2023-2024学年江苏省南通市如皋市初级中学八年级（上）第二次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南通市如皋市初级中学八年级（上）第二次月考数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.随着人们对环境的重视，新能源的开发迫在眉睫，石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度应是0.0000034m，用科学记数法表示0.0000034是( )
A. 0.34×10−5B. 3.4×106C. 3.4×10−5D. 3.4×10−6
2.下列二次根式中，与 2是同类二次根式的是( )
A. 4B. 6C. 8D. 12
3.下列等式成立的是( )
A. 1a+2b=3a+bB. 22a+b=1a+b
C. aba2−ab=ba−bD. a−a+b=−1a+b
4.如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是( )
A. SAS
B. ASA
C. AAS
D. HL
5.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=20°，则∠B的度数是( )
A. 70°
B. 65°
C. 60°
D. 55°
6.式子n2−1与n2+n的公因式是( )
A. n+1B. n2C. nD. n−1
7.如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC=36cm2，AB=18cm，BC=12cm，则DE的长为( )
A. 2cm
B. 3613cm
C. 125cm
D. 3cm
8.如图，四边形ABCD中，AB=AD，点B关于AC的对称点Bʹ恰好落在CD上，若∠BAD=α，则∠ACB的度数为( )
A. 12α
B. 90°−12α
C. 45°
D. α−45°
9.如图，点P是△ABC三个内角的角平分线的交点，连接AP、BP、CP，∠ACB=60°，且CA+AP=BC，则∠CAB的度数为( )
A. 60°B. 70°C. 80°D. 90°
10.已知实数m，n满足m2+n2=2+3mn，则(2m−3n)2+(m+2n)(m−2n)的最小值为( )
A. 445B. 443C. 234D. 72
二、填空题：本题共8小题，共30分。
11.如果式子 x+7x有意义，则x的取值范围为______ ．
12.点P(−2,1)关于x轴的对称点的坐标为______ ．
13.分解因式：4x2−36=______．
14.如图，在△ABC中，∠B=∠C=30°，AD⊥AB交BC于点D，BC=30，则BD= ______ ．
15.若实数满足 3x−1+ 1−3x+y=2，则x−y值为______ ．
16.如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点E，AB，BC边的垂直平分线相交于点D.若∠BEC=120°，则∠BDC的度数为______ ．
17.关于x的分式方程2x+31−x−a−3x−1=1的解满足不等式x−12+2>1+x3，则a的取值范围是______ ．
18.如图，等边△ABC的边长为1，CD⊥AB于点D，E为射线CD上一点，以BE为边在BE左侧作等边△BEF，则DF的最小值为______．
三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：
(1) 24− 18× 13− 16；
(2)4(x+1)2−(2x+5)(2x−5)．
20.(本小题10分)
(1)先化简，再求值：(x2x−1−x−1)÷2x−x2，然后从−2(2)求证：当n是整数时，两个连续奇数的平方差(2n+1)2−(2n−1)2是8的倍数．
21.(本小题10分)
已知；如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．
(1)求证：BD=CE；
(2)判断BD与CE的位置关系并证明．
22.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(0,1)，B(2,0)，C(4,4)均在正方形网格的格点上．
(1)画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1并写出顶点A1，B1，C1的坐标；
(2)求△A1B1C1的面积；
(3)已知P为y轴上一点，若△ABP与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标．
23.(本小题10分)
老师在黑板上写了一个代数式的正确计算结果，随后用“黑板擦”遮住原代数式的一部分，如图：−232−x)÷xx+2=x+2x−2．
(1)求被“黑板擦”遮住部分的代数式，并将其化简；
