新高考数学一轮复习讲义+分层练习 8.7《抛物线》教案 (2份打包，原卷版+教师版)

这是一份新高考数学一轮复习讲义+分层练习 8.7《抛物线》教案 (2份打包，原卷版+教师版)，文件包含新高考数学一轮复习讲义+分层练习87《抛物线》教案原卷版doc、新高考数学一轮复习讲义+分层练习87《抛物线》教案原卷版pdf、新高考数学一轮复习讲义+分层练习87《抛物线》教案教师版doc、新高考数学一轮复习讲义+分层练习87《抛物线》教案教师版pdf等4份教案配套教学资源，其中教案共48页， 欢迎下载使用。

2.理解数形结合思想.
3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用.
1.抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
(1)在平面内；
(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；
(3)定点不在定直线上.
2.抛物线的标准方程与几何性质
eq \a\vs4\al([常用结论])
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝﹣p2.
(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α)(α为弦AB的倾斜角).
(3)以弦AB为直径的圆与准线相切.
(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长度等于2p，通径是过焦点最短的弦.
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( )
(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.( )
(3)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,4)，0))，准线方程是x＝﹣eq \f(a,4).( )
(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( )
二、教材改编
1.过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于( )
A.9 B.8 C.7 D.6
2.若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )
A.eq \f(17,16) B.eq \f(15,16) C.eq \f(7,8) D.0
3.设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A.4 B.6 C.8 D.12
4.顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(﹣4，﹣2)的抛物线的标准方程是________.
考点1 抛物线的定义及应用
(1)应用抛物线定义的两个关键点
①由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.
②注意灵活运用抛物线上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝|x0|＋eq \f(p,2)或|PF|＝|y0|＋eq \f(p,2).
(2)解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径是：“看到准线想焦点，看到焦点想准线”.
(1)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到准线的距离为( )
A.eq \f(5,2) B.eq \f(3,2) C.1 D.3
(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________.
[母题探究]
1.若将例(2)中的B点坐标改为(3，4)，试求|PB|＋|PF|的最小值.
2.若将例(2)中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x﹣y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值.
与抛物线有关的最值问题的转换方法
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解.
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.
已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.
考点2 抛物线的标准方程及其性质
求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
(1)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为4eq \r(3)，则抛物线的方程为( )
A.y2＝6x B.y2＝8x
C.y2＝16x D.y2＝eq \f(15x,2)
(2)在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足.如果直线AF的倾斜角为120°，那么|PF|＝______.
在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.
1.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|＝4eq \r(2)，|DE|＝2eq \r(5)，则C的焦点到准线的距离为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
2.如图所示，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则抛物线的方程为( )
A.y2＝8x B.y2＝4x
C.y2＝2x D.y2＝x
考点3 直线与抛物线的位置关系
求解抛物线综合问题的方法
(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用.
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p(焦点在x轴正半轴)，若不过焦点，则必须用弦长公式.
提醒：涉及弦的中点、弦所在直线的斜率时一般用“点差法”求解.
(1)过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有____条.
(2)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为eq \f(3,2)的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
①若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
②若eq \(AP,\s\up8(→))＝3eq \(PB,\s\up8(→))，求|AB|.
解答本例(2)第②问的关键是从条件“eq \(AP,\s\up8(→))＝3eq \(PB,\s\up8(→))”中发现变量间的关系“y1＝﹣3y2”，从而为方程组的消元提供明确的方向.
[备选例题]
1.设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k＞0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程.
2.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)在第一象限内的点P(2，t)到焦点F的距离为eq \f(5,2).
(1)若N(﹣eq \f(1,2)，0)，过点N，P的直线l1与抛物线相交于另一点Q，求eq \f(|QF|,|PF|)的值；
(2)若直线l2与抛物线C相交于A，B两点，与圆M：(x﹣a)2＋y2＝1相交于D，E两点，O为坐标原点，OA⊥OB，试问：是否存在实数a，使得|DE|为定值？若存在，求出a的值；若不存存，请说明由.
