EA=ED，点F、G分别是EB、EC与AD的交点．
求证：四边形FBCG是等腰梯形．
(本小题8.0分)
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,4)，点C(5,0)，点B在第一象限内，BA⊥y轴，且AB：OA=3：2．
(1)求直线BC的表达式．
(2)如果点A、B、C、D可以构成平行四边形，求点D的坐标．
(本小题12.0分)
如图，已知在梯形ABCD中，AD//BC，P是下底BC上一动点(点P与点B不重合)，AB=AD=10，BC=24，∠C=45°，45°<∠B<90°，设BP=x，四边形APCD的面积为y．
(1)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
(2)联结PD，当△APD是以AD为腰的等腰三角形时，求四边形APCD的面积．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：12x3-1=0为二项方程．
故选：C．
根据二项方程的定义进行判断即可．
本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．注意理解二项方程的定义．
2.【答案】B
【解析】解：A、整理得：x4=-12，故次方程无解；
B、整理得x3=-1，解得：x=-1，符合题意；
C、整理得x-1=-3，无解，不符合题意；
D、去分母后得x=1，代入最简公分母x-1=0，故次方程无实数根，
故选：B．
利用高次方程、无理方程及分式方程的定义分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了高次方程、无理方程及分式方程的定义的知识，解题的关键是了解有关的定义，难度不大．
3.【答案】B
【解析】解：∵直线y=kx+b经过一、二、四象限，
∴k<0，b>0，
∴-k>0，
∴直线y=bx-k的图象经过一、二、三象限，
∴选项B中图象符合题意．
故选：B．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k<0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限”是解题的关键．由直线经过的象限结合四个选项中的图象，即可得出结论．
4.【答案】B
【解析】解：∵AB是非零向量，
∴|AB|=|BA|，
故选：B．
长度不为0的向量叫做非零向量，本题根据向量的长度及方向易得结果．
本题考查的是非零向量的长度及方向的性质，注意熟练掌握平面向量这一概念．
5.【答案】B
【解析】解：连接AC、BD，
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF=12AC，
同理可得，FG=12BD，GH=12AC，EH=12BD，
当AC=BD时，EF=FG=GH=EH，
∴四边形ABCD为菱形，
∴顺次联结四边形ABCD各边中点得到的四边形是菱形，只需满足AC=BD，
故选：B．
连接AC、BD，根据三角形中位线定理得到EF=12AC，FG=12BD，GH=12AC，EH=12BD，根据菱形的判定定理解答即可．
本题考查的是菱形的判定、三角形中位线定理，熟记三角形中位线定理、菱形的判定定理是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：一组对边平行，一组对角互补的四边形不一定是平行四边形，故A是假命题，不符合题意；
一组对边平行，一组对角互补的四边形不一定是等腰梯形，故B是假命题，不符合题意；
一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，故C是真命题，符合题意；
一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，故D是假命题，不符合题意；
故选：C．
根据平行四边形，等腰梯形的判定，逐项判断即可．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行四边形，等腰梯形的判定．
7.【答案】10
【解析】解：把点(3,a)代入一次函数y=3x+1
得：a=9+1=10．
故填10．