(2)原代数式的值能等于−1吗？请说明理由．
24.(本小题12分)
今年杭州亚运会期间，某商店用3000元购进一批亚运会吉祥物，很快售完，第二次购进时，每个吉祥物的进价提高了20%，同样用3000元购进的数量比第一次少了10个．
(1)求第一次购进的每个吉祥物的进价为多少元？
(2)若两次购进的吉祥物售价均为96元，且全部售出，则该商店两次购进吉祥物的总利润为多少元？
25.(本小题14分)
已知等腰△ABC和等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE．
(1)如图(1)，①若AB=7，AD=3，在等腰△ADE可绕点A旋转过程中，线段CD的最大值为______ ；
②若∠BAC=∠DAE=40°，当B、D、E三点共线时，则∠AEC的度数为______ ；
(2)如图(2)，若AC=AD，且C与D重合，∠BAC=60°.当∠DAE的大小在0°～90°范围内之间任意改变，∠BEC的度数是否随之改变？请说明理由；
(3)在(2)的条件下，F是EC延长线上一点，且BF=EF，连接AF，如图3，试探究FA，FB，FC之间的关系，并证明．
26.(本小题14分)
[了解概念]
定义：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，则称这个三角形为“唯美三角形”，这条中线叫这条边的“唯美线”．

[理解运用]
(1)如图1，△ABC为“唯美三角形”，BD为AC边的“唯美线”，试判断△ABC的形状，并说明理由；
[拓展提升]
(2)在△ABC中，AB=AC，E为△ABC外一点，连接EB，EC，若△ABC和△EBC均为“唯美三角形”，且AD和ED分别为这两个三角形BC边的“唯美线”．
①如图2，若点E、A在直线BC异侧，连接AE，求∠AEB的度数；
②若点E为平面内一点，满足EC=3，EB=9，请直接写出点A到BE的距离．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，n的绝对值是由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数，据此解答即可．
【解答】
解：用科学记数法表示0.0000034是3.4×10−6．
故选：D．
2.【答案】C
【解析】解： 4=2，因此 4与 2不是同类二次根式，所以选项A不符合题意；
6与 2不是同类二次根式，所以选项B不符合题意；
8=2 2，与 2是同类二次根式，所以选项C符合题意；
12=2 3，与 2不是同类二次根式，所以选项D不符合题意；
故选：C．
将二次根式化成最简二次根式后，再根据同类二次根式的定义进行判断即可．
本题考查同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是正确判断的前提，将二次根式化成最简二次根式是正确判断的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A.等式不成立，不合题意；
B.等式不成立，不合题意；
C.由a≠0，左边分子分母同时除以a，可得ba−b，等式成立，符合题意；
D.等式不成立，不合题意；
故选：C．
依据分式的基本性质进行判断，即可得出结论．
本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．
4.【答案】B
【解析】解：∵由图形可知三角形的两角和夹边，
∴两个三角形全等的依据是ASA．
故选：B．
由图形可知三角形的两角和夹边，于是根据“ASA”即可画出一个与原来完全样的三角形．
本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．
5.【答案】B
【解析】解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，
∴AC=A′C，∠ACA′=90°，
∴△ACA′是等腰直角三角形，
∴∠CAA′=45°，
∴∠A′B′C=∠1+∠CAA′=20°+45°=65°，
由旋转的性质得∠B=∠A′B′C=65°．
故选：B．
根据旋转的性质可得AC=A′C，∠ACA′=90°，然后判断出△ACA′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CAA′=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠A′B′C，然后根据旋转的性质可得∠B=∠A′B′C．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵n2−1=(n+1)(n−1)，n2+n=n(n+1)，
∴n2−1与n2+n的公因式是n+1．
故选：A．
把式子n2−1与n2+n分别进行因式分解后，根据公因式的确定方法，即可得到答案．
本题考查了公因式和因式分解，掌握因式分解是确定公因式的关键．
7.【答案】C
