专题强化训练四 直线与双曲线的位置关系综合强化训练必刷30道题-高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第一册）

这是一份专题强化训练四 直线与双曲线的位置关系综合强化训练必刷30道题-高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第一册），共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2021·全国高二）若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为（ ）
A．(－2，2)B．[－2，2)
C．(－2，2]D．[－2，2]
2．（2021·全国高二）已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与直线y＝x交于A，B两点，若|AB|＝2，则该双曲线的方程为（ ）
A．x2－y2＝6B．x2－y2＝9
C．x2－y2＝16D．x2－y2＝25
3．（2021·云南保山·（理））已知双曲线（，）与直线相交于，两点，直线上存在一点满足，坐标原点为，直线的斜率为2，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．3
4．（2020·江西上高二中）已知双曲线的离心率为2，，分别是双曲线的左､右焦点，点，，点P为线段MN上的动点，当取得最小值和最大值时，的面积分别为，，则（ ）
A．4B．8C．D．
5．（2021·广西崇左高中高二）已知点，是双曲线（，）的左、右顶点，，是双曲线的左、右焦点，若，是双曲线上异于，的动点，且直线，的斜率之积为定值，则（ ）
A．2B．C．D．4
6．（2021·河南商丘·（文））双曲线：（，）的左焦点为，虚轴的上端点为，直线交双曲线的右支于点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．（2021·全国高二）直线l过双曲线的右焦点，斜率为2，若l与双曲线的两个交点分别在双曲线的左､右两支上，则双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2021·全国高二课时练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线左支交于A，B两点，且，那么的值是（ ）
A．21B．30C．27D．15
9．（2021·全国高二课时练习）设双曲线的半焦距为，直线过，两点．已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
10．（2021·全国高二课时练习）已知，，是双曲线上不同的三点，且点A，连线经过坐标原点，若直线，的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
11．（2021·福建泉州·）若双曲线与椭圆有相同的左右焦点，，且，在第一象限相交于点，则（ ）
A．B．的渐近线方程为
C．直线与有两个公共点D．的面积为
12．（2020·湖北省汉川市第二中学）已知双曲线的标准方程为，则（ ）
A．双曲线的离心率等于半焦距
B．双曲线与双曲线C有相同的渐近线
C．双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为
D．直线与双曲线的公共点个数只可能为0，1，2
13．（2021·江苏海门市第一中学高二期末）在平面直角坐标系中，设双曲线的右焦点为，直线过点，与双曲线的右支交于点，，点在双曲线的右支上，则（ ）
A．直线是双曲线的一条渐近线
B．点与直线的距离的最小值为1
C．线段的最短长度为1
D．线段的最短长度为6
14．（2021·东莞市光明中学高二开学考试）已知双曲线的离心率为，且双曲线C的左焦点在直线上，分别是双曲线的左，右顶点，点是双曲线的右支上位于第一象限的动点，记的斜率分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的方程为B．双曲线的渐近线方程为
C．点到双曲线的渐近线距离为D．为定值
15．（2021·江苏海安高级中学高二期末）已知双曲线的右顶点、右焦点分别为、，过点的直线与的一条渐近线交于点，直线与的一个交点为，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与轴垂直B．的离心率为
C．的渐近线方程为D．（其中为坐标原点）
三、填空题
16．（2021·湛江市第二十中学）双曲线的左焦点为，过作轴垂线交于点，过作与的一条渐近线平行的直线交于点，且、在轴同侧，若，则的离心率为_______．
17．（2021·四川省资中县第二中学高二月考（文））设，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且满足（是坐标原点），则直线的斜率为______.
18．（2021·辽宁抚顺·）设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点.若的焦距为4，则面积的最大值为______.
19．（2021·四川南江·高二期末（文））双曲线的离心率为，点，是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线上异于点，的动点，若直线，的斜率都存在且分别为，则的值为___________．
20．（2021·江苏高二专题练习）在平面直角坐标系中，对于曲线，有下面四个结论：
①曲线C关于y轴对称；
②过平面内任意一点M，恰好可以作两条直线，这两条直线与曲线C都有且只有一个公共点；
③存在唯一的一组实数a，b，使得曲线C上的点到坐标原点距离的最小值为1；
④存在无数个点M，使得过点M可以作两条直线，这两条直线与曲线C都恰有三个公共点.
