专题强化训练一 空间向量的在立体几何中的应用-高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第一册）

这是一份专题强化训练一 空间向量的在立体几何中的应用-高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第一册），共35页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
2．已知、、分别是正方形边、及对角线的中点，将三角形沿着进行翻折构成三棱锥，则在翻折过程中，直线与平面所成角的余弦值的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．长方体，，，点在长方体的侧面上运动，，则二面角的平面角正切值的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在圆锥中，，为底面圆的两条直径，，且，，，异面直线与所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．



5．在如图所示的四棱锥中，，，，，，且，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知二面角的大小为，和是两条异面直线，且，则与所成的角的大小为（ ）
A．B．C．D．
7．已知动点P在正方体的对角线(不含端点)上.设，若为钝角，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知直线过定点，且方向向量为，则点到的距离为（ ）
A．B．C．D．



9．如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ）．
A．60°B．90°C．105°D．75°
10．直三棱柱中，若，，是中点，过作这个三棱柱的截面，当截面与平面所成的锐二面角最小时，这个截面的面积为（ ）
A．2B．C．D．

二、多选题
11．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ）
A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则
C．直线的方向向量，平面的法向量是，则
D．直线的方向向量，平面的法向量是，则
12．已知，分别是正方体的棱和的中点，则（ ）

A．与是异面直线
B．与所成角的大小为
C．与平面所成角的余弦值为
D．二面角的余弦值为
13．在四棱锥中，底面为平行四边形，底面，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．与平面所成的角为
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．二面角的余弦值为
14．在棱长为a的正方体中，分别是的中点下列说法正确的是（ ）
A．四边形是菱形
B．直线与所成的角的余弦值是
C．直线与平面所成的角正弦值是
D．面与面所成角的正弦值是
15．如图四棱锥，平面平面，侧面是边长为的正三角形，底面为矩形，，点是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面B．与平面所成角的余弦值为
C．三棱锥的体积为D．异面直线与所成的角的余弦值为


三、填空题
16．平面与平面夹角为，与的交线上有A，B两点，直线AC，BD分别在平面与内，且都垂直于AB.已知，则CD的长为__________.
17．已知平面和平面的法向量分别为，，且，则___________．
18．在三棱柱中，，平面，，，，则异面直线与所成角的余弦值为___________.
19．如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中，，，，，平面平面.为线段上一动点，当______时，直线与平面所成角的正弦值为.
20．如图所示，在正方体中，点为线段的中点，点在线段上移动，异面直线与所成角最小时，其余弦值为________.
21．如图，在正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是_________．（填序号）
①异面直线与所成角的余弦值为，
②平面；
③直线与平面所成角的正弦值为；
④二面角的余弦值为．

