高一数学期末押题卷02-【好题汇编】备战2023-2024学年高一数学上学期期末真题分类汇编（新高考专用）

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1．（5分）下列四组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．y1＝，y2＝x﹣5
B．y1＝•，y2＝
C．f（x）＝x，g（x）＝
D．f（x）＝，F（x）＝x
2．（5分）已知集合，则M∩N＝（ ）
A．[0，1]B．[1，2）C．[1，2]D．[0，2）
3．（5分）函数y＝lg5的定义域为（ ）
A．（1，2）B．（0，2）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，2）
4．（5分）已知a＝0.70.8，b＝1.10.8，则a，b的大小关系是（ ）
A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．无法判断
5．（5分）将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽．比如圆就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图是分别以A、B、C为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线Γ（又称莱洛三角形），下列关于曲线Γ的描述中，正确的有（ ）
（1）曲线Γ不是等宽曲线；
（2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB的长；
（3）曲线Γ是等宽曲线且宽为弧AB的长；
（4）在曲线Γ和圆的宽相等，则它们的周长相等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．（5分）“a＞2”是“函数f（x）＝（a﹣1）x2﹣2x在（1，+∞）上是增函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．（5分）已知a＝lg75，b＝lg97，c＝1.110.1，则a，b，c的大小为（ ）
A．c＜a＜bB．a＜b＜cC．b＜a＜cD．c＜b＜a
8．（5分）在下列函数中，最小正周期为π的偶函数为（ ）
A．y＝sin|2x|B．y＝|csx|
C．D．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），则（ ）
A．a＜0
B．不等式bx﹣c＞0的解集为{x|x＜6}
C．4a+2b+c＜0
D．不等式ax2﹣bx+a≥0的解集为[﹣，]
（多选）10．（5分）已知集合A＝{﹣1，1}，非空集合B＝{x|x3+ax2+bx+c＝0}，下列条件能够使得B⊆A的是（ ）
A．a＝﹣3，b＝3，c＝﹣1
B．a＝﹣3，b＝﹣3，c＝1
C．a＝﹣1，b＝﹣1，c＝1
D．a+b+c+1＝0且（a+1）2+4c＜0
（多选）11．（5分）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．f（x）的图像关于y轴对称
B．f（x）的图像关于原点对称
C．f（x）的图像关于直线对称
D．|f（x）|的最小值为2
（多选）12．（5分）设a＞0，b＞0，a+b＝1，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为9B．a2+2b2的最小值为
C．没有最小值D．没有最大值
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）设x＞1，y＞1，3lgxy﹣2lgyx＝5，则最大值为
14．（5分）已知sin（π﹣α）＝2csα，则cs2α﹣sinαcsα＝ ．
15．（5分）已知函数y＝f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝|x﹣2a2|+|x﹣3a2|﹣5a2，且对于任意的x∈R满足f（x﹣2）≤f（x）恒成立，求a的取值范围是 ．
16．（5分）正实数a，b，c满足a2﹣3ab+4b2﹣c＝0，当取得最大时，的最大值为 ．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）定义在R上的偶函数f（x），当x≥0时，f（x）＝x2+2x
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）＝3，求x的值．
18．（12分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象大致如图．
（1）求f（x）的解析式，及其单调递增区间；
（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到曲线C，把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数g（x）的图象．若关于x的方程g（x）﹣m＝0在上有两个不同的实数解α和β，求实数m的取值范围，及α+β的值．
19．（12分）“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一大块麦地里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是…除了我”．《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田，假设霍尔顿在一块凸四边形ABCD的麦田里成为守望者，为了分割麦田，他将AC连结，经测量AD＝DC＝2，AB＝1，BC＝3．霍尔顿发现无论AC多长，3csB﹣4csD是定值1．霍尔顿还发现麦田的生长与土地面积的平方的权重相关，记△ABC和△ADC的面积分别为S1和S2，为了更好地规划麦田，霍尔顿需要求出8csB×﹣3csB×的最大值．
