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河南省开封市五县2022-2023学年高三下学期开学考试文科数学试题（Word版附解析）
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这是一份河南省开封市五县2022-2023学年高三下学期开学考试文科数学试题（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本试卷主要命题范围等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效．
4．本试卷主要命题范围：高考范围．
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，求出函数定义域化简集合M，再利用交集的定义求解作答.
【详解】函数有意义，则，解得，即，而，
所以.
故选：B
2. 复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数乘方及除法求出复数，再求出对应点的坐标作答.
【详解】依题意，，
所以复数在复平面内对应的点位于第一象限.
故选：A
3. 已知函数的图象在点处的切线与直线平行，则该切线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出函数的导数，借助导数的几何意义求出a值，进而求出切线方程作答.
【详解】函数，求导得：，依题意，，解得，
即有，，
所以函数的图象在点处的切线为：，即，符合题意.
故选：C
4. 我国传统剪纸艺术历史悠久，源远流长，最早可追溯到西汉时期．下图是某一窗花的造型，在长为3，宽为2的矩形中有大小相同的两个圆，两圆均与矩形的其中三边相切，在此矩形内任取一点，则该点取自两圆公共（图中阴影）部分的概率为（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据几何概型的概率计算公式，只需要求出阴影部分面积及矩形面积即可得到答案．
【详解】如图，矩形面积为，
因为两圆半径相等，结合两圆的位置及圆的对称性可得为等边三角形，
阴影部分面积为，
所以，在此矩形内任取一点，则该点取自两圆公共（图中阴影）部分的概率为
．
故选：C．
5. 古代名著《九章算术》中记载了求“方亭”体积的问题，方亭是指正四棱台，今有一个方亭型的水库，该水库的下底面的边长为20km，上底面的边长为40km，若水库的最大蓄水量为，则水库深度（棱台的高）为（ ）
A. 10mB. 20m
C. 30mD. 40m
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可知：该水库是一个正四棱台，已知正四棱台的体积为，上下底面边长分别为40km和20km，求正四棱台的高，同一单位，代入体积计算公式即可求解.
【详解】因为正四棱台上下底面边长分别为40km和20km，设高，
因为，，由棱台的体积计算公式可得：
，解得：，
故选：.
6. 已知抛物线C：，过焦点F的直线与C在第四象限交于M点，则（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可知：焦点坐标为，设点，利用直线的斜率可得，再利用抛物线的定义即可求解.
【详解】因为直线过抛物线C：的焦点，则，
所以，，抛物线方程为，因为在抛物线上且在第四象限，设点，则，解得：，由抛物线的定义可知：，
故选：.
7. 执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为（ ）
A. 14B. 15C. 16D. 17
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，运行程序，依次计算即可判断作答.
【详解】第1次循环，；第2次循环，；
第3次循环，；第4次循环，；
第5次循环，；第6次循环，；
第7次循环，；第8次循环，；
第9次循环，；第10次循环，；
第11次循环，；第12次循环，；
第13次循环，；第14次循环，；
第15次循环，，结束循环，输出，
所以输出的k的值为15.
故选：B
8. 某部门统计了某地区今年前7个月在线外卖的规模如下表：
其中4、6两个月的在线外卖规模数据模糊，但这7个月的平均值为23．若利用回归直线方程来拟合预测，且7月相应于点的残差为，则（ ）
A. 1.0B. 2.0C. 3.0D. 4.0
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，求出，再借助回归直线的特征及残差列出方程组即可求解作答.
【详解】依题意，，而，于是得，
而当时，，即，联立解得，
所以.
故选：B
9. 已知等比数列的前4项和为30，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，求出等比数列的首项及公比，即可计算作答.
【详解】设等比数列的公比为，依题意，，而，解得，
数列的前4项和为，即，解得，
所以.