1.过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于( )
A.4 B.eq \f(9,2) C.5 D.6
2.已知点A(m，4)(m＞0)在抛物线x2＝4y上，过点A作倾斜角互补的两条直线l1和l2，且l1，l2与抛物线的另一个交点分别为B，C.
(1)求证：直线BC的斜率为定值；
(2)若抛物线上存在两点关于BC对称，求|BC|的取值范围.
抛物线
一、选择题
1.点M(5，3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是( )
A.x2＝eq \f(1,12)yB.x2＝eq \f(1,12)y或x2＝﹣eq \f(1,36)y
C.x2＝﹣eq \f(1,36)y D.x2＝12y或x2＝﹣36y
2.过抛物线C：x2＝2y的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若抛物线C在点B处的切线斜率为1，则|AF|＝( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.设经过抛物线C的焦点的直线l与抛物线C交于A、B两点，那么抛物线C的准线与以AB为直径的圆的位置关系为( )
A.相离 B.相切
C.相交但不经过圆心 D.相交且经过圆心
4.过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \r(2) C.eq \f(3\r(2),2) D.2eq \r(2)
5.已知P是抛物线y2＝4x上的一个动点，Q是圆(x﹣3)2＋(y﹣1)2＝1上的一个动点，N(1，0)是一个定点，则|PQ|＋|PN|的最小值为( )
A.3 B.4 C.5 D.eq \r(2)＋1
二、填空题
6.设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为________.
7.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F作一条直线交抛物线于A，B两点.若|AF|＝3，则|BF|＝________.
8.已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________.
三、解答题
9.已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2eq \r(2)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.
(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若eq \(OC,\s\up8(→))＝eq \(OA,\s\up8(→))＋λeq \(OB,\s\up8(→))，求λ的值.
10.设抛物线C：y2＝2x，点A(2，0)，B(﹣2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点.
(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；
(2)证明：∠ABM＝∠ABN.
1.设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(﹣2，0)且斜率为eq \f(2,3)的直线与C交于M，N两点，则eq \(FM,\s\up8(→))·eq \(FN,\s\up8(→))＝( )
A.5 B.6 C.7 D.8
2.已知F是抛物线C1：y2＝2px(p＞0)的焦点，曲线C2是以F为圆心，eq \f(p,2)为半径的圆，直线4x﹣3y﹣2p＝0与曲线C1，C2从上到下依次相交于点A，B，C，D，则eq \f(|AB|,|CD|)＝( )
A.16 B.4 C.eq \f(8,3) D.eq \f(5,3)
3.过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，且倾斜角为60°的直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＞|BF|，且|AF|＝2，则p＝________.
4.设A，B为曲线C：y＝eq \f(x2,4)上两点，A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率；
(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程.
1.设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则|eq \(FA,\s\up8(→))|＋|eq \(FB,\s\up8(→))|＋|eq \(FC,\s\up8(→))|的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.如图所示，抛物线y＝eq \f(1,4)x2，AB为过焦点F的弦，过A，B分别作抛物线的切线，两切线交于点M，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM)，则：
①若AB的斜率为1，则|AB|＝4；
②|AB|min＝2；
③yM＝﹣1；
④若AB的斜率为1，则xM＝1；
⑤xA·xB＝﹣4.
以上结论正确的所有序号是( )
A.①②④ B.③④⑤ C.①②⑤ D.③⑤
标准方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝﹣2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝﹣2py
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0，0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
离心率
e＝1
准线方程
x＝﹣eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝﹣eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
焦半径(其中P(x0，y0))
|PF|＝x0＋eq \f(p,2)
|PF|＝﹣x0＋eq \f(p,2)
|PF|＝y0＋eq \f(p,2)
|PF|＝﹣y0＋eq \f(p,2)