新高考数学一轮复习讲义+分层练习 4.5《函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及简单应用》教案 (2份打包，原卷版+教师版)

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1.y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
3.由y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图象
eq \a\vs4\al([常用结论])
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.
2.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移eq \f(φ,ω)个单位长度而非φ个单位长度.
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致.( )
(2)将y＝3sin 2x的图象左移eq \f(π,4)个单位后所得图象的解析式是y＝3sin(2x+eq \f(π,4)).( )
(3)y＝sin(x﹣eq \f(π,4))的图象是由y＝sin(x+eq \f(π,4))的图象向右平移eq \f(π,2)个单位得到的.( )
(4)函数y＝Acs(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为eq \f(T,2).( )
二、教材改编
1.y＝2sin(eq \f(1,2)x﹣eq \f(π,3))的振幅、频率和初相分别为( )
A.2，4π，eq \f(π,3) B.2，eq \f(1,4π)，eq \f(π,3) C.2，eq \f(1,4π)，﹣eq \f(π,3) D.2，4π，﹣eq \f(π,3)
2.为了得到函数y＝2sin(2x﹣eq \f(π,3))的图象，可以将函数y＝2sin 2x的图象( )
A.向右平移eq \f(π,6)个单位长度 B.向右平移eq \f(π,3)个单位长度
C.向左平移eq \f(π,6)个单位长度 D.向左平移eq \f(π,3)个单位长度
3.如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，则这段曲线的函数解析式为________.
4.某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.下表是今年前四个月的统计情况：
选用一个函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为________.
考点1 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
(1)y＝Asin(ωx＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标.
(2)由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
已知函数y＝2sin(2x＋eq \f(π,3)).
(1)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；
(2)说明y＝2sin(2x＋eq \f(π,3))的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到.
三角函数图象变换中的3个注意点
(1)变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数.
(2)要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图象，得到的是哪个函数的图象，切不可弄错方向.
(3)要弄准变换量的大小，特别是平移变换中，函数y＝Asin x到y＝Asin(x＋φ)的变换量是|φ|个单位，而函数y＝Asin ωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(φ,ω)))个单位.
1.要得到函数y＝sin(5x﹣eq \f(π,4))的图象，只需将函数y＝cs 5x的图象( )
A.向左平移eq \f(3π,20)个单位 B.向右平移eq \f(3π,20)个单位
C.向左平移eq \f(3π,4)个单位 D.向右平移eq \f(3π,4)个单位
2.若把函数y＝sin(ωx﹣eq \f(π,6))的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，所得到的图象与函数y＝cs ωx的图象重合，则ω的一个可能取值是( )
A.2 B.eq \f(3,2) C.eq \f(2,3) D.eq \f(1,2)
3.将函数f(x)＝sin(4x＋eq \f(π,3))的图象向左平移φ(φ＞0)个单位后，得到的图象关于直线x＝eq \f(π,12)对称，则φ的最小值为________.
考点2 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的解析式的步骤
(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝eq \f(M－m,2)，B＝eq \f(M＋m,2).
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝eq \f(2π,T).
(3)求φ，常用方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝eq \f(π,2)；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝eq \f(3π,2)；“第五点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝2π.
(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)＝________.
(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0，0＜φ＜eq \f(π,2))的部分图象如图所示，则f(﹣eq \f(π,3))＝________.
1.如果存在正整数ω和实数φ使得函数f(x)＝sin2(ωx＋φ)的图象如图所示(图象经过点(1，0))，那么ω的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，|φ|＜eq \f(π,2))的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A.在区间[eq \f(7π,6)，eq \f(13π,6)]上单调递减
B.在区间[eq \f(7π,12)，eq \f(13π,12)]上单调递增
C.在区间[eq \f(7π,12)，eq \f(13π,12)]上单调递减
D.在区间[eq \f(7π,6)，eq \f(13π,6)]上单调递增
3.已知函数f(x)＝sin(πx＋θ)(|θ|＜eq \f(π,2))的部分图象如图所示，且f(0)＝﹣eq \f(1,2)，则图中m的值为________.
考点3 三角函数图象与性质的综合应用
函数零点(方程根)问题
已知关于x的方程2sin2x﹣eq \r(3)sin 2x＋m﹣1＝0在(eq \f(π,2)，π)上有两个不同的实数根，则m的取值范围是________.
[母题探究] (变条件)将本例中“有两个不同的实数根”改为“有实根”，则m的取值范围为________.
三角函数的零点问题可转化为两个函数图象的交点问题.
三角函数图象与性质的综合问题
已知函数f(x)＝eq \r(3)sin(2ωx＋eq \f(π,3))(ω＞0)的图象与x轴相邻两个交点的距离为eq \f(π,2).
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若将f(x)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度得到函数g(x)的图象恰好经过点(﹣eq \f(π,3)，0)，求当m取得最小值时，g(x)在[﹣eq \f(π,6)，eq \f(7π,12)]上的单调递增区间.
研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.
