初中数学4 整式的乘法达标测试

这是一份初中数学4 整式的乘法达标测试，文件包含专题1-2整式的乘除九大题型汇总原卷版docx、专题1-2整式的乘除九大题型汇总解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共59页， 欢迎下载使用。
\l "_Tc154761159" 题型一 整式乘法基本计算与求值
\l "_Tc154761160" 题型二 整式除法
\l "_Tc154761161" 题型三 遮挡问题
\l "_Tc154761162" 题型四 不含某项问题
\l "_Tc154761163" 题型五 整体思想的应用
\l "_Tc154761164" 题型六 错看数据问题
\l "_Tc154761165" 题型七 整式乘除的实际应用
\l "_Tc154761166" 题型八 新定义问题
\l "_Tc154761167" 题型九 规律探究
知识点梳理
一、整式的乘法
二、整式的除法
题型一 整式乘法基本计算与求值
【例题讲解】
【解答】解：
．
（x+m）（x﹣n）＝x2+ax+7（m，n为整数），则a的值可能是________
【答案】8或﹣8
【解答】解：（x+m）（x﹣n）＝x2﹣nx+mx﹣mn＝x2+（m﹣n）x﹣mn．
∵（x+m）（x﹣n）＝x2+ax+7（m，n为整数），
∴m﹣n＝a，﹣mn＝7．
∴m＝1，n＝﹣7或m＝﹣1，n＝7或m＝7，n＝﹣1或m＝﹣7，n＝1．
∴a＝m﹣n＝8或﹣8．
已知，则 ．
【答案】2
【解答】解：当时，
原式
【巩固练习】
计算： ．
【解答】解：
计算
（1）
（2）
（3）
（4）
【解答】解：（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
已知，，则 ．
【解答】解：当，时，
，
已知，，则的值是 ．
【解答】解：
，
又，，
原式．
故答案为：．
已知多项式恰等于两个多项式和的积，则 ．
【解答】解：
，
由题意知，，
则，
所以，
故答案为：．
已知，则的值是
A．B．1C．5D．
【解答】解：，
，，
故选：．
已知，则的值是
A．B．1C．5D．
【解答】解：，
，
，
故选：．
已知，求的值．
【解答】解：，
而，
，，
．
已知：，则的值为 ．
【解答】解：，
，
，
故答案为：5．
若，则的值为 ．
【解答】解：，
，
，，
，，
，
故答案为．
若，则的值为 ．
【解答】解：，
又，
．
，．
，．
．
故答案为：．
已知：，求代数式的值．
【解答】解：，
、、，
则原式．
已知关于的多项式能被整除，求的值．
【解答】解：设
答：的值为．
已知多项式能被整除，求的值．
【解答】解：多项式能被整除，
设．
．
根据对应部分的系数相等，
，．
，．
的值为．
若能被整除，则 ．
【解答】解：为二次多项式的一个因式，
当时，，多项式的值为0，
即：，解得．
故答案为．
题型二 整式除法
【例题讲解】
计算的结果是 ．
【答案】
【解答】解：原式．
若A与−12ab的积为−4a3b3+3a2b2−12ab，则A为（ ）
A．﹣8a2b2+6ab﹣1B．−2a2b2+32ab+14
C．8a2b2﹣6ab+1D．2a2b2−32ab+1
【答案】C
【解答】解：由题意得：
（−4a3b3+3a2b2−12ab）÷（−12ab）
＝﹣4a3b3÷（−12ab）+3a2b2÷（−12ab）−12ab÷（−12ab）
＝8a2b2﹣6ab+1．
故选：C．
【巩固练习】
计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【解答】（1）原式；
（2）原式．
先化简，再求值：[（xy+2）（xy﹣2）﹣2x2y2+4]÷xy，其中x＝﹣10，y=125．
【答案】25
【解答】解：[（xy+2）（xy﹣2）﹣2x2y2+4]÷xy
＝（x2y2﹣4﹣2x2y2+4）÷xy
＝﹣x2y2÷xy
＝﹣xy，
当x＝﹣10，y=125时，原式＝﹣（﹣10）×125=25
已知多项式2x2﹣4x﹣1除以一个多项式A，得商式为2x，余式为x﹣1，则这个多项式A＝_____．
【分析】根据“除式=（被除式-余式）÷商”列式，再利用多项式除单项式，先把多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，计算即可．
【解答】解：由题意可得：
A=(2x2−4x−1)−(x−1)÷2x=(2x2−5x)÷2x=x−52
故答案为：x−52
将一多项式，除以后，得商式为，余式为0，求的值．
【解答】解：多项式，除以后，得商式为，余式为0，
，
即，
，解得：，，，
题型三 遮挡问题
【例题讲解】
某天数学课上，学习了整式的除法运算，放学后，小明回到家拿出课堂笔记，认真地复习课上学习的内容，他突然发现一道三项式除法运算题：
被除式的第二项中被钢笔水弄污了(还能看到前面的运算符号），你能算出被污染的内容是 ．
【答案】
【分析】经化简发现，由于被污染的内容是被除式的第二项，根据乘除互为逆运算可知被除式=除式×商，运用单项式乘以多项式的法则求出被除式，从而得出结果．
【详解】解：用A表示被污染的项，则
A
= A
= A
= A
又∵原式=
∴－A＝
∴A＝＝
∴被污染的内容是．
故答案为：．
【巩固练习】
某天数学课上，学习了整式的除法运算，放学后，小明回到家拿出课堂笔记，认真地复习课上学习的内容，他突然发现一道三项式除法运算题：
．被除式的第二项被钢笔水弄污了，商的第一项也被钢笔水弄污了，你能算出两处污染的内容是什么吗？
【答案】商的第一项：-3x2y2，被除式的第二项：9*-35x3y2．
【分析】由于被污染的内容是被除式的第二项，根据乘除互为逆运算可知被除式=除式×商，运用单项式乘以多项式的法则求出被除式，从而得出结果.
