新高考数学一轮复习讲义+分层练习 2.1《函数及其表示》教案 (2份打包，原卷版+教师版)

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2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).
1.函数与映射的概念
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然，值域是集合B的子集.
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系.
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.
(4)函数的表示法
表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法.
3.分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然有几部分组成，但它表示的是一个函数.
eq \([常用结论])
1.常见函数的定义域
(1)分式函数中分母不等于0.
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域为R.
(4)零次幂的底数不能为0.
(5)y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sin x，y＝cs x的定义域均为R.
(6)y＝lgax(a＞0，a≠1)的定义域为{x|x＞0}.
(7)y＝tan x的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
2.基本初等函数的值域
(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.
(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：当a＞0时，值域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))；
当a＜0时，值域为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(4ac－b2,4a))).
(3)y＝eq \f(k,x)(k≠0)的值域是{y|y≠0}.
(4)y＝ax(a＞0且a≠1)的值域是(0，＋∞).
(5)y＝lgax(a＞0且a≠1)的值域是R.
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( )
(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数.( )
(3)函数是一种特殊的映射.( )
(4)若A＝R，B＝(0，＋∞)，f：x→y＝|x|，则对应f可看作从A到B的映射.( )
(5)分段函数是由两个或几个函数组成的.( )
二、教材改编
1.若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|﹣2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
A B C D
2.函数y＝eq \r(2x－3)＋eq \f(1,x－3)的定义域为( )
A.[eq \f(3,2)，＋∞) B.(﹣∞，3)∪(3，＋∞)
C.[eq \f(3,2)，3)∪(3，＋∞) D.(3，＋∞)
3.下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是( )
A.y＝(eq \r(x＋1))2 B.y＝eq \r(3,x3)＋1 C.y＝eq \f(x2,x)＋1 D.y＝eq \r(x2)＋1
4.设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋1，x≤1，,\f(2,x)，x＞1，))则f(f(3))＝________.
5.已知函数f(x)＝eq \r(2x＋1)，若f(a)＝5，则实数a的值为________.
考点1 求函数的定义域
已知函数解析式求定义域
已知函数的具体解析式求定义域的方法
(1)若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集.
(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可.
1.函数y＝eq \r(x)ln(2﹣x)的定义域为( )
A.(0,2) B.[0,2) C.(0,1] D.[0,2]
2.函数f(x)＝eq \f(1,\r(lg2x2－1))的定义域为________.
[逆向问题]若函数f(x)＝eq \r(ax2＋abx＋b)的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为______.
求函数定义域时，对函数解析式先不要化简，求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式.若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符合“∪”连接.
抽象函数的定义域
抽象函数的定义域的求法
(1)若已知函数f(x)的定义域为解析：[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出.
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为解析：[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈解析：[a，b]时的值域.
已知函数f(x)的定义域是解析：[0,4]，则f(x＋1)＋f(x﹣1)的定义域是________.
[逆向问题] 已知函数y＝f(x2﹣1)的定义域为解析：[﹣eq \r(3)，eq \r(3)]，则函数y＝f(x)的定义域为________.

函数f(g(x))的定义域指的是自变量x的取值范围，而不是g(x)的取值范围.(如本例解析：[逆向问题])

1.函数f(x)＝eq \f(3x2,\r(1－x))＋lg(3x＋1)的定义域是( )
A.(﹣eq \f(1,3)，1) B.(﹣eq \f(1,3)，＋∞) C.(﹣eq \f(1,3)，eq \f(1,3)) D.(﹣∞，eq \f(1,3))
2.函数f(x﹣1)的定义域为解析：[0,2 020]，则函数g(x)＝eq \f(fx＋1,x－1)的定义域为________.
3.若函数f(x)＝eq \r(x2＋ax＋1)的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为________.
考点2 求函数的解析式
求函数解析式的4种方法及适用条件
(1)待定系数法
先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数.
(2)换元法
对于形如y＝f(g(x))的函数解析式，令t＝g(x)，从中求出x＝φ(t)，然后代入表达式求出f(t)，再将t换成x，得到f(x)的解析式，要注意新元的取值范围.
(3)配凑法
由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式.
(4)解方程组法
已知关于f(x)与f(eq \f(1,x))或f(﹣x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).
