河南省郑州市2022-2023学年高一上学期期末数学试题

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这是一份河南省郑州市2022-2023学年高一上学期期末数学试题，共18页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出集合B中元素范围，再求即可.
【详解】，又，
.
故选：B.
2. 若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式恒成立的是（）
A. b2
C. >D. a|c|>b|c|
【答案】C
【解析】
【分析】举特例即可判断选项A，B，D，利用不等式的性质判断C即可作答.
【详解】当a=1，b=-2时，满足a>b，但，a2因>0，a>b，由不等式性质得，C正确；
当c=0时，a|c|>b|c|不成立，排除D，
故选：C
3. 英国浪漫主义诗人(雪莱)在《西风颂》结尾写道“”春秋战国时期，为指导农耕，我国诞生了表示季节变迁的节气.它将黄道(地球绕太阳按逆时针方向公转的轨道，可近似地看作圆)分为等份，每等份为一个节气.2019年12 月22日为冬至，经过小寒和大寒后，便是立春.则从冬至到次年立春，地球公转的弧度数约为（）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】找到每一等份的度数，进而可得答案．
【详解】解：由题可得每一等份为，
从冬至到次年立春经历了等份，即.
故答案为：A.
【点睛】本题考查角的运算，是基础题.
4. 若，，，则下列结论正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用指数函数，对数函数，幂函数三种函数的单调性即可判断大小.
【详解】函数在上单调递减，函数在上单调递增，
，
又，
.
故选：D.
5. 已知函数的表达式为．若且，则的取值范围为（）
A. ；B. ；
C. ；D. ．
【答案】D
【解析】
【分析】由对数的运算性质与基本不等式求解即可
【详解】因为，
所以，故或．
若，则（舍去）；
若，则，
又，
所以，
因此（等号当且仅当，即时成立），
即的取值范围是．
故选：D．
6. 函数的图象大致为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分析出函数的图象关于直线对称，利用特殊值法结合排除法可得出合适的选项.
【详解】函数的定义域为，
，故函数的图象关于直线对称，排除BC选项，
，排除A选项.
故选：D.
7. 将函数的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用辅助角公式化简，然后利用平移的规则得到，进而令可得的值，最后根据绝对值最小得答案.
【详解】由已知，其沿x轴向左平移个单位后得,
，
因为为偶函数，
，即，
当时，最值，且为.
故选：A.
8. 设函数，若对任意的，都有，则m的最小值是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作图函数的图象，数形结合即可求解
【详解】作出f（x）的部分图象，如图所示.
当时，f（x）=8（x+5）.
令f（x）=-4，解得.
数形结合可得，
若对任意的，都有，则m的最小值是.
故选：D
二、多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
9. 下列说法正确的是（）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. “”是“”的必要不充分条件
C. 命题“，”的否定是“，”
D. 的最大值为
【答案】AC
【解析】
【分析】对A、B：根据充分、必要条件结合不等式性质分析判断；对C：根据特称命题的否定分析判断；对D：根据指数函数的单调性分析判断.
【详解】对A：若“”，则，即，故；
若“”，则，故，当且仅当时等号成立；
综上所述：“”是“”的充分不必要条件，A正确；
对B：若“”，不能得出，例如，则；
若“”，不能得出，例如，则；
综上所述：“”是“”的既不充分也不必要条件，B错误；
对C：命题“，”的否定是“，”，C正确；
对D：∵，且在定义域内单调递减，
则，当且仅当，即时等号成立，
∴的最小值为，D错误.
故选：AC.
10. 已知实数a，b满足等式，下列式子可以成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据指数函数图象分析判断.
【详解】设，分别作出的函数图象，如图所示：
当，则，A成立；
当，则，B成立，C不成立；
当时，则，D成立.
故选：ABD.
11. 已知，，其中，为锐角，则以下命题正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据同角的三角函数的基本关系式和两角和与差的余弦公式和积化和差公式即可求解.
【详解】因为 ( 为锐角),
故 , 故正确;
因为 ,
所以

,
故 B 错误;
由
,
故 ,
故 C 正确;
且 ,
所以 ,
故 D 错误.
故选: AC.
12. 已知的解集是，则下列说法中正确的是（）
A. 若c满足题目要求，则有成立
B. 的最小值是4
C. 函数的值域为，则实数b的取值范围是
D. 当时，，的值域是，则的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据三个二次之间的关系分析可得，对A：根据指数函数的单调性分析判断；对B：根据基本不等式分析运算；对C：根据对数函数分析判断；对D：根据二次函数的性质运算判断.
【详解】若的解集是，则方程的根为，且，
可得，解得，
对A：∵，则，
∴，A正确；
对B：∵，
当且仅当，即时等号成立，
∴的最小值是，B错误；
对C：函数的值域为，则函数的值域包含，且，
可得，解得，C正确；
对D：当时，则，，
令，解得；
令，解得或；
若在上的值域是，则或，
可得，故的取值范围是，D正确.
故选：ACD
【点睛】易错点睛：注意理解以下两种情况：
（1）的值域为，则；
（2）的定义域为，则.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）.
13. 用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时，第一次经计算，可得其中一个零点x0∈(0，1)，那么经过下一次计算可得x0∈___________(填区间).
【答案】
【解析】
【分析】根据零点存在性定理判断零点所在区间.
【详解】，，
所以下一次计算可得
故答案为：
14. 已知某扇形的圆心角为，周长为，则该扇形的面积为________．
【答案】6
【解析】
【分析】求出弧的半径和弧长后可得面积.