其中所有正确结论的序号是___________.
四、解答题
21．（2020·江西省靖安中学高二月考（理））双曲线的一条渐近线方程是，坐标原点到直线的距离为，其中，.
（1）求双曲线的方程；
（2）若是双曲线虚轴在轴正半轴上的端点，过点作直线交双曲线于点，，求时，直线的方程.
22．（2021·江苏省溧水高级中学）已知双曲线的右顶点为，过作直线交双曲线的右支于，两点（点B在x轴上方）.
（1）设直线的斜率为，直线的斜率为，求的值；
（2）若，求直线的斜率.
23．（2020·合肥市第十一中学高二月考（理））已知双曲线: 过点，两条渐近线的夹角为60°，直线交双曲线于、两点．
（1）求双曲线的方程；
（2）若过原点，为双曲线上异于、的一点，且直线、的斜率，均存在，求证：为定值；
24．（2020·南昌市八一中学高二月考）已知双曲线的渐近线倾斜角分别为和，为其左焦点，为双曲线右支上一个动点.
（1）求的取值范围，并说明理由；
（2）过点分别作两渐近线的垂线，垂足分别为，求证：为定值.
25．（2018·惠州市惠城区湖滨学校高二月考（理））已知,,点满足，记点的轨迹为.
（1）求轨迹的方程；
（2）若直线过点且与轨迹交于、两点.
（i）无论直线绕点怎样转动，在轴上总存在定点，使恒成立，求实数的值.
（ii）在（i）的条件下，求面积的最小值.
26．（2021·云南弥勒市一中高二月考（理））已知双曲线的方程为，椭圆的方程为，双曲线右焦点到双曲线渐近线的距离为，椭圆的焦点为，，短轴端点为，．
（1）求双曲线的方程与椭圆的方程；
（2）过点作椭圆的两条互相垂直的弦，，证明：过两弦，中点的直线恒过定点．
27．（2021·西藏拉萨中学高二月考（文））已知抛物线：()的焦点与双曲线：右顶点重合.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）设过点的直线与抛物线交于不同的两点，，是抛物线的焦点，且，求直线的方程.
28．（2020·四川省眉山第一中学高二月考（理））已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点．
（1）求双曲线的方程；
（2）已知双曲线的左右焦点分别为，，直线经过，斜率为，与双曲线交于，两点，求的面积．
29．（2021·河南高二月考（理））已知过点的双曲线的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线的方程是.
（1）求双曲线的方程；
（2）若是坐标原点，直线：与双曲线的两支各有一个交点，且交点分别是，，的面积为，求实数的值.
30．（2020·河南魏都·许昌高中高二月考（文））已知椭圆：的离心率为，且双曲线的一条渐近线被椭圆截得的弦的长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知椭圆的左右焦点，直线：的距离之积为1.若直线与两坐标轴正半轴相交，求直线在两坐标轴上的截距之积的最小值；
参考答案
1．A
解：因为直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则，
将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，
由，解得－2故选：A.
2．B
设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2(a＞0)，与y＝x联立，得x2＝a2，
∴|AB|＝×a＝2，∴a＝3，
故选B.
3．D
解：设，，∵，在双曲线上，①，②，①−②得：，因为，也在直线上，所以，又因为为，的中点，所以，，所以，则，双曲线的离心率，
故选：D．
4．A
【详解】
由，得，，
故线段MN所在直线的方程为，
又点P在线段MN上，可设，其中，
由于，，即，，
得，，
所以.由于，
可知当时，取得最小值，此时，
当时，取得最大值，
此时，则，
故选：A.
5．A
【详解】
设，，，则，，
所以，
又因为，所以，．又因为，
所以，，所以．
故选：A．
6．B
由题意得：，
因为，
所以
又因为点B在双曲线上，
所以，即，
所以，
故选：B
7．D
【详解】
双曲线中一条渐近线的斜率为，
若过焦点且斜率为2的直线，与双曲线的左右两支有交点，则，
即，即.
