重庆市部分区2022-2023学年高一上学期期末联考数学试题

这是一份重庆市部分区2022-2023学年高一上学期期末联考数学试题，共15页。试卷主要包含了考试时间等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．考试时间：120分钟，满分：150分．试题卷总页数：4页．
2．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效．
3．需要填涂的地方，一律用2B铅笔涂满涂黑．需要书写的地方一律用0.5mm签字笔．
4．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合B，结合并集的概念与运算即可求解.
【详解】由题意知，，
所以.
故选：A.
2. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C 若，则D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】举例说明即可判断选项ABD，根据不等式的性质即可判断C.
【详解】A：若，当时，，故A错误；
B：若，有，不满足，故B错误；
C：若，则，即，故C正确；
D：若，有，不满足，故D错误.
故选：C.
3. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案.
【详解】命题“，”的否定是：，.
故选：A
4. 函数的定义域是（ ）
A. B.
C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数定义域得到不等式，解得答案.
【详解】定义域满足，解得且.
故选：D.
5. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用诱导公式计算得到答案.
【详解】.
故选：B
6. 角的终边与单位圆O相交于点P，且点P的横坐标为，则的值为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角函数定义以及同角三角函数之间的平方关系即可得出结果.
【详解】根据三角函数定义可知，
又，则.
故选：A
7. 函数，则（ ）
A. 3B. 2C. 6D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据分段函数解析式，代入计算即可．
【详解】由分段函数解析式得，，
故选：C．
8. 若正实数x，y满足，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据等式计算得出1，再结合常值代换求和的最值，计算可得最大值.
【详解】
,
.
故选:D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 已知函数的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】确定函数有两个零点，计算，，，，得到答案.
【详解】，，故函数有两个零点，
，，故上有零点；
，，故上有零点；
故零点所在的区间为，.
故选：AD
10. 设，则的一个必要不充分条件可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由必要不充分条件的定义逐一判断，找出能使是其真子集的范围即可.
【详解】根据题意可知，需满足是该条件范围的真子集，
经逐一检验可知BD符合题意
故选：BD
11. 已知，，则下列结论正确的是（ ）
A. 为第二象限角B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用同角三角函数的基本关系计算求解即可判断各选项.
【详解】由同角三角函数平分关系可得，
，因为，所以，解得，,
因为，所以是第二象限角，故选项，正确，
有同角三角函数商数关系可得，，故选项错误，
因为，故选项正确.
故选：.
12. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则关于函数的叙述中不正确的是（ ）
A. 是上的增函数B.
C. 的值域是D. 的值域是
【答案】ABC
【解析】
【分析】举反例得到ABC错误，变换，确定，得到答案.
【详解】对选项A：，，
，错误；
对选项B：，错误；
对选项C：，错误；
对选项D：，，，
的值域是，正确；
故选：ABC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知幂函数图像经过和，则______．
【答案】2
【解析】
【分析】设，结合经过，求出，再将代入，即可求解．
【详解】设，由经过，则，解得，
所以，则，
故答案为：．
14. 已知扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的面积为___．
【答案】
【解析】
【分析】根据扇形的弧长公式求出半径，再计算扇形的面积．
【详解】扇形的圆心角为，弧长为，
则扇形的半径为r4，
面积为Slrπ×4＝2．
故答案为2．
【点睛】本题考查了扇形的弧长与面积的计算问题，是基础题．
15. 不等式对一切实数都成立，则取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】分类和两种情况讨论，对时，利用二次函数的图像进行分析求解．
【详解】当时，，成立；
当时，一元二次不等式对一切实数都成立，
则，解得，即；
综上所述，的取值范围是，
故答案为：．
16. 已知函数是定义在上的偶函数，则a的值为______；当时，，若，则m的取值范围是______．
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】由偶函数定义域关于原点对称可得，由偶函数性质利用换元法解不等式即可得或，可求出m的取值范围是.
【详解】依题意可知，解得；
即当时，，
解不等式可得或，又因为，可得，
当时，可得,
解不等式可得或，又因为,可得；
所以可得或，
解得或，
即m的取值范围是.