故选：C
10. 记函数的最小正周期为T，若，且函数的图象关于点对称，则当取得最小值时，（ ）
A. 2B. 1C. －1D. －2
【答案】D
【解析】
【分析】由及的图象关于对称列出关系式，求出，，再由的图象关于对称可求的最小值，从而可求的值．
【详解】由已知得，
因为函数的图象关于对称，所以，
所以，所以，
又因为，所以，，
由的图象关于对称得，
所以，即有，
又因为，所以当最小时，，此时，
所以，
故选：D．
11. 已知双曲线C：的左焦点为F，过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，与C交于P，Q两点，若P，F，Q四等分线段AB，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，可得直线AB与双曲线C的左支交于两点，再结合双曲线对称性求出直线AB的方程，进而求出点A坐标，利用AF中点在双曲线C上求解作答.
【详解】双曲线C：的渐近线，令半焦距为c，则，
因为直线AB与双曲线C的两个交点P，Q在线段AB上，则直线AB与双曲线C的左支相交，
因为点P，F，Q四等分线段AB，则由双曲线对称性得，直线AB垂直于x轴，直线AB的方程为，
不妨令点A在第二象限，由得点，显然线段的中点在双曲线C上，
则有，即，解得，
所以双曲线C的离心率.
故选：A
12. 已知球O的半径为2，四棱锥的顶点均在球O的球面上，当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，确定四棱锥体积最大时为正四棱锥，设出底面外接圆半径，求出体积函数式，再利用导数求解作答.
【详解】令球O的内接四棱锥为，四边形外接圆半径为，对角线的夹角为，
则四边形的面积，
当且仅当，即四边形为正方形时取等号，
由球的结构特征知，顶点P为直线与球面O的交点，并且球心O在线段上，四棱锥的高最大，如图，
，高，
因此四棱锥的最大体积关系式为：，令，
则，
求导得，当时，，当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，当时，，此时，
所以当该四棱锥的体积最大时，其高为.
故选：D
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量，，若，则实数___________．
【答案】##1.25
【解析】
【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算和共线向量坐标表示求解作答.
【详解】向量，，则，而，
则有，解得，
所以实数.
故答案为：
14. 记为等差数列的前n项和，已知，，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】设出等差数列的公差，根据已知列出方程组，求出首项胶公差，再求出作答.
【详解】设等差数列的公差为，依题意，，解得，
所以.
故答案为：
15. 写出与圆和都相切的一条直线的方程___________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据给定圆的方程，判断两圆的位置关系，再写出一条公切线方程作答.
【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
则，因此圆相外切，它们有3条公切线，而轴，，
则两圆的每条公切线斜率都存在，设公切线方程为，为常数，
于是得，整理得或，
解得，解得：或，
因此圆的公切线方程为：或或，
所以与圆和都相切一条直线的方程可以为.
故答案为：
16. 已知函数（a，且）是偶函数，则_________，________
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义，列式求解作答.
【详解】因为函数（a，且）是偶函数，
则函数对定义域内任意实数恒有成立，
即，整理得，
，显然不恒为0，因此恒成立，
而为常数，则必有为常数，于是得，又，解得，，
此时，其定义域为且，
，即函数是偶函数，所以，.
故答案为：；
三､解答题：共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22､23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）若，求值；
（2）证明：为定值．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用已知条件以及两角差的正弦公式、二倍角公式，通过三角恒等变形即可求解；
（2）利用正弦定理以及余弦定理，通过三角恒等变形即可得证.
【小问1详解】
由,
∵,∴,即，
∵，所以,
所以,
又∵,∴，
，
，
，解得；
【小问2详解】
由已知条件得，
，
，
，
,
∵, ∴,
由余弦定理得，
由正弦定理得，
整理得 ，
即为定值．
18. 青少年近视问题备受社会各界广泛关注，某研究机构为了解学生对预防近视知识的掌握情况，对某校学生进行问卷调查，并随机抽取200份问卷，发现其得分（满分：100分）都在区间中，并将数据分组，制成如下频率分布表：
（1）估计这200份问卷得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）用分层抽样的方法从这200份问卷得分在，，内的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行调查，求这3人来自不同组（3人中没有2人在同一组）的概率.
【答案】（1）74.5；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据频率分布表求出m，再求出问卷得分的平均值作答.