（1）记csB＝x，用x表示8csB×﹣3csB×；
（2）求8csB×﹣3csB×的最大值，
20．（12分）已知函数f（x）＝ax+lgax（a＞0，a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为6+lga2．
（1）求实数a的值；
（2）对于任意的x∈[2，+∞），不等式kf（x）﹣1≥0恒成立，求实数k的取值范围．
21．（12分）已知函数．
（1）判断并证明f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）在（2，+∞）上的单调性，并证明．
22．（12分）已知函数f（x）＝lg（10x+1）﹣x，g（x）＝，函数g（x）是奇函数．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并求实数a的值；
（2）若对任意的t∈（0，+∞），不等式g（t2+t+1）+g（﹣tk）＞0恒成立，求实数k的取值范围；
（3）设h（x）＝f（x）+x，若存在x∈（﹣∞，1]，使不等式g（x）＞h[lg（10b+9）]成立，求实数b的取值范围．
高一数学期末押题卷02
考试时间：120分钟 试卷满分：150分 测试范围：必修一全部内容
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）下列四组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．y1＝，y2＝x﹣5
B．y1＝•，y2＝
C．f（x）＝x，g（x）＝
D．f（x）＝，F（x）＝x
【分析】直接利用同一函数的定义判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：对于A：y1＝，（x≠﹣3），y2＝x﹣5，（x∈R），故A错误；
对于B：y1＝•，（x≥1），y2＝，（x≥1或x≤﹣1），故B错误；
对于C：f（x）＝x，g（x）＝，故C错误；
对于D：f（x）＝＝x，F（x）＝x，由于函数的关系式的化简的结果相同，函数的定义域也相同，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：同一函数的定义，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
2．（5分）已知集合，则M∩N＝（ ）
A．[0，1]B．[1，2）C．[1，2]D．[0，2）
【分析】先分别求出集合M，N，由此能求出M∩N．
【解答】解：∵集合，
∴M＝{x|x≥1}，N＝{x|x＜2}，
∴M∩N＝{x|1≤x＜2}＝[1，2）．
故选：B．
【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．（5分）函数y＝lg5的定义域为（ ）
A．（1，2）B．（0，2）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，2）
【分析】可看出，要使得原函数有意义，则需满足2﹣x＞0，解出x的范围即可．
【解答】解：要使原函数有意义，则2﹣x＞0，
∴x＜2，
∴原函数的定义域为（﹣∞，2）．
故选：D．
【点评】考查函数定义域的定义及求法，以及区间表示集合的方法．
4．（5分）已知a＝0.70.8，b＝1.10.8，则a，b的大小关系是（ ）
A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．无法判断
【分析】利用幂函数y＝x0.8的单调性进行判断即可．
【解答】解：因为y＝x0.8在（0，+∞）上为单调递增函数，
又0.7＜1.1，
故0.70.8＜1.10.8，
所以a＜b．
故选：B．
【点评】本题考查了函数值大小的比较，主要考查了幂函数单调性的运用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
5．（5分）将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽．比如圆就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图是分别以A、B、C为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线Γ（又称莱洛三角形），下列关于曲线Γ的描述中，正确的有（ ）
（1）曲线Γ不是等宽曲线；
（2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB的长；
（3）曲线Γ是等宽曲线且宽为弧AB的长；
（4）在曲线Γ和圆的宽相等，则它们的周长相等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽度为1，则圆的半径为，根据定义逐一判断即可得出结论．
【解答】解：若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽度为1，则圆的半径为，
（1）根据定义，可以得到曲线Γ是等宽曲线，错误；
（2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB的长，正确；
（3）根据（2）得（3）错误；
（4）曲线Γ的周长为3××2π＝π，圆的周长为2π×＝π，故它们的周长相等，正确．
