2022-2023学年上海市杨浦区杨浦民办凯慧初级中学八年级下学期期末数学试题

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1. 下列四个点中，在函数y=3x+1的图像上的是（ ）
A. （－1，2）B. （0，－1）C. （1，4）D. （2，－7）
【答案】C
【解析】
【分析】只要把点的坐标代入一次函数的解析式，若左边=右边，则点在函数的图象上，反之就不在函数的图象上，代入检验即可．
【详解】解：A、把（-1，2）代入y=3x+1得：左边=2，右边=3×（-1）+1= -2，左边≠右边，故A选项错误；
B、把（0，-1）代入y=3x+1得：左边= -1，右边=3×0+1=1，左边≠右边，故B选项错误；
C、把（1，4）代入y=3x+1得：左边=4，右边=3×1+1=4，左边=右边，故C选项正确；
D、把（2，-7）代入y=3x+1得：左边= -7，右边=3×2+1=7，左边≠右边，故D选项错误．
故选C．
【点睛】本题考查对一次函数图象上点的坐标特征的理解和掌握，能根据点的坐标判断是否在函数的图象上是解题关键．
2. 已知一次函数的图象经过一、二、四象限，则下列判断中正确的是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象在坐标平面内位置确定k,b的取值范围
【详解】∵一次函数y=kx+b的图象经过一、二、四象限
∴.k＜0,b>0,
故选B.
【点睛】此题考查一次函数图象与系数的关系，解题关键在于判断出函数经过的象限
3. 下列说法：①“明天的降水概率为80%”是指明天有80%的时间在下雨；②连续抛一枚硬币50次，出现正面朝上的次数一定是25次（ ）
A. 只有①正确B. 只有②正确C. ①②都正确D. ①②都错误
【答案】D
【解析】
【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生．
【详解】①“明天的降水概率为80%”是指是指明天下雨的可能性是80%，不是有80%的时间在下雨，故①错误；
②“连续抛一枚硬币50次，出现正面朝上的次数一定是25次”，这是一个随机事件，抛一枚硬币，出现正面朝上或者反面朝上都有可能，但事先无法预料，故②错误；
①和②都是错误的．
故选D．
【点睛】本题考查概率的相关概念．不确定事件是可能发生也可能不发生的事件．正确理解随机事件、不确定事件的概念是解决本题的关键．
4. 关于x的一元一次方程，下列对于该方程的解的说法中，正确的是（ ）
A. 该方程一定有实数解B. 该方程一定没有实数解
C. 该方程不一定有实数解D. 上述说法都不对
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元一次方程的解法即可求出答案．
【详解】解：当时，有实数解，
当时，无实数解，
∴该方程不一定有实数解．
∴故选：C．
【点睛】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的解法步骤，本题属于基础题型．
5. 下列等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面向量的性质，一一判断即可．
【详解】解：（B）原式，故B错误；
（C），故C错误；
（D）原式，故D错误；
故选：A．
【点睛】考查了平面向量的知识，属于基础题，掌握平面向量的性质和相关运算法则即可解题．
6. 在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列各组条件，其中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A. OA＝OC，OB＝ODB. OA＝OC，AB∥CD
C. AB＝CD，OA＝OCD. ∠ADB＝∠CBD，∠BAD＝∠BCD
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定方法得出A、B、D正确，C不正确；即可得出结论．
【详解】解：A.∵ OA＝OC，OB＝OD
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∴A正确，故本选项不符合要求；
B. ∵AB∥CD
∴∠DAO=∠BCO，
在△DAO与△BCO中，
∴△DAO≌△BCO（ASA），
∴OD=OB，
又OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∴B正确，故本选项不符合要求；
C. 由 AB=DC， OA=OC，
∴无法得出四边形ABCD是平行四边形．故不能能判定这个四边形是平行四边形，符合题意；∵AB∥DC，
D.∵∠ADB=∠CBD，∠BAD=∠BCD
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形），∴D正确，故本选项不符合要求；故选C．
【点睛】本题考查平行四边形的判定方法；熟练掌握平行四边形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共12小题）
7. 直线在y轴上的截距为________．
【答案】
【解析】
【分析】当时，进行计算即可得．
【详解】解：当时，，
则直线在y轴上的截距为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图像与x轴、y轴交点，解题的关键是掌握一次函数的性质．
8. 一次函数的图象经过点（0，3），且与直线y＝﹣2x+1平行，那么这个一次函数的解析式是 _____．