【解析】解：如图，过点D作DF⊥BC于F，
∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF，
∵S△ABC=36cm2，AB=18cm，BC=12cm，
∴S△ABC=S△ABD+S△BCD=12AB⋅DE+12BC⋅DF=12DE⋅(AB+BC)=36cm2，
解得：DE=125(cm)．
故选：C．
过点D作DF⊥BC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，然后根据△ABC的面积列出方程求解即可得到DE．
此题考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，正确作出辅助线是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：如图，连接AB′，BB′，过A作AE⊥CD于E，
∵点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BB′，
∴AB=AB′，
∴∠BAC=∠B′AC，
∵AB=AD，
∴AD=AB′，
又∵AE⊥CD，
∴∠DAE=∠B′AE，
∴∠CAE=12∠BAD=12α，
又∵∠AEB′=∠AOB′=90°，
∴四边形AOB′E中，∠EB′O=180°−12α，
∴∠ACB′=∠EB′O−∠COB′=180°−12α−90°=90°−12α，
∴∠ACB=∠ACB′=90°−12α．
故选：B．
连接AB′，BB′，过A作AE⊥CD于E，依据∠BAC=∠B′AC，∠DAE=∠B′AE，即可得出∠CAE=12∠BAD，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到∠ACB=∠ACB′=90°−12∠BAD．
本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造四边形AOB′E，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
9.【答案】C
【解析】解：如图，在BC上截取CE=AC，连接PE，
∵∠ACB=60°，
∴∠CAB+∠ABC=120°
∵点P是△ABC三个内角的角平分线的交点，
∴∠CAP=∠BAP=12∠CAB，∠ABP=∠CBP=12∠ABC，∠ACP=∠BCP，
∴∠ABP+∠BAP=60°
∵CA=CE，∠ACP=∠BCP，CP=CP
∴△ACP≌△ECP(SAS)
∴AP=PE，∠CAP=∠CEP
∵CA+AP=BC，且CB=CE+BE，
∴AP=BE，
∴BE=PE，
∴∠EPB=∠EBP，
∴∠PEC=∠EBP+∠EPB=2∠PBE=∠CAP
∴∠PAB=2∠PBA，且∠ABP+∠BAP=60°，
∴∠PAB=40°，
∴∠CAB=80°
故选：C．
由角平分线的性质可得∠ABP+∠BAP=60°，由“SAS”可证△ACP≌△BCP，可得AP=PE，∠CAP=∠CEP，可得PE=BE，由等腰三角形的性质和外角性质可得∠PAB=2∠PBA，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵m2+n2=2+3mn，
∴(2m−3n)2+(m+2n)(m−2n)
=4m2+9n2−12mn+m2−4n2
=5m2+5n2−12mn
=5(2+3mn)−12mn
=10+3mn，
∵m2+n2=2+3mn，
∴(m+n)2=2+5mn≥0(当m+n=0时，取等号)，
∴mn≥−25，
∴(m−n)2=2+mn≥0(当m−n=0时，取等号)，
∴mn≥−2，
∴mn≥−25，
∴3mn≥−65，
∴10+3mn≥445，
即(2m−3n)2+(m+2n)(m−2n)的最小值为445．
故选：A．
先化简(2m−3n)2+(m+2n)(m−2n)=10+3mn，再判断出mn≥−25，即可求出答案．
此题主要考查了配方法，完全平方公式，整式的乘法，化简(2m−3n)2+(m+2n)(m−2n)是解本题的关键．
11.【答案】x≥−7且x≠0
【解析】解：根据题意得，x+7≥0且x≠0，
解得x≥−7且x≠0．
故答案为：x≥−7且x≠0．
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式求解即可．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
12.【答案】(−2,−1)
【解析】解：点P(−2,1)关于x轴的对称点的坐标为(−2,−1)．
故答案为：(−2,−1)．
根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可．
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
13.【答案】4(x−3)(x+3)
【解析】解：4x2−36，
=4(x2−9)，