（2）求出抽取的6人中各组人数，再利用列举法求出古典概率作答.
【小问1详解】
由频率分布表得：，
所以200份问卷得分的平均值约为：.
【小问2详解】
由（1）知，问卷得分在，，内的频率分别为，
因此抽取的6人中，得分在，，内的人数分别为2人，3人，1人，
记得分在内的2人为，得分在内的3人为，得分在内的1人为，
从6人中任取3人的不同结果为：，
，
，共20个，它们等可能，
抽取的3人来自不同组的事件有：，共6个，
所以3人来自不同组的概率.
19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，．
（1）证明：平面PCD⊥平面PBC；
（2）若，求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】(1)利用线面垂直的性质定理、判定定理和面面垂直的判定定理证明；
(2)利用两角和的正弦公式求出，利用三角形面积公式求出，根据锥体体积公式求解.
【小问1详解】
连接，因为，所以,
又因为，，所以，即,
又因为底面ABCD，底面ABCD，所以 BC，
又因为平面PCD，，
所以平面PCD,又因为平面PBC，
所以平面PCD⊥平面PBC.
【小问2详解】
在直角三角形中，
在直角三角形中，
所以
，
所以，
所以.
20. 已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）函数在上单调递减，在上单调递增；
（2）
【解析】
【分析】(1)对函数求导，判断导函数的正负，进而确定函数的单调区间；
(2)将不等式等价转化为在上恒成立，令，将问题转化为求函数在上的最小值问题，进而求解.
【小问1详解】
由函数可得，令，
则，令，得；令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，所以在上恒成立；
当时，则有；当时，则有，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
【小问2详解】
因为当时，恒成立，即在上恒成立，也即在上恒成立，
令，则，
令，则，
令，得；令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，所以，则在上单调递增，
所以，故.
【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
(1)恒成立；
(2)恒成立.
21. 已知椭圆E的中心为坐标原点O，对称轴分别为x轴、y轴，且过，两点．
（1）求E的方程；
（2）设F为椭圆E的一个焦点，M，N为椭圆E上的两动点，且满足，当M，O，N三点不共线时，求△MON的面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)将给定点代入设出的方程求解即可；
(2)根据题意可得：，进而得到直线的斜率，设直线的方程，与曲线方程联立，利用韦达定理和弦长公式求出，再利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，进而求出面积的最值.
【小问1详解】
设椭圆方程为，因为椭圆过点，，
所以，解得：，所以椭圆的方程为：.
【小问2详解】
不妨设为椭圆的下焦点，由(1)可知：点，则，
因为，则，所以，
设直线的方程为：，，
联立方程组，整理可得：，则，即（*），
由韦达定理可得：，，
由弦长公式可得：，
点到直线的距离，
所以，
所以当时，面积最大，最大为.
（二）选考题：共10分．请考生在第22､23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程；
（2）若与有两个不同公共点，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）在曲线的参数方程中消去参数，可得出曲线的普通方程，利用基本不等式求出的取值范围，即可得解；
（2）求出直线的普通方程，分析可知直线与双曲线的右支有两个交点，将直线与双曲线方程联立，利用直线与双曲线的位置关系可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
解：由可得，即，
因为，则，当且仅当时，等号成立，
故曲线的普通方程为.
【小问2详解】
解：因为直线的极坐标方程为，
所以，直线的普通方程为，
联立可得，
设直线与曲线交于点、，
由题意可得，解得.
因此，实数的取值范围为.
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）设函数，若对任意，都存在，使得成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）化函数为分段函数，再分段解不等式作答.
（2）求出函数、的值域，再借助集合的包含关系求解作答.
【小问1详解】
依题意，函数，则不等式化为：
或或，解得或或，则，
所以不等式的解集为.
【小问2详解】
由（1）知，当时，，当时，，当时，，
因此函数值域为，
，，当且仅当时取等号，
因此函数的值域为，
因为对任意，都存在，使得成立，则有，
即，解得，
所以实数a的取值范围是.月份代号x
1
2
3
4
5
6
7
在线外卖规模y（百万元）
11
13
18
★
28
★
35
分数
频率
0.15
0.25
m
0.30
0.10
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效．
4．本试卷主要命题范围：高考范围．
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，求出函数定义域化简集合M，再利用交集的定义求解作答.