【详解】设扇形半径为，弧长为，
则，解得，
扇形面积为．
故答案为：6．
15. 函数的图像恒过定点，若，则的最小值________.
【答案】8
【解析】
【分析】首先求定点，再利用“1”的变换，利用基本不等式求最小值.
【详解】函数，所以函数恒过点,
即，即，
则，
当时，即时，等号成立，的最小值为，
此时，解得，.
故答案为：
16. 已知函数和是定义在上的函数，且是奇函数，是偶函数，，则__；若对于任意，都有，则实数的取值范围是__．
【答案】 ①. x ②.
【解析】
【分析】由题意，根据构造方程的思想，结合奇偶函数的性质，可得函数解析式；根据单调性的定义，整理不等式，构造函数，分和两种情况，结合一次函数和二次函数的性质，可得答案.
【详解】根据题意，，则，
两式相加可得，
又由是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，所以，即，．
若对于任意，都有，变形可得，
令，则在上单调递增；所以，
若，则在上单调递增，满足题意；
若，则是对称轴为的二次函数，
若在上单调递增，只需或，解得或，
综上，．即的取值范围为：．
故答案为：；.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. （1）化简：；
（2）求值：.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式化简计算即可；
（2）利用指数，对数的运算性质计算即可.
【详解】（1）；
（2）
.
18. 已知集合.
（1）求；
（2）已知集合，若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由指数函数、对数函数的性质确定集合，然后由集合的运算法则计算．
（2）由集合包含关系得不等关系，求得参数范围．
【详解】解：（1），，，
.
（2）当时，，即成立；
当时，成立.
综上所述，．
【点睛】易错点睛：本题考查集合的运算，考查由集合的包含关系示参数范围．在中，要注意的情形，空集是任何集合的子集．这是易错点．
19. 已知函数.
（1）当时，求关于x的不等式的解集；
（2）若在区间（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1），1）（2，.
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可；
（2）原不等式等价于在上恒成立，分离参数得，令，利用基本不等式和不等式恒成立思想可得答案.
【小问1详解】
解：当时，则，由，得，
令，解得，或，
原不等式的解集为，1）（2，；
【小问2详解】
解：由即在上恒成立，从而有：，
令，则，当且仅当时取等号，，
故实数的取值范围是.
20. 已知函数，其中，.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知条件.条件①：函数最小正周期为；条件②：函数图像关于点对称；条件③：函数图像关于对称. 求：
（1）函数的单调递增区间；
（2）函数在区间的最大值和最小值.
【答案】（1）
（2）最大值为1，最小值为
【解析】
【分析】（1）根据题意结合正弦函数的性质求的解析式，进而求的单调递增区间；
（2）由x的范围求得的范围，结合正弦函数求的最值.
小问1详解】
若选①②：∵函数最小正周期为，则，解得，
且，故，故，
又∵函数图像关于点对称，则，解得，
由，则，，
故，
令，解得，
故函数的单调递增区间为；
若选①③：∵函数最小正周期为，则，解得，
且，故，故，
∵函数图像关于对称，则，解得，
由，则，，
故，
令，解得，
故函数的单调递增区间为；
若选②③：∵函数图像关于点对称，则，
由，，可得，
则，即，
又∵函数图像关于对称，则，
由，，可得，
则，即，
故，解得，
故，
令，解得，
故函数的单调递增区间为.
【小问2详解】
由（1）可得：，
∵，则，
则当，即时，取到最大值1；
当，即时，取到最小值；
∴函数在区间的最大值为1，最小值为.
21. 近年来，中国自主研发的长征系列运载火箭的频频发射成功，标志着中国在该领域已逐步达到世界一流水平.设火箭推进剂的质量为M（单位：t），去除推进剂后的火箭有效载荷质量为m（单位：t），火箭的飞行速度为v（单位：），初始速度为（单位：），已知其关系式为齐奥尔科夫斯基公式：，其中是火箭发动机喷流相对火箭的速度.假设，.
（参考数据：，）.
（1）若，当火箭飞行速度达到第三宇宙速度（16.7）时，求相应的M；（精确到小数点后一位）
（2）如果希望火箭飞行速度达到16.7，但火箭起飞质量的最大值为2000t，请问的最小值为多少？（精确到小数点后一位）
【答案】（1）t
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，令运算求解；
（2）根据题意可得，令整理可得，解不等式即可得结果.
【小问1详解】
由题意可得：，
令，则（t），
故当火箭飞行速度达到第三宇宙速度（16.7）时，相应的为t.
【小问2详解】
由题意可得：，
令，则，
∴，
故的最小值为.
【点睛】方法点睛：函数有关应用题的常见类型及解决问题的一般程序
（1）常见类型：与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题；
（2）应用函数模型解决实际问题一般程序
读题（文字语言）⇒建模（数学语言）⇒求解（数学应用）⇒反馈（检验作答）；
（3）解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．
22. 已知函数（，），在区间上有最大值，最小值，设．
（1）求常数，的值；
（2）方程有三个不同的解，求实数的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）对开口方向进行讨论，利用所给的在区间上有最大值，最小值，即可列出方程求的两个未知数；
（2）可直接对方程进行化简、换元法令，结合函数图象可得有两个根、，且或，以及一元二次方程根的分布及树形结合思想即可获得问题的解答.
【小问1详解】
解：因为对称轴为，
当时，在上为增函数，
故；
当时，在上为减函数，
故，
∵，∴，.
【小问2详解】
解：由（1）可得，则，
所以方程化为，
即，，
令，则方程化为（），
∵方程有三个不同的实数解，
∴由的图象
知有两个根、，且或，，
记，则或，
∴，实数的取值范围是．