高一上学期数学期末模拟预测卷（一）（范围：必修一）-【解题秘籍】2023-2024学年高一数学同步知识·题型精品讲义（人教A版2019必修第一册）

这是一份高一上学期数学期末模拟预测卷（一）（范围：必修一）-【解题秘籍】2023-2024学年高一数学同步知识·题型精品讲义（人教A版2019必修第一册），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高一上学期数学期末模拟预测卷（一）
（考试范围：必修一全部）
一、单选题
1．（2023上·河北邢台·高一邢台市第二中学校联考阶段练习）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023下·四川·高一四川省峨眉第二中学校校考阶段练习）下列函数为偶函数且在 上为减函数的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023上·四川成都·高一校联考期末）命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023上·广东广州·高一执信中学校考阶段练习）若，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023上·广东揭阳·高一统考期末）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023上·云南红河·高一校考期末）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上是减函数，则的值为（ ）
A．B．C．D．或
7．（2023上·四川成都·高一校联考期末）函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·福建·统考模拟预测）若函数的值域为R，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．（2023上·广东揭阳·高一统考期末）下列函数为偶函数的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023上·广东茂名·高一校联考阶段练习）下列命题中，正确的是（ ）
A．如果，，那么
B．如果，那么
C．若，，则
D．如果，，，那么
11．（2023上·广东深圳·高一深圳市宝安第一外国语学校校考期中）下列选项中，正确的是（ ）
A．函数的最小值为
B．函数（且）的图象恒过定点
C．有些幂函数的图象不经过原点
D．若不等式的解集为，则
12．（2023上·广东佛山·高一佛山一中校考阶段练习）已知定义域为R的函数对任意实数都有，且，则以下结论正确的有（ ）
A．B．是偶函数
C．关于中心对称D．
三、填空题
13．（2023上·广东茂名·高一统考期末）已知，则 ．
14．（2023上·安徽宿州·高一校联考期末）函数（，且）的图象过定点A，则点A的坐标是 ．
15．（2023上·广东揭阳·高一统考期末）函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ．
16．（2023上·广东深圳·高一统考期末）若，，且，则 .
四、解答题
17．（2023上·安徽亳州·高一校考期末）求值：
(1)
(2)．
18．（2023上·广东云浮·高一校考阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求的解析式；
(2)先判断函数在上的单调性，并证明；
19．（2023上·广东深圳·高一校考期中）已知函数是奇函数
(1)求的值；
(2)利用定义判断的单调性；
(3)若，解不等式：
20．（2023·广东佛山·统考一模）已知函数在区间上单调，其中为正整数，，且.
(1)求图象的一个对称中心；
(2)若，求.
21．（2023上·广东江门·高一校考期中）已知函数.
(1)判断的奇偶性并求的单调区间；
(2)设函数（），若有唯一零点，求a的取值集合；
(3)若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
22．（2023上·广东深圳·高一统考期末）“湾区之光”摩天轮位于深圳市华侨城欢乐港湾内，摩天轮总高128米，转轮直径约为114米，共有28个酷似太空舱胶囊的全景式进口轿厢，每个轿厢可容纳25人.“湾区之光”旋转一圈时间是28分钟，开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，设开始转动t（单位；min）后距离地面的高度为H（单位：m）
(1)求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；
(2)若甲、乙两人进舱时间相差分钟，则在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：m）第一次达到最大时所需要的时间t，并求该最大值.
一、单选题
1．（2023上·河北邢台·高一邢台市第二中学校联考阶段练习）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先解一元二次不等式，再根据交集定义计算即可.
【详解】因为，所以.
故选：B.
2．（2023下·四川·高一四川省峨眉第二中学校校考阶段练习）下列函数为偶函数且在 上为减函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的性质逐项分析.
【详解】对于A， 是奇函数；
对于B， 是奇函数；
对于C， 是偶函数，并且在 时是减函数；
对于D， 是偶函数，但在 时是增函数；
故选：C.
3．（2023上·四川成都·高一校联考期末）命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据全称命题的否定从而可求解.
【详解】由题意可得“”的否定为“”，故C项正确.
故选:C.
4．（2023上·广东广州·高一执信中学校考阶段练习）若，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用，，得出，即，根据函数的单调性判断，即可比较，，的大小.
【详解】，，,，
又因为，，，所以，
又因为在上为减函数，所以，所以，
综上：.
故选：A
5．（2023上·广东揭阳·高一统考期末）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】列出使函数有意义的不等式组，求解即可得答案.
【详解】解：由，得且，
所以函数的定义域为，
故选：B.
