内蒙古自治区包头市2022-2023学年高一上学期期末数学试题

这是一份内蒙古自治区包头市2022-2023学年高一上学期期末数学试题，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知命题p：，，则p的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】利用全称命题的否定方法，改变量词，否定结论可得答案.
【详解】，的否定为：，.
故选：A.
2. 设集合，，则下列判断正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用举反例可排除选项A,B,D，然后根据集合中元素可满足集合中元素的表示形式，故，可判断C
【详解】因为集合，，
所以，，所以选项A,B,D均不正确，
因为中的所有元素可表示为，
满足集合中元素的表示形式，故，所以，故C正确，
故选：C
3. 若不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围是（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】由对一切实数都成立，结合函数的性质分成，讨论进行求解.
详解】对一切实数都成立，
①时，恒成立，
②时，，解得，
综上可得，.
故选：A.
4. 已知幂函数的图象过点，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂函数的定义，设出解析式，代入点可得答案.
【详解】设，因为幂函数的图象过点，所以，
即，所以.
故选：C.
5. 若，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的定义域和函数的奇偶性、结合图象变换和对数函数的单调性，即可求解.
【详解】因为，函数满足，解答或，
即函数的定义域为，排除A、B，
又由，所以函数为偶函数，
所以函数的图象关于对称的偶函数，
当时，函数是函数的图像向右平移一个单位得到的，
可排除C.
故选：D.
6. 设，，，则，a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数幂和对数函数的性质求出的范围即可比较大小.
【详解】依题意，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
由此可知.
故选：D.
7. 设是第三象限角，则下列函数值一定为负数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据的范围，求出以及的范围，根据三角函数在各个象限的符号，即可得出答案.
【详解】对于A项，由已知，的取值集合为.
所以，，
所以，，
所以，可能是第一象限角，也可能为第二象限角，终边也有可能落在轴正半轴上，故A错误；
对于B项，由已知，的取值集合为.
所以，.
当为偶数时，设，则，
此时位于第二象限，；
当为奇数时，设，则，
此时位于第四象限，.
综上所述，恒成立，故B项正确；
对于C项，当位于第二象限时，，故C项错误；
对于D项，当位于第四象限时，，故D项错误.
故选：B.
8. 定义在R上的奇函数，满足，且在上单调递减，则不等式的解集为（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】由已知化简不等式可得.然后根据单调性、奇偶性，分别讨论求解以及时，不等式的解集，即可得出答案.
【详解】由已知可得.
当时，有.
由，且在上单调递减，可知；
当时，有.
根据奇函数的性质，可推得，且在上单调递减，
所以.
综上所述，不等式的解集为或.
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9. 下列函数既是奇函数，又是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用奇函数的定义和增函数的特征来判断.
【详解】对于A，当时，；当时，，不是增函数；
对于B，设，因为，所以是奇函数；
又，所以为增函数，B正确；
对于C，因为，所以是奇函数；
因为是增函数，是减函数，所以为增函数，C正确；
对于D，定义域为，因为，所以不是奇函数，D不正确.
故选：BC.
10. 已知都是正数，若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用基本不等式判断ABC；消元，再根据函数的单调性即可判断D.
【详解】因为都是正数，，
所以，
当且仅当时取等号，故A正确；
因为，
所以，
所以，当且仅当时取等号，故B正确；
，
当且仅当时取等号，故C错误；
由，得，
由，可得，
则，
因为函数在上都是减函数，
所以函数在上是减函数，
所以，
所以，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知定义在R上的函数满足为偶函数，且在上单调递减．则下列判断正确的是（ ）
A. B.
C. 图象的对称轴为D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】运用偶函数性质得函数对称性可分析A项、C项，再运用函数的对称性及单调性可分析B项、D项.
【详解】∵为偶函数，
∴，
∴图象关于直线对称，故C项正确；
∴将代入得：，故A项错误；
将代入得：，
又∵在上单调递减，
∴，即：，故B项正确；
∵，图象关于直线对称，在上单调递减，
∴，即：，解得：.故D项正确.
故选：BCD.
12. 当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳14的含量为y（把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位），则下列叙述正确的是（ ）
A. 函数解析式为，
B. 碳14的年衰减率为
C. 经过九个“半衰期”后，碳14的含量不足死亡前的千分之一
D. 在2010年，某遗址检测出碳14的残留量为，则该遗址大概是公元前2903年建成的
【答案】AD
【解析】
【分析】根据半衰期的定义可直接得出函数解析式及衰减率，将相应的数据代入解析式即可求解.
【详解】依题意，
对于A：因为机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减，
大约每经过5730年衰减为原来的一半，
所以年后体内的碳14应为原来的，
所以函数解析式为，，
所以A选项正确；
对于B：设每年的衰减率为，原来的碳14含量为，
则有，
，解得，
所以B选项错误；
对于C：经过九个“半衰期”后，，
所以C选项错误；
对于D：因为碳14的残留量为，
所以，即，
解得，由，
可知则该遗址大概是公元前2903年建成的，所以D选项正确；
故选：AD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 函数的定义域是A，函数的定义域为B，则是的______条件（填写充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要中的一个）．
【答案】必要不充分
【解析】
【分析】先根据函数定义域化简集合，再结合条件的定义来判断.