故选：D
8．C
【详解】
由题意可知，，
，，
两式相加得，
即.
故选：C
9．A
因为直线过，两点．
所以直线的方程为，即，
所以原点到的距离①．
又②，
所以，即，
故，解得或．
当时，，与矛盾，
所以．
故选：A
10．D
【详解】
设，，
因为点A，连线经过坐标原点，根据双曲线的对称性，则，
所以．
因为点A，在双曲线上，所以，
两式相减，得，
所以，所以．
故选：D.
11．BD
因为双曲线与椭圆有相同的左右焦点，，
所以，解得，
即，所以其渐近线方程为，焦点坐标为，，即B正确；
因为与双曲线的一条渐近线平行，且过右焦点，所以直线与只有一个交点，即C错；
由解得，又，在第一象限相交于点，所以，
因此，即A错，
的面积为，即D正确.
故选：BD.
12．AD
因双曲线的标准方程为，则，
双曲线C的离心率，即A正确；
双曲线C的渐近线方程为，而双曲线的渐近线方程为，它们不同，B不正确；
因双曲线C的渐近线和圆都关于x轴对称，不妨选渐近线，圆心(1，0)到直线的距离，
渐近线被该圆所截弦长为，C不正确；
由得，
时，方程组无解，直线与双曲线交点个数为0，，方程组有一解，直线与双曲线交点个数为1，
时，，若，则方程组无解，直线与双曲线交点个数为0，
若，则方程组有一解，直线与双曲线交点个数为1，
若，则方程组有两解，直线与双曲线交点个数为2，
综上得直线与双曲线的公共点个数只可能为0，1，2，即D正确.
故选：AD
13．ACD
双曲线方程是，则其渐近线方程是，A正确；
直线与渐近线平行，因此双曲线上点到直线的距离无最小值．B错；
，，当是右顶点时，取得最小值，C正确；
设的斜率为，则或，，设，
直线方程为，
由，得，，，
，
，因为或，所以，即，
所以，
当轴时，在中，令，得，此时，
综上的最小值为6．D正确．
故选：ACD．
14．AD
由题可得，
左焦点在直线上，可得，即，
，双曲线的方程为，故A正确；
则双曲线的渐近线方程为，故B错误；
点到双曲线的渐近线距离为，故C错误；
设，且，满足，
，
则，故D正确.
故选：AD.
15．AB
由已知得，设，由，得，所以轴，即，A正确；
不妨设点在第一象限，易知，，，即点，
设，由，得，所以，
所以，即．
因为点在双曲线上，所以，整理得，
所以，解得或（负值舍去），B正确；
，故C的渐近线的斜率的平方为，C错误；
不妨设点在第一象限，则，
所以，D错误．
故选：AB．
16．
易知点，将代入双曲线的方程，可得，解得，
设点，过点作与直线平行的直线为，
联立，解得，即点，
因为，则直线的倾斜角为，则，
即有，即，即，
所以，，所以，.
故答案为：.
17．或
如图，设双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，
连接，过点作右准线的垂线，记，
则由双曲线的第二定义知，，其中.
即，整理得，.
由双曲线，得，
所以，，离心率，
由题设直线的倾斜角为，由，知，
，
所以，或，‘
解得或，
把代入，可求得或.
故直线的斜率为或.
故答案为：或.
18．2
【详解】
不妨设在第一象限，在第四象限，
联立方程组，解得故，
同理可得，所以..
因为的焦距为4，所以，，解得，
当且仅当时取等号，所以的最大值为2.
故答案为：2.
19．
【详解】
设双曲线半焦距c，由题意知，
设，，根据对称性可得，
则，，两式相减得，即，
由斜率坐标公式得，
所以的值为.
