高一上学期数学期末模拟预测卷（二）（范围：必修一）-【解题秘籍】2023-2024学年高一数学同步知识·题型精品讲义（人教A版2019必修第一册）

这是一份高一上学期数学期末模拟预测卷（二）（范围：必修一）-【解题秘籍】2023-2024学年高一数学同步知识·题型精品讲义（人教A版2019必修第一册），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高一上学期数学期末模拟预测卷（二）
（考试范围：必修一全部）
一、单选题
1．（2023上·浙江·高一台州市黄岩中学校联考期中）设集合，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023上·江苏南通·高一统考阶段练习）已知函数则（ ）
A．1B．2C．4D．5
3．（2023上·河北邢台·高一邢台一中校考阶段练习）若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023上·广东珠海·高一校考期末）设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023上·广东广州·高一统考期末）函数的零点所在的大致区间是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023上·广东·高一校联考期末）已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023上·广东深圳·高一统考期末）已知，则的化简结果是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023上·广东清远·高一统考期末）17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知，设，则所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023上·广东湛江·高一统考期中）已知，则（ ）
A．B．C．D．
10．（2023上·广东·高一校联考期中）已知函数在区间上是单调函数，则可能为（ ）
A．B．C．D．
11．（2023上·山东聊城·高三校联考期末）函数的图象关于直线对称，将的图象向左平移个单位长度后与函数图象重合，则关于，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象关于对称B．函数图象关于对称
C．在单调递减D．最小正周期为
12．（2023上·广东清远·高一统考期末）已知函数，则（ ）
A．的定义域为
B．的单调递减区间为
C．是增函数
D．的值域为
三、填空题
13．（2023下·高一课时练习）函数的定义域为 .
14．（2023上·广东揭阳·高一统考期末）扇形的半径为2，圆心角为，则该扇形的面积为 .
15．（2023上·广东清远·高一统考期末）已知，则 .
16．（2023上·广东清远·高一统考期末）若存在实数，使得函数在区间上单调递减，且在区间上的取值范围为，则的取值范围为 .
四、解答题
17．（2023上·天津·高一统考期末）已知.
(1)求，的值；
(2)求的值.
18．（2023上·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）已知函数.
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；
(2)求函数在区间上的值域.
19．（2023上·广东广州·高一广州市海珠中学校考期末）设函数是奇函数.
(1)求的值；
(2)判断函数的单调性，并用函数单调性的定义进行证明；
(3)已知，，，试比较三个实数a，b，c的大小并说明理由.
20．（2023上·广东揭阳·高一统考期末）已知函数的最小值为0．
(1)求a的值：
(2)若在区间上的最大值为4，求m的最小值．
21．（2023上·广东东莞·高一东莞市麻涌中学校联考期中）已知函数对任意实数恒有，当时，，且.
(1)判断的奇偶性；
(2)判断函数单调性，求在区间上的最大值；
(3)若对所有的恒成立，求实数的取值范围.
22．（2023上·广东揭阳·高一统考期末）某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，先准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p（万元）和宿舍与工厂的距离x（km）的关系式为（0≤x≤15），若距离为10km时，测算宿舍建造费用为20万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需10万元，铺设路面每千米成本为4万元．设为建造宿舍与修路费用之和．
（1）求的表达式；
（2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用最小，并求最小值．
一、单选题
1．（2023上·浙江·高一台州市黄岩中学校联考期中）设集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用交集的定义求解.
【详解】集合，则.
故选：C.
2．（2023上·江苏南通·高一统考阶段练习）已知函数则（ ）
A．1B．2C．4D．5
【答案】B
【分析】根据的值及函数的解析式，代入计算可得答案．
【详解】由题意得．
故选：B．
3．（2023上·河北邢台·高一邢台一中校考阶段练习）若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数奇偶性，将所求不等式化为；再由函数的单调性，以及，即可求出结果.
【详解】∵为偶函数，∴，
∴可转化为．
而在上是减函数，且，
故时，
或，
故的解集为．
故选：D.
4．（2023上·广东珠海·高一校考期末）设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据指数函数与对数函数的性质，分别求得的取值范围，即可求解.
【详解】由对数函数的性质，可得，
，即，
又由指数函数的性质，可得，所以.
故选：A.
5．（2023上·广东广州·高一统考期末）函数的零点所在的大致区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.
【详解】的定义域为，
又与在上单调递增，
所以在上单调递增，
又，
所以，
根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间为，
故选：C.