【答案】y＝﹣2x+3
【解析】
【分析】设一次函数的解析式为y=kx+b，由题可知，k=-2，再代入点（0，3）求出b，进而得出一次函数解析式．
【详解】解：设一次函数解析式是y＝kx+b，
∵该一次函数与直线y＝﹣2x+1平行，
∴k＝﹣2．
∵一次函数的图象经过点（0，3），
∴0+b=3，
解得b＝3，
∴一次函数的解析式是y＝﹣2x+3．
故答案为：y＝﹣2x+3．
【点睛】本题考查求一次函数解析式，熟练掌握一次函数的性质以及定义是解决问题的关键．
9. 已知一次函数，点，在图象上，则______填“”或“”．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用一次函数的增减性进而分析得出答案．
【详解】一次函数，
随x的增大而减小，
点，在图象上，
．
故答案为．
【点睛】此题主要考查了一次函数的性质，正确掌握一次函数的增减性是解题关键．
10. 一次函数y=kx+b的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】解：根据图象和数据可知，当y>0即图象在x轴的上方，．
故答案为．
11. 方程的实数解为________．
【答案】
【解析】
【分析】利用立方根的概念即可求解．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查立方根的概念，解题时注意一个实数只有一个立方根，区分立方根和平方根的求解是本题解题关键．
12. 方程=0的解为__________．
【答案】
【解析】
【分析】将原方程两边平方得出关于x的整式方程，解之求得x的值，再由二次根式有意义的条件可确定x的最终结果．
【详解】解：将原方程两边平方得（x−5）（x−4）＝0，
则x−5＝0或x−4＝0，
解得：x＝5或x＝4，
∵x−5≥0，
x−4≥0，
解得：x≥5，
∴x＝5，
故答案为x＝5．
【点睛】本题主要考查解无理方程，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．
13. 把二次方程转化成两个一次方程，那么这两个一次方程是_______和_______．
【答案】 ①. ②. x－3－y=0
【解析】
【分析】根据完全平方公式与平方差公式因式分解即可求解．
【详解】解：，，
，．
故答案为：，x－3－y=0．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解二次方程，掌握因式分解是解题的关键．
14. 从﹣2，﹣1，1，2四个数中，随机抽取两个数相乘，积为正数的概率是_____．
【答案】
【解析】
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到积为大于-4小于2的结果数，根据概率公式计算可得．
【详解】解：列表如下：
由表可知，共有12种等可能结果，其中积为正数的有4种结果，
∴积为正数的概率是，
故答案为．
【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15. 如果一个多边形的内角和等于720º，那么这个多边形的边数是___________．
【答案】6
【解析】
【分析】n边形的内角和可以表示成（n－2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数即可．
【详解】解：设这个多边形的边数是n，
则（n－2）•180°＝720°，
解得：n＝6，
则这个多边形的边数是6．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查多边行的内角和定理，解题的关键是熟练掌握n边形的内角和公式（n－2）×180．
16. 如图，在▱ABCD中，AC=AD，∠D=72°，BE⊥AC，垂足为E，则∠ABE=______．
【答案】18°
【解析】
【分析】由等腰三角形的性质得出∠ACD=∠D=72°，由平行四边形的性质得出AB∥CD，得出∠BAE=∠ACD=72°，由直角三角形的性质即可得出∠ABE的度数．
【详解】∵AC=AD，
∴∠ACD=∠D=72°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAE=∠ACD=72°，
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE=90°-∠BAE=18°；
故答案为18°．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质；熟练掌握平行四边形和等腰三角形的性质是解题的关键．
17. 如果顺次联结四边形ABCD各边中点所得的四边形是矩形，那么对角线AC与BD需满足的条件是__．
【答案】AC⊥BD
【解析】
【分析】这个四边形ABCD的对角线AC和BD的关系是互相垂直．理由为：根据题意画出相应的图形，如图所示，由四边形EFGH为矩形，根据矩形的四个角为直角得到∠FEH＝90°，又EF为三角形ABD的中位线，根据中位线定理得到EF与DB平行，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠EMO＝90°，同理根据三角形中位线定理得到EH与AC平行，再根据两直线平行，同旁内角互补得到∠AOD＝90°，根据垂直定义得到AC与BD垂直．
【详解】证明：∵四边形EFGH是矩形，
∴∠FEH＝90°，
又∵点E、F、分别是AD、AB、各边的中点，
∴EF是三角形ABD的中位线，
∴EF∥BD，
∴∠FEH＝∠OMH＝90°，