四、解答题
22．如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.
（1）证明：平面平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
23．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，且，平面PCD⊥平面ABCD，，点E为线段PC的中点，点F是线段AB上的一个动点．
（Ⅰ）求证：平面平面PBC；
（Ⅱ）设二面角的平面角为，试判断在线段AB上是否存在这样的点F，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
24．如图，在三棱锥中，平面平面，，，若为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求异面直线和所成角；
（3）设线段上有一点，当与平面所成角的正弦值为时，求的长.
25．如图，在三棱锥中，，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．
26．如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是的中点.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
27．如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；
（Ⅲ）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．
28．如图，平面，，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求线段的长.
29．如图，直三棱柱中，，，为的中点.
（I）若为上的一点，且与直线垂直，求的值；
（Ⅱ）在（I）的条件下，设异面直线与所成的角为45°，求直线与平面成角的正弦值.
参考答案
1．C
如图，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
在长方体中，，
，，，，
， ，
设异面直线与所成角为，
则异面直线与所成角的余弦值为：
．
故选：C．
2．A
【详解】
如图所示：
设正方形的边长为2，则,,
设，，直线与平面所成的角为，，
以为一组基底，
则，
所以，
则，所以,
所以，
所以，
故选：A
3．B
如图以点D为坐标原点建立空间坐标系
设点P的坐标为 图中各点的坐标表示如下：
B(1，1，0)，D1(0，0，2)，A(1，0，0)
，又
即，，所以
所以点P在平面BCC1B1内的轨迹为由点C到BB1四等分点（靠近B点）的一条线段，
且点P由C点向BB1四等分点移动过程中，二面角B-AD-P逐渐增大
当点P位于C点处时，二面角B-AD-P最小，最小值为0
当点P为与BB1四等分点处时，二面角B-AD-P最大，此时，
即为二面角B-AD-P的平面角，
所以二面角B-AD-P正切值的取值范围为[0，].选项ACD错误，选项B正确
故选：B.
4．D
由题意以为轴建立空间直角坐标系，如图，
，，，，
又，
．
，
则，
设异面直线与所成角为，则，为锐角，
，所以．
故选：D．
5．A
取的中点．则．因为且．所以四边形是矩形，所以．因为且，所以平面．
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，
则取，得.
设直线与平面所成角为，则．
故选：A
6．A
【详解】
设直线，的方向向量，，
因为，，
所以，分别是平面，的法向量，
二面角的大小为，
，的夹角为或，
因为异面直线所的角为锐角或直角，
所以与所成的角为.
故选：A.
7．C
由题设，建立如图所示的空间直角坐标系，用坐标法计算，利用不是平角，可得为钝角等价于，即，即可求出实数的取值范围.
设正方体的棱长为1，
则有
∴，∴设，
∴，
，
由图知不是平角，∴为钝角等价于，
∴，
∴，
解得
∴的取值范围是
故选：C.
8．A
因为，，所以，
则，，
由点到直线的距离公式得，
故选：A.
9．B
联结交于F点，取AC的中点E，联结EF，BE，
则在正三棱柱中，，
故与所成角即与所成角，
设，则，，
，，
则在三角形BEF中，满足，
故，即与所成角为
故选：B
10．C
解：因为，，所以，即.
所以根据题意，以点为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
易知平面的法向量为， 设截面的法向量为，
则，即，
设截面与平面所成的锐二面角为，
则
所以当时，取最大值，锐二面角为取最小，
不妨设，则，，即，
此时，过截面与平面内的直线的交点为，
则，所以，即，解得，
过截面与平面内的直线的交点为，
则，所以，即，解得，
所以，，
所以此时截面即为四边形，
其中，，，，
则在四边形中，，
所以，
所以四边形的面积为
.
故选：C.
11．AB
对于A，两条不重合直线，的方向向量分别是，，且，所以，选项A正确；
对于B，两个不同的平面α，β的法向量分别是，，且
，所以，选项B正确；
对于C，直线l的方向向量，平面的法向量是且
，所以或，C选项错误；
对于D，直线l的方向向量，平面的法向量是且，
所以，选项D错误.
故选：AB
12．AD
【详解】
对选项A，由图知：与是异面直线，故A正确；
以为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
设正方体边长为，
对选项B，
，，，，
所以，，
设与所成角为，
则，
又因为，所以，故B错误.
对选项C，由题知：平面的法向量为，
因为，，
设与平面所成角为，
则，，故C错误；
对选项D，，，
设平面的法向量，
则，令得，
设平面的法向量，
则，令得，
设二面角的平面角为，
则，
又因为为锐角，所以，故D正确.
故选：AD
13．AC
设，则，
对于选项A：在中，由余弦定理可得：
，所以，
所以，所以，因为底面，面，
所以，因为，所以面，因为面，所以，故选项A正确；
对于选项B：因为底面，所以即为与平面所成的角，
在中，，所以，故选项B不正确；
对于选项C：因为为平行四边形，所以，所以为异面直线与所成角，在中，，，所以，
所以，故选项C正确；
对于选项D：如图建立空间直角坐标系：则，，，
，
可得，，，
设面的一个法向量，
由，令，则，，所以，
设面的一个法向量，
由，，令，，所以，
所以，
由图知二面角的平面角为钝角，
所以二面角的余弦值为，故选项D不正确，
故选：AC.
14．ABD
分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，
，，，所以是平行四边形，由正方体知，因此为菱形，A正确；
，，
，B正确；
，设平面的一个法向量为，
由得：，取，则，即，
，
，
直线与平面所成的角正弦值是，C错；
平面的一法向量是，
，
面与面所成角的所以的余弦值为，其正弦值为，D正确．
故选：ABD．
15．BD
A：底面为矩形，即，面面，面面，面，所以面，过有且只有一条直线与面垂直，即不可能垂直面，错误；