6．（2023上·广东·高一校联考期末）已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将条件中两式平方相加后整理即可得答案.
【详解】，
，
两式相加得，
.
故选：C.
7．（2023上·广东深圳·高一统考期末）已知，则的化简结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式及平方关系化简即可.
【详解】因为，所以，，则，
所以
.
故选：A
8．（2023上·广东清远·高一统考期末）17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知，设，则所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用指数和对数互化，结合对数运算法则可求得，由此可得.
【详解】，
，
.
故选：B.
二、多选题
9．（2023上·广东湛江·高一统考期中）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】根据不等式的基本性质及作差法判断各选项即可.
【详解】因为，所以，故AB正确；
而，故C错误；
而，
由得，，，则，
所以，即，故D正确.
故选：ABD.
10．（2023上·广东·高一校联考期中）已知函数在区间上是单调函数，则可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】利用复合函数的单调性计算即可.
【详解】因为函数在上单调递增，上单调递减，
函数在R上单调递增，
根据复合函数的单调性可得：的单调递增区间为，单调递减区间为．
显然选项A、C对应集合是的真子集，选项D对应集合是的真子集，
故A、C、D正确，B错误.
故选：ACD
11．（2023上·山东聊城·高三校联考期末）函数的图象关于直线对称，将的图象向左平移个单位长度后与函数图象重合，则关于，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象关于对称B．函数图象关于对称
C．在单调递减D．最小正周期为
【答案】BC
【分析】A选项，根据关于对称求出，得到函数的解析式，进而得到，求出对称轴方程；B选项，在A选项基础上，求解对称中心；C选项，整体法求解单调递减区间；D选项，根据求出最小正周期.
【详解】A选项，关于对称，则，，
解得，，
又，故当时，，满足要求，其他均不合要求，
故，
将的图象向左平移个单位长度得到．
令，则对称轴为，
显然不满足，故A错误；
B选项，令，则，
所以对称中心为，
显然时，，故B正确；
C选项，令，整理得，
所以单调递减区间为，
显然，时，单调递减区间为，C正确；
D选项，最小正周期，故D不正确．
故选：BC．
12．（2023上·广东清远·高一统考期末）已知函数，则（ ）
A．的定义域为
B．的单调递减区间为
C．是增函数
D．的值域为
【答案】ACD
【分析】对于A，由且，求解即可判断；对于B，区间不在定义域内，即可判断；对于C，根据复合函数的单调性判断方法即可判断；对于D，可得真数能取遍所有大于0的数，从而可判断.
【详解】对于A，由且，得，故的定义域为，A对；
对于B，区间不在定义域内，B错；
对于C，函数在为增函数，
函数在为增函数
故函数的单调递增区间为，无单调递减区间，C对；
对于D，在为增函数,
真数能取遍所有大于0的数，故值域为R，D对.
故选：ACD.
三、填空题
13．（2023下·高一课时练习）函数的定义域为 .
【答案】
【分析】由题意，，解不等式组即可.
【详解】由题意，，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：
【点睛】本题考查求具体函数的定义域，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.
14．（2023上·广东揭阳·高一统考期末）扇形的半径为2，圆心角为，则该扇形的面积为 .
【答案】2
【分析】根据扇形面积公式进行求解即可.
【详解】则该扇形的面积为2，
故答案为：2.
15．（2023上·广东清远·高一统考期末）已知，则 .
【答案】/
【分析】根据诱导公式进行求解即可.
【详解】，
故答案为：
16．（2023上·广东清远·高一统考期末）若存在实数，使得函数在区间上单调递减，且在区间上的取值范围为，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据，去绝对值符号化简，根据对勾函数的性质，判断的单调性，根据题意建立之间的等式关系，将消掉后化简可得，代入到方程组中可建立与和与的等式关系，通过移项变形，将两式形式化为统一，构造函数画出图象，列出不等式解出即可.
【详解】解：因为，
因为，所以，，所以，
取，根据对勾函数性质可知：
在上，单调递减，在上，单调递增，
所以在上，单调递增，在上，单调递减，
因为区间上单调递减，所以，
因为区间上单调递减，所以，
即，即，
即，化简可得，
因为，所以，代入中，
化简可得：，
当时方程组不成立，所以方程组可化为，
即在上与有两个不同交点，
因为，当时，，
当时，，当时，，
画出及的图象如下所示：
由图可知只需即可，即，
即，即.