又∵点E、H分别是AD、CD各边的中点，
∴EH是三角形ACD的中位线，
∴EH∥AC，
∴∠OMH＝∠COB＝90°，
即AC⊥BD．
故答案为：AC⊥BD．
【点睛】此题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，以及平行线的性质．这类题的一般解法是：借助图形，充分抓住已知条件，找准问题的突破口，由浅入深多角度，多侧面探寻，联想符合题设的有关知识，合理组合发现的新结论，围绕所探结论环环相加，步步逼近，所探结论便会被“逼出来”．
18. 如图，梯形ABCD中对角线，，，点E为BC边上一点，如果，那么BE：BC=_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据平行线与等腰三角形证明，进而证明，得到AD=DF，再证明EF=CE，根据线段的和差关系求得CE，进而得到BE即可得出答案．
【详解】，，
∵梯形ABCD中，，
，
，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查梯形的性质，等腰三角形的性质与判断，互余的性质，求出CE的长是关键．
三、解答题（本大题共9小题）
19. 解方程：．
【答案】x=4
【解析】
【分析】将方程两边平方整理得到关于x的含有根号的无理方程，再次将方程两边平方得到一个一元一次方程，然后求解即可
【详解】
经检验是原方程的根，
所以原方程的根为．
【点睛】本题考查了无理方程，一元一次方程的解法，完全平方公式，二次根式的混合运算，转化无理方程为一元二次方程是解题的关键．
20. 解方程组：
【答案】
【解析】
【分析】先对方程①②分解因式转化为两个一元一次方程，然后联立，组成4个二元一次方程组，解之即可．
【详解】，
由①得 （x+y）（x-2y）=0，
∴x+y=0或x-2y=0，
由②得 （x+y）2=1，
∴x+y=1或x+y=-1，
所以原方程组化为或或或，
所以原方程组的解为．
【点睛】本题考查了高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．
21. 如图1，由单位小正方形拼成的的大正方形中．已知，，．
（1）在图2中求作，使得．（写出结果，不要求写作法）
（2）在图3中求作，使得．（写出结果，不要求写作法）
【答案】（1）画图见解析
（2）画图见解析
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理与网格的特点求得的长，根据三角形法则即可求解．
（2）根据三角形法则可得=，进而表示出即可求解．
【小问1详解】
解：如图2中，为所求．
【小问2详解】
如图3中，=，，为所求．
【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，网格作图，掌握三角形法则以及多边形法则是解题的关键．
22. 儿童节前，某玩具商店根据市场调查，用3000元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，接着又用5400元购进第二批这种玩具，所购数量比第一批增加了30件，但每套进价多了10元．已知两次购入的玩具数都没有超过100件，求第一批玩具每套的进价．
【答案】50元
【解析】
【分析】设第一批玩具每套的进价为x元，则第二批玩具每套的进价为（x＋10）元，根据数量＝总价÷单价，结合第二批比第一批多购进30套，解之经检验后即可得出x的值，再结合两次购入的玩具数都没有超过100套，即可确定x的值．
【详解】解：设第一批玩具每套的进价为x元，则第二批玩具每套的进价为元，
依题意得，整理得：，即，
解得：，，
经检验，，均为原方程的解，
又∵两次购入的玩具数都没有超过100套，进价为元时，第一批第二批购进玩具均超过100件，
不合题意，舍去．
答：第一批玩具每套的进价为50元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，读懂题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23. 小明从A地出发向B地行走，同时晓阳从B地出发向A地行走，小明、晓阳离A地的距离y（千米）与已用时间x（分钟）之间的函数关系分别如图中、所示．
（1）小明与晓阳出发几分钟时相遇？
（2）求晓阳到达A地的时间．
【答案】（1）12分钟
（2）20分钟
【解析】
【分析】（1）由图可知当二人离A地的距离时，两人相遇，根据图像求出的解析式，再代入即可得出答案；
（2）根据图象求出晓阳的速度，再根据路程公式即可得出晓阳到达A地的时间．
【小问1详解】
解：设的解析式为：．
∵函数的图象过，
，
即，
，
当时，，
∴小明与晓阳出发12分钟时相遇．
【小问2详解】
解：∵晓阳的速度为（千米/分钟），
∴晓阳到达A地的时间为分钟．
【点睛】本题考查利用一次函数图象解决路程问题，分析图象中点的坐标的实际意义是本题解题关键．
24. 如图，在△ABC中，点D是AB边上一点，AC＝AD，连接CD．点O是CD中点，连接AO并延长AO交BC于点E，连接ED．过点D作DF∥BC交AE于点F，连接CF．求证：四边形CEDF是菱形．
【答案】见解析．
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质得到，得到，根据全等三角形的性质得到，求得，于是得到结论．
【详解】解：，点是中点，
，
，
，
，
，
，
与中，
，
，
，
，
四边形是菱形．
【点睛】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