【详解】函数有意义，则，解得，即，而，
所以.
故选：B
2. 复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数乘方及除法求出复数，再求出对应点的坐标作答.
【详解】依题意，，
所以复数在复平面内对应的点位于第一象限.
故选：A
3. 已知函数的图象在点处的切线与直线平行，则该切线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出函数的导数，借助导数的几何意义求出a值，进而求出切线方程作答.
【详解】函数，求导得：，依题意，，解得，
即有，，
所以函数的图象在点处的切线为：，即，符合题意.
故选：C
4. 我国传统剪纸艺术历史悠久，源远流长，最早可追溯到西汉时期．下图是某一窗花的造型，在长为3，宽为2的矩形中有大小相同的两个圆，两圆均与矩形的其中三边相切，在此矩形内任取一点，则该点取自两圆公共（图中阴影）部分的概率为（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据几何概型的概率计算公式，只需要求出阴影部分面积及矩形面积即可得到答案．
【详解】如图，矩形面积为，
因为两圆半径相等，结合两圆的位置及圆的对称性可得为等边三角形，
阴影部分面积为，
所以，在此矩形内任取一点，则该点取自两圆公共（图中阴影）部分的概率为
．
故选：C．
5. 古代名著《九章算术》中记载了求“方亭”体积的问题，方亭是指正四棱台，今有一个方亭型的水库，该水库的下底面的边长为20km，上底面的边长为40km，若水库的最大蓄水量为，则水库深度（棱台的高）为（ ）
A. 10mB. 20m
C. 30mD. 40m
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可知：该水库是一个正四棱台，已知正四棱台的体积为，上下底面边长分别为40km和20km，求正四棱台的高，同一单位，代入体积计算公式即可求解.
【详解】因为正四棱台上下底面边长分别为40km和20km，设高，
因为，，由棱台的体积计算公式可得：
，解得：，
故选：.
6. 已知抛物线C：，过焦点F的直线与C在第四象限交于M点，则（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可知：焦点坐标为，设点，利用直线的斜率可得，再利用抛物线的定义即可求解.
【详解】因为直线过抛物线C：的焦点，则，
所以，，抛物线方程为，因为在抛物线上且在第四象限，设点，则，解得：，由抛物线的定义可知：，
故选：.
7. 执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为（ ）
A. 14B. 15C. 16D. 17
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，运行程序，依次计算即可判断作答.
【详解】第1次循环，；第2次循环，；
第3次循环，；第4次循环，；
第5次循环，；第6次循环，；
第7次循环，；第8次循环，；
第9次循环，；第10次循环，；
第11次循环，；第12次循环，；
第13次循环，；第14次循环，；
第15次循环，，结束循环，输出，
所以输出的k的值为15.
故选：B
8. 某部门统计了某地区今年前7个月在线外卖的规模如下表：
其中4、6两个月的在线外卖规模数据模糊，但这7个月的平均值为23．若利用回归直线方程来拟合预测，且7月相应于点的残差为，则（ ）
A. 1.0B. 2.0C. 3.0D. 4.0
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，求出，再借助回归直线的特征及残差列出方程组即可求解作答.
【详解】依题意，，而，于是得，
而当时，，即，联立解得，
所以.
故选：B
9. 已知等比数列的前4项和为30，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，求出等比数列的首项及公比，即可计算作答.
【详解】设等比数列的公比为，依题意，，而，解得，
数列的前4项和为，即，解得，
所以.