故答案为：
【点睛】思路点睛：该题考查函数的综合问题，属于中难题，关于对勾函数的思路有：
（1）定义域：，奇偶性：奇函数；
（2）单调性：，单调递增，，单调递减；
（3）最值：在上有最大值，无最小值，在上有最小值，无最大值；
（4）渐近线：轴和.
四、解答题
17．（2023上·天津·高一统考期末）已知.
(1)求，的值；
(2)求的值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据同角三角函数关系得到余弦值，正切值，利用二倍角公式求得；（2）在第一问的基础上，利用余弦的差角公式进行求解.
【详解】（1）∵,且,
∴,
∴,.
（2）
18．（2023上·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）已知函数.
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；
(2)求函数在区间上的值域.
【答案】(1)最小正周期为，单调递减区间为
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式为，利用正弦型函数的周期公式可求出函数的最小正周期，利用正弦型函数的单调性可求得函数的单调递减区间；
（2）由求出的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求出函数在区间上的值域.
【详解】（1）解：因为
，
所以，函数的最小正周期为，
由可得，
所以，函数的单调递减区间为.
（2）解：当时，，则，
因此，函数在区间上的值域为.
19．（2023上·广东广州·高一广州市海珠中学校考期末）设函数是奇函数.
(1)求的值；
(2)判断函数的单调性，并用函数单调性的定义进行证明；
(3)已知，，，试比较三个实数a，b，c的大小并说明理由.
【答案】(1)；
(2)减函数，证明见解析；
(3)，理由见解析.
【分析】（1）列出关于的方程，解之即可求得的值；
（2）利用函数单调性的定义即可证明函数为减函数；
（3）先比较三个自变量的大小，再利用函数为减函数即可得到a，b，c的大小关系.
【详解】（1）奇函数定义域为R
则，解之得，经检验符合题意.
（2）由（1）得易得函数在R上单调递减，证明如下：
设任意，，
则，
由，可得，则，
又，
则，则
则为R上减函数.
（3）由为R上增函数，可得，
由为上增函数，可得，
由为R上增函数，可得，
则，又由（2）得为R上减函数，
则，则
20．（2023上·广东揭阳·高一统考期末）已知函数的最小值为0．
(1)求a的值：
(2)若在区间上的最大值为4，求m的最小值．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）根据辅助角公式化简，由正弦型函数的最值求解即可；
（2）由所给自变量的范围及函数由最大值4，确定即可求解.
【详解】（1），
，
解得.
（2）由（1）知，
当时，，
，
，
解得，
.
21．（2023上·广东东莞·高一东莞市麻涌中学校联考期中）已知函数对任意实数恒有，当时，，且.
(1)判断的奇偶性；
(2)判断函数单调性，求在区间上的最大值；
(3)若对所有的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)奇函数
(2)为上的减函数；
(3)
【分析】（1）令，求得，再令，从而得，从而证明求解.
（2）设且，结合条件用单调性的定义证明函数的单调性，然后利用单调性求解区间上的最大值.
（3）根据函数对所有的，恒成立，说明的最大值小于右边，因此先将右边看作的函数，解不等式组，即可得出的取值范围．
【详解】（1）为奇函数，证明如下：
令，则，所以，
令，则，
所以：对任意恒成立，
所以函数为奇函数.
（2）在上是减函数，证明如下：
任取且，则
，所以，
所以在上为减函数.
当时，单调递减，
所以当时，有最大值为，
因为，所以，
故在区间上的最大值为.
（3）由（2）知在区间上单调递减，
所以，
因为对所有的，恒成立，
即对任意恒成立，
令，则，即，
解得：或.
故的取值范围为.
22．（2023上·广东揭阳·高一统考期末）某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，先准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p（万元）和宿舍与工厂的距离x（km）的关系式为（0≤x≤15），若距离为10km时，测算宿舍建造费用为20万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需10万元，铺设路面每千米成本为4万元．设为建造宿舍与修路费用之和．
（1）求的表达式；
（2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用最小，并求最小值．
【答案】（1）；（2）宿舍应建在离工厂km处，可使总费用最小，最小值为65万元．
【解析】（1）根据距离为时，测算宿舍建造费用为20万元，可求的值，由此，可得的表达式；
（2），利用基本不等式，即可求出函数的最小值．
【详解】解：（1）由题意可知，距离为10km时，测算宿舍建造费用为20万元，则，解得k=900，所以，则；
（2）因为，当且仅当，即时取等号，此时总费用最小．
答：宿舍应建在离工厂km处，可使总费用最小，最小值为65万元．
【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方