宁夏中卫中学2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题

这是一份宁夏中卫中学2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题，共13页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题，解答题，附加题等内容，欢迎下载使用。

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第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，一个选项符合要求，选对得5分，错选得0分．）
1. 且，则角是（ ）
A. 第一象限角B. 第二象限角
C. 第三象限角D. 第四象限角
【答案】D
【解析】
【分析】直接由三角函数的象限符号取交集得答案.
【详解】由，可得为第二或第四象限角；
由，可得为第一、第四及轴非负半轴上的角．
∴取交集可得，是第四象限角．
故选：D．
2. 已知函数，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】运用代入法进行求解即可.
【详解】因为，
所以，
故选：C
3. 的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】运用诱导公式，结合特殊角的正切值进行求解即可.
【详解】，
故选：D
4. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】将特称命题的否定为全称命题即可
【详解】命题“，”的否定为
“，”．
故选：C
5. 已知角的终边上有一点的坐标为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用任意角的三角函数定义进行判断.
【详解】因为角的终边上有一点的坐标为，
所以，故A，B，C错误.
故选：D.
6. 函数零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由函数可得，再利用函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的区间.
【详解】∵函数，∴，，，
根据函数的零点的判定定理可得，函数的零点所在的区间是，
故选：B．
7. 是定义域为的奇函数，且，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由可得函数周期为1，然后利用周期和奇函数的性质可求得结果.
【详解】因为，所以，
所以函数的周期为1，
因为是定义域为的奇函数，，
所以，
故选：C
8. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 若.则B. 若，则
C 若，则D. 若，，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质可判断选项A，D；通过举反例可判断选项B，C.
【详解】当时，若，则，故选项A错误；
当时，满足，但，故选项B错误；
当时，满足，但，故选项C错误；
若，，则由不等式的可加性得，即，选项D正确.
故选：D.
二、多项选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求．全部选对得5分，部分选对得2分，错选得0分．）
9. 已知集合，若，则的取值可以是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】AB
【解析】
【分析】根据并集的结果可得，即可得到的取值；
【详解】解：因为，所以，所以或；
故选：AB
10. 下列函数中最小正周期为，且为偶函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】直接利用奇偶性的定义和周期的公式逐个分析判断即可
【详解】解：对于A，定义域为，因为，所以函数为偶函数，因为的图像是由的图像在轴下方的关于轴对称后与轴上方的图像共同组成，所以的最小正周期为，所以A正确，
对于B，定义域为，因为，所以函数为奇函数，所以B错误，
对于C，定义域为，，最小正周期为，因为，所以函数为偶函数，所以C正确，
对于D，定义域为，最小正周期为，所以D错误，
故选：AC
11. 对于函数下列结论正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期是
B. 函数的最大值是2
C. 函数的图像关于直线对称
D. 函数的图像关于点对称
【答案】BC
【解析】
【分析】由正弦函数的性质对四个选项一一验证.
【详解】由函数.
对于A：函数的最小正周期.故A错误；
对于B：函数的最大值为2.故B正确；
对于C：当时，.故C正确；
对于D：要求的对称中心，只需，解得：，所以对称中心为.故D错误.
故选：BC
12. 若，则下列关系成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据对数函数和指数函数的单调性进行判断即可.
【详解】因为，所以，因此有，所以选项A正确；
因为，所以，因此，所以选项B正确；
因为，所以，因此，所以选项C不正确；
因为，所以，因此有，所以选项D正确，
故选：ABD
【点睛】关键点睛：判断底数与1的大小关系，结合指数函数和对数函数的单调性是解题的关键.
第Ⅱ卷（非选择题 共105分）
三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
13. 函数的定义域是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据偶次根式被开方数大于等于零，和对数的真数大于零即可求出答案．
【详解】解：由题意得，解得，
∴函数的定义域为，
故答案为：．
14. _________．
【答案】1
【解析】
【分析】利用三角变换直接求解.
【详解】.
故答案为：1
15. 设，且，则的最大值为_______.
【答案】25
【解析】
【详解】分析：由题意结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.
详解：由均值不等式的结论有：，
即：，当且仅当时等号成立.