【详解】解:商的第一项=21x4y3÷（-7x2y）=-3x2y2，
被除式的第二项=-（-7x2y）×5xy=35x3y2．
在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3+□+3x，“□”的地方被墨水污染了，你认为“□”内应填写（ ）
A．9x2B．﹣9x2C．9xD．﹣9x
【答案】B
【解答】解：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3﹣9x2+3x，
今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（ ）
A．+21xyB．﹣21xyC．﹣3D．﹣10xy
【答案】A
【解答】解：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y+21xy．
今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题3x2y（2xy2﹣xy﹣1）＝6x3y3 ﹣3x2y，空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写 ．
【答案】﹣3x3y2，﹣3x3y2
【解答】解：∵3x2y（2xy2﹣xy﹣1）＝6x3y3﹣3x3y2﹣3x2y，∴横线上应填写﹣3x3y2，
已知x3﹣6x2+11x﹣6＝（x﹣1）（x2+mx+n），其中m、n是被墨水弄脏了看不清楚的两处，请求出m2+6mn+9n2的值．
【答案】
【解答】解：∵x3﹣6x2+11x﹣6＝（x﹣1）（x2+mx+n）＝x3+（m﹣1）x2+（n﹣m）x﹣n，
∴m﹣1＝﹣6，n＝6，∴m＝﹣5，
∴m2+6mn+9n2＝（﹣5）2+6×（﹣5）×6+9×62＝25﹣180+324＝169．
题型四 不含某项问题
【例题讲解】
代数式的值与的取值无关，则的值为
A．B．3C．7D．
【答案】
【解答】解：，
的值与的取值无关，
，，，，
若的积中不含项与，求，的值．
【答案】，
【解答】解：（1）
，
积中不含项与，，，，
【巩固练习】
代数式的展开式中不含，项，则 ．
【答案】42
【解答】解：原式，
根据展开式中不含，得：，解得：，
若的积中不含项与项，则 ， ．
【答案】3，
【解答】解：
．
积中不含项与项，
，．
解得：，．
故答案为：，．
已知的展开式中不含项和项，则 ， ．
【答案】1；1
【解答】解：
，
展开式中不含项和项，
且，
解得，
已知的乘积展开式中不含和项，则的值为 ．
【答案】
【解答】解：原式，
乘积展开式中不含和项，，，解得，，．
故答案为．
计算的结果中不含和的项，则 ， ．
【答案】3，1
【解答】解：
．
的结果中不含和的项，
，，
，．
已知展开后的结果中不含、项．求的值．
【答案】
【解答】解：
因为展开后的结果中不含、项，所以
所以 ．
若的积中不含和项，则 ．
【答案】
【解答】解：，
由积中不含和项，得到，，
解得：，，
则．
故答案为：．
如果的积中不含的一次项，则的值是 ．
【答案】10
【解答】解：，
不含的一次项，
，
解得：
已知代数式化简后，不含项和常数项．求，的值
【答案】，
【解答】解：原式，
不含项和常数项，
，，
，．
题型五 整体思想的应用
【例题讲解】
当时，代数式的值为2023，则当时，代数式的值是 ．
【答案】
【解答】解：当时，代数式的值为2023，
代入得：，，
当时，代数式．
【巩固练习】
对于任何实数，我们规定的意义是，按照这个规定请你计算：当时，的值为 ．
【答案】1
【解答】解：由题意可知：原式，
，，
原式
已知，则 ．
【答案】2
【解答】解：，
，
若，则 ．
【答案】2023
【解答】解：，
，
则原式
若，，则 ．
【答案】36
【解答】解：，，
．
当时，代数式的值为2024，则当时，代数式的值为
A．B．2022C．D．
【答案】
【解答】解：当时，代数式的值为2024，
，即，
当时，．
已知．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
【解答】解：（1），
；
（2），
，
，
，
，
，
．
（3），
原式
．
关于的代数式化简后不含项与常数项，且，求的值．
【答案】2022
【解答】
．
不含项与常数项．
，．
，．
．
．
．
．
题型六 错看数据问题
【例题讲解】
小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以错抄成乘以，结果得到，则正确的计算结果是 ．
【答案】
【解答】解：由题意得，，
故答案为：
甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是．则本题的正确结果是 ．
【答案】
【分析】根据甲的描述利用多项式乘以多项式的计算法则得到，根据乙的描述可得，由此得到关于a、b的二元一次方程组，求出a、b的值代入原多项式中求解即可．
【详解】解：∵由于甲抄错了的符号，得到的结果是，
∴，∴，∴，
∵乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是，
∴，∴，
∴，∴，∴，∴原多项式为，
，故答案为：．
【巩固练习】