把点(3,a)代入一次函数y=3x+1，求出y的值即可．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上的点的坐标一定适合此函数的解析式．
8.【答案】x=3或x=-3
【解析】
【分析】
本题考查了解一元高次方程，解题的关键是将方程左边因式分解，把原方程降次，化为一元二次方程．
将左边因式分解，降次后化为两个一元二次方程即可解得答案．
【解答】
解：由x4-9=0得(x2+3)(x2-3)=0，
∴x2+3=0或x2-3=0，
而x2+3=0无实数解，
解x2-3=0得x=3或x=-3，
故答案为：x=3或x=-3．
9.【答案】x=3
【解析】
【分析】
首先把方程两边分别平方，然后解一元二次方程即可求出x的值．
本题主要考查解无理方程，关键在于首先把方程的两边平方，注意最后要把x的值代入原方程进行检验．
【解答】
解：两边平方得：2x+3=x2
∴x2-2x-3=0，
解方程得：x1=3，x2=-1，
检验：当x1=3时，方程的左边=右边，所以x1=3为原方程的解，
当x2=-1时，原方程的左边≠右边，所以x2=-1不是原方程的解．
故答案为：x=3．
10.【答案】0或1
【解析】解：确定事件包括必然事件和不可能事件，
必然事件的概率为1，
不可能事件的概率为0，
故答案为0或1．
确定事件包括必然事件和不可能事件，再根据必然事件和不可能事件的概率解答即可．
本题主要考查了确定事件的定义，确定事件包括必然事件与不可能事件，难度适中．
11.【答案】x=a+2
【解析】解：∵a≠2，
∴a-2≠0，
∵(a-2)x=a2-4(a≠2)，
∴(a-2)x÷(a-2)=(a2-4)÷(a-2)，
∴x=a+2．
故答案为：x=a+2．
根据a≠2，可得：a-2≠0，把关于x的方程(a-2)x=a2-4(a≠2)的两边同时除以a-2，求出方程的解即可．
此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
12.【答案】3y2+6y-1=0
【解析】解：设xx2+1=y，
原方程变形为：13y-y=2，
化为整式方程为：3y2+6y-1=0，
故答案为3y2+6y-1=0．
根据xx2+1=y，把原方程变形，再化为整式方程即可．
本题考查了用换元法解分式方程，掌握整体思想是解题的关键．
13.【答案】12
【解析】解：1，2，3，4这四个数字中素数有2和3共2个，
∴从1，2，3，4这四个数字中任取一个数，取出的数为素数的概率是24=12，
故答案为：12．
用素数的个数除以数据总数即可求得答案．
本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】十
【解析】解：设这个多边形有n条边．
由题意得：(n-2)×180°=360°×4，
解得n=10．
则这个多边形是十边形．
故答案为：十．
一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，而外角和是360°，则内角和是4×360°.n边形的内角和可以表示成(n-2)⋅180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．
本题考查了多边形内角与外角，已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．
15.【答案】16
【解析】解：∵AB//CD，DE//CB，
∴四边形EBCD是平行四边形，EB=4，
∴EB=CD=4，ED=BC，
又∵梯形ABCD的周长为24，
∴AB+BC+CD+AD=24，EB+CD=8，
∴AE+BC+AD=16，
∴AE+DE+AD=16，
即△AED的周长为16；
故答案为：16．
因为AB//CD，DE//CB，所以，四边形EBCD是平行四边形，则EB=CD=4，ED=BC，又梯形ABCD的周长为24，即AB+BC+CD+AD=24，所以，AE+BC+AD=16，即AE+DE+AD=16；
本题主要考查了梯形和平行四边形的性质，把△AED的周长看作一个整体，通过等量代换求出，本题蕴含了整体思想．
16.【答案】8
【解析】解：过D点作DF//AC交BC的延长线于F，如图，
∵梯形ABCD为等腰梯形，
∴AC=BD，
∵AD//BC，DF//AC，
∴四边形ACFD为平行四边形，
∴DF=AC=BD，AD=CF，
