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专题强化训练三 等差数列性质和求和常考重难点强化精选必刷题-高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第二册）
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这是一份专题强化训练三 等差数列性质和求和常考重难点强化精选必刷题-高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第二册），共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题强化训练三：等差数列性质和求和常考重难点强化精选必刷题
一、单选题
1．（2021·全国·高二课时练习）设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn}的第37项为（ ）
A．0B．37
C．100D．－37
2．（2021·广西·桂林中学高二开学考试）已知数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·山东·胶州市教育体育局教学研究室高二期中）已知等差数列的前项和为，，公差，．若取得最大值，则的值为（ ）
A．6或7B．7或8C．8或9D．9或10
4．（2021·全国·高二课时练习）已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Sn′，如果 (n∈N*)，则的值是（ ）
A．B．C．D．
5．（2021·全国·高二课时练习）设等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.若S12>0，S13<0，则数列{|an|}的最小项是（ ）
A．第6项B．第7项
C．第12项D．第13项
6．（2021·江苏苏州·高二期中）《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有如下问题：“今有大夫､不更､簪褭､上造､公士，凡五人，共出百銭.欲令高爵出少，以次渐多，問各幾何？”意思是：“有大夫､不更､簪褭､上造､公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若公士出28钱，则不更出的钱数为（ ）
A．14B．16C．18D．20
7．（2021·湖南师大附中高二期中）在数列中，为前n项和，若，，则（ ）
A．95B．105C．115D．125
8．（2021·全国·高二课时练习）已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则的值为（ ）．
A．30B．29C．28D．27
9．（2021·全国·高二课时练习）等差数列中，，那么关于x的方程（ ）．
A．无实根B．有两个不等实根
C．有两个相等实根D．不能确定有无实根
10．（2021·全国·高二课时练习）已知数列的前n项和，则的值为( )
A．68B．67C．65D．56
11．（2021·河南·高二月考）已知等差数列和的前项和分别为和，且有，，则的值为（ ）
A．B．C．2D．3
12．（2021·江苏省苏州实验中学高二月考）将全体正整数排成一个三角形数阵（如图）：按照以上排列的规律，第9行从左向右的第2个数为（ ）
A．47B．36C．45D．38
二、多选题
13．（2020·江苏泰州·高二月考）（多选题）在数列中，若，（，，为常数），则称为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）
A．若是等差数列，则是等方差数列
B．是等方差数列
C．若是等方差数列，则（，为常数）也是等方差数列
D．若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列
14．（2021·江苏·徐州市第一中学高二期中）已知数列的前n项和为，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．数列的前n项和为B．数列的通项公式为
C．数列为递增数列D．数列为递增数列
15．（2021·全国·高二单元测试）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．为的最小值
C．D．
16．（2021·江苏省镇江中学高二期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．关于这个问题，下列说法正确的是（ ）
A．甲得钱是戊得钱的倍B．乙得钱比丁得钱多钱
C．甲、丙得钱的和是乙得钱的倍D．丁、戊得钱的和比甲得钱多钱
17．（2020·江苏·泗阳县实验高级中学高二月考）设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d．已知a3＝12，S12＞0，a7＜0，则（ ）
A．a6＞0
B．
C．Sn＜0时，n的最小值为13
D．数列中最小项为第7项
18．（2021·福建省连城县第一中学高二月考）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的值为（ ）
A．B．C．D．
19．（2020·全国·高二课时练习）设数列的前项和为，若存在实数，使得对任意，都有，则称数列为“数列”.则以下结论正确的是（ ）
A．若是等差数列，且，公差，则数列是“数列”
B．若是等比数列，且公比满足，则数列是“数列”
C．若，则数列是“数列”
D．若，则数列是“数列
三、填空题
20．（2021·全国·高二课时练习）若等差数列满足，则当__________时，的前项和最大．
21．（2019·全国·高二）已知{}是等差数列，是其前项和.若，=10，则的值是_____.
22．（2021·全国·高二课时练习）记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________.
23．（2016·上海市七宝中学高二开学考试）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是___．
四、解答题
24．（2020·江苏·高二专题练习）已知是递增的等差数列，，是方程的根.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
25．（2021·浙江·高二课时练习）已知在等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式：
（2）设，求数列的前n项和．
26．（2018·陕西省汉中中学高二期中）已知等差数列的公差为2，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和，求使成立的最大正整数的值.