小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以错抄成除以，结果得到，则正确的结果是（ ）
A．3x2﹣7xy+2y2B．3x2+7xy+2y2
C．3x3﹣13x2y+16xy2﹣4y3D．3x3﹣13x2y+16xy2+4y3
【答案】C
【解答】解：∵小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以（x﹣2y）错抄成除以（x﹣2y），结果得到（3x﹣y），
∴原式＝（3x﹣y）（x﹣2y）
＝3x2﹣6xy﹣xy+2y2
＝3x2﹣7xy+2y2，
则正确计算结果为：（3x2﹣7xy+2y2）（x﹣2y）
＝3x3﹣7x2y+2xy2﹣6x2y+14xy2﹣4y3
＝3x3﹣13x2y+16xy2﹣4y3．
某同学在计算一个多项式乘以﹣2a时，因抄错运算符号，算成了加上﹣2a，得到的结果是a2+2a﹣1，那么正确的计算结果是多少？
【答案】
【解答】解：∵计算一个多项式乘以﹣2a时，因抄错运算符号，算成了加上﹣2a，得到的结果是a2+2a﹣1，
∴这个多项式为：a2+2a﹣1+2a＝a2+4a﹣1，
∴正确的计算结果是：﹣2a（a2+4a﹣1）＝﹣2a3﹣8a2+2a．
在计算（x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到结果x2+8x+12；乙错把a看成了﹣a，得到结果x2+x﹣6．你能正确计算（x+a）（x+b）吗？（a、b都是常数）
【答案】x2+5x+6
【解答】解：∵（x+a）（a+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+8x+12，
∴6+a＝8，∴a＝2；
∵（x﹣a）（x+b）＝x2+（b﹣a）x﹣ab＝x2+x﹣6，
∴b﹣a＝1，∴b＝3，
∴（x+a）（a+b）＝（x+2）（x+3）＝x2+5x+6．
甲、乙两人共同计算一道整式：（x+a）（2x+b），由于甲抄错了a的符号，得到的结果是2x2﹣7x+3，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x﹣3．
（1）求（﹣2a+b）（a+b）的值；
（2）若整式中的a的符号不抄错，且a＝3，请计算这道题的正确结果．
【答案】﹣14；2x2+5x﹣3
【解答】解：（1）甲抄错了a的符号的计算结果为：（x﹣a）（2x+b）＝2x2+（﹣2a+b）x﹣ab＝2x2﹣7x+3，
故：对应的系数相等，﹣2a+b＝﹣7，ab＝﹣3；
乙漏抄了第二个多项式中x的系数，计算结果为：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab＝x2+2x﹣3．
故：对应的系数相等，a+b＝2，ab＝﹣3，∴−2a+b=−7a+b=2，解得：a=3b=−1，
∴（﹣2a+b）（a+b）＝[（﹣2）×3﹣1]（3﹣1）＝﹣7×2＝﹣14
（2）由（1）可知，b＝﹣1正确的计算结果：（x+3）（2x﹣1）＝2x2+5x﹣3．
甲、乙二人共同计算一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x﹣10；由于乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10，则a＝ ；b＝ ．
【答案】 ﹣5 ﹣2
【分析】分别按甲、乙错误的说法得出2b﹣3a＝11①和2b+a＝﹣9②，联立方程求解即可求出a，b的值．
【详解】∵甲抄错了第一个多项式中a的符号
∴甲计算的式子是（2x﹣a）（3x+b）＝6x2+（2b﹣3a）x+ab＝6x2+11x﹣10
∴2b﹣3a＝11①
∵乙漏抄了第二个多项式中x的系数
∴乙计算的式子是（2x+a）（x+b）＝2x2+（2b+a）x+ab＝2x2﹣9x+10
∴2b+a＝﹣9②
由①②得：a＝﹣5，b＝﹣2
故答案为：﹣5，﹣2．
某同学计算一个多项式乘时，因抄错符号，算成了加上，得到的答案是，那么正确的计算结果是 ．
【答案】
【分析】先用错误的结果减去已知多项式求得原式，再乘以即可解答．
【详解】解：这个多项式是（x2-0.5x+1）-（-3x2）=4x2-0.5x+1，
正确的计算结果是：（4x2-0.5x+1）（-3x2）=．
故答案为．
小明在计算一个多项式M乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是．则这个多项式是 ，正确的结果是 ．
【答案】
【详解】解：由题意可得：；
则正确的结果是：
甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了a的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是．
(1)求的值；
(2)若整式中的a的符号不抄错，且，请计算这道题的正确结果．
【答案】(1)-14．(2)
【分析】（1）根据题意，列出关于a和b的代数式的值，直接代入计算即可；
（2）先求出b的值，再代入计算．
【详解】（1）解：甲抄错了a的符号的计算结果为：，
因为对应的系数相等，故，
乙漏抄了第二个多项式中x的系数，计算结果为：．
因为对应的系数相等，故，，
∴