1.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)是奇函数，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π，且g(eq \f(π,4))＝eq \r(2)，则f(eq \f(3π,8))＝( )
A.﹣2 B.﹣eq \r(2) C.eq \r(2) D.2
2.设函数f(x)＝sin(ωx＋eq \f(π,5))(ω＞0)，已知f(x)在[0，2π]有且仅有5个零点.下述四个结论：①f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点；②f(x)在(0，2π)有且仅有2个极小值点；③f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,10)))单调递增；④ω的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,5)，\f(29,10))).其中所有正确结论的编号是( )
A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④
数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算可促进学生思维的发展；而逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式.运算和推理贯穿于探究数学问题的始终，可交替使用，相辅相成.
三角函数的周期T与ω的关系
【例1】为了使函数y＝sin ωx(ω＞0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为( )
A.98π B.eq \f(197,2)π C.eq \f(199,2)π D.100π
三角函数的单调性与ω的关系
【例2】若f(x)＝2sin ωx(ω＞0)在区间[﹣eq \f(π,2)，eq \f(2π,3)]上是增函数，则ω的取值范围是________.
【例3】(1)已知f(x)＝sin ωx﹣cs ωx(ω＞eq \f(2,3))，若函数f(x)图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(π，2π)，则ω的取值范围是________.(结果用区间表示)
(2)已知函数f(x)＝2sin ωx在区间[﹣eq \f(π,3)，eq \f(π,4)]上的最小值为﹣2，则ω的取值范围是________.
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用
一、选择题
1.函数y＝sin(2x﹣eq \f(π,3))在区间[﹣eq \f(π,2)，π]上的简图是( )

A B C D
2.函数f(x)＝tan ωx(ω＞0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为eq \f(π,2)，则f(eq \f(π,6))的值是( )
A.﹣eq \r(3) B.eq \f(\r(3),3) C.1 D.eq \r(3)
3.函数y＝eq \r(3)sin 2x﹣cs 2x的图象向右平移φ(0＜φ＜eq \f(π,2))个单位长度后，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)为偶函数，则φ的值为( )
A.eq \f(π,12) B.eq \f(π,6) C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,3)
4.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，﹣eq \f(π,2)＜φ＜eq \f(π,2))的部分图象如图所示，则φ的值为( )
A.﹣eq \f(π,3) B.eq \f(π,3) C.﹣eq \f(π,6) D.eq \f(π,6)
5.函数f(x)＝Acs(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示，给出以下结论：
①f(x)的最小正周期为2；
②f(x)图象的一条对称轴为直线x＝﹣eq \f(1,2)；
③f(x)在(2k﹣eq \f(1,4)，2k＋eq \f(3,4))，k∈Z上是减函数；
④f(x)的最大值为A.
则正确结论的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
6.将函数f(x)＝2sin(2x＋eq \f(π,6))的图象向右平移eq \f(1,4)个周期后，所得图象对应的函数为f(x)＝________.
7.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜eq \f(π,2))的部分图象如图所示，则y＝f(x＋eq \f(π,6))取得最小值时x的集合为________.
8.已知f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))(ω＞0)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))，且f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))上有最小值，无最大值，则ω＝________.
三、解答题
9.设函数f(x)＝cs(ωx＋φ)(ω＞0，﹣eq \f(π,2)＜φ＜0)的最小正周期为π，且f(eq \f(π,4))＝eq \f(\r(3),2).
(1)求ω和φ的值；
(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象.
10.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜eq \f(π,2))的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若对于任意的x∈[0，m]，f(x)≥1恒成立，求m的最大值.
1.将函数f(x)＝tan(ωx＋eq \f(π,3))(0＜ω＜10)的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度后与函数f(x)的图象重合，则ω＝( )
A.9 B.6 C.4 D.8
2.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3eq \r(3)，﹣3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ)(t≥0,ω>0，|φ|A.R＝6，ω＝eq \f(π,30)，φ＝﹣eq \f(π,6)
B.当t∈[35，55]时，点P到x轴的距离的最大值为6
C.当t∈[10，25]时，函数y＝f(t)递减
D.当t＝20时，|PA|＝6eq \r(3)
3.已知函数f(x)＝sin ωx＋cs ωx(ω＞0)，x∈R.若函数f(x)在区间(﹣ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________.
4.已知函数f(x)＝2sin(2ωx＋eq \f(π,6))(ω＞0).
(1)若点(eq \f(5π ,8)，0)是函数f(x)图象的一个对称中心，且ω∈(0，1)，求函数f(x)在[0，eq \f(3π,4)]上的值域；
(2)若函数f(x)在[eq \f(π,3)，eq \f(2π,3)]上单调递增，求实数ω的取值范围.
已知函数f(x)＝eq \r(3)sin ωxcs ωx＋cs2ωx＋b＋1.
(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,6)对称，且ω∈[0，3]，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)在(1)的条件下，当x∈[0，eq \f(7π,12)]时，函数f(x)有且只有一个零点，求实数b的取值范围.
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)表示一个简谐运动
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝eq \f(2π,ω)
f＝eq \f(1,T)＝eq \f(ω,2π)
ωx＋φ
φ
x
﹣eq \f(φ,ω)
eq \f(\f(π,2)－φ,ω)
eq \f(π－φ,ω)
eq \f(\f(3,2)π－φ,ω)
eq \f(2π－φ,ω)
ωx＋φ
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
﹣A
0
月份x
1
2
3
4
收购价格y(元/斤)
6
7
6
5
课外素养提升⑤ 逻辑推理与数学运算——三角函数中ω的确定方法