专题强化训练二 直线与椭圆的位置关系综合强化训练必刷30道题-高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第一册）

这是一份专题强化训练二 直线与椭圆的位置关系综合强化训练必刷30道题-高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第一册），共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2021·四川省新津中学高二月考（文））椭圆与直线交于、两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则的值为（ ）．
A．B．C．D．
2．（2021·全国高三专题练习）已知直线与椭圆相交于两点，为坐标原点.当的面积取得最大值时，（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·全国（理））已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点.若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为（ ）
A．＋＝1B．＋＝1
C．＋＝1D．＋＝1
4．（2021·全国高二专题练习）设，是椭圆的两个焦点，若上存在点满足，则的取值范围是（ ）
A．，，B．
C．D．
5．（2021·四川武侯·成都七中高二期末（文））已知椭圆：的左右顶点分别为和，是椭圆上不同于，的一点．设直线，的斜率分别为，，则当取最小值时，椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．（2019·安徽铜陵一中高二月考）若点A，F分别是椭圆的左顶点和左焦点，过点F的直线交椭圆于M，N两点，记直线的斜率为，其满足，则直线的斜率为
A．B．C．D．
7．（2021·广东肇庆·高二期末）已知分别为双曲线的左､右焦点，为直角三角形，线段交双曲线于点Q，若，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2021·河南南阳·高二期末（理））已知椭圆上有三个点､､，，，的中点分别为､､，，，的斜率都存在且不为0，若(为坐标原点)，则（ ）
A．1B．-1C．D．
二、多选题
9．（2021·全国高二课时练习）设椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点，且与椭圆相交于，两点，为线段的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若点坐标为，则直线的方程为
C．若直线的方程为，则点坐标为
D．若直线的方程为，则
10．（2021·浙江）已知椭圆C：内一点M(1,2)，直线与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆的焦点坐标为(2,0)､(-2,0)B．椭圆C的长轴长为
C．直线的方程为D．
11．（2021·辽宁抚顺·高二期末）设椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，，．过点的直线交椭圆于两点，且关于点对称，则下列结论正确的有（ ）
A．椭圆的方程为B．椭圆的焦距为
C．椭圆上存在个点，使得D．直线的方程为
12．（2021·江苏高二专题练习）(多选)已知直线y=kx+1与椭圆，则（ ）
A．直线y=kx+1恒过定点(0，1)
B．方程表示椭圆的条件为m>0
C．方程表示椭圆的条件为0D．直线与椭圆总有公共点的m取值范围是m≥1且m≠5
13．（2021·江苏高二专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是，，点是椭圆上异于，的任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．直线与直线的斜率之积为
C．存在点满足
D．若的面积为，则点的横坐标为
14．（2020·江苏省高邮中学高二月考）已知是椭圆长轴上的两个顶点，点是椭圆上异于的任意一点，点与点关于轴对称，则下列四个命题中正确的是（ ）
A．直线与的斜率之积为定值
B．
C．的外接圆半径的最大值为
D．直线与的交点在双曲线上
三、填空题
15．（2021·蒲城县尧山中学高二月考（文））3＜m＜9是方程表示的椭圆的_____条件.（从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中选择一个正确的填写）
16．（2021·玉林市育才中学高二期中（文））已知椭圆，过点作直线l交椭圆C于A，B两点，且点P是AB的中点，则直线l的方程是__________.
17．（2021·永昌县第一高级中学高二期中（文））已知A为椭圆 上的动点，MN为圆 的一条直径，则 的最大值为_____.
18．（2021·四川省新津中学高二月考（文））有公共焦点，的椭圆和双曲线的离心率分别为，，点为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为______．
19．（2020·江西省靖安中学高二月考（理））已知动点在椭圆上，若点坐标为，，且，则的最小值是__________.
20．（2021·马鞍山市第二中学郑蒲港分校高二开学考试（理））已知直线与椭圆交于A、B两点，与圆交于C、D两点．若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是_____________．
四、解答题
21．（2021·哈密市第十五中学（理））已知椭圆的短轴长为，焦点坐标分别是和.