（2）解：乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果得出：
，故，∴b=-1，
把a=3，b=-1代入，
得(x+3)(2x-1)=2x2+5x-3，
故答案为：2x2+5x-3．
甲、乙二人共同计算一道整式乘法：，由于甲抄错为，得到的结果为；而乙抄错为，得到的结果为．
(1)你能否知道式子中的a，b的值各是多少？
(2)请你计算出这道整式乘法的正确答案．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）按照甲、乙两人抄的错误的式子进行计算，得到，，解关于的方程组即可求出a、b的值；
（2）把a、b的值代入原式求出整式乘法的正确结果．
【详解】（1）根据题意可知，甲抄错为，得到的结果为，
那么，
可得
乙抄错为，得到的结果为，
可知
可得，
解关于的方程组，可得，；
（2）正确的式子：
某同学在计算一个多项式A乘以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，请求出正确的结果．
【答案】
【分析】根据题意可知，再根据按照去括号、合并同类项的顺序计算求出A，然后利用单项式乘多项式的法则进行计算即可．
【详解】根据题意可得，
∴．
题型七 整式乘除的实际应用
【例题讲解】
一个长方形花园，长为a，宽为b，中间有两条互相垂直的宽为c的路，则可种花的面积为 ．
【答案】ab﹣ac﹣bc+
【分析】利用平移的思想，把阴影部分靠边集中放置，计算处理后图形的长与宽，计算面积即可．
【详解】如图，将阴影向上，向左放置，
则花池的长为（a-c），宽为（b-c），
所以其面积为：（a-c）×（b-c）= ab﹣ac﹣bc+，
故答案为：ab﹣ac﹣bc+．
【巩固练习】
如图，在一块长，宽的长方形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与长方形的一条边垂直），剩余部分栽种花草美化环境，设道路的管度为，则栽种花草的面积表示不正确的是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据栽种花草的面积的不同求法求解即可．
【详解】解：A、把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．剩下长方形的长是，宽是，所以栽种花草的面积是，故该选项正确；
B、栽种花草的面积＝大长方形的面积-两条路的面积+两条路重合正方形的面积，即，故该选项正确；
C、把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，栽种花草的面积＝大长方形的面积-两条路的面积-正方形的面积，即，故该选项正确；
D、该选项栽种花草的面积表示不正确
一个长、宽分别为a、b的长方形的周长为10，面积为6，则的值为 ．
【答案】30
【分析】直接利用已知得出a+b ，ab的值，再利用提取公因式法分解因式得出答案．
【详解】解：长和宽分别是a，b的长方形的周长为10，面积为6，
，，故，则．
如图，将一张边长为x的正方形纸板按图中虚线裁剪成三块长方形，观察图形表示阴影部分的面积，则表示错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用面积公式以及面积的和差将阴影面积表示出来即可．
【详解】解：∵由图知阴影部分边长分别为（x-1），（x-2），
∴阴影面积=（x-1）（x-2），故A不符合题意．
（x-1）（x-2）=x2-2x-x+2=x2-3x+2，故B不符合题意．
阴影面积可以用大正方形面积-空白部分面积，
∴阴影面积，故C不符合题意．
∴D符合题意．
【背景知识】用两种方法计算同一个图形的面积，就可以得到一个等式．例如：图1是一个边长为的正方形，从整体来看，它的面积可以表示为，从分块来看，这个正方形有四块，其中面积为的正方形有1块，面积为的正方形有1块，面积为ab的长方形有2块，因此，该正方形的面积还可以表示为，这两种方法都是求同一个正方形的面积，于是得到．
(1)【能力提升】请你根据背景知识和图2推导等式______；
(2)【能力提升】请你根据背景知识和图3推导等式______；
(3)【拓展应用】若，，利用（2）得到的结论，求图3中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)25
【分析】（1）从整体来看，它的面积可以表示为，从分块来看，这个正方形有九块，其中面积为的正方形有2块，面积为的正方形有2块，面积为ab的长方形有5块，即可求解；
（2）从整体来看，它的面积可以表示为；从分块来看，这个正方形有九块，其中面积为的正方形有1块，面积为的正方形有1块，面积为的正方形有1块，面积为ab的长方形有2块，面积为ac的长方形有2块，面积为bc的长方形有2块，即可求解；
（3）根据题意可得，由（2）可得：，再把，代入，即可求解．
【详解】（1）解：从整体来看，它的面积可以表示为，
从分块来看，这个正方形有九块，其中面积为的正方形有2块，面积为的正方形有2块，面积为ab的长方形有5块，
∴该正方形的面积还可以表示为，
∴；
故答案为：；
（2）解：从整体来看，它的面积可以表示为；
从分块来看，这个正方形有九块，其中面积为的正方形有1块，面积为的正方形有1块，面积为的正方形有1块，面积为ab的长方形有2块，面积为ac的长方形有2块，面积为bc的长方形有2块，