27．（2021·全国·高二课时练习）已知数列满足：.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，试比较与的大小.
28．（2021·北京·中国人民大学附属中学朝阳学校高二月考）已知首项为4的数列的前n项和为，且.
（1）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
29．（2021·广东·普宁市华美实验学校高二月考）给定三个条件：①，，成等比数列，②，③，从上述三个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.
问题：设公差不为零的等差数列的前项和为，且，___________.
（1）求数列的通项；
（2）若，数列的前项和，求证：.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
30．（2021·江苏·苏州中学高二开学考试）已知数列满足，，，.
（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若，记数列的前项和为，求证：.
31．（2021·安徽·蚌埠田家炳中学高二月考（文））在数列中，，
（1）求证：数列为等差数列；
（2）若数列满足，求证：.
32．（2020·辽宁·大连市一0三中学高二开学考试）设是等比数列的公比大于，其前项和为，是等差数列，已知，，，.
（1）求，的通项公式
（2）设，数列的前项和为，求；
（3）设，其中,求
参考答案
1．C
【分析】
根据等差数列的定义可得数列{an＋bn}仍然是等差数列，公差为d1＋d2.由已知求得首项和公差，可得选项.
【详解】
设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，
所以数列{an＋bn}仍然是等差数列，公差为d1＋d2.
又d1＋d2＝(a2＋b2)－(a1＋b1)＝100－(25＋75)＝0，所以数列{an＋bn}为常数列，所以a37＋b37＝a1＋b1＝100.
故选：C.
2．D
【分析】
根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化，构造等差数列，求出通项公式即可．
【详解】
解：因为，则，又，则，
所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，
所以，所以，
则．
故选：D
3．B
【分析】
根据题意可知等差数列是，单调递减数列，其中，由此可知，据此即可求出结果.
【详解】
在等差数列中，所以，所以，即，
又等差数列中，公差，所以等差数列是单调递减数列，
所以，所以等差数列的前项和为取得最大值，则的值为7或8.
故选:B.
4．C
【分析】
结合等差数列的前和的性质，得到，即可求解.
【详解】
由等差数列前n项和的性质，且，
可得＝＝＝.
故选：C.
5．B
【分析】
由等差数列的前n项和可得a6＋a7>0，a7<0，从而可得a6>0，根据公差d<0即可得出答案.
【详解】
由题意S12>0，S13<0及S12＝6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)，S13＝13a7，
得a6＋a7>0，a7<0，所以a6>0，a6>|a7|，且公差d<0，所以|a7|最小.
故选：B
6．B
【分析】
设等差数列为，由题得出求出首项和公差，即可求出.
【详解】
设每人所出钱数成等差数列，公差为，前项和为，
则由题可得，解得，
所以不更出的钱数为.
故选：B.
7．A
【分析】
根据在数列满足，得到数列是等差数列,再根据求解.
【详解】
因为在数列中，，
所以数列是等差数列,
又因为，
所以，
解得，
所以，
故选：A
8．B
【分析】
由等差数列的求和公式与等差数列的性质求解即可
【详解】
奇数项共有项，其和为，
∴．
偶数项共有n项，其和为，
∴．
故选：B．
9．C
【分析】
根据等差数列的性质可得出方程，即可判断.
【详解】
因为等差数列中，，所以，
∴，∴方程为，，∴方程有两个相等实根．
故选：C.
10．A
【分析】
首先利用与之间的关系求出数列的通项公式，然后结合等差数列求和公式即可求解.
【详解】
当时，；
当时，符合上式，
所以，
所以．
故选：A.
11．B
【分析】
利用等差数列的性质计算前项和，得，由此可把和与项联系起来，求得比例．
【详解】
因为为等差数列，
故，即，同理可得：，所以.
故选：B．
12．D
【详解】
由排列的规律可得，第行结束的时候排了个数.
所以第行从左向右的第2个数.
所以时，第9行从左向右的第2个数为38.
故选：D
13．BCD
【分析】
根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误.
【详解】
对于A选项，取，则不是常数，则不是等方差数列，A选项中的结论错误；
对于B选项，为常数，则是等方差数列，B选项中的结论正确；
对于C选项，若是等方差数列，则存在常数，使得，则数列为等差数列，所以，则数列（，为常数）也是等方差数列，C选项中的结论正确；
对于D选项，若数列为等差数列，设其公差为，则存在，使得，
则，
由于数列也为等方差数列，所以，存在实数，使得，
则对任意的恒成立，则，得，
此时，数列为常数列，D选项正确.故选BCD.