=4(x+3)(x−3)．
应先提取公因式4，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题考查了提公因式法与公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
14.【答案】20
【解析】解：∵AD⊥AB，
∴∠BAD=90°，
∵∠B=30°，
∴BD=2AD，
∵∠B=∠C=30°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=120°，
∴∠DAC=∠BAC−∠BAD=30°，
∴∠C=∠DAC，
∴AD=DC，
∴BD=2CD，
∵BC=30，
∴BD=20．
故答案为：20．
由垂直的定义得到∠BAD=90°，由含30°角的直角三角形的性质，得到BD=2AD，求出∠BAC=180°−∠B−∠C=120°，得到∠DAC=∠BAC−∠BAD=30°，因此∠C=∠DAC，推出AD=DC，于是BD=2CD，即可求出BD的长，
本题考查含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是由以上知识点推出BD=2CD．
15.【答案】9
【解析】解：∵实数满足 3x−1+ 1−3x+y=2，
∴3x−1≥01−3x≥0，
解得x=13，
∴y=2，
∴x−y=(13)−2=9．
故答案为：9．
根据二次根式有意义的条件可得x的值，进而得出y的值，再代入所求式子计算即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解答本题的关键．
16.【答案】120°
【解析】解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠EBC+∠ECB=12∠ABC+12∠ACB，
∵∠BEC=120°，
∴∠EBC+∠ECB=12∠ABC+12∠ACB=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠BAC=60°，
∵AB，BC边的垂直平分线相交于点D，
∴AD=BD=CD，
∴∠BAD=∠ABD，∠DAC=∠DCA，
∴∠BAC=∠ABD+∠ACD=60°，
∴∠DBC+∠DCB=180°−60°−60°=60°，
∴∠BDC=180°−60°=120°．
故答案为：120°．
由角平分线的定义可求∠BAC=60°，又由线段垂直平分线的性质可得∠BAC=∠ABD+∠ACD=60°，所以∠DBC+∠DCB=60°，即可求∠BDC=180°−60°=120°．
本题考查角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线的定义，线段垂直平分线的性质是解题的关键．
17.【答案】a<22且a≠−2
【解析】解：解关于x的分式方程2x+31−x−a−3x−1=1，得x=1−a3(a≠−2)，
解不等式，得x>−7．
∵关于x的分式方程2x+31−x−a−3x−1=1的解满足不等式x−12+2>1+x3，
∴1−a3>−7，
∴a<22，
∴a的取值范围是a<22且a≠−2．
首先要解关于x的分式方程2x+31−x−a−3x−1=1，求出方程的解，根据解满足不等式，可以得到一个关于a的不等式，就可以求出a的范围．
本题k考查了分式方程的解，解一元一次不等式，熟练掌握解分式方程已经解不等式的方法是本题的一个难点．
18.【答案】14
【解析】解：如图，∵△ABC，△BEF的是等边三角形，
∴AB=BC，BF=BE，∠ABC=∠ACB=∠EBF=60°，
∴∠CBE=∠ABF，
在△BCE和△BAF中，
BC=BA∠CBF=∠ABFBE=BF，
∴△CBE≌△ABF(SAS)，
∴∠BAF=∠BCE，
∵CA=CB，CD⊥AB，
∴∠BCE=12∠ACB=30°，AD=BD=12，
∴∠BAF=30°=定值，
∴根据垂线段最短可知，当DF⊥AF时，DF的值最小，
∴DF的最小值=12AD=14．
故答案为14．
首先证明△CBE≌△ABF，推出∠BAF=∠BCE，由CA=CB，CD⊥AB，推出∠BCE=12∠ACB=30°，AD=BD=4，推出∠BAF=30°=定值，根据垂线段最短可知，当DF⊥AF时，DF的值最小．
本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质．垂线段最短等知识，解题的关键是利用全等三角形的性质判断出∠FAD=30°=定值，属于中考常考题型．
19.【答案】解：(1) 24− 18× 13− 16，
=2 6−3 2× 33− 66，
=2 6− 6− 66，
=5 66；
(2)4(x+1)2−(2x+5)(2x−5)，
=4(x2+2x+1)−(4x2−25)，
=4x2+8x+4−4x2+25，
=8x+29；
【解析】(1)根据二次根式的混合运算法则计算即可；
(2)根据整式的混合运算法则计算即可．
