内蒙古自治区呼和浩特市2022-2023学年高一上学期期末数学试题

这是一份内蒙古自治区呼和浩特市2022-2023学年高一上学期期末数学试题，共18页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回， 若，则函数的图象可能是等内容，欢迎下载使用。

1.考生答卷前，务必将自己的姓名､座位号写在答题卡上.将条形码粘贴在规定区域.
本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将答题卡交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知命题p：，，则p的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】利用全称命题的否定方法，改变量词，否定结论可得答案.
【详解】，的否定为：，.
故选：A.
2. 设集合，，则下列判断正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用举反例可排除选项A,B,D，然后根据集合中的元素可满足集合中元素的表示形式，故，可判断C
【详解】因为集合，，
所以，，所以选项A,B,D均不正确，
因为中的所有元素可表示为，
满足集合中元素的表示形式，故，所以，故C正确，
故选：C
3. 若不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围是（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】由对一切实数都成立，结合函数的性质分成，讨论进行求解.
【详解】对一切实数都成立，
①时，恒成立，
②时，，解得，
综上可得，.
故选：A.
4. 已知幂函数的图象过点，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂函数的定义，设出解析式，代入点可得答案.
【详解】设，因为幂函数的图象过点，所以，
即，所以.
故选：C.
5. 若，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数定义域和函数的奇偶性、结合图象变换和对数函数的单调性，即可求解.
【详解】因为，函数满足，解答或，
即函数的定义域为，排除A、B，
又由，所以函数为偶函数，
所以函数的图象关于对称的偶函数，
当时，函数是函数的图像向右平移一个单位得到的，
可排除C.
故选：D.
6. 设，，，则，a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数幂和对数函数的性质求出的范围即可比较大小.
【详解】依题意，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
由此可知.
故选：D.
7. 设是第三象限角，则下列函数值一定为负数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据的范围，求出以及的范围，根据三角函数在各个象限的符号，即可得出答案.
【详解】对于A项，由已知，的取值集合为.
所以，，
所以，，
所以，可能是第一象限角，也可能为第二象限角，终边也有可能落在轴正半轴上，故A错误；
对于B项，由已知，的取值集合为.
所以，.
当为偶数时，设，则，
此时位于第二象限，；
当为奇数时，设，则，
此时位于第四象限，.
综上所述，恒成立，故B项正确；
对于C项，当位于第二象限时，，故C项错误；
对于D项，当位于第四象限时，，故D项错误
故选：B.
8. 定义在R上的奇函数，满足，且在上单调递减，则不等式的解集为（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】由已知化简不等式可得.然后根据单调性、奇偶性，分别讨论求解以及时，不等式的解集，即可得出答案.
【详解】由已知可得.
当时，有.
由，且在上单调递减，可知；
当时，有.
根据奇函数的性质，可推得，且在上单调递减，
所以.
综上所述，不等式的解集为或.
故选：B.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9. 下列函数既是奇函数，又是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用奇函数的定义和增函数的特征来判断.
【详解】对于A，当时，；当时，，不是增函数；
对于B，设，因为，所以是奇函数；
又，所以为增函数，B正确；
对于C，因为，所以是奇函数；
因为增函数，是减函数，所以为增函数，C正确；
对于D，定义域为，因为，所以不是奇函数，D不正确.
故选：BC.
10. 已知都是正数，若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用基本不等式判断ABC；消元，再根据函数的单调性即可判断D.
【详解】因为都是正数，，
所以，
当且仅当时取等号，故A正确；
因为，
所以，
所以，当且仅当时取等号，故B正确；
，
当且仅当时取等号，故C错误；
由，得，
由，可得，
则，
因为函数在上都是减函数，
所以函数在上是减函数，
所以，
所以，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知定义在R上的函数满足为偶函数，且在上单调递减．则下列判断正确的是（ ）
A. B.
C. 图象的对称轴为D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】运用偶函数性质得函数对称性可分析A项、C项，再运用函数的对称性及单调性可分析B项、D项.
【详解】∵为偶函数，
∴，
∴图象关于直线对称，故C项正确；
∴将代入得：，故A项错误；
将代入得：，
又∵在上单调递减，
∴，即：，故B项正确；
∵，图象关于直线对称，在上单调递减，
∴，即：，解得：.故D项正确.
故选：BCD.
12. 当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳14的含量为y（把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位），则下列叙述正确的是（ ）
A. 函数解析式为，
B. 碳14的年衰减率为
C. 经过九个“半衰期”后，碳14的含量不足死亡前的千分之一
D. 在2010年，某遗址检测出碳14的残留量为，则该遗址大概是公元前2903年建成的
【答案】AD
【解析】
【分析】根据半衰期的定义可直接得出函数解析式及衰减率，将相应的数据代入解析式即可求解.
【详解】依题意，
对于A：因为机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减，
大约每经过5730年衰减为原来的一半，
所以年后体内碳14应为原来的，
所以函数解析式为，，
所以A选项正确；
对于B：设每年的衰减率为，原来的碳14含量为，
则有，
，解得，
所以B选项错误；
对于C：经过九个“半衰期”后，，
所以C选项错误；
对于D：因为碳14的残留量为，
所以，即，
解得，由，
可知则该遗址大概是公元前2903年建成的，所以D选项正确；
故选：AD.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数的定义域是A，函数的定义域为B，则是的______条件（填写充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要中的一个）．
【答案】必要不充分
【解析】
【分析】先根据函数定义域化简集合，再结合条件的定义来判断.