14．AD
【分析】
先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求，最后根据和项与通项关系得.
【详解】
因此数列为以为首项，为公差的等差数列，也是递增数列，即D正确；
所以，即A正确；
当时
所以，即B，C不正确；
故选：AD
15．AC
【分析】
利用和与项的关系，分和分别求得数列的通项公式，检验合并即可判定A;
根据数列的项的正负情况可以否定B;根据前16项都是正值可计算判定C;注意到可计算后否定D.
【详解】
,
,
对于也成立，
所以，故A正确；
当时，,当n=17时,当时，,
只有最大值，没有最小值，故B错误；
因为当时，,∴，故C正确；
，
故D错误.
故选：AC.
和与项的关系,若数列的前 项为正值，往后都是小于等于零，则当时有，若数列的前 项为负值，往后都是大于或等于零，则当时有.若数列的前面一些项是非负，后面的项为负值，则前项和只有最大值，没有最小值，若数列的前面一些项是非正，后面的项为正值，则前项和只有最小值，没有最大值.
16．AC
【分析】
由等差数列的性质，可设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，，，，结合已知求，，即可得甲、乙、丙、丁、戊所得钱，进而判断选项的正误.
【详解】
依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，，，，且，即，又，
∴，，即，，，，
∴甲得钱，乙得钱，丙得钱，丁得钱，戊得钱，则有如下结论：
甲得钱是戊得钱的倍，故A正确；
乙得钱比丁得钱多钱，故B错误；
甲、丙得钱的和是乙得钱的倍，故C正确；
丁、戊得钱的和比甲得钱多钱，故D错误．
故选：AC．
17．ABCD
【分析】
S12＞0，a7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a6+a7＞0，a6＞0．再利用a3＝a1+2d＝12，可得＜d＜﹣3．a1＞0．利用S13＝13a7＜0．可得Sn＜0时，n的最小值为13．数列中，n≤6时，＞0.7≤n≤12时，＜0．n≥13时，＞0．进而判断出D是否正确．
【详解】
∵S12＞0，a7＜0，∴＞0，a1+6d＜0．
∴a6+a7＞0，a6＞0．∴2a1+11d＞0，a1+5d＞0，
又∵a3＝a1+2d＝12，∴＜d＜﹣3．a1＞0．
S13＝＝13a7＜0．
∴Sn＜0时，n的最小值为13．
数列中，n≤6时，＞0，7≤n≤12时，＜0，n≥13时，＞0．
对于：7≤n≤12时，＜0．Sn＞0，但是随着n的增大而减小；an＜0，
但是随着n的增大而减小，可得：＜0，但是随着n的增大而增大．
∴n＝7时，取得最小值．
综上可得：ABCD都正确．
故选：ABCD．
18．ACD
【分析】
由等差中项的性质和等比数列的求和公式得出，进而可得出为的正约数，由此可得出正整数的可能取值.
【详解】
由题意可得，则，
由于为整数，则为的正约数，则的可能取值有、、，
因此，正整数的可能取值有、、.
故选：ACD.
19．BC
【分析】
写出等差数列的前项和结合“数列”的定义判断A；写出等比数列的前项和结合“数列”的定义判断B；利用裂项相消法求和判断C；当无限增大时，也无限增大判断D．
【详解】
在A中，若是等差数列，且，公差，则，当无限增大时，也无限增大，所以数列不是“数列”，故A错误.
在B中，因为是等比数列，且公比满足，
所以，所以数列是“数列”，故B正确.
在C中，因为，所以
.所以数列是“数列”，故C正确.
在D中，因为，所以，当无限增大时，也无限增大，所以数列不是“数列”，故D错误.
故选：BC.
20．8
【详解】
试题分析：由等差数列的性质，，，又因为，所以
所以，所以，，故数列的前8项最大.
考点：等差数列的性质，前项和的最值，容易题.
21．
【详解】
由得，因此
【考点】等差数列的性质
【名师点睛】本题考查等差数列的基本量，对于特殊数列，一般采取待定系数法，即列出关于首项及公差（比）的两个独立条件即可.为使问题易于解决，往往要利用等差数列相关性质，如及
22．4.
【分析】
根据已知求出和的关系，再结合等差数列前n项和公式求得结果.