故答案为：
20．①④
解：当时，曲线：为焦点在轴上的双曲线，
当时，曲线：为焦点在轴上的椭圆，
所以双曲线和椭圆都关于轴对称，
故①正确；
当点在曲线上时，有无数条直线与曲线C都有且只有一个公共点，
故②错误；
存在三组实数使得曲线C上的点到坐标原点距离的最小值为1，
故③错误；
当时，存在无数个点M，使得过点M可以作两条直线，这两条直线与曲线C都恰有三个公共点，
故④正确.
故答案为：①④.
21．（1）；（2）.
【详解】
（1）设直线：，由题意，
，∴，∴双曲线方程为.
（2）由（1）得，，设，，设直线：，
∴，
∴，整理得，（1）
∴，，
，.
∵，，，
∴，即，
解得，∴代入（1）有解，∴：.
22．（1）；（2）
解：（1）设直线的方程为，
与双曲线的方程联立，可得，
设，，，，可得，，
，
，
由，
则；
（2）若，则，即，
由（1）可得，，
可得，，
消去，可得，解得，
由于在轴的上方，可得，
即有直线的斜率为．
23．
（1）由题意，双曲线：过点，两条渐近线的夹角为60°，
可得，解得，，或，无解．
所以双曲线的方程为．
（2）设，由双曲线的对称性，可得，设，
则，因为，，
所以，
即为定值3．
24．
（1）双曲线渐近线方程为，又，所以，
双曲线的标准方程为，
则，设，
则
所以…
所以的取值范围是
（2）因为
又，所以为定值.
25．
（1）由知，点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支，由，故轨迹E的方程为
（2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为，与双曲线方程联立消y得，
解得k2 >3
（i）
，
故得对任意的恒成立，
∴当m =－1时，MP⊥MQ.
当直线l的斜率不存在时，由知结论也成立，
综上，当m =－1时，MP⊥MQ.
（ii）由（i）知，，当直线l的斜率存在时，
， M点到直线PQ的距离为，则
∴
令，则，因为
所以
当直线l的斜率不存在时，
综上可知，故的最小值为9.
26．
（1）因为双曲线的右焦点为到双曲线渐近线的距离为，不妨设渐近线方程为，所以.
在椭圆中，因为，则，又，所以，
所以双曲线的方程为，椭圆的方程为．
（2）根据题意可得当直线与直线的斜率存在且不为0时，
设直线的方程为，则直线的方程设为，
联立，消去，可得，
则．
设，，则，，
所以的中点．同理可得的中点，
所以直线的斜率，
所以直线的方程为，整理可得，
所以直线恒过定点；
当直线的斜率不存在时，弦的中点，的中点，
此时过弦，的中点的直线为，经过定点．
综上可得，过两弦，中点的直线恒过定点．
27．
（1）由题设知，双曲线的右顶点为，
∴，解得，
∴抛物线的标准方程为.
（2）设，，
显然直线的斜率存在，故设直线的方程为，
联立，消去得，
由得，即，
∴，.
又∵，，
∴，
∴，
即，
解得或，
∴直线的方程为或.
28．（1）；（2）．
【详解】
（1）设所求双曲线方程为，代入点得：，即，
双曲线方程为，即．
（2）由（1）知：，，即直线的方程为．
设，，联立，得，
满足且，，
由弦长公式得，
点到直线的距离．
所以．
29．（1）；（2）.
【详解】
（1）因为双曲线的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线的方程是，
所以可设双曲线的方程是，则，解得.
所以双曲线的方程是.
（2）由消去整理，得.
由题意知解得且.
设，，则
，.
因为与双曲线的交点分别在左､右两支上，所以，
所以，所以，
则.
所以，
即，
解得或，又，
所以.
30．（1）；（2）.
【详解】
（1）由椭圆的离心率为得，
整理得，椭圆的方程可化为
双曲线的渐近线方程为，
假设渐近线被椭圆截得的弦为.
把与联立得两交点坐标为，，
由，得，
所以，.
所以椭圆的方程为.
（2）点到直线：的距离，
点到直线：的距离，
由题意得，即，
若，则；
若，则，不成立，
所以.
直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，
因为直线与两坐标轴正半轴相交，所以，，
直线在两坐标轴上的截距之积为，
当时取等号，所以直线在两坐标轴上的截距之积的最小值为.
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