（1）求这个椭圆的标准方程；
（2）直线与椭圆交于､两点，且中点为，求直线的方程.
22．（2021·罗平县第二中学高二期末（文））已知过点的曲线的方程为．
（1）求曲线的标准方程：
（2）已知点，为直线上任意一点，过作的垂线交曲线于点，．证明：平分线段（其中为坐标原点）．
23．（2021·四川省眉山第一中学高二月考（理））已知圆，，圆心为，过直线上的动点分别作的两条切线，（､为切点），交于点，
（1）证明：直线过定点，并求该定点坐标；
（2）是否存在点，使的面积最大？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.
24．（2021·全国高二课时练习）已知直线，圆，椭圆的离心率，直线被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等.
（1）求椭圆的方程；
（2）过圆上任意一点作椭圆的两条切线，若切线的斜率都存在，求证：两条切线斜率之积为定值.
25．（2020·安徽淮北·高二期中（理））已知椭圆：的左右顶点分别为，，右焦点为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线：与椭圆交于，两点，已知直线与相交于点，证明：点在定直线上，并求出此定直线的方程．
26．（2021·四川省内江市第六中学高二期中（文））已知椭圆的长轴长等于抛物线的焦点到准线的距离，的离心率是方程的一个实数根.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，分别是椭圆的左､右焦点，是椭圆上的一点.求的取值范围.
27．（2020·江苏省高邮中学）如图，椭圆的离心率为，右焦点到相应准线的距离为1，点A， B，C分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C的直线交椭圆于点D，交x轴于点M（x1，0），直线AC与直线BD交于点N（x2，y2）.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，求直线的方程；
（3）求证：为定值.
28．（2021·普宁市第二中学高二月考）已知椭圆：过点，且椭圆的离心率为．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)斜率为的直线交椭圆于，两点，且．若直线上存在点P，使得是以为顶角的等腰直角三角形，求直线的方程．
29．（2021·全国高二课时练习）已知点A(0，－2)，椭圆E： (a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.
30．（2020·全国高二课时练习）设椭圆(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且.
（I）求椭圆的方程；
（II）设直线l：与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q. 若(O为原点) ，求k的值.
参考答案
1．A
【详解】
联立椭圆方程与直线方程，
得，，
，，
，，
中点坐标：，
中点与原点连线的斜率．
故选：A
2．A
【详解】
由，得.
设，，则，，
.
又O到直线的距离，
则的面积 ，
当且仅当，即时，的面积取得最大值.
此时，.
故选：A.
3．D
【详解】
设，所以 ，，
运用点差法，作差可得，
所以直线的斜率为，
又，所以，
又，
所以，
故选：D
4．D
解：①假设椭圆的焦点在轴上，则，
假设位于短轴的端点时，取最大值，要使椭圆上存在点满足，
，，，
解得：；
②当椭圆的焦点在轴上时，，
假设位于短轴的端点时，取最大值，要使椭圆上存在点满足，
，，，解得：，
的取值范围是，，
故选：D．
5．C
【详解】
设，，
所以，
令，，
构造函数，
，
当，，为减函数，
当，，为增函数，
所以时取最小值，
此时，.
故选：C
6．B
【详解】
点A，F分别是椭圆的左顶点和左焦点
所以椭圆的左焦点坐标为 ，左顶点坐标为
由题意可知，直线MN的斜率一定存在，因为直线MN过椭圆左焦点，所以MN的直线方程可设为 ，
联立直线方程与椭圆方程，化简得

所以
因为
代入，可得
将代入
通过解方程可得
所以选B
7．A
【详解】
双曲线为，由于是直角三角形，可知，
所以，得，即，
所以直线的方程为，
将直线的方程与双曲线方程联立，，得，即，
又，所以.
故选：A.
8．A
【详解】
设，则，
两式作差，可得，
所以，即，
同理可得，
所以.