【详解】
因，所以，即，
所以．
【点睛】
本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．
23．5
【分析】
根据题意，由等差数列前n项和的性质可得，要使为整数，只需要为的因数即可.
【详解】
解：根据题意，两个等差数列和，
则＝＝＝＝＝＝7+，
若为整数，则n+1为12的因数，又n为正整数，
则为正整数，验证可得：当n＝1，2，3，5，11满足题意，
故答案为5.
24．（1）;（2）.
【分析】
（1）方程的两根为，由题意得，在利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”、等比数列的前项和公式即可求出．
【详解】
方程x2－5x＋6＝0的两根为2，3.
由题意得a2＝2，a4＝3.
设数列{an}的公差为d，则a4－a2＝2d，故d＝，从而得a1＝.
所以{an}的通项公式为an＝n＋1.
（2）设的前n项和为Sn，
由（1）知＝，
则Sn＝＋＋…＋＋，
Sn＝＋＋…＋＋，
两式相减得
Sn＝＋－
＝＋－，
所以Sn＝2－.
考点：等差数列的性质；数列的求和．
25．（1）；（2）.
【分析】
（1）设等差数列的公差为，根据，列出和的方程组，进而求出和，即可求出的通项公式；
（2）由（1）可知，根据裂项相消法即可求出结果.
【详解】
设等差数列的公差为，
由，可得
解得，
所以等差数列的通项公式可得;
（2） 由（1）可得，
所以.
26．⑴，；⑵
【分析】
（1）利用得到，解出可得通项公式．
（2）利用裂项相消法求后解不等式可得最大正整数的值．
【详解】
（1）由题意知，，即，
解得，故，．
（2）由，
得，
，
由，解得．
故所求的最大正整数为5．
27．（1）；（2）.
【分析】
（1）结合前项和与通项公式的关系分和两种情况求解即可；
（2）先验证，再讨论时，，进而根据裂项求和法得.
【详解】
解：（1）因为数列满足：，
所以，当时，
当时，，
相减可得，所以
综上可得，
（2）因为，
所以
时，.
所以
综上，对都有，.
28．（1）证明见解析，；（2）.
【分析】
（1）根据题设中的递推关系可得，从而可得数列为等差数列，并求可得数列的通项公式.
（2）利用错位相减法可求数列的前n项和.
【详解】
（1）由题意得，，∴，
故数列是以2为首项，3为公差的等差数列，
∴，∴.
（2）由题意得，，
故，
，
∴
，
解得.
29．条件选择见解析；（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）设等差数列的公差为，根据所选条件得到方程组，解得即可；
（2）由（1）可得，再利用裂项相消法求和即可；
【详解】
解：（1）设等差数列的公差为.
选条件①：∵，，，成等比数列，
∴，
解得，故数列的通项.
选条件②：∵，∵，∴，解得，
故数列的通项.
选条件③：∵，，∴，
解得，故数列的通项.
（2）∵，
∴
.
30．（1）证明见解析，；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据已知，表示出，然后代入计算可得，所以证明出数列是等差数列，求出首项，利用等差数列通项公式计算；（2）表示出
，然后利用裂项相消法计算前项和，再判断出数列的单调性，即可证明.
【详解】
（1）当时，因为，，
所以，
所以数列为首项为，公差为的等差数列.
又，，所以，解得.
（2）因为，所以.
所以
，
即，显然，另一方面，
，
故数列是递增数列，所以，因此，.
31．（1）见解析（2）见解析
【详解】
分析：（1）由可得数列为首项为0，公差为1的等差数列，进而可得结果；（2）由（1）知：，∴，，，利用裂项相消法求和，根据放缩法可得结论.
详解：（1）∵.
∴
又∵，∴
∴数列为首项为0，公差为1的等差数列.
（2）由（1）知：，∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
32．（1），；（2）；（3）.
【分析】
（1）设等比数列的公比为，则，设等差数列的公差为，利用等比数列的通项公式可求得的值，利用等差数列的通项公式建立有关和的方程组，解出这两个未知数，再利用等比数列和等差数列的通项公式可求得这两个数列的通项公式；
（2）由，利用裂项相消法可求得；
（3）求得，可得，通过分组求和以及错位相减法即可得出结果.
【详解】
（1）设等比数列的公比为，则，设等差数列的公差为，
，由，得，，解得，则.