25. 如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，BE平分∠ABC，交CD于点E，F是AB的中点，联结AE、EF，且AE⊥BE．
求证：（1）四边形BCEF菱形；（2）BE•AE=2AD•BC．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的性质可得出∠ABE=∠CBE，由直角三角形斜边上中线等于斜边的一半可得出EF=BF=AB，进而可得出∠FEB=∠FBE=∠CBE，由“内错角相等，两直线平行”可得出EF∥BC，结合AB∥CD可得出四边形BCEF是平行四边形，再由邻边EF=BF即可证出四边形BCEF是菱形；
（2）根据菱形的性质可得出BC=BF，结合BF=AB可得出AB=2BC，由AB∥CD可得出∠DEA=∠EAB，结合∠D=∠AEB=90°可证出△EDA∽△AEB，根据相似三角形的性质可得出BE•AE=AD•BA，代入BA=2BC即可证出结论．
【详解】（1）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE．
∵AE⊥BE，
∴∠AEB=90°．
∵F是AB的中点，
∴EF=BF=AB，
∴∠FEB=∠FBE=∠CBE，
∴EF∥BC．
∵AB∥CD，
∴四边形BCEF是平行四边形．
∵EF=BF，
∴四边形BCEF是菱形．
（2）∵四边形BCEF是菱形，
∴BC=BF．
∵BF=AB，
∴AB=2BC．
∵AB∥CD，
∴∠DEA=∠EAB．
∵∠D=∠AEB=90°，
∴△EDA∽△AEB，
∴=，
∴BE•AE=AD•BA，
∴BE•AE=2AD•BC．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行线的判定与性质、梯形以及直角三角形，解题的关键是：（1）熟练掌握菱形的判定定理；（2）利用两角对应相等两三角形相似找出△EDA∽△AEB．
26. 如图，平面直角坐标系xOy中，直线AB过点，，交y轴于点C，点在点C上方．连接AD，BD．
（1）求直线AB的表达式．
（2）当时，在第一象限内求作点P，使得，且．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）过点D在第一象限内作PD∥x轴，且PD=2OB，连接PB，则点P即为所求，理由：根据，可得点D的坐标，从而得到点P的坐标，再利用勾股定理以及逆定理可得，，即可．
【小问1详解】
解：设直线AB的解析式为：，
把点，代入得，
，解得：，
∴直线AB的解析式为：．
【小问2详解】
解：过点D在第一象限内作PD∥x轴，且PD=2OB，连接PB，则点P即为所求，理由如下：
当x=0时，
∴，
，
的面积，
∵
∴，
，
，
∵点B（2，0），
∴OB=2，
∴PD=4，
，点P（4，2），
三等腰直角三角形，
，
∴，
∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，勾股定理及其逆定理等知识，熟练掌握利用待定系数求一次函数解析式，勾股定理及其逆定理等知识是解题关键．
27. 如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．
（I）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长；
（Ⅱ）判断CF与AC有怎样的位置关系并说明理由．
【答案】（I）AP的长为4或5或；（Ⅱ）CF⊥AC，理由详见解析
【解析】
【分析】（I）先利用勾股定理求出AC，再分三种情况：CP＝CD，PD＝PC，DP＝DC分情况讨论计算即可得出结论；
（Ⅱ）连接PF，DE，PF与DE的交点为O，连接OC，根据矩形的性质得出∠BCD＝90°，OE＝OD，OP＝OF＝PF，PF＝DE，然后利用直角三角形斜边中线的性质得出OC＝OP＝OF，从而有∠OCF＝∠OFC，∠OCP＝∠OPC，利用三角形内角和定理即可得出∠PCF＝90°，则可证明CF⊥AC．
【详解】解：（I）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠ADC＝90°，
∴DC＝AB＝6，
∴AC＝＝10，
要使△PCD是等腰三角形，
①当CP＝CD时，AP＝AC﹣CP＝10﹣6＝4，
②当PD＝PC时，∠PDC＝∠PCD，
∵∠PCD+∠PAD＝∠PDC+∠PDA＝90°，
∴∠PAD＝∠PDA，
∴PD＝PA，
∴PA＝PC，
∴AP＝AC＝5，
③当DP＝DC时，如图1，过点D作DQ⊥AC于Q，则PQ＝CQ，
∵S△ADC＝AD•DC＝AC•DQ，
∴DQ＝＝，
,
,
∴CQ＝＝，
∴PC＝2CQ＝，
∴AP＝AC﹣PC＝10﹣＝；
所以，若△PCD是等腰三角形时，AP的长为4或5或；
（Ⅱ）CF⊥AC，理由如下：
如图2，连接PF，DE， PF与DE的交点为O，连接OC，
∵四边形ABCD和PEFD是矩形，
∴∠BCD＝90°，OE＝OD，OP＝OF＝PF，PF＝DE，
∴OC＝ED，
∵PF＝DE，
∴OC＝PF，
∵OP＝OF＝PF，
∴OC＝OP＝OF，
∴∠OCF＝∠OFC，∠OCP＝∠OPC，
∵∠OPC+∠OFC+∠PCF＝180°，
∴2∠OCP+2∠OCF＝180°，
∴∠PCF＝90°，
∴CF⊥AC．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的定义及性质，直角三角形斜边中线的性质，分情况讨论是解题的关键．-2
-1
1
2
-2
2
-2
-4
-1
2
-1
-2
1
-2
-1
2
2
-4
-2
2