故答案为：；
四、解答题：本题共有6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）利用实数指数幂的运算性质计算即可；
（2）利用对数的运算性质计算即可．
【小问1详解】
原式．
【小问2详解】
原式
．
18. 已知，集合，，求：
（1）；
（2）．
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
【分析】（1）解一元二次不等式即可得集合，利用交集运算法则可得或；
（2）求出或，即可得
【小问1详解】
易知或，
又；
或
【小问2详解】
由（1）可知或，
因此可得或
19. 已知角满足______．请从下列三个条件中任选一个作答．（注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分）．
条件①：角的终边与单位圆的交点为；
条件②：角满足；
条件③：角满足．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）时，原式；时，原式；
【解析】
【分析】（1）利用三角函数定义以及同角三角函数的平方关系即可解得；
（2）将分母看成“1”，将表达式化为只含有的式子代入计算即可求得结果.
【小问1详解】
条件①：因为角的终边与单位圆的交点为，
可得，，由三角函数的定义可得
条件②：因为角满足，
又因为，即可得
所以，可得
条件③：因为角满足，又因为，
即，可得
又，∴，
即
【小问2详解】
易知
由（1）可知：，
当时，原式；
当时，原式.
20. 已知函数．
（1）判断的奇偶性，并说明理由；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明；
（3）求在上的值域．
【答案】（1）奇函数，理由见解析
（2）在上为增函数，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据奇偶性的定义，求出定义域，代入即可得出判断；
（2）直接根据单调性定义证明即可；
（3）结合的奇偶性与单调性，即可求出在上的值域．
【小问1详解】
函数是奇函数．
的定义域为，关于原点对称，
因为，
所以在上是奇函数．
【小问2详解】
在上为增函数；
证明：任取，
则
，
因为，所以，，，
则，即．
故在上为增函数．
【小问3详解】
结合（1）（2）知在上为增函数，即在上为增函数，
当时，取得最小值，且最小值为
当时，取得最大值，且最大值为
故在的值域为．
21. 2022年10月16日上午，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂开幕．二十大报告提出，全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展，巩固拓展脱贫攻坚成果．某地政府为深入推进乡村振兴，决定调整产业结构．该地区现有260户农民，且都从事水果种植，平均每户的年收入为3.5万元．为增加农民收入，当地政府决定动员部分农民从事水果加工．据测算，若动员户农民只从事水果加工，剩下的只从事水果种植，则从事水果加工的农民平均每户收入将为万元，而从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高5x%．
（1）若动员x户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x的取值范围；
（2）在（1）的条件下，要使这260户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a的最大值．
【答案】（1）
（2）22
【解析】
【分析】（1）依题意列出不等式，解一元二次不等式即可求得x的取值范围为；
（2）化简表达式并利用基本不等式即可求出a的最大值为22.
【小问1详解】
根据题意可知，需满足，
化简为，解得，
故x的取值范围为
【小问2详解】
由题意得
整理可得，
因为，
当且仅当时，取到最小值10；所以，
即a的最大值为22
22. 已知函数是奇函数，且过点．
（1）求实数m和a的值；
（2）设，是否存在正实数t，使关于x的不等式对恒成立，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的性质可求得，从而可得解；
（2）由（1）可得，再用整体换元思想将函数转化为二次函数，再分类讨论，讨论时和若时函数的单调性，从而可解决函数在上恒成立问题.
【小问1详解】
因为是定义域为R的奇函数，
∴，∴，检验符合.
∴．
又因为过点，
∴ ，
∴
【小问2详解】
由（1）得，
因为，令，∴，
记，∵函数在上恒成立，
∴（ⅰ）若时，函数在上为增函数，
所以为减函数，
则需函数恒成立，即恒成立．
由于对称轴，函数在区间上为增函数，
∴恒成立，∴恒成立，则恒成立，
故合题意
（ⅱ）若时，则需在恒成立，则：
①
②
③
综上所述：故存在正数，使函数在上恒成立
【点睛】关键点睛：第二小问中，用换元法令，将复杂函数转化为二次函数是关键，再利用分类讨论思想解决函数不等式上恒成立的问题，本题考查了函数的奇偶性，整体换元以及分类讨论思想，属于较难题.