由，得，解得，则；
（2），
；
（3）由，其中
可得，
，
其中，
设，
则，
两式相减得
整理得，
则，
．
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专题强化训练三：等差数列性质和求和常考重难点强化精选必刷题
一、单选题
1．（2021·全国·高二课时练习）设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn}的第37项为（ ）
A．0B．37
C．100D．－37
2．（2021·广西·桂林中学高二开学考试）已知数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·山东·胶州市教育体育局教学研究室高二期中）已知等差数列的前项和为，，公差，．若取得最大值，则的值为（ ）
A．6或7B．7或8C．8或9D．9或10
4．（2021·全国·高二课时练习）已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Sn′，如果 (n∈N*)，则的值是（ ）
A．B．C．D．
5．（2021·全国·高二课时练习）设等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.若S12>0，S13<0，则数列{|an|}的最小项是（ ）
A．第6项B．第7项
C．第12项D．第13项
6．（2021·江苏苏州·高二期中）《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有如下问题：“今有大夫､不更､簪褭､上造､公士，凡五人，共出百銭.欲令高爵出少，以次渐多，問各幾何？”意思是：“有大夫､不更､簪褭､上造､公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若公士出28钱，则不更出的钱数为（ ）
A．14B．16C．18D．20
7．（2021·湖南师大附中高二期中）在数列中，为前n项和，若，，则（ ）
A．95B．105C．115D．125
8．（2021·全国·高二课时练习）已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则的值为（ ）．
A．30B．29C．28D．27
9．（2021·全国·高二课时练习）等差数列中，，那么关于x的方程（ ）．
A．无实根B．有两个不等实根
C．有两个相等实根D．不能确定有无实根
10．（2021·全国·高二课时练习）已知数列的前n项和，则的值为( )
A．68B．67C．65D．56
11．（2021·河南·高二月考）已知等差数列和的前项和分别为和，且有，，则的值为（ ）
A．B．C．2D．3
12．（2021·江苏省苏州实验中学高二月考）将全体正整数排成一个三角形数阵（如图）：按照以上排列的规律，第9行从左向右的第2个数为（ ）
A．47B．36C．45D．38
二、多选题
13．（2020·江苏泰州·高二月考）（多选题）在数列中，若，（，，为常数），则称为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）
A．若是等差数列，则是等方差数列
B．是等方差数列
C．若是等方差数列，则（，为常数）也是等方差数列
D．若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列
14．（2021·江苏·徐州市第一中学高二期中）已知数列的前n项和为，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．数列的前n项和为B．数列的通项公式为
C．数列为递增数列D．数列为递增数列
15．（2021·全国·高二单元测试）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．为的最小值
C．D．
16．（2021·江苏省镇江中学高二期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．关于这个问题，下列说法正确的是（ ）
A．甲得钱是戊得钱的倍B．乙得钱比丁得钱多钱
C．甲、丙得钱的和是乙得钱的倍D．丁、戊得钱的和比甲得钱多钱
17．（2020·江苏·泗阳县实验高级中学高二月考）设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d．已知a3＝12，S12＞0，a7＜0，则（ ）
A．a6＞0
B．
C．Sn＜0时，n的最小值为13
D．数列中最小项为第7项
18．（2021·福建省连城县第一中学高二月考）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的值为（ ）
A．B．C．D．
19．（2020·全国·高二课时练习）设数列的前项和为，若存在实数，使得对任意，都有，则称数列为“数列”.则以下结论正确的是（ ）
A．若是等差数列，且，公差，则数列是“数列”
B．若是等比数列，且公比满足，则数列是“数列”
C．若，则数列是“数列”
D．若，则数列是“数列
三、填空题
20．（2021·全国·高二课时练习）若等差数列满足，则当__________时，的前项和最大．
21．（2019·全国·高二）已知{}是等差数列，是其前项和.若，=10，则的值是_____.
22．（2021·全国·高二课时练习）记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________.
23．（2016·上海市七宝中学高二开学考试）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是___．
四、解答题
24．（2020·江苏·高二专题练习）已知是递增的等差数列，，是方程的根.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
25．（2021·浙江·高二课时练习）已知在等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式：
（2）设，求数列的前n项和．
26．（2018·陕西省汉中中学高二期中）已知等差数列的公差为2，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和，求使成立的最大正整数的值.
27．（2021·全国·高二课时练习）已知数列满足：.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，试比较与的大小.