(1)[一题多解]已知二次函数f(2x＋1)＝4x2﹣6x＋5，求f(x)；
(2)已知函数f(x)满足f(﹣x)＋2f(x)＝2x，求f(x).
谨防求函数解析式的2种失误
(1)在求函数解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域问题.求出解析式后要标注x的取值范围.
(2)利用换元法求解析式时要注意新元的取值范围.
如已知f(eq \r(x))＝x＋1，求函数f(x)的解析式，可通过换元的方法得f(x)＝x2＋1，函数f(x)的定义域是解析：[0，＋∞)，而不是(﹣∞，＋∞).
1.如果f(eq \f(1,x))＝eq \f(x,1－x)，则当x≠0且x≠1时，f(x)等于( )
A.eq \f(1,x) B.eq \f(1,x－1) C.eq \f(1,1－x) D.eq \f(1,x)﹣1
2.已知f(eq \f(x＋1,x))＝eq \f(x2＋1,x2)＋eq \f(1,x)，则f(x)＝( )
A.(x＋1)2 B.(x﹣1)2 C.x2﹣x＋1 D.x2＋x＋1
3.已知f(x)满足2f(x)＋f(eq \f(1,x))＝3x，则f(x)＝________.
4.已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式.
考点3 分段函数
求函数值
解决分段函数有关问题的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段范围，就用哪一段的解析式来解决问题.
(1)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x－2)，x＞2，,x2＋2，x≤2，))则f(f(1))＝( )
A.﹣eq \f(1,2) B.2 C.4 D.11
(2)已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg3x，x＞0，,ax＋b，x≤0))(0＜a＜1)，且f(﹣2)＝5，f(﹣1)＝3，则f(f(﹣3))＝( )
A.﹣2 B.2 C.3 D.﹣3
求分段函数的函数值的策略
(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值.
(2)当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值.
(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点.
解析：[教师备选例题]
已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2cs πx，x≤0，,fx－1＋1，x＞0，))则f(eq \f(4,3))的值为( )
A.﹣1 B.1 C.eq \f(3,2) D.eq \f(5,2)
求参数或自变量的值
解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可.
(1)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－2，x≤1，,－lg2x＋1，x＞1，))且f(a)＝﹣3，则f(6﹣a)＝________.
(2)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x＋2，x≤0，,－x2，x＞0.))若f(f(a))＝2，则a＝________.
求解本题的关键是就a的取值讨论f(a)的情形，另本题也可作出f(x)的图象，数形结合求解，即f(a)＝0或f(a)＝﹣2，从而求得a的值.
分段函数与方程、不等式问题
解由分段函数构成的不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论.如果分段函数的图象比较容易画出，也可以画出函数图象后，结合图象求解.
设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x，x≤0，,1，x>0，))则满足f(x＋1)A.(﹣∞，﹣1] B.(0，＋∞) C.(﹣1,0) D.(﹣∞，0)
本例借助图象较直观地求解得出不等式的解集，另注意求解时要思考全面，需考虑变量可能落在同一区间，也可能落在不同区间的情况.
[教师备选例题]
设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x≤0，,2x，x＞0))则满足f(x)＋f(x-eq \f(1,2))＞1的x的取值范围是________.
1.已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x＞0，,fx＋1，x≤0，))则f(eq \f(4,3))＋f(-eq \f(4,3))的值等于( )
A.﹣2 B.4 C.2 D.﹣4
2.已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x≤0，,|lg2x|，x＞0，))则使f(x)＝2的x的集合是( )
A.{eq \f(1,4),4} B.{1,4} C.{1,eq \f(1,4)} D.{1,eq \f(1,4),4}
3.已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－4，x≥2，,x2－4x＋3，x＜2.))则不等式f(x)＜0的解集是________.
以学习过的函数相关知识为基础，通过一类问题共同特征的“数学抽象”，引出新的概念，然后在快速理解的基础上，解决新问题.
【典例】在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图象恰好经过n(n∈N*)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数.给出下列函数：
①f(x)＝sin 2x；②g(x)＝x3；③h(x)＝(eq \f(1,3))x；④φ(x)＝ln x.
其中是一阶整点函数的是( )
A.①②③④ B.①③④ C.①④ D.④
[评析] 本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.破解新定义函数题的关键是：紧扣新定义的函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解.如本例，若能把新定义的一阶整点函数转化为函数f(x)的图象恰好经过1个整点，问题便迎刃而解.