∴该正方形的面积还可以表示为；
∴；
故答案为：
（3）解：根据题意得：，
由（2）得：，
当，时，
，解得：，
即阴影部分的面积为25．
我们知道，在学习了课本阅读材料：《综合与实践—面积与代数恒等式》后，利用图形的面积能解释与得出代数恒等式，请你解答下列问题：
(1)如图，根据3个正方形和6个长方形的面积之和等于大正方形的面积．可以得到代数恒等式：______；
(2)已知，，求的值．
(3)若、满足如下条件：，，求的值．
【答案】(1)，(2)47，(3)
【详解】（1）解：由题意，得：；
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
由（1）知：，
∴；
（3）解：令：，
∴，
，
，
由（1）知：，
即：，
∴，
∴，
∵，
∴．
如图，有一张长方形纸板，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后四周突出的部分折起，制成一个高为a的长方体形状的无盖纸盒，如果纸盒的容积为4a2b，底面的一边长为b，求原来长方形纸板的面积．
【答案】12a2+6ab
【详解】解：设底面长方形的另一边为m，根据题意得：abm=4a2b，
解得m=4a2b÷ab=4a，
则长方形纸板的长为：4a+2a=6a，宽为：2a+b，
故原来长方形纸板的面积为6a（2a+b）=12a2+6ab．
如图，在长为，宽为的长方形铁片上，挖去长为，宽为2b的小长方形铁片．
(1)计算剩余部分（即阴影部分）的面积．
(2)求出当，时的阴影面积．
【答案】(1)6ab+8a+6-2,(2)105
【分析】（1）根据大长方形的面积减去小长方形的面积列式化简即可；
（2）将，代入代数式求值即可．
【详解】（1）解：由题意，得


；
（2）解：当，时，
．
在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD比AB大3时，S2﹣S1的值为（ ）
A．3aB．3bC．3a﹣bD．3b﹣a
【答案】B
【分析】利用割补法表示出和，然后作差，利用整式的混合运算法则进行化简即可得出结果．
【详解】解：∵，
，
∴
∵AD比AB大3，
∴，
∴．
用两种方式表示同一长方形的面积可以得到一些代数恒等式，小明从图中得到四个恒等式：
①； ②；
③； ④，
其中正确的是（ ）
A．①③B．①④C．②③④D．①②④
【答案】B
【分析】根据图形，分别用含a和b的代数式表示图中各个正方形和长方形的面积，再根据面积之间的关系即可进行解答．
【详解】解：由图可知：
，
，
①左边，
右边，
∴①正确，符合题意；
②左边，右边不能用图中的面积进行表示，
故②不符合题意；
③左边的不能用图中的线段进行表示，
故③不符合题意；
④左边，
右边，故④正确，符合题意．
现有两个边长为b的小正方形ABCD、EFGH和一个边长为a的大正方形．如图1，小明将两个边长为b的小正方形ABCD、EFGH有部分重叠地放在边长为a的大正方形内；如图2，小彤将一个边长为b的小正方形放在边长为a的大正方形外. 若图1中长方形AFGD的面积为80，重叠部分的长方形BCHE的面积为48，则图2中阴影部分的面积为 ．
【答案】42
【详解】解：∵图1中长方形AFGD的面积为80，重叠部分的长方形BCHE的面积为48，
∴ab=80，b[b-（a-b）]=b（2b-a）=48，
解得a=10，b=8，
∴图2中阴影部分的面积为10×10+8×8-10×10÷2-（10+8）×8÷2=42．
如图，学校操场主席台前计划修建一块凹字形花坛．（单位：米）
(1)用含，的整式表示花坛的面积；
(2)若，，工程费为元平方米，求建花坛的总工程费为多少元？
【答案】(1)花坛的面积是平方米
(2)建花坛的总工程费为元
【详解】（1）解：（1）
=
=平方米．
答：花坛的面积是平方米．
（2）当，时，
===(平方米)
（元）
答：建花坛的总工程费为14375元．
“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用．
例1：如图1，可得等式：；
例2：由图2，可得等式：．
(1)如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你发现的结论用等式表示为 ；
(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，，且．求的值；
(3)如图4，拼成为大长方形，记长方形的面积与长方形的面积差为．设，若的值与无关，求与之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了几何面积与多项式的关系、整式的混合运算，熟练掌握运算法则，采用数形结合的方法是解此题的关键．
（1）正方形的面积为，各小块面积总和为：，再由面积相等，即可得出答案；
（2）由题意可得，由（1）可得：，结合可得，进行计算即可得出答案；
（3）由图可得：，，，从而得出，根据，表示出，最后由的值与无关，可得，即可得出答案．
【详解】（1）解：由图可得：正方形的面积为，
各小块面积总和为：，
面积相等，
，
故答案为：；
（2）解：，，，
，
由（1）可得：，
，
，
，
；