28．（2021·北京·中国人民大学附属中学朝阳学校高二月考）已知首项为4的数列的前n项和为，且.
（1）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
29．（2021·广东·普宁市华美实验学校高二月考）给定三个条件：①，，成等比数列，②，③，从上述三个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.
问题：设公差不为零的等差数列的前项和为，且，___________.
（1）求数列的通项；
（2）若，数列的前项和，求证：.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
30．（2021·江苏·苏州中学高二开学考试）已知数列满足，，，.
（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若，记数列的前项和为，求证：.
31．（2021·安徽·蚌埠田家炳中学高二月考（文））在数列中，，
（1）求证：数列为等差数列；
（2）若数列满足，求证：.
32．（2020·辽宁·大连市一0三中学高二开学考试）设是等比数列的公比大于，其前项和为，是等差数列，已知，，，.
（1）求，的通项公式
（2）设，数列的前项和为，求；
（3）设，其中,求
参考答案
1．C
【分析】
根据等差数列的定义可得数列{an＋bn}仍然是等差数列，公差为d1＋d2.由已知求得首项和公差，可得选项.
【详解】
设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，
所以数列{an＋bn}仍然是等差数列，公差为d1＋d2.
又d1＋d2＝(a2＋b2)－(a1＋b1)＝100－(25＋75)＝0，所以数列{an＋bn}为常数列，所以a37＋b37＝a1＋b1＝100.
故选：C.
2．D
【分析】
根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化，构造等差数列，求出通项公式即可．
【详解】
解：因为，则，又，则，
所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，
所以，所以，
则．
故选：D
3．B
【分析】
根据题意可知等差数列是，单调递减数列，其中，由此可知，据此即可求出结果.
【详解】
在等差数列中，所以，所以，即，
又等差数列中，公差，所以等差数列是单调递减数列，
所以，所以等差数列的前项和为取得最大值，则的值为7或8.
故选:B.
4．C
【分析】
结合等差数列的前和的性质，得到，即可求解.
【详解】
由等差数列前n项和的性质，且，
可得＝＝＝.
故选：C.
5．B
【分析】
由等差数列的前n项和可得a6＋a7>0，a7<0，从而可得a6>0，根据公差d<0即可得出答案.
【详解】
由题意S12>0，S13<0及S12＝6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)，S13＝13a7，
得a6＋a7>0，a7<0，所以a6>0，a6>|a7|，且公差d<0，所以|a7|最小.
故选：B
6．B
【分析】
设等差数列为，由题得出求出首项和公差，即可求出.
【详解】
设每人所出钱数成等差数列，公差为，前项和为，
则由题可得，解得，
所以不更出的钱数为.
故选：B.
7．A
【分析】
根据在数列满足，得到数列是等差数列,再根据求解.
【详解】
因为在数列中，，
所以数列是等差数列,
又因为，
所以，
解得，
所以，
故选：A
8．B
【分析】
由等差数列的求和公式与等差数列的性质求解即可
【详解】
奇数项共有项，其和为，
∴．
偶数项共有n项，其和为，
∴．
故选：B．
9．C
【分析】
根据等差数列的性质可得出方程，即可判断.
【详解】
因为等差数列中，，所以，
∴，∴方程为，，∴方程有两个相等实根．
故选：C.
10．A
【分析】
首先利用与之间的关系求出数列的通项公式，然后结合等差数列求和公式即可求解.
【详解】
当时，；
当时，符合上式，
所以，
所以．
故选：A.
11．B
【分析】
利用等差数列的性质计算前项和，得，由此可把和与项联系起来，求得比例．
【详解】
因为为等差数列，
故，即，同理可得：，所以.
故选：B．
12．D
【详解】
由排列的规律可得，第行结束的时候排了个数.
所以第行从左向右的第2个数.
所以时，第9行从左向右的第2个数为38.
故选：D
13．BCD
【分析】
根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误.
【详解】
对于A选项，取，则不是常数，则不是等方差数列，A选项中的结论错误；
对于B选项，为常数，则是等方差数列，B选项中的结论正确；
对于C选项，若是等方差数列，则存在常数，使得，则数列为等差数列，所以，则数列（，为常数）也是等方差数列，C选项中的结论正确；
对于D选项，若数列为等差数列，设其公差为，则存在，使得，
则，
由于数列也为等方差数列，所以，存在实数，使得，
则对任意的恒成立，则，得，
此时，数列为常数列，D选项正确.故选BCD.