【详解】由可得或，即或；
由可得；
因为，，所以是的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分
14. 已知，且，那______.
【答案】
【解析】
【分析】利用同角三角函数的关系求出，再利用诱导公式转化，即可求解.
【详解】因为，所以，
又因为，
所以，所以，
又因为，
所以.
故答案为：.
15. 函数，若函数，有三个不同的零点，则实数m的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】对分段函数的每一段进行单调性分析，画出对应的图象，然后结合题意可得到与有三个不同的交点，结合图象即可求解
【详解】当时，根据对勾函数可得在上单调递增，在上单调递减，故此时最小值；
当时，根据在上单调递减，故此时最小值；
作出对应的图象，如图所示
函数有三个不同的零点，可看作与有三个不同的交点，
从图象可得到实数m的取值范围是
故答案为：
16. 若（，且）在区间上单调递增，则实数a的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用复合函数的单调性求解.
【详解】解：令，
当时，是增函数，
因（，且）在区间上单调递增，
则在区间上单调递增，且在区间上恒成立，
则，且，解得；
当时，是减函数，
因为（，且）在区间上单调递增，
则在区间上单调递减，且在区间上恒成立，
则，且，无解，
综上：，
故答案为：
四､解答题；本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. （1）已知，求的值；
（2）已知角α的终边经过点，求的值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）直接将题设的条件代入问题即可化简；
（2）利用诱导公式化简，再根据正切函数的定义即可求解.
【详解】（1）由题知
所以；
（2）由诱导公式可得
由三角函数的定义知，所以.
18. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接运用幂函数运算法则即可求解；
（2）直接利用对数函数运算法则即可求解.
【小问1详解】
依题意，
【小问2详解】
19. 已知函数是偶函数．
（1）求的值；
（2）设函数，判断在定义域内的单调性，并给出证明．
【答案】（1）
（2）减函数，证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用奇偶性的定义求解即可；
（2）利用单调性的定义求解即可.
【小问1详解】
因为为偶函数，且定义域为，
所以对于，，
即对恒成立，
所以恒成立，
因为不恒为零，所以.
【小问2详解】
由题知为减函数，
下证明：任取，且，
则，
因为，所以，故，即，
则，即，
所以在上为减函数.
20. （1）已知二次函数的图象与y轴交于点，与x轴的两个交点的横坐标，的平方和为15，求该二次函数的解析式．
（2）在（1）条件下，当时，求一元二次不等式的解集．
【答案】（1）或；（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由题意可得，，然后利用韦达定理可求得，即可求解；
（2）将，代入不等式可得，先求出对应方程的根，然后分和两种情况进行讨论即可
【详解】（1）由题知，．
因为，是方程的两根，
则由韦达定理得，．
又，
故，解得．
所以，函数的解析式为或．
（2）由（1）可知，，
一元二次不等式可化为．
由题知，则二次方程，可化为，解得，或．
当时，有，原不等式的解集为．
当时，
若，即时，原不等式的解集为．
若，即时，原不等式的解集为．
若，即时，原不等式的解集为．
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
21. 为迎接2022年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足：（其中，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件．假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．
（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值．
【答案】（1）；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）根据已知可推得，代入，化简即可得出结果；
（2）当时，根据基本不等式即可求出最大值；当，先根据单调性的定义得出在上的单调性，即可得出最大值.
【小问1详解】
由题意知，，
将代入化简得，
．
【小问2详解】
因为
当且仅当，即时，等号成立．
所以（ⅰ）当时，，
当且仅当，即时，等号成立；
（ⅱ）当时，
设，，.
，且，则.
因为，且，所以，所以，
所以，函数在上单调递增，
所以，在上单调递增，
所以，在上单调递增.
所以，当时，y取最大值为．
综上，当时，促销费用投入2万元时，厂家的利润最大为17万元；
当时，促销费用投入a万元时，厂家的利润最大为万元．
22. 设函数．
（1）若存在，使得成立，求实数m的最大值；
（2）设函数，，若在上有两个零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）11； （2）.
【解析】
【分析】（1）分离参数可得，.换元求出的最大值，即可得出答案；
（2）代入整理可得，.换元，原题可转化为在时有两个解.根据函数的单调性，作出函数在上的图象，根据图象，即可得出答案.
【小问1详解】
由题意得，
设，则．
令，
显然函数在区间上为增函数，
所以当时，函数取得最大值，
所以，m的最大值为11．
【小问2详解】
由题知.
设，当时，函数为增函数，则.
若在有两个零点，
即在上有两个解，
由，得，.
，且，
则.
因为，且，所以，所以，
所以，函数在上单调递减.
同理可证函数在上单调递增.
则时，，又时，．
作出函数在上的图象
根据函数的图象可知，当时，与的图象有两个交点，满足题意．
因此，实数的取值范围是．
【点睛】方法点睛：已知函数在区间上零点的个数，求参数的取值范围时，往往进行适当变形，转化为求函数交点个数的问题.常根据函数的性质作出函数的图象，通过图象，得到参数的取值范围.