6．（2023上·云南红河·高一校考期末）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上是减函数，则的值为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】C
【分析】根据幂函数的概念得即或，再根据性质可得时符合题意.
【详解】因为为幂函数，
所以，得或，
当时，为偶函数关于y轴对称，且在上单调递增，不满足题意；
当时，，偶函数关于y轴对称，且在上单调递减，满足题意，
故选：C
7．（2023上·四川成都·高一校联考期末）函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】判断函数的奇偶性，再取特殊值.
【详解】因为，，
所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除C项、D项，
，B项正确.
故选：B.
8．（2023·福建·统考模拟预测）若函数的值域为R，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由时，，由题意，当时，，对分和两种情况讨论即可求解.
【详解】解：由时，，
因为函数的值域为R，所以当时，，
分两种情况讨论：
①当时， ，所以只需，解得，所以；
②当时，，所以只需，显然成立，所以.
综上，的取值范围是.
故选：D.
二、多选题
9．（2023上·广东揭阳·高一统考期末）下列函数为偶函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据奇偶性的定义逐项判断可得答案.
【详解】因为，函数，所以为偶函数；
因为，，所以为偶函数；
因为，，所以为偶函数；
因为，函数，所以为奇函数；
故选：ABD.
10．（2023上·广东茂名·高一校联考阶段练习）下列命题中，正确的是（ ）
A．如果，，那么
B．如果，那么
C．若，，则
D．如果，，，那么
【答案】AD
【分析】根据不等式的性质，逐步判断选项.
【详解】选项A：，．，．A正确；
选项B：，，，，
，，即，B错误；
选项C：若，，则，则，C错误；
选项D：，，又，，
，又，．D正确.
故选：AD
11．（2023上·广东深圳·高一深圳市宝安第一外国语学校校考期中）下列选项中，正确的是（ ）
A．函数的最小值为
B．函数（且）的图象恒过定点
C．有些幂函数的图象不经过原点
D．若不等式的解集为，则
【答案】CD
【分析】由基本不等式进行求解判断选项A；根据指数函数的性质可判断选项B；，当时不过原点，可判断选项C；根据一元二次不等式与相应函数和方程的关系即可求出的值，判断选项D.
【详解】对于A，，，当，即取等号，的最小值为，故A错误；
对于B，函数且，令可得，此时，所以图象恒过定点，故B错误；
对于C，幂函数，当时不过原点，故C正确；
对于D，若不等式的解集为，则方程的根为和3，且，由根与系数的关系可得，解得：，所以，故D正确.
故选：CD.
12．（2023上·广东佛山·高一佛山一中校考阶段练习）已知定义域为R的函数对任意实数都有，且，则以下结论正确的有（ ）
A．B．是偶函数
C．关于中心对称D．
【答案】BCD
【分析】利用赋值法，结合函数奇偶性的定义判断ABC，利用BC中的结论，结合赋值法得到，从而得解.
【详解】因为定义域为R的函数，有，
令，则或，故A错误，
若时，令，则，
此时是偶函数；
若时，令，则，
此时既是偶函数又是奇函数；因此B正确，
令，则，
所以关于中心对称，故C正确，
由关中心对称可得，结合是偶函数，
所以，所以，
所以，
令，则，故，
进而，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．（2023上·广东茂名·高一统考期末）已知，则 ．
【答案】/
【分析】根据给定条件，利用齐次式法计算作答.
【详解】由于，所以.
故答案为：
14．（2023上·安徽宿州·高一校联考期末）函数（，且）的图象过定点A，则点A的坐标是 ．
【答案】
【分析】利用指数函数的性质即可得解.
【详解】因为（，且）的图象过定点A，
令，则，，
所以点A的坐标为.
故答案为：.
15．（2023上·广东揭阳·高一统考期末）函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ．
【答案】11
【分析】根据奇函数性质求出函数的解析式，然后逐层代入即可.
【详解】，，当时，，
即，
，，．
故答案为：11.
16．（2023上·广东深圳·高一统考期末）若，，且，则 .
【答案】
【分析】根据同角三角函数平方关系和两角和差余弦公式可化简已知等式求得，代入所求式子即可.
【详解】，
，.
故答案为：.
四、解答题
17．（2023上·安徽亳州·高一校考期末）求值：
(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)5
【分析】（1）根据指数幂的运算即可求解，
（2）根据对数的运算性质即可求解.
【详解】（1）原式＝；
（2）原式＝．
18．（2023上·广东云浮·高一校考阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求的解析式；
(2)先判断函数在上的单调性，并证明；
【答案】(1)
(2)增函数；证明见解析
【分析】（1）利用奇函数性质及列方程计算求解即可；
（2）利用单调性的定义证明即可.