14．AD
【分析】
先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求，最后根据和项与通项关系得.
【详解】
因此数列为以为首项，为公差的等差数列，也是递增数列，即D正确；
所以，即A正确；
当时
所以，即B，C不正确；
故选：AD
15．AC
【分析】
利用和与项的关系，分和分别求得数列的通项公式，检验合并即可判定A;
根据数列的项的正负情况可以否定B;根据前16项都是正值可计算判定C;注意到可计算后否定D.
【详解】
,
,
对于也成立，
所以，故A正确；
当时，,当n=17时,当时，,
只有最大值，没有最小值，故B错误；
因为当时，,∴，故C正确；
，
故D错误.
故选：AC.
和与项的关系,若数列的前 项为正值，往后都是小于等于零，则当时有，若数列的前 项为负值，往后都是大于或等于零，则当时有.若数列的前面一些项是非负，后面的项为负值，则前项和只有最大值，没有最小值，若数列的前面一些项是非正，后面的项为正值，则前项和只有最小值，没有最大值.
16．AC
【分析】
由等差数列的性质，可设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，，，，结合已知求，，即可得甲、乙、丙、丁、戊所得钱，进而判断选项的正误.
【详解】
依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，，，，且，即，又，
∴，，即，，，，
∴甲得钱，乙得钱，丙得钱，丁得钱，戊得钱，则有如下结论：
甲得钱是戊得钱的倍，故A正确；
乙得钱比丁得钱多钱，故B错误；
甲、丙得钱的和是乙得钱的倍，故C正确；
丁、戊得钱的和比甲得钱多钱，故D错误．
故选：AC．
17．ABCD
【分析】
S12＞0，a7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a6+a7＞0，a6＞0．再利用a3＝a1+2d＝12，可得＜d＜﹣3．a1＞0．利用S13＝13a7＜0．可得Sn＜0时，n的最小值为13．数列中，n≤6时，＞0.7≤n≤12时，＜0．n≥13时，＞0．进而判断出D是否正确．
【详解】
∵S12＞0，a7＜0，∴＞0，a1+6d＜0．
∴a6+a7＞0，a6＞0．∴2a1+11d＞0，a1+5d＞0，
又∵a3＝a1+2d＝12，∴＜d＜﹣3．a1＞0．
S13＝＝13a7＜0．
∴Sn＜0时，n的最小值为13．
数列中，n≤6时，＞0，7≤n≤12时，＜0，n≥13时，＞0．
对于：7≤n≤12时，＜0．Sn＞0，但是随着n的增大而减小；an＜0，
但是随着n的增大而减小，可得：＜0，但是随着n的增大而增大．
∴n＝7时，取得最小值．
综上可得：ABCD都正确．
故选：ABCD．
18．ACD
【分析】
由等差中项的性质和等比数列的求和公式得出，进而可得出为的正约数，由此可得出正整数的可能取值.
【详解】
由题意可得，则，
由于为整数，则为的正约数，则的可能取值有、、，
因此，正整数的可能取值有、、.
故选：ACD.
19．BC
【分析】
写出等差数列的前项和结合“数列”的定义判断A；写出等比数列的前项和结合“数列”的定义判断B；利用裂项相消法求和判断C；当无限增大时，也无限增大判断D．
【详解】
在A中，若是等差数列，且，公差，则，当无限增大时，也无限增大，所以数列不是“数列”，故A错误.
在B中，因为是等比数列，且公比满足，
所以，所以数列是“数列”，故B正确.
在C中，因为，所以
.所以数列是“数列”，故C正确.
在D中，因为，所以，当无限增大时，也无限增大，所以数列不是“数列”，故D错误.
故选：BC.
20．8
【详解】
试题分析：由等差数列的性质，，，又因为，所以
所以，所以，，故数列的前8项最大.
考点：等差数列的性质，前项和的最值，容易题.
21．
【详解】
由得，因此
【考点】等差数列的性质
【名师点睛】本题考查等差数列的基本量，对于特殊数列，一般采取待定系数法，即列出关于首项及公差（比）的两个独立条件即可.为使问题易于解决，往往要利用等差数列相关性质，如及
22．4.
【分析】
根据已知求出和的关系，再结合等差数列前n项和公式求得结果.
【详解】
因，所以，即，
所以．
【点睛】
本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．
23．5
【分析】
根据题意，由等差数列前n项和的性质可得，要使为整数，只需要为的因数即可.