故选：A.
9．BD
【详解】
设，，，则，两式相减，
得，即，即．
对于A，，所以A不正确；
对于B，由，，得，
所以直线的方程为，即，所以B正确；
对于C，若直线的方程为，，
则，所以C不正确；
对于D，由，得，
解得或，所以，所以D正确 ．
故选：BD．
10．BCD
A：由椭圆方程知：其焦点坐标为，错误；
B：，即椭圆C的长轴长为，正确；
C：由题意，可设直线为，，，则，联立椭圆方程并整理得：，M为椭圆内一点则，
∴，可得，即直线为，正确；
D：由C知：，，则，正确.
故选：BCD.
11．ACD
【详解】
对于A，由椭圆的定义知：，解得：．
，，解得：，
，椭圆的方程为，A正确；
对于B，由知：焦距为，B错误；
对于C，由知，在以线段为直径的圆上，
由知：以线段为直径的圆与椭圆有个交点，
即椭圆上存在个点，使得，C正确；
对于D，由题意知点为弦的中点，
设，，则，，
两式相减得：．
，，则，，
直线的方程为：，即，D正确.
故选：ACD.
12．AD
解析：由于直线y=kx+1可以化为y-1=k(x-0)，恒过点(0，1)，故A正确；
而方程表示椭圆的条件为m>0且m≠5，故B，C错误；
若直线与椭圆总有公共点，则点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，则0<≤1且m≠5，故m≥1且m≠5，故D正确.
故选：AD.
13．BD
由题意，，，，，短轴一个顶点，
，A错；
设，则，，
所以，B正确；
因为，所以，从而，而是椭圆上任一点时，当是短轴端点时最大，因此不存在点满足，C错；
，，，则，，D正确．
故选：BD．
14．BCD
设，则
、是椭圆长轴上的两个顶点．，
则，故不正确．
由，，，故正确．
当在短轴顶点时，，，，由正弦定理：，可得△的外接圆半径的最大值；故正确．
点与点关于轴对称，设，，
直线的方程为：
直线的方程为：
②两式相乘：可得，由代入化简可得，即直线与的交点在双曲线上；故正确．
故选：．
15．必要不充分
解：若方程表示椭圆，则，解得3＜m＜9，且m≠6；
所以方程表示椭圆的充要条件是3＜m＜9，且m≠6，
所以3＜m＜9是方程表示椭圆的必要不充分条件，
故答案为：必要不充分.
16．
解：设，，，，
则，，
．
恰为线段的中点，即有，，
，
直线的斜率为，
直线的方程为，
即．
由于在椭圆内，故成立．
故答案为：．
17．15
因为圆，圆心半径为，
设，.
因为，，
所以
.
因为在上，所以，
所以，.
函数，对称轴为，
当时，取得最大值为.
故答案为：
18．4
解：可设为第一象限的点，，，
由椭圆的定义可得，
由双曲线的定义可得，
可得，，
由，可得，
即为，
化为，
则．
故答案为：4．
19．
【详解】
∵，∴，
∴
∵，∴
则，
∵，∴点M的轨迹是以点A为圆心，1为半径的圆，A点同时为椭圆的右焦点.
，越小，越小，
结合图形知，当P点为椭圆的右顶点时，取最小值，
∴最小值是.
故答案为：.
20．
【详解】
直线，即为，可得直线恒过定点，圆的圆心为，半径为1，且C，D为直径的端点，
由，可得的中点为，设，，
则，，两式相减可得，
由，，可得，由，即有，
则椭圆的离心率．
21．（1）；（2）.
【详解】
∵焦点坐标分别是和，
∴ 椭圆的焦点在x轴上，中心为原点，故可设椭圆方程为，且，
又椭圆的短轴长为
∴ ，又，
∴ ，
∴ 椭圆的标准方程为，
(2)设,
∵ P，Q都在椭圆上，
∴ ，，
相减可得，
又中点为， ∴ ，
∴ ，即直线的斜率为，
∴直线的方程为，即.