故选：C
10. 记函数的最小正周期为T，若，且函数的图象关于点对称，则当取得最小值时，（ ）
A. 2B. 1C. －1D. －2
【答案】D
【解析】
【分析】由及的图象关于对称列出关系式，求出，，再由的图象关于对称可求的最小值，从而可求的值．
【详解】由已知得，
因为函数的图象关于对称，所以，
所以，所以，
又因为，所以，，
由的图象关于对称得，
所以，即有，
又因为，所以当最小时，，此时，
所以，
故选：D．
11. 已知双曲线C：的左焦点为F，过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，与C交于P，Q两点，若P，F，Q四等分线段AB，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，可得直线AB与双曲线C的左支交于两点，再结合双曲线对称性求出直线AB的方程，进而求出点A坐标，利用AF中点在双曲线C上求解作答.
【详解】双曲线C：的渐近线，令半焦距为c，则，
因为直线AB与双曲线C的两个交点P，Q在线段AB上，则直线AB与双曲线C的左支相交，
因为点P，F，Q四等分线段AB，则由双曲线对称性得，直线AB垂直于x轴，直线AB的方程为，
不妨令点A在第二象限，由得点，显然线段的中点在双曲线C上，
则有，即，解得，
所以双曲线C的离心率.
故选：A
12. 已知球O的半径为2，四棱锥的顶点均在球O的球面上，当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，确定四棱锥体积最大时为正四棱锥，设出底面外接圆半径，求出体积函数式，再利用导数求解作答.
【详解】令球O的内接四棱锥为，四边形外接圆半径为，对角线的夹角为，
则四边形的面积，
当且仅当，即四边形为正方形时取等号，
由球的结构特征知，顶点P为直线与球面O的交点，并且球心O在线段上，四棱锥的高最大，如图，
，高，
因此四棱锥的最大体积关系式为：，令，
则，
求导得，当时，，当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，当时，，此时，
所以当该四棱锥的体积最大时，其高为.
故选：D
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量，，若，则实数___________．
【答案】##1.25
【解析】
【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算和共线向量坐标表示求解作答.
【详解】向量，，则，而，
则有，解得，
所以实数.
故答案为：
14. 记为等差数列的前n项和，已知，，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】设出等差数列的公差，根据已知列出方程组，求出首项胶公差，再求出作答.
【详解】设等差数列的公差为，依题意，，解得，
所以.
故答案为：
15. 写出与圆和都相切的一条直线的方程___________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据给定圆的方程，判断两圆的位置关系，再写出一条公切线方程作答.
【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
则，因此圆相外切，它们有3条公切线，而轴，，
则两圆的每条公切线斜率都存在，设公切线方程为，为常数，
于是得，整理得或，
解得，解得：或，
因此圆的公切线方程为：或或，
所以与圆和都相切一条直线的方程可以为.
故答案为：
16. 已知函数（a，且）是偶函数，则_________，________
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义，列式求解作答.
【详解】因为函数（a，且）是偶函数，
则函数对定义域内任意实数恒有成立，
即，整理得，
，显然不恒为0，因此恒成立，
而为常数，则必有为常数，于是得，又，解得，，
此时，其定义域为且，
，即函数是偶函数，所以，.
故答案为：；
三､解答题：共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22､23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）若，求值；
（2）证明：为定值．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用已知条件以及两角差的正弦公式、二倍角公式，通过三角恒等变形即可求解；
（2）利用正弦定理以及余弦定理，通过三角恒等变形即可得证.
【小问1详解】
由,
∵,∴,即，
∵，所以,
所以,
又∵,∴，
，
，
，解得；
【小问2详解】
由已知条件得，
，
，
，
,
∵, ∴,
由余弦定理得，
由正弦定理得，
整理得 ，
即为定值．
18. 青少年近视问题备受社会各界广泛关注，某研究机构为了解学生对预防近视知识的掌握情况，对某校学生进行问卷调查，并随机抽取200份问卷，发现其得分（满分：100分）都在区间中，并将数据分组，制成如下频率分布表：
（1）估计这200份问卷得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）用分层抽样的方法从这200份问卷得分在，，内的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行调查，求这3人来自不同组（3人中没有2人在同一组）的概率.
【答案】（1）74.5；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据频率分布表求出m，再求出问卷得分的平均值作答.
（2）求出抽取的6人中各组人数，再利用列举法求出古典概率作答.