【详解】由可得或，即或；
由可得；
因为，，所以是的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分
14. 已知，且，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据诱导公式和正弦函数的性质求解即可.
【详解】由题意可得，
故答案为：
15. 函数，若函数，有三个不同的零点，则实数m的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】对分段函数的每一段进行单调性分析，画出对应的图象，然后结合题意可得到与有三个不同的交点，结合图象即可求解
【详解】当时，根据对勾函数可得在上单调递增，在上单调递减，故此时最小值；
当时，根据在上单调递减，故此时最小值；
作出对应的图象，如图所示
函数有三个不同的零点，可看作与有三个不同的交点，
从图象可得到实数m的取值范围是
故答案：
16. 若（，且）在区间上单调递增，则实数a的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用复合函数的单调性求解.
【详解】解：令，
当时，是增函数，
因为（，且）在区间上单调递增，
则在区间上单调递增，且在区间上恒成立，
则，且，解得；
当时，是减函数，
因为（，且）在区间上单调递增，
则在区间上单调递减，且在区间上恒成立，
则，且，无解，
综上：，
故答案为：
四、解答题；本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （1）已知，求的值；
（2）已知角的终边经过点，求的值．
【答案】（1）3；（2）.
【解析】
【分析】（1）将代入，化简即可得出答案；
（2）化简可得.然后根据三角函数的定义，即可求出答案.
【详解】（1）由题知.
（2）由诱导公式可得.
由三角函数的定义知，所以．
18. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接运用幂函数运算法则即可求解；
（2）直接利用对数函数运算法则即可求解.
【小问1详解】
依题意，
【小问2详解】
19. 已知函数是偶函数．
（1）求的值；
（2）设函数，判断在定义域内的单调性，并给出证明．
【答案】（1）
（2）减函数，证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用奇偶性的定义求解即可；
（2）利用单调性的定义求解即可.
【小问1详解】
因为为偶函数，且定义域为，
所以对于，，
即对恒成立，
所以恒成立，
因为不恒为零，所以.
【小问2详解】
由题知为减函数，
下证明：任取，且，
则，
因为，所以，故，即，
则，即，
所以在上为减函数.
20. （1）已知二次函数的图象与y轴交于点，与x轴的两个交点的横坐标，的平方和为15，求该二次函数的解析式．
（2）在（1）条件下，当时，求一元二次不等式的解集．
【答案】（1）或；（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由题意可得，，然后利用韦达定理可求得，即可求解；
（2）将，代入不等式可得，先求出对应方程的根，然后分和两种情况进行讨论即可
【详解】（1）由题知，．
因为，是方程的两根，
则由韦达定理得，．
又，
故，解得．
所以，函数的解析式为或．
（2）由（1）可知，，
一元二次不等式可化．
由题知，则二次方程，可化为，解得，或．
当时，有，原不等式的解集为．
当时，
若，即时，原不等式的解集为．
若，即时，原不等式的解集为．
若，即时，原不等式的解集为．
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
21. 为迎接2022年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足：（其中，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件．假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．
（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值．
【答案】（1）；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）根据已知可推得，代入，化简即可得出结果；
（2）当时，根据基本不等式即可求出最大值；当，先根据单调性的定义得出在上的单调性，即可得出最大值.
【小问1详解】
由题意知，，
将代入化简得，
．
【小问2详解】
因为
当且仅当，即时，等号成立．
所以（ⅰ）当时，，
当且仅当，即时，等号成立；
（ⅱ）当时，
设，，.
，且，则.
因为，且，所以，所以，
所以，函数在上单调递增，
所以，在上单调递增，
所以，在上单调递增.
所以，当时，y取最大值为．
综上，当时，促销费用投入2万元时，厂家的利润最大为17万元；
当时，促销费用投入a万元时，厂家的利润最大为万元．
22. 设函数．
（1）若存在，使得成立，求实数m的最大值；
（2）设函数，，若在上有两个零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）11； （2）.
【解析】
【分析】（1）分离参数可得，.换元求出的最大值，即可得出答案；
（2）代入整理可得，.换元，原题可转化为在时有两个解.根据函数的单调性，作出函数在上的图象，根据图象，即可得出答案.
【小问1详解】
由题意得，
设，则．
令，
显然函数在区间上为增函数，
所以当时，函数取得最大值，
所以，m最大值为11．
【小问2详解】
由题知.
设，当时，函数为增函数，则.
若在有两个零点，
即在上有两个解，
由，得，.
，且，
则.
因为，且，所以，所以，
所以，函数在上单调递减.
同理可证函数在上单调递增.
则时，，又时，．
作出函数在上的图象
根据函数的图象可知，当时，与的图象有两个交点，满足题意．
因此，实数的取值范围是．
【点睛】方法点睛：已知函数在区间上零点的个数，求参数的取值范围时，往往进行适当变形，转化为求函数交点个数的问题.常根据函数的性质作出函数的图象，通过图象，得到参数的取值范围.