新高考数学一轮复习讲义+分层练习 3.4《利用导数证明不等式》教案 (2份打包，原卷版+教师版)

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考点1 单变量不等式的证明
单变量不等式的证明方法
(1)移项法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))的问题转化为证明f(x)﹣g(x)＞0(f(x)﹣g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)﹣g(x)；
(2)构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数；把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数；
(3)最值法：欲证f(x)＜g(x)，有时可以证明f(x)max＜g(x)min.
直接将不等式转化为函数的最值问题
已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a＜0时，证明f(x)≤﹣eq \f(3,4a)﹣2.
转化为两个函数的最值进行比较
已知f(x)＝xln x.
(1)求函数f(x)在［t，t＋2］(t＞0)上的最小值；
(2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x＞eq \f(1,ex)﹣eq \f(2,ex)成立.
构造函数证明不等式
已知函数f(x)＝ex﹣3x＋3a(e为自然对数的底数，a∈R).
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a＞ln eq \f(3,e)，且x＞0时，eq \f(ex,x)＞eq \f(3,2)x＋eq \f(1,x)﹣3a.
已知函数f(x)＝aex﹣bln x，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝(eq \f(1,e)﹣1)x＋1.
(1)求a，b；
(2)证明：f(x)＞0.
考点2 双变量不等式的证明
破解含双参不等式证明题的3个关键点
(1)转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式.
(2)巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值.
(3)回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.
已知函数f(x)＝ln x﹣ax(x＞0)，a为常数，若函数f(x)有两个零点x1，x2(x1≠x2).求证：x1x2＞e2.
已知函数f(x)＝ln x﹣eq \f(1,2)ax2＋x，a∈R.
(1)当a＝0时，求函数f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程；
(2)若a＝﹣2，正实数x1，x2满足f(x1)＋f(x2)＋x1x2＝0，求证：x1＋x2≥eq \f(\r(5)－1,2).
考点3 证明与正整数有关的不等式问题
函数中与正整数有关的不等式，其实质是利用函数性质证明数列不等式，证明此类问题时常根据已知的函数不等式，用关于正整数n的不等式替代函数不等式中的自变量，通过多次求和达到证明的目的.
若函数f(x)＝ex﹣ax﹣1(a＞0)在x＝0处取极值.
(1)求a的值，并判断该极值是函数的最大值还是最小值；
(2)证明：1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,n)＞ln(n＋1)(n∈N*).
已知函数f(x)＝ln(x＋1)＋eq \f(a,x＋2).
(1)若x＞0时，f(x)＞1恒成立，求a的取值范围；
(2)求证：ln(n＋1)＞eq \f(1,3)＋eq \f(1,5)＋eq \f(1,7) ＋…＋eq \f(1,2n＋1)(n∈N*).
逻辑推理是得到数学结论，构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证.利用两个经典不等式解决其他问题，降低了思考问题的难度，优化了推理和运算过程.
(1)对数形式：x≥1＋ln x(x＞0)，当且仅当x＝1时，等号成立.
(2)指数形式：ex≥x＋1(x∈R)，当且仅当x＝0时，等号成立.进一步可得到一组不等式链：ex＞x＋1＞x＞1＋ln x(x＞0，且x≠1).
【例1】(1)已知函数f(x)＝eq \f(1,ln（x＋1）－x)，则y＝f(x)的图象大致为( )
(2)已知函数f(x)＝ex，x∈R.证明：曲线y＝f(x)与曲线y＝eq \f(1,2)x2＋x＋1有唯一公共点.
【例2】已知函数f(x)＝x﹣1﹣aln x.
(1)若f(x)≥0，求a的值；
(2)证明：对于任意正整数n，(1+eq \f(1,2))(1＋eq \f(1,22))…(1＋eq \f(1,2n))…＜e.
【例3】设函数f(x)＝ln x﹣x＋1.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)求证：当x∈(1，＋∞)时，1＜eq \f(x－1,ln x)＜x.
利用导数证明不等式
1.已知函数f(x)＝eln x﹣ax(a∈R).
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a＝e时，证明：xf(x)﹣ex＋2ex≤0.
2.已知函数f(x)＝eq \f(1,x)﹣x＋aln x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＜a﹣2.
3.已知函数f(x)＝ex，g(x)＝ln(x＋a)＋b.
(1)当b＝0时，f(x)﹣g(x)＞0恒成立，求整数a的最大值；
(2)求证：ln 2＋(ln 3﹣ln 2)2＋(ln 4﹣ln 3)3＋…＋[ln(n＋1)﹣ln n]n＜eq \f(e,e－1)(n∈N*).
课外素养提升③ 逻辑推理——用活两个经典不等式