【详解】（1）根据题意，是奇函数，
则有，则有，解可得；
所以，又，所以，解可得，所以；
（2）在上为增函数；
证明如下：设，则，
因为，所以，，，，
则有，即，所以在上为增函数.
19．（2023上·广东深圳·高一校考期中）已知函数是奇函数
(1)求的值；
(2)利用定义判断的单调性；
(3)若，解不等式：
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）由奇函数得解得，再验证定义域是否关于原点对称即可；
（2）利用定义作差变形，结合对数函数的单调性利用作差比较法判断的符号；
（3）设，不等式变形为，再利用单调性求解.
【详解】（1）因为函数是奇函数，则，
所以，
则有，解得，
当时，，
由于定义域为，不关于原点对称，故舍去；
当时，，
由，解得，或，
定义域为，关于原点对称，满足题意.
综上，若函数是奇函数，则.
（2），.
任取，且，
则
因为，所以，
又，
，，
则，即，
故在区间上单调递增.
由是奇函数，则在区间上也单调递增.
所以在区间上单调递增，在区间上也单调递增.
（3）设，且，
则不等式，
当时，函数单调递增，函数也单调递增，
则在区间单调递增，
所以有，解得,
故原不等式的解集为
20．（2023·广东佛山·统考一模）已知函数在区间上单调，其中为正整数，，且.
(1)求图象的一个对称中心；
(2)若，求.
【答案】(1)
【分析】（1）根据单调区间，以及可得，进而可得对称中心；
（2）先根据单调区间求出的可能取值，然后根据得到和的关系，根据关系以及的可能取值对照验证计算即可.
【详解】（1）因为在区间上单调，
且，，，
所以，
所以图像的一个对称中心是；
（2）由题设，的最小正周期，，
故，由，得，
由为的一个对称中心，
所以，①.
因为，所以或，，.
若②，①-②得，
即.
不存在整数，，使得.
若③，①-③得，
即，
不存在整数，，使得，当时，.
此时，由，
得.
21．（2023上·广东江门·高一校考期中）已知函数.
(1)判断的奇偶性并求的单调区间；
(2)设函数（），若有唯一零点，求a的取值集合；
(3)若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)为偶函数，增区间为，减区间为
(2)
(3)
【分析】（1）利用奇偶性定义判断奇偶性，利用单调性定义结合偶函数性质求解单调区间；
（2）有唯一零点，即有唯一的解，可化为，由偶函数可知，化简计算可得结果；
（3）设，不等式等价为恒成立，构造函数，只需，求解即可得出结果.
【详解】（1）由题意可知的定义域为，，则，
，所以，所以为偶函数；
任取，则，
因为
，
当时，，，，
所以，所以，
所以在上单调递增，
根据偶函数的性质知，在上单调递减，
所以在上单调递减，在上单调递增；
（2）函数的零点就是方程的解，
因为有唯一零点，所以方程有唯一的解，
因为函数为偶函数，所以方程变形为，
因为函数在上的单调递增，所以，
平方化简得，
当时，，经检验方程有唯一解，
当时，，解得，
综上可知，a的取值集合为.
（3）设，则，
所以原命题等价于时，不等式恒成立，
令，
函数有两个零点和，且开口向上，
要使时，不等式恒成立，
则，所以，即.
22．（2023上·广东深圳·高一统考期末）“湾区之光”摩天轮位于深圳市华侨城欢乐港湾内，摩天轮总高128米，转轮直径约为114米，共有28个酷似太空舱胶囊的全景式进口轿厢，每个轿厢可容纳25人.“湾区之光”旋转一圈时间是28分钟，开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，设开始转动t（单位；min）后距离地面的高度为H（单位：m）
(1)求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；
(2)若甲、乙两人进舱时间相差分钟，则在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：m）第一次达到最大时所需要的时间t，并求该最大值.
【答案】(1)
(2)（min）时两人高度第一次达到最大，为57米.
【分析】（1）由题意求得，摩天轮中心离地面的距离米，摩天轮半径为米，即可求得函数的解析式；
（2）由题意可得，结合三角函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：因为摩天轮转一圈的时间是，即周期，所以角速度，
不妨以摩天轮在地面上的投影所在直线为x轴，过摩天轮的中心且垂直x轴的直线为y轴建立直角坐标系，
又因为摩天轮离地面最近为米，摩天轮半径为米，
即摩天轮中心离地面的距离米，所以.
（2）解：由（1）知甲出发t分钟后离地面的高度，
当时，乙离地面的高度为，
设两人的高度差第一次达到最大时的时间为，
则
，
当且仅当，即时取等号，
所以（min）时两人高度第一次达到最大，为米.