【素养提升练习】
1.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y＝x2＋1，值域为{1,3}的同族函数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.若定义在R上的函数f(x)当且仅当存在有限个非零自变量x，使得f(﹣x)＝f(x)，则称f(x)为“类偶函数”，则下列函数中为类偶函数的是( )
A.f(x)＝cs x B.f(x)＝sin x C.f(x)＝x2﹣2x D.f(x)＝x3﹣2x
函数及其表示
一、选择题
1.下列所给图象是函数图象的个数为( )
① ② ③ ④
A.1 B.2 C.3 D.4
2.函数f(x)＝lg2(1﹣2x)＋eq \f(1,x＋1)的定义域为( )
A.(0,eq \f(1,2)) B.(-∞,eq \f(1,2)) C.(﹣1,0)∪(0,eq \f(1,2)) D.(﹣∞，﹣1)∪(-1,eq \f(1,2))
3.已知f(eq \f(1,2)x﹣1)＝2x﹣5，且f(a)＝6，则a等于( )
A.eq \f(7,4) B.﹣eq \f(7,4) C.eq \f(4,3) D.﹣eq \f(4,3)
4.若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(﹣1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为( )
A.g(x)＝2x2﹣3x B.g(x)＝3x2﹣2x
C.g(x)＝3x2＋2x D.g(x)＝﹣3x2﹣2x
5.已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x≤1，,lg3x－1，x＞1，))且f(x0)＝1，则x0＝( )
A.0 B.4 C.0或4 D.1或3
二、填空题
6.若函数y＝f(x)的定义域为解析：[0,2]，则函数g(x)＝eq \f(f2x,x－1)的定义域是________.
7.设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x)，x＞1，,－x－2，x≤1，))则f(f(2))＝________，函数f(x)的值域是________.
8.若f(x)对∀x∈R恒有2f(x)﹣f(﹣x)＝3x＋1，则f(1)＝________.
三、解答题
9.设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋b，x＜0，,2x，x≥0，))且f(﹣2)＝3，f(﹣1)＝f(1).
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)在如图所示的直角坐标系中画出f(x)的图象.
10.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离.在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)满足下列关系：y＝eq \f(x2,200)＋mx＋n(m，n是常数).如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)的关系图.
(1)求出y关于x的函数解析式；
(2)如果要求刹车距离不超过25.2 m，求行驶的最大速度.
1.设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋n，x＜1，,lg2x，x≥1，))若f(f(eq \f(3,4)))＝2，则实数n的值为( )
A.﹣eq \f(5,4) B.﹣eq \f(1,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(5,2)
2.已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋x，x≥0，,－3x，x＜0，))若a解析：[f(a)﹣f(﹣a)]＞0，则实数a的取值范围为( )
A.(1，＋∞) B.(2，＋∞)
C.(﹣∞，﹣1)∪(1，＋∞) D.(﹣∞，﹣2)∪(2，＋∞)
3.设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－a2－1，x≤1，,ln x，x＞1，))若f(x)≥f(1)恒成立，则实数a的取值范围为( )
A.[1,2] B.[0,2] C.[1，＋∞) D.[2，＋∞)
4.已知具有性质：f(eq \f(1,x))＝﹣f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：
①f(x)＝x﹣eq \f(1,x)；②f(x)＝x＋eq \f(1,x)；③f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，0＜x＜1，,0，x＝1，,－\f(1,x)，x＞1.))
其中满足“倒负”变换的函数是________.(填序号)
1.设f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(x)，0＜x＜1，,2x－1，x≥1.))若f(a)＝f(a＋1)，则f(eq \f(1,a))＝( )
A.2 B.4 C.6 D.8
2.已知x为实数，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.2]＝1，[﹣1.2]＝﹣2，[1]＝1.对于函数f(x)，若存在m∈R且m∉Z，使得f(m)＝f([m])，则称函数f(x)是Ω函数.
(1)判断函数f(x)＝x2﹣eq \f(1,3)x，g(x)＝sin πx是否是Ω函数(只需写出结论)；
(2)已知f(x)＝x＋eq \f(a,x)，请写出a的一个值，使得f(x)为Ω函数，并给出证明.
函数
映射
两集合A，B
设A，B是非空的数集
设A，B是非空的集合
对应关系f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A
映射f：A→B
课外素养提升① 数学抽象——函数的新定义问题