【小问1详解】
由频率分布表得：，
所以200份问卷得分的平均值约为：.
【小问2详解】
由（1）知，问卷得分在，，内的频率分别为，
因此抽取的6人中，得分在，，内的人数分别为2人，3人，1人，
记得分在内的2人为，得分在内的3人为，得分在内的1人为，
从6人中任取3人的不同结果为：，
，
，共20个，它们等可能，
抽取的3人来自不同组的事件有：，共6个，
所以3人来自不同组的概率.
19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，．
（1）证明：平面PCD⊥平面PBC；
（2）若，求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】(1)利用线面垂直的性质定理、判定定理和面面垂直的判定定理证明；
(2)利用两角和的正弦公式求出，利用三角形面积公式求出，根据锥体体积公式求解.
【小问1详解】
连接，因为，所以,
又因为，，所以，即,
又因为底面ABCD，底面ABCD，所以 BC，
又因为平面PCD，，
所以平面PCD,又因为平面PBC，
所以平面PCD⊥平面PBC.
【小问2详解】
在直角三角形中，
在直角三角形中，
所以
，
所以，
所以.
20. 已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）函数在上单调递减，在上单调递增；
（2）
【解析】
【分析】(1)对函数求导，判断导函数的正负，进而确定函数的单调区间；
(2)将不等式等价转化为在上恒成立，令，将问题转化为求函数在上的最小值问题，进而求解.
【小问1详解】
由函数可得，令，
则，令，得；令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，所以在上恒成立；
当时，则有；当时，则有，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
【小问2详解】
因为当时，恒成立，即在上恒成立，也即在上恒成立，
令，则，
令，则，
令，得；令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，所以，则在上单调递增，
所以，故.
【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
(1)恒成立；
(2)恒成立.
21. 已知椭圆E的中心为坐标原点O，对称轴分别为x轴、y轴，且过，两点．
（1）求E的方程；
（2）设F为椭圆E的一个焦点，M，N为椭圆E上的两动点，且满足，当M，O，N三点不共线时，求△MON的面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)将给定点代入设出的方程求解即可；
(2)根据题意可得：，进而得到直线的斜率，设直线的方程，与曲线方程联立，利用韦达定理和弦长公式求出，再利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，进而求出面积的最值.
【小问1详解】
设椭圆方程为，因为椭圆过点，，
所以，解得：，所以椭圆的方程为：.
【小问2详解】
不妨设为椭圆的下焦点，由(1)可知：点，则，
因为，则，所以，
设直线的方程为：，，
联立方程组，整理可得：，则，即（*），
由韦达定理可得：，，
由弦长公式可得：，
点到直线的距离，
所以，
所以当时，面积最大，最大为.
（二）选考题：共10分．请考生在第22､23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程；
（2）若与有两个不同公共点，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）在曲线的参数方程中消去参数，可得出曲线的普通方程，利用基本不等式求出的取值范围，即可得解；
（2）求出直线的普通方程，分析可知直线与双曲线的右支有两个交点，将直线与双曲线方程联立，利用直线与双曲线的位置关系可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
解：由可得，即，
因为，则，当且仅当时，等号成立，
故曲线的普通方程为.
【小问2详解】
解：因为直线的极坐标方程为，
所以，直线的普通方程为，
联立可得，
设直线与曲线交于点、，
由题意可得，解得.
因此，实数的取值范围为.
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）设函数，若对任意，都存在，使得成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）化函数为分段函数，再分段解不等式作答.
（2）求出函数、的值域，再借助集合的包含关系求解作答.
【小问1详解】
依题意，函数，则不等式化为：
或或，解得或或，则，
所以不等式的解集为.
【小问2详解】
由（1）知，当时，，当时，，当时，，
因此函数值域为，
，，当且仅当时取等号，
因此函数的值域为，
因为对任意，都存在，使得成立，则有，
即，解得，
所以实数a的取值范围是.月份代号x
1
2
3
4
5
6
7
在线外卖规模y（百万元）
11
13
18
★
28
★
35
分数
频率
0.15
0.25
m
0.30
0.10
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