∵AC⊥BD，
∴DF⊥BD，
∴△DBF为等腰直角三角形，
∵DE⊥BC，
∴DE=12BF=12(BC+CF)=12(BC+AD)=8cm，
∴等腰梯形ABCD的中位线的长=12(BC+AD)=8cm．
故答案为8．
过D点作DF//AC交BC的延长线于F，如图，根据等腰梯形的性质得到AC=BD，再证明四边形ACFD为平行四边形得到DF=AC=BD，AD=CF，接着判断△DBF为等腰直角三角形，所以DE=12BF=12(BC+AD)=8cm，然后根据梯形的中位线定理求解．
本题考查了梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．也考查了等腰梯形的性质．通过平移把两条对角线组成一个三角形的两边是解决问题的关键．
17.【答案】90°-α
【解析】解：如图所示：
由折叠的性质可得：∠AOB=∠EOF=∠COF，OE=OA=OC，
在△OEF和△OCF中，
OE=OC∠EOF=∠COFOF=OF，
∴△OEF≌△OCF(SAS)，
∴∠OFE=∠OFC=90°，
∵∠AOB=α，
∴∠EOF=α，
∴∠CEO=90°-α．
故答案为：90°-α．
先画出图形，由折叠的性质证明△OEF≌△OCF，继而可得△OEF是直角三角形，∠OFE=90°，根据∠AOB=α，可求∠CEO的度数．
本题考查了翻折变换的性质以及平行四边形的性质，解决问题的关键是掌握：翻折前后对应边相等、对应角相等，解题时注意：平行四边形的对角线互相平分．
18.【答案】5或2
【解析】解：①如图1中，当AB=6，BC=8时，延长AE交BC于M．

∵AD//BC，
∴∠DAM=∠AMB，
∵∠DAM=∠BAM，
∴∠BAM=∠AMB，
∴AB=BM=6，
∴CM=BC-BM=2，
∵∠DAB+∠ABC=180°，
∴∠EAB+∠EBA=12∠DAB+12∠ABC=90°，
∴∠AEB=90°，
∴BE⊥AM，
∵BA=BM，
∴AE=EM，
∵DF=CF，
∴EF=AD+CM2=5；
②如图2中，当AB=8，BC=6时，

同法可证，AE=EM，CM=BM-BC=AB-BC=2，
可得EF=12(AD-CM)=2，
综上所述，EF的长为5或2．
故答案为：5或2．
分两种情形分别求解即可解决问题：①如图1中，当AB=6，BC=8时，延长AE交BC于M.②如图2中，当AB=8，BC=6时；由直角三角形的性质，梯形的中位线定理可得出答案．
本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、梯形的中位线定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构建梯形中位线解决问题，属于中考常考题型．
19.【答案】解：整理得x-3=3-x，
两边平方得x-3=9-6x+x2，
(x-3)(x-4)=0，
解得：x=3或4．
经检验x=3是原方程的解．
【解析】可把不带根号的式子整理到一边，两边平方，化为整式方程求解．
本题考查无理方程的求法，注意无理方程需验根．
20.【答案】解：x2+4xy+4y2=9 ①x2+xy=0 ②
由①得：(x+2y)2=9，
x+2y=±3，
由②得：x(x+y)=0，
x=0，x+y=0，
即原方程组化为：x+2y=3x=0，x+2y=3x+y=0，x+2y=-3x=0，x+2y=-3x+y=0，
解得：x=0y=1.5，x=-3y=3，x=0y=-1.5，x=3y=-3,
所以原方程组的解为：x=0y=1.5，x=-3y=3，x=0y=-1.5，x=3y=-3．
【解析】先把原方程组的每个方程化简，这样原方程组转化成四个方程组，求出每个方程组的解即可．
本题考查了解二元一次方程组和解高次方程组，能把高次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．
21.【答案】AC AE
【解析】解：(1)BC-BA=AC；BC+DE=AE．
故答案为：AC，AE；
(2)如图，AT即为所求．
(1)利用三角形法则求解即可；
(2)根据三角形法则作出图形即可．
本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，三角形法则等知识，解题的关键是掌握三角形法则，属于中考常考题型．