本题考查二次根式的混合计算和整式的混合运算，熟练掌握以上运算法则是解题关键．
20.【答案】(1)解：(x2x−1−x−1)÷2x−x2=x2−x(x−1)−(x−1)x−1×x(x−1)2=x2，
x−1≠0，即x≠1，
x−x2≠0，即x≠0、x≠1，
∵−2∴x=−1，
原式=−12；
(2)证明：(2n+1)2−(2n−1)2=(2n+1+2n−1)(2n+1−2n+1)=4n×2=8n，
∴当n是整数时，两个连续奇数的平方差(2n+1)2−(2n−1)2是8的倍数．
【解析】(1)先化简，分母不能为0，排除不符合的x的值，且−2(2)用因式分解可证．
本题考查了因式分解，关键是掌握并运用因式分解．
21.【答案】(1)证明：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE；
(2)解：BD⊥CE，证明如下：
由(1)得：△BAD≌△CAE，
∴∠BDA=∠CEA，
∵∠DAE=90°，
∴∠CEA+∠ADE=90°，
∴∠BDA+∠ADE=90°，
即∠BDE=90°，
∴BD⊥CE．
【解析】(1)由SAS证得△BAD≌△CAE，即可得出结论；
(2)由(1)得△BAD≌△CAE，则∠BDA=∠CEA，再由∠CEA+∠ADE=90°，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
由图形可得：A1(0,−1)，B1(2,0)，C1(4,−4)．
(2)△A1B1C1的面积=4×4−12×1×2−12×3×4−12×2×4=5；
(3)P(0,6)或(0,−4)．
【解析】【分析】
本题考查作图−轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会利用轴对称解决最短问题．
(1)利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1，顺次连接可得到△A1B1C1并写出顶点A1，B1，C1的坐标；
(2)把三角形的面积看成长方形形的面积减去周围三个三角形面积即可；
(3)设P(0,m)，构建方程求解即可．
【解答】
(1)见答案；
(2)见答案；
(3)解：设P(0,m)，
则有12×|m−1|×2=5，
解得，m=6或−4，
所以P(0,6)或(0,−4)．
23.【答案】解：(1)由题意得：
x+2x−2⋅xx+2+232−x，
=xx−2−23x−2，
=x−23x−2；
(2)不能，
假设能，则x+2x−2=−1，
x+2=−(x−2)，
x+2=−x+2，
x=0，
当x=0时，分式xx+2=0，除数为零无意义，则原代数式的值不能等于−1．
【解析】(1)根据加减和乘除的关系可得x+2x−2⋅xx+2+232−x，然后先算乘法，后算加法即可；
(2)假设能等于−1可得方程x+2x−2=−1，解出x的值，发现分式xx+2=0，除数为零无意义，则原代数式的值不能等于−1．
此题主要考查了分式的乘除法，关键是掌握计算法则，注意除法中除数不能为零．
24.【答案】解：(1)设第一次每个的进价为x元，则第二次进价为(1+20%) x，
根据题意得：3000x−3000(1+20%)x=10，
解得：x=50，
经检验：x=50是方程的解，且符合题意，
答：第一次购进的每个吉祥物的进价为50元；
(2)96×(300050+300050×1.2)−3000×2=4560(元)，
答：该商店两次购进吉祥物的总利润为4560元．
【解析】(1)设第一次每个的进价为x元，则第二次进价为(1+20%)x，根据等量关系，列出分式方程，即可求解；
(2)根据总利润=总售价−总成本，列出算式，即可求解．
本题主要考查分式方程的实际应用，找准等量关系，列出分式方程，是解题的关键．
25.【答案】10 110°
【解析】解：(1)①如图(1)，连接CD，
∵AB=AC=7，AD=3，
∴AC+AD=7+3=10，
∵CD≤AC+AD，
∴CD≤10，
∴线段CD的最大值为10，
故答案为：10．
②如图(1)，B、D、E三点共线，设BE交AC于点P，
∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=40°，
∴∠BAD=∠CAE=40°−∠CAD，∠AED=12×(180°−40°)=70°，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠APE−∠ABD=∠APE−∠ACE，
∵∠BAC=∠APE−∠ABD，∠BEC=∠APE−∠ACE，
∴∠BAE=∠BEC=40°，
∴∠AEC=∠AED+∠BEC=110°，
故答案为：110°．
(2)∠BEC的度数不变，
理由：如图2，∵AB=AC，AD=AE，AC=AD，且C与D重合，
∴AB=AC=AE，
∴∠AEC=∠ACE=12(180°−∠CAE)，∠AEB=∠ABE=12(180°−∠BAE)，
∵∠BAC=60°，