（3）解：由图可得：，，，
，
，
，
，
的值与无关，
，
．
题型八 新定义问题
【例题讲解】
化简并求值：定义一种新的运算法则： ， 请你化简式子： ， 若， 请计算上面这个式子的值．
【答案】-，－20
【分析】根据对进行化简后，将x、y的数值代入即可得出答案．
【详解】解：
===-
当x=2，y=1时，
原式=．
设x，y为任意有理数，定义运算：x*y＝(x＋1)(y＋1)－1，
得到下列五个结论：①x*y＝y*x ②x*(y＋z)＝x*y＋x*z
③(x＋1)*(x－1)＝x*x－1 ④x*0＝0
⑤(x＋1)*(x＋1)＝x*x＋2*x＋1其中正确结论的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据题中定义的运算，对各结论中新定义的运算进行计算，判断即可解答．
【详解】解：∵x*y＝（x+1）（y+1）﹣1，
y*x＝（y+1）（x+1）﹣1，
∴x*y＝y*x，
故①正确；
∵x*（y+z）＝（x+1）（y+z＋1）﹣1＝xy+xz+x＋y+z＋1－1＝xy+xz+x＋y+z，
x*y+x*z＝（x+1）（y+1）﹣1+（x+1）（z+1）﹣1＝xy+x+y+xz+x+z＝xy+xz+2x+y+z，
∴x*（y+z）≠x*y+x*z，
故②错误；
∵（x+1）*（x﹣1）＝（x+1+1）（x﹣1+1）﹣1＝（x+2）x﹣1＝x2+2x﹣1．
x*x﹣1＝（x+1）（x+1）﹣1﹣1＝x2+2x﹣1．
∴（x+1）*（x﹣1）＝x*x﹣1，
故③正确；
∵x*0＝（x+1）（0+1）﹣1＝x+1﹣1＝x，
∴x*0≠0，
故④错误；
∵（x+1）*（x+1）＝（x+1+1）（x+1+1）﹣1＝（x+2）2﹣1＝x2+4x+3，
x*x+2*x+1＝（x+1）（x+1）﹣1+（2+1）（x+1）﹣1+1＝（x+1）2+3（x+1）﹣1＝x2+5x+3．
∴（x+1）*（x+1）≠x*x+2*x+1
故⑤错误．
综上所述，正确的个数为2．
【巩固练习】
定义，如||
(1)若||，求x的值；
(2)若的值与x无关，求m的值．
【答案】(1)1，(2)-2
【分析】（1）先根据定义新运算的规定，得到关于x的方程，求解即可；
（2）先根据定于新运算的规定得到整式，计算并化简整式，根据值与x无关确定 m 的值，计算 即可．
【详解】（1）解：(x+1)2-( x -1)2=4
x2+2x+1-x2+2x-1=4
4x=4
x =1；
（2）（x+ m ）（2x+1)-（2x-1）（x-1）
=2x2+x+2xm+ m -（2x2-2x-x+1）
=4x+2xm+m-1
=(4+2m)x+ m-1，
∵的值与x无关，
∴4+2m=0，
∴m=-2．
定义，如．已知，已知（n为常数）
(1)若，求x的值；
(2)若A的代数式中不含x的一次项时，当，求的值．
(3)若A中的n满足时，且，求的值．
【答案】(1)1，(2)9，(3)4
【分析】（1）根据新定义列方程求解即可；
（2）先根据新定义列式化简，根据A的代数式中不含x的一次项求出n的值，再求的值；
（3）先根据求出n的值，再根据可得，然后代入所给代数式计算即可．
【详解】（1）解：，
∴，
∴．
（2）解：
当A的代数式中不含x的一次项时，则
∴
∴
当时，
（3）解：由可得此时
由可得，可得
在学习教材上的综合与实践《设计自己的运算程序》时，小萱对自己设计的运算给出如下定义：．的化简结果是 ；若乘以的结果为，则的值为
【答案】 2x2+5x+2 ±2
【分析】认真读懂新定义，代入新定义公式化简求值即可．
【详解】解：（1）(1，2)=(x+2)(2x+1)=2x2+x+4x+2=2x2+5x+2，
故答案为：2x2+5x+2．
（2）(a，b)=(ax+b)(bx+a)，(b，a)=(bx+a)(ax+b)；
∴(a，b) (b，a)=(ax+b)2(bx+a)2=a2b2x4+(2a3b+2ab3)x3+(a4+4a2b2+b4)x2+(2a3b+2ab3)x+a2b2，
∴a2b2=9，ab=±3，
2a3b+2ab3=-60，即2ab(a2+b2)=-60，
∴ab=-3，
∴-3×2(a2+b2)=-60，
a2+b2=10，
(a+b)2=a2+b2+2ab=10+2×(-3)=4，
∴a+b=±2．
定义：对于任意一个有理数，我们把称作的相伴数．若，则；若，则．例如：．
(1)求，的值；
(2)若，，化简：．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由新定义列出算式计算即可；
（2）根据新定义列出算式计算．
【详解】（1）解：，
；
（2）解：，，
．
题型九 规律探究
【例题讲解】
观察下列式子：
；
；
；
…
(1)根据以上规律，得出________；
(2)请你归纳出一般性规律：________；
(3)请根据（2）总结的规律，求出的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）
（2）
（3）
下面为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如（其中为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下面的规律，填出展开式中所缺的系数．则 ．