22．
（1）将代入曲线C的方程得，即，
由知：曲线为到两定点、距离之和为4的椭圆，
∴根据椭圆的定义，知：，，即曲线为.
（2）由题意，设，则，故直线，
联立椭圆方程，整理得，若，
∴，则，
∴，中点坐标为，而直线，
∴在直线上，即平分线段，得证.
23．
解：（1）证明：由题意知，､与圆相切，､为切点，
则，，则､､､四点共圆，､在以为直径的圆上（如图）.
设，又，
则的中点为，.
以线段为直径的圆的方程为，
整理得，①
又､在上，②
由两圆方程作差即②①得：.
所以，切点弦所在直线的方程为.
则恒过坐标原点.
（2），
因为，所以点在以为直径的圆周上，
故，即，此时，
又由点，，三点共线，所以，，
所以，即.
24．
【详解】
（1）设椭圆的半焦距为，
圆心到直线的距离，
因为圆的半径为，
所以被圆截得的弦长为，所以.
由题意得，
又，所以，.所以椭圆的方程为.
（2）设点，过点的椭圆的切线的方程为，整理得.
联立，消去，得，
整理得.
因为切线与椭圆相切，
所以，
整理得，，因为，所以.
设满足题意的椭圆的两条切线的斜率分别为，，
则.
因为点在圆上，所以，所以.
所以两条切线斜率之积为定值.
25．
解:
(1)因为,所以c=1,
由题意知:,解得,
则椭圆的方程为:.
(2)由椭圆对称性知G在上,假设直线 l过椭圆上顶点,则,
则,而,
其交点,
所以G在定直线x=1上;
当M不在椭圆顶点时,设,
由,整理得:,
则,
当x=1时,,
得,
得,
得,
上式显然成立,
所以G在定直线x=1上.
26．
（1）由，得，
抛物线的焦点到准线的距离为8，
则椭圆的长轴长，，
由得或，
由，得的离心率，
∴，
从而，
得椭圆的方程为.
（2）设，则，
即，
易知，，
则，
由椭圆的范围知，，
，
即的取值范围是.
27．
（1）由椭圆的离心率为，右焦点到对应准线的距离为1.
得 解得
所以，椭圆的标准方程为.
（2）由（1）知，设，
因为，得，
所以，
代入椭圆方程得或，
所以或，
所以的方程为：或.
（3）设D坐标为（x3，y3），由，M（x1，0）可得直线的方程，
联立椭圆方程得：解得，.
由，得直线BD的方程：， ①
直线AC方程为， ②联立①②得，
所以=2为定值.
解法2：设D坐标为（x3，y3），
由C，M，D三点共线得，所以， ①
由B，D，N三点共线得，将 代入可得， ②
①和②相乘得，
.
28．
【详解】
（Ⅰ）由题意得
解得．
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m，
由得.
令，得．
，．
因为是以为顶角的等腰直角三角形，
所以平行于轴．
过做的垂线，则垂足为线段的中点．
设点的坐标为，则．
由方程组解得，即．
而，
所以直线的方程为y=x-1．
29．
解（1）设，因为直线的斜率为，
所以，.
又
解得，
所以椭圆的方程为.
（2）解：设
由题意可设直线的方程为：，
联立消去得，
当，所以，即或时
.
所以
点到直线的距离
所以，
设，则，
，
当且仅当，即，
解得时取等号，
满足
所以的面积最大时直线的方程为：或.
30．
详解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，由已知有，
又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可得，，，
由，可得ab=6，从而a=3，b=2．
所以，椭圆的方程为．
（Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）．
由已知有y1>y2>0，故．
又因为，而∠OAB=，故．
由，可得5y1=9y2．
由方程组消去x，可得．
易知直线AB的方程为x+y–2=0，
由方程组消去x，可得．
由5y1=9y2，可得5（k+1）=，
两边平方，整理得，
解得，或．
所以，k的值为或
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