∴∠BEC=∠AEC−∠AEB=12(180°−∠CAE)−12(180°−∠BAE)=12∠BAC=30°，
∴∠BEC的度数不变．
(3)FA=FB+FC，
证明：如图(3)，在线段AF上截取FQ=FB，连接BQ，
∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=CB，∠ABC=60°，
∵BF=EF，
∴∠EBF=∠BEC=30°，
∴∠BFE=180°−∠EBF−∠BEC=120°，
∵BF=EF，AB=AE，
∴点F、点A都在BE的垂直平分线上，
∴AF垂直平分BE，
∴∠BFQ=∠EFA=12∠BFE=60°，
∴△QBF是等边三角形，
∴QB=FB，∠QBF=60°，
∴∠ABQ=∠CBF=60°−∠CBQ，
在△ABQ和△CBF中，
AB=CB∠ABQ=∠CBFQB=FB，
∴△ABQ≌△CBF(SAS)，
∴QA=FC，
∴AF=FQ+QA=FB+FC．
(1)①连接CD，由CD≤AC+AD，AB=AC=7，AD=3，得CD≤10，则线段CD的最大值为10，于是得到问题的答案；
②设BE交AC于点P，由AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=40°，得∠BAD=∠CAE，∠AED=70°，可证明△BAD≌△CAE，得∠ABD=∠ACE，所以∠APE−∠ABD=∠APE−∠ACE，则∠BAE=∠BEC=40°，即可求得∠AEC=∠AED+∠BEC=110°，于是得到问题的答案；
(2)由AB=AC=AE，得∠AEC=∠ACE=12(180°−∠CAE)，∠AEB=∠ABE=12(180°−∠BAE)，则∠BEC=12(180°−∠CAE)−12(180°−∠BAE)=12∠BAC=30°，所以∠BEC的度数不变．
(3)在线段AF上截取FQ=FB，连接BQ，可证明△ABC是等边三角形，得AB=CB，∠ABC=60°，由BF=EF，得∠EBF=∠BEC=30°，则∠BFE=120°，再证明AF垂直平分BE，则∠BFQ=∠EFA=12∠BFE=60°，所以△QBF是等边三角形，则QB=FB，∠QBF=60°，可推导出∠ABQ=∠CBF，即可证明△ABQ≌△CBF，得QA=FC，所以AF=FQ+QA=FB+FC．
此题重点考查等腰三角形的性质、旋转的性质、三角形的三边关系、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
26.【答案】解：(1)结论：△ABC是直角三角形．
理由：∵△ABC为“唯美三角形”，BD为AC边的“唯美线”，
∴DB=DC=DA，
∴∠DBC=∠C，∠DBA=∠A，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴2∠ABD+2∠DBC=180°，
∴∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠ABC=90°，
∴△ABC是直角三角形；
(2)①过点A作AH⊥EC交EC的延长线于点H，AT⊥BE于点T．

∵△ABC和△EBC均为“唯美三角形”，且AD和ED分别为这两个三角形BC边的“唯美线”，
∴DA=DB=DC=DE，△ABC，△BEC都是直角三角形，
∴∠BAC=∠BEC=90°，
∵AH⊥EH，AT⊥BE，
∴∠ATE=∠H=∠TEH=90°，
∴四边形ATEH是矩形，
∴∠TAH=∠BAC=90°，
∴∠BAT=∠CAH，
∵AB=AC，∠ATB=∠H=90°，
∴△ATB≌△AHC(AAS)，
∴AT=AH，
∵AH⊥EH，AT⊥BE，
∴EA平分∠BEC，
∴∠AEB=12∠BEC=45°；
②当点E在BC的下方时，如图2中，
∵四边形ATEH是矩形，AT=AH，
∴四边形ATEH是正方形，
∴ET=EH，
∵△ATB≌△AHC，
∴BT=CH，
∴EB+EC=ET+BT+EH−CH=2ET=12，
∴ET=6，
∴AT=6，即点A到BE的距离为6．
当点E在BC的上方时，如图3中，过点A作AH⊥EC交EC的延长线于点H，AT⊥BE于点T．

同法可证△ABT≌△CAH，四边形ATEH是正方形，
∴BT=CH，AT=ET=AH=EH，
∴BE−CE=BT+TE−(CH−EH)=2AT=9−3=6，
∴AT=3，即点A到BE的距离为3．
综上所述，点A到BE的距离为6或3．
【解析】(1)结论：△ABC是直角三角形．利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理证明即可；
(2)①过点A作AH⊥EC交EC的延长线于点H，AT⊥BE于点T.证明△ATB≌△AHC(AAS)，推出AT=AH，可得EA平分∠BEC，即可解决问题；
②分两种情形：当点E在BC的下方时，如图2中，当点E在BC的上方时，如图3中，过点A作AH⊥EC交EC的延长线于点H，AT⊥BE于点T．
本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．