【答案】20
【详解】解：由图可知：的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于的相邻两个系数的和，
∴的各项系数依次为1、4、6、4、1；
的各项系数依次为1、5、10、10、5、1；
∴的系数分别为1、6、15、20、15、6、1．
观察下列各式：
，
，
，
，
根据上述规律计算的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据上面的式子得到：，然后根据规律计算即可．
【详解】解：根据上面的式子可得：
∴，
∴．
根据，，， …的规律，则可以得出的末位数字是 ．
【答案】5
【分析】根据前几个等式的变化规律得到第n个等式为，进而求解即可．
【详解】解：第1个等式为，
第2个等式为，
第3个等式为，
第4个等式为，
……
第n个等式为，
∴
，
∵，，，，，，，……，
∴的末位数是以2、4、8、6每四个一个循环，
又，
∴即的末位数为5，
故答案为：5．
【巩固练习】
观察：，，，……据此规律，当时，代数式的值为（ ）
A．B．C．D．0
【答案】C
【分析】根据规律得到，进而得到，得到，再代入即可求解．
【详解】解：根据规律得，
∵，
∴，∴，∴．
数学兴趣小组发现：


利用你发现的规律：求： ．
【答案】
【分析】观察题目所给的式子可以得到规律，然后把代入式子中进行求解即可．
【详解】解：；
；
；
∴可以得到规律，
当时：

，
．
故答案为：．
我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出下表，此表揭示了（为非负数）展开式的各项系数的规律，如：，它的系数分別为1，2，1．若展开得，那么的值为 ．
【答案】
【详解】解：∵
令，
∴，
即；
故答案为：
如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数（从左往右数）为
【答案】
【分析】根据给出的数据可得：第n行的第三个数等于的结果再乘以，再把n的值代入计算即可．
【详解】解：根据给出的数据可得：第n行的第三个数等于的结果再乘以，
所以第8行第3个数是 ．
故答案为：．
已知，，．根据前面各式的规律，可得：的值为 ，的值的个位数字是 ．
【答案】
【分析】本题考查规律问题，整式的混合运算，有理数的乘方．仿照阅读材料中的等式可得再进一步得出的个位数字与的个位数字相同，即得答案．解题的关键是学会或转化的思想思考问题，学会从特殊到一般的探究规律的方法．
【详解】解：由题意可得：，
∴；
，
∵，个位数字为，，个位数字为，
，个位数字为，，个位数字为，
，个位数字为，，个位数字为，
，个位数字为，，个位数字为，
，个位数字为，，个位数字为，
，个位数字为，，个位数字为，
，个位数字为，，个位数字为，
，个位数字为，，个位数字为，
，
∴的个位数字与的个位数字相同，都是，
∴的个位数字与的个位数字相同，都是，
∴的值的个位数字是．
阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于，记为，那么这个数i就叫做虚数单位，我们把形如（，为实数）的数叫做复数，其中叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：；
；
；
．
根据以上信息，完成下列问题：
(1)填空：______；
(2)计算：；
(3)计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据虚数单位的定义可得答案；
（2）根据整式的加减运算法则结合虚数单位进行求解即可；
（3）根据同底数幂乘法逆运算结合虚数单位进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
故答案为：；
（2）
；
（3）∵，
∴，
，
∴．
我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．
(1)请仔细观察，填出的展开式中所缺的系数：

(2)此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期一，再过7天还是星期一，那么再过天是星期 ．
【答案】(1)6，4，(2)二
【分析】本题主要考查了与数字相关的规律题，
（1）根据题目所给式子求解即可；
（2）根据规律可得（其中a、b、c…．．是一列常数），然后证明上式除以7余1即可得到答案．
正确理解题意是解题的关键．
【详解】（1）由题意得，
故答案为：6，4；
（2）∵（其中a、b、c…．．是一列常数），
∵刚好能被7整除，
∴除以7的余数刚好为1，
∴再过814天是星期二
观察下列各式．
(1)请你按照以上各式的运算规律，填空．
①____________
②____________
③
(2)应用规律计算：
【答案】(1)①；②；③
(2)
【分析】（1）根据给出的等式可知，三项式的特点为：因式中二项式首平方，尾平方，首尾相乘的相反数在中央；计算结果为两个因式首项的积加上尾项的积；
（2）将第一个因式分解因式，然后利用得出的规律计算即可得到结果．
【详解】（1）解：∵；
；
；
∴得到三项式的特点为：因式中二项式首平方，尾平方，首尾相乘的相反数在中央；计算结果为两个因式首项的积加上尾项的积；