B：为的中点，过作，由题设构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，则，，，，即，，，
若为面的一个法向量，则，令，有，所以，若与平面所成角为，则，故，正确；
C：连接，则，由题设知三棱锥的底面面积为，高为，所以，错误；
D：由题设知：，故异面直线与所成的角即为与所成角，即为，而，由余弦定理可得，正确.
故选：BD.
16．
如图所示：
因为平面与平面夹角为，，
所以，
所以，
，
，
所以，
故答案为：
17．4
因为平面和平面的法向量分别为，，且，
所以，
解得： 4.
故答案为：4
18．
【详解】
因为平面，，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则、、、，则，，
所以，.
因此，异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：.
19．1
解：以为坐标原点，分别为，，轴建立空间直角坐标系．
所以，
所以．
设平面的法向量，所以
所以，
所以平面的一个法向量，
设，
所以，
所以，
解得或（舍，
所以．
因为，所以
故答案为：1
20．
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的边长为，则，，，，
所以，，
所以
，
当异面直线与所成角最小时，则最大，
即时，.
故答案为：
21．①②③
以点为坐标原点，以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则，
所以．
设异面直线与所成的角为，则，故①正确；
，因为，所以，因为平面，所以平面，故②正确；
，设直线与平面所成的角为，则，故③正确；
是平面的一个法向量，所以，因为二面角是钝角，所以二面角的余弦值为，故④错误，
故选：①②③．
22
（1）由已知可得，，，又，所以平面.
又平面，所以平面平面；
（2）作，垂足为.由（1）得，平面.
以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.
由（1）可得，.又，，所以.又，，故.
可得.
则 为平面的法向量.
设与平面所成角为，则.
所以与平面所成角的正弦值为.
23．
解：（Ⅰ） 四边形是正方形，∴.
∵平面 平面平面平面，∴平面.
∵平面，∴.
∵，点为线段的中点，∴.
又∵，∴平面.
又∵平面，∴平面 平面.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，∵，∴平面.
在平面内过作交于点，
∴，故，，两两垂直，以为原点，
以，，所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系.
因为，，∴.
∵平面， 则，，
又为的中点，，
假设在线段上存在这样的点，使得,设，，，
设平面的法向量为， 则
∴，令，则，则
平面，平面的一个法向量,,则
∴.
，解得，∴
24．
【详解】
（1）∵，，
∴，
∵平面平面，
平面平面，
平面，
∴平面.
（2）∵，，
∴，，
如图，分别以，，为轴，轴，轴的非负半轴，建立空间直角坐标系,
∵，，，，
∴，，
∵，
∴异面直线和所成角为.
（3）设为平面的法向量，
∵，，
∴，即，
设，，
∴，
设与平面所成角为，
∵，
∴，
，
，
，
（舍），，
∴的长为.
25．
（1）因为，为的中点，所以，且．
连结．
因为，
所以为等腰直角三角形，
且
由知．
由知平面．
（2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系 ．
由已知得
取平面的法向量．
设，则．
设平面的法向量为．
由得 ，
可取
所以 ．由已知得 ．
所以 ．解得(舍去)， ．
所以 ．
又 ，所以 ．
所以与平面所成角的正弦值为．
26．
(1)如图所示，连结，
等边中，，则，
平面ABC⊥平面，且平面ABC∩平面，
由面面垂直的性质定理可得：平面，故，
由三棱柱的性质可知，而，故，且，
由线面垂直的判定定理可得：平面，
结合⊆平面，故.
(2)在底面ABC内作EH⊥AC，以点E为坐标原点，EH,EC,方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系.
设，则，,，
据此可得：，
由可得点的坐标为，
利用中点坐标公式可得：，由于，
故直线EF的方向向量为：
设平面的法向量为，则：
，
据此可得平面的一个法向量为，
此时，
设直线EF与平面所成角为，则.
27．
(Ⅰ)由于PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，则PA⊥CD，
由题意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A，
由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.
(Ⅱ)以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，AD,AP方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
易知：，
由可得点F的坐标为，
由可得，
设平面AEF的法向量为：，则
，
据此可得平面AEF的一个法向量为：，
很明显平面AEP的一个法向量为，
，
二面角F-AE-P的平面角为锐角，故二面角F-AE-P的余弦值为.
(Ⅲ)易知，由可得，
则，
注意到平面AEF的一个法向量为：，
其且点A在平面AEF内，故直线AG在平面AEF内.
28．
依题意，可以建立以A为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图)，
可得.
设，则.
(Ⅰ)依题意，是平面ADE的法向量，
又，可得，
又因为直线平面，所以平面.
(Ⅱ)依题意，，
设为平面BDE的法向量，
则，即，
不妨令z=1，可得，
因此有.
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
(Ⅲ)设为平面BDF的法向量，则，即.
不妨令y=1，可得.
由题意，有，解得.
经检验，符合题意｡
所以，线段的长为.
29．
（Ⅰ）证明：取中点,连接,有,
因为，所以,
又因为三棱柱为直三棱柱，
所以,
又因为,
所以，
又因为
所以
又因为,平面,平面,
所以，又因为平面,
所以,
因为，
所以,
连接,设，因为为正方形，
所以,又因为
所以,
又因为为的中点，
所以为的中点,
所以.
（Ⅱ）
如图以为坐标原点，分别以为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
设,由（Ⅰ）可知，
所以，
所以,
所以,
所以，
设平面的法向量为，
则即
则的一组解为．
所以
所以直线与平面成角的正弦值为.
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