【详解】
解：根据题意，两个等差数列和，
则＝＝＝＝＝＝7+，
若为整数，则n+1为12的因数，又n为正整数，
则为正整数，验证可得：当n＝1，2，3，5，11满足题意，
故答案为5.
24．（1）;（2）.
【分析】
（1）方程的两根为，由题意得，在利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”、等比数列的前项和公式即可求出．
【详解】
方程x2－5x＋6＝0的两根为2，3.
由题意得a2＝2，a4＝3.
设数列{an}的公差为d，则a4－a2＝2d，故d＝，从而得a1＝.
所以{an}的通项公式为an＝n＋1.
（2）设的前n项和为Sn，
由（1）知＝，
则Sn＝＋＋…＋＋，
Sn＝＋＋…＋＋，
两式相减得
Sn＝＋－
＝＋－，
所以Sn＝2－.
考点：等差数列的性质；数列的求和．
25．（1）；（2）.
【分析】
（1）设等差数列的公差为，根据，列出和的方程组，进而求出和，即可求出的通项公式；
（2）由（1）可知，根据裂项相消法即可求出结果.
【详解】
设等差数列的公差为，
由，可得
解得，
所以等差数列的通项公式可得;
（2） 由（1）可得，
所以.
26．⑴，；⑵
【分析】
（1）利用得到，解出可得通项公式．
（2）利用裂项相消法求后解不等式可得最大正整数的值．
【详解】
（1）由题意知，，即，
解得，故，．
（2）由，
得，
，
由，解得．
故所求的最大正整数为5．
27．（1）；（2）.
【分析】
（1）结合前项和与通项公式的关系分和两种情况求解即可；
（2）先验证，再讨论时，，进而根据裂项求和法得.
【详解】
解：（1）因为数列满足：，
所以，当时，
当时，，
相减可得，所以
综上可得，
（2）因为，
所以
时，.
所以
综上，对都有，.
28．（1）证明见解析，；（2）.
【分析】
（1）根据题设中的递推关系可得，从而可得数列为等差数列，并求可得数列的通项公式.
（2）利用错位相减法可求数列的前n项和.
【详解】
（1）由题意得，，∴，
故数列是以2为首项，3为公差的等差数列，
∴，∴.
（2）由题意得，，
故，
，
∴
，
解得.
29．条件选择见解析；（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）设等差数列的公差为，根据所选条件得到方程组，解得即可；
（2）由（1）可得，再利用裂项相消法求和即可；
【详解】
解：（1）设等差数列的公差为.
选条件①：∵，，，成等比数列，
∴，
解得，故数列的通项.
选条件②：∵，∵，∴，解得，
故数列的通项.
选条件③：∵，，∴，
解得，故数列的通项.
（2）∵，
∴
.
30．（1）证明见解析，；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据已知，表示出，然后代入计算可得，所以证明出数列是等差数列，求出首项，利用等差数列通项公式计算；（2）表示出
，然后利用裂项相消法计算前项和，再判断出数列的单调性，即可证明.
【详解】
（1）当时，因为，，
所以，
所以数列为首项为，公差为的等差数列.
又，，所以，解得.
（2）因为，所以.
所以
，
即，显然，另一方面，
，
故数列是递增数列，所以，因此，.
31．（1）见解析（2）见解析
【详解】
分析：（1）由可得数列为首项为0，公差为1的等差数列，进而可得结果；（2）由（1）知：，∴，，，利用裂项相消法求和，根据放缩法可得结论.
详解：（1）∵.
∴
又∵，∴
∴数列为首项为0，公差为1的等差数列.
（2）由（1）知：，∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
32．（1），；（2）；（3）.
【分析】
（1）设等比数列的公比为，则，设等差数列的公差为，利用等比数列的通项公式可求得的值，利用等差数列的通项公式建立有关和的方程组，解出这两个未知数，再利用等比数列和等差数列的通项公式可求得这两个数列的通项公式；
（2）由，利用裂项相消法可求得；
（3）求得，可得，通过分组求和以及错位相减法即可得出结果.
【详解】
（1）设等比数列的公比为，则，设等差数列的公差为，
，由，得，，解得，则.
由，得，解得，则；
（2），
；
（3）由，其中
可得，
，
其中，
设，
则，
两式相减得
整理得，
则，
．
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