∴①；
②；
③；
故答案为：①；②；③；
（2）解：原式
．
观察下列各式：（x≠1）
（x﹣1）÷（x﹣1）＝1；
（x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1；
（x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2+x+1；
（x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1．
(1)根据上面各式的规律可得（x5﹣1）÷（x﹣1）＝ ；
(2)根据上面各式的规律可得（xn+1﹣1）÷（x﹣1）＝ ；
(3)若1+x+x2+…+x2021＝1，求x2022的值．
【答案】(1)x4+x3+x2+x+1
(2)xn+xn﹣1+xn﹣2+...+x+1
(3)0
【分析】（1）由题意知，被除式和除式都是二项式，除式都是（x﹣1），商的次数比被除式的次数小1，项数与被除式的次数相等，按x进行降幂排列，各项系数为1，根据规律直接写出答案即可；
（2）根据规律写出答案即可；
（3）构造（2）中的公式，进行计算即可．
【详解】（1）解：由题意知，，
故答案为：；
（2）解：推导出一般性规律：，
故答案为：；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
问题提出：计算：1＋3＋3（1＋3）＋3（1＋3）2＋3（1＋3）3＋3（1＋3）4＋3（1＋3）5＋3（1＋3）6
问题探究：为便于研究发现规律，我们可以将问题“一般化”，即将算式中特殊的数字3用具有一般性的字母a代替，原算式化为：1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋a（1＋a）3＋a（1＋a）4＋a（1＋a）5＋a（1＋a）6
然后我们再从最简单的情形入手，从中发现规律，找到解决问题的方法：
(1)仿照②，写出将1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋a（1＋a）3进行因式分解的过程；
(2)填空：1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋a（1＋a）3＋a（1＋a）4＝ ；
发现规律：1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋…＋a（1＋a）n＝ ；
问题解决：计算：1＋3＋3（1＋3）＋3（1＋3）2＋3（1＋3）3＋3（1＋3）4＋3（1＋3）5＋3（1＋3）6＝ （结果用乘方表示）．
【答案】(1)（1+a）4
(2)（1+a）5；（1+a）n+1；47
【分析】（1）用提取公因式（1+a）一步步分解因式，最后化为积的形式；
（2）通过前面（1）的例子，用提取公因式法（1+a）一步步分解因式，最后化为积的形式，
发现规律：是根据（1）（2）的结果写出结论；
问题解决：通过前面的例子，用提取公因式法（1+3）一步步分解因式，最后化为积的形式．
【详解】（1）解：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3
＝（1+a）（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3
＝（1+a）2（1+a）+a（1+a）3
＝（1+a）3+a（1+a）3
＝（1+a）3（1+a）
＝（1+a）4；
（2）解：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4
＝（1+a）（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4
＝（1+a）2（1+a）+a（1+a）3+a（1+a）4
＝（1+a）3+a（1+a）3+a（1+a）4
＝（1+a）3（1+a）+a（1+a）4
＝（1+a）4+a（1+a）4
＝（1+a）4（1+a）
＝（1+a）5；
故答案为：（1+a）5；
发现规律：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+…+a（1+a）n＝（1+a）n+1；
故答案为：（1+a）n+1；
问题解决：1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6
＝（1+3）（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6
＝（1+3）2（1+3）+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6
＝（1+3）3（1+3）+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6
＝（1+3）4（1+3）+3（1+3）5+3（1+3）6
＝（1+3）5（1+3）+3（1+3）6
＝（1+3）6（1+3）
＝（1+3）7
＝47．
单项式×单项式：系数相乘，字母相乘．
单项式×多项式：乘法分配律．
多项式×多项式：乘法分配律．
单项式÷单项式：系数相除，字母相除．
多项式÷单项式：除法性质．
多项式÷多项式：找公因式．