据此可知：的最大值为25.
点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
16. 已知函数f(x)＝，若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是___________.
【答案】(0，1)
【解析】
分析】画出函数图象，利用数形结合思想进行求解即可.
【详解】作出函数y＝f(x)与y＝k的图象，如图所示，
由图可知k∈(0，1).
故答案为：
四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ）
17 已知，，求：
（1）的值；
（2）的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由同角三角函数平方关系及求出；
（2）在第一问的基础上，利用余弦的差角公式进行计算.
【小问1详解】
由，，
得．
【小问2详解】
由（1）得
18. 已知函数()
（1）求的最小正周期和值域；
（2）求函数单调递减区间．
【答案】（1）；值域为.
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦函数的最小正周期公式和值域即可求解；
（2）根据正弦函数的单调区间即可求解.
【小问1详解】
由正弦函数的最小正周期公式和值域可知：函数的最小正周期，函数的值域为.
【小问2详解】
由正弦函数的单调区间可知：令，
解得：，
所以函数的单调递减区间为.
19. 已知函数为常数，且的图像过点．
（1）求函数解析式；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)根据函数的图像过点，列出方程组，解之即可求解；
(2)结合（1）的结论，利用指数函数的单调性解指数式不等式即可求解.
【小问1详解】
因为函数为常数，且的图像过点，
所以，解得：，
所以函数的解析式为：.
【小问2详解】
由（1）可知：，
所以不等式可化为，则，解得：，
所以不等式的解集为.
20. 已知 ．求：
（1）的值；
（2）若，求角．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接根据二倍角的正切公式即可得解；
（2）利用两角和的正切公式求出，结合范围即可得结果.
【小问1详解】
因为，所以.
【小问2详解】
因为，所以，
又因为，所以，
故.
21. 已知函数．
（1）求函数的最大值及其相应的取值集合；
（2）当时，求的值域．
【答案】（1）最大值为1，相应的的取值集合为
（2）
【解析】
【分析】（1）化简得到，从而得到的最大值，利用整体法求出相应的的取值集合；
（2）在第一问的基础上，时，，结合函数的单调性求出值域.
【小问1详解】
，
当，即时，取得最大值，最大值为1，
相应的的取值集合为.
【小问2详解】
时，，
又在上单调递增，在上单调递减，
故当，即时，取得最大值1，
其中时，，时，，
故，的值域为.
22. 已知函数.
（1）写出函数的定义域并判断其奇偶性；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）的定义域为；为偶函数
（2）
【解析】
【分析】（1）先列不等式组求得函数的定义域再利用定义判断其奇偶性即可；（2）先将转化为对数不等式，再列不等式组即可求得实数的取值范围.
【小问1详解】
由，可得，则函数的定义域为
由
可得函数为偶函数
【小问2详解】
由，
可得
由 ，可得
解之得，则实数的取值范围为
五、附加题（本题共15分）
23. 对于函数， 若存在，使得，则称为函数的 “不动点”;若存在，使得，则称为函数 的“稳定点”.记函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别为A和B，即
（1）设函数，求A和B；
（2）请探究集合A和B的关系，并证明你的结论；
（3）若，且，求实数a的取值范围.
【答案】（1），；
（2），证明见解析；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据不动点、稳定点定义，令、求解，即可得结果；
（2）问题化为与有交点，根据交点横纵坐标的关系知，即可证.
（3）问题化为有实根、中无实根，或与有相同的实根，求参数a范围.
【小问1详解】
令，可得，故；
令，可得，故.
【小问2详解】
，证明如下：
由题意，不动点为与的交点横坐标，稳定点为与的交点横坐标，
若与有交点，则横纵坐标相等，则，
所以.
【小问3详解】
由，则：
令，即有实根，
当时，，符合题设；
当时，，可得.
令，即有实根，
所以，
因为，则无实根，或有与相同的实根，
当无实根，有且，可得且；
当有实根，此时，即，
所以，则，代入得：，可得.
综上，.
【点睛】关键点点睛：第二问，将问题化为、与的交点理解，注意交点横纵坐标性质；第三问，化为有实根、中无实根或与的实根相同.