22.【答案】解：设这项工程规定的时间是x天，则甲队单独做需要(x-2)天完工，乙队单独做要(x+5)天完成，
由题意得：4x-2+xx+5=1，
解得：x=30，
经检验，x=30是原方程的解，且符合题意，
答：这项工程规定的时间是30天．
【解析】设这项工程规定的时间是x天，则甲队单独做需要(x-2)天完工，乙队单独做要(x+5)天完成，由题意：两个工程队先合作4天，余下的由乙队继续去做正好如期完工，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23.【答案】解：(1)当0≤x≤6时，设甲车行驶过程中y与x之间的函数关系式为y=mx，
把(6,600)代入y=mx，
6m=600，
解得m=100，
∴y=100x；
当6把(6,600)、(14,0)代入y=kx+b，
得6k+b=60014k+b=0，
解得，k=-75b=1050，
∴y=-75x+1050；
即甲车行驶过程中y与x之间的函数关系式为：y=100x0≤x≤6-75x+1050 6(2)当x=7时，y=-75x+1050，
解得，y=-75×7+1050=525，
525÷7=75(千米/时)，
即乙车的速度为75千米/时．
【解析】【试题解析】
(1)根据函数图象可以得到甲车行驶过程中y与x之间的函数关系式；
(2)根据(1)求得函数解析式，可以得到当x=7时的y值，然后用求得的y值除以7即可求得乙车的速度．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
24.【答案】证明：∵AB=DC，
∴∠BAD=∠CDA，
∵EA=ED，
∴∠EAD=∠EDA，
∵∠EAB=∠BAD+∠EAD，∠EDC=∠CDA+∠EDA，
∴∠EAB=∠EDC，
在△ABE和△CDE中，
AB=CD∠EAB=∠EDCEA=ED，
∴△ABE≌△CDE(SAS)，
∴EB=EC，
∴∠EBC=∠ECB，
∵AD//BC，
∴∠EBC=∠EFG，∠ECB=∠EGF，
∴∠EFG=∠EGF，
∴EF=EG，
∴FB=GC，
∵FG//BC，
∴四边形FBCG是等腰梯形．
【解析】证明△ABE≌△CDE(SAS)，可得EB=EC，然后根据平行线的性质可得∠EFG=∠EGF，所以EF=EG，进而可以解决问题．
本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行线的性质，是基础知识要熟练掌握．
25.【答案】解：(1)∵AB：OA=3：2，A(0,4)，
∴BA=6，
∵BA⊥y轴，
∴B(6,4)，
设直线BC的表达式为y=k x+b(k≠0)，
则6k+b=45k+b=0，
解得k=4b=-20，
∴直线BC的表达式为y=4x-20；

(2)当AB是平行四边形的边时，
∵AB//CD，AB=CD=6，
∴点C(5,0)，
∴D(-1,0)或(11,0)；
当AB是平行四边形的对角线时，则AD//BC，AD=BC，
∵A(0,4)，
∴D(1,8)．
综上，点D的坐标为(-1,0)或(11,0)或(1,8)．
【解析】(1)根据题意求出点B的坐标，运用待定系数法即可求出直线BC的表达式；
(2)分情况讨论：①AB是平行四边形的边时；②当AB是平行四边形的对角线时，分别根据平行四边形的性质解答即可．
本题主要考查了一次函数的应用，平行四边形的性质，会运用待定系数法求一次函数的解析式是解答本题的关键．
26.【答案】(1)解：作AH⊥BC于H.设AH=h．
由题意：102-h2+10+h=24，
整理得：h2-14h+48=0，
解得h=8或6(舍弃)，
∴y=12(10+24-x)×8，即y=-4x+136(0(2)解：①当AP=AD=10时，∵AB=AD=10，
∴AP=AB=10，
∵BH=6，
∴BP=2BH=12，
即x=12，
∴y=88．
②当PD=AD=10时，四边形ABPD是平行四边形或等腰梯形，
∴BP=AD=10或BP=2BH+AD=22，
即x=10或22，
∴y=96或48，
综上所述，四边形APCD的面积为88或96或48．
【解析】(1)作AH⊥BC于H.设AH=h.构建方程求出h即可解决问题．
(2)分两种情形分别讨论求解即可；
本题考查梯形、等腰三角形的性质勾股定理、一次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．