综上，正确的有2个．
故选：B．
【点评】本题主要考查新定义，理解“等宽曲线”得出等边三角形是解题的关键，属于中档题．
6．（5分）“a＞2”是“函数f（x）＝（a﹣1）x2﹣2x在（1，+∞）上是增函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据函数的单调性结合充分不必要条件的定义求解．
【解答】解：若a＞2，则f（x）的增区间是，且，
所以函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，故充分性成立．
当a＝2时，f（x）＝x2﹣2x在（1，+∞）上是增函数，故必要性不成立．
故“a＞2”是“函数f（x）＝（a﹣1）x2﹣2x在（1，+∞）上是增函数”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数，二次函数的单调性，充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．（5分）已知a＝lg75，b＝lg97，c＝1.110.1，则a，b，c的大小为（ ）
A．c＜a＜bB．a＜b＜cC．b＜a＜cD．c＜b＜a
【分析】利用有理指数幂与对数的运算性质分别比较a、b、c与1的大小关系，再利用作差比较a，b的大小．
【解答】解：a＝lg75＜1，b＝lg97＜1，c＝1.110.1＞1，
lg75﹣lg97＝﹣＝，
∵lg5lg9＜（）2＝（）2＜（）2＝lg27，
∴lg75﹣lg97＜0，
∴a＜b，
∴a＜b＜c．
故选：B．
【点评】本题考查了对数函数的运算以及性质，构造中间量比较大小．属于中档题．
8．（5分）在下列函数中，最小正周期为π的偶函数为（ ）
A．y＝sin|2x|B．y＝|csx|
C．D．
【分析】根据题意，判断选项中的函数是否为偶函数，且函数的最小正周期为π即可．
【解答】解：对于A，y＝sin|2x|不是周期函数，不满足题意；
对于B，y＝|csx|是偶函数，且最小正周期为π，满足题意；
对于C，y＝cs（2x+）＝﹣sin2x，不是偶函数，不满足题意；
对于D，y＝tan（x﹣）不是偶函数，不满足题意．
故选：B．
【点评】本题考查了三角函数的奇偶性和周期性判断问题，是基础题．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），则（ ）
A．a＜0
B．不等式bx﹣c＞0的解集为{x|x＜6}
C．4a+2b+c＜0
D．不等式ax2﹣bx+a≥0的解集为[﹣，]
【分析】由题意得，从而可得b＝﹣a，c＝﹣6a（a＞0）；再依次对四个选项判断即可．
【解答】解：∵关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），
∴，
即b＝﹣a，c＝﹣6a（a＞0）；
故选项A错误；
不等式bx﹣c＞0可化为x﹣6＜0，
故不等式bx﹣c＞0的解集为{x|x＜6}，
故选项B正确；
4a+2b+c＝4a﹣2a﹣6a＝﹣4a＜0，
故选项C正确；
∵ax2﹣bx+a≥0，
∴ax2+ax+a≥0，
即x2+x+1≥0，
x2+x+1≥0的解集为R，
故选项D错误；
故选：BC．
【点评】本题考查了二次不等式与二次函数及二次方程间的关系的应用，属于中档题．
（多选）10．（5分）已知集合A＝{﹣1，1}，非空集合B＝{x|x3+ax2+bx+c＝0}，下列条件能够使得B⊆A的是（ ）
A．a＝﹣3，b＝3，c＝﹣1
B．a＝﹣3，b＝﹣3，c＝1
C．a＝﹣1，b＝﹣1，c＝1
D．a+b+c+1＝0且（a+1）2+4c＜0
【分析】把三次方程因式分解求根，即可化简集合B，然后利用集合关系即可判断．
【解答】解：对于选项A，方程x3﹣3x2+3x﹣1＝0，因式分解得（x﹣1）3＝0，
解得x＝1，所以B＝{1}，满足B⊆A，所以选项A正确；
对于选项B，方程x3﹣3x2﹣3x+1＝0，因式分解得（x+1）（x2﹣4x+1）＝0，
解得x＝﹣1或，所以，不满足B⊆A，所以选项B错误；
对于选项C，方程x3﹣x2﹣x+1＝0，因式分解得（x+1）（x﹣1）2＝0，
解得x＝±1，所以B＝{﹣1，1}，满足B⊆A，所以选项C正确；
对于选项D，因为a+b+c+1＝0，所以x＝1是方程x3+ax2+bx+c＝0的解，
所以方程x3+ax2+bx+c＝0变形为（x﹣1）[x2+（a+1）x﹣c]＝0，
因为（a+1）2+4c＜0，所以方程x2+（a+1）x﹣c＝0无解，
所以方程（x﹣1）[x2+（a+1）x﹣c]＝0有唯一解x＝1，
所以B＝{1}，满足B⊆A，所以选项D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了集合间的包含关系，考查了元素与集合的关系，属于基础题．
（多选）11．（5分）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．f（x）的图像关于y轴对称
B．f（x）的图像关于原点对称
C．f（x）的图像关于直线对称
D．|f（x）|的最小值为2
【分析】通过可判断选项A；通过f（﹣x）＝﹣f（x）可判断选项B；通过可判断选项C；由基本不等式可判断选项D．
【解答】解：对于命题A，，，则，
所以，函数f（x）的图象不关于y轴对称，命题A错误；
对于命题B，函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称，
，
所以，函数f（x）的图象关于原点对称，命题B正确；
对于命题C，∵，
，则，
所以，函数f（x）的图象关于直线对称，命题C正确；
对于命题D，x∈（2kπ，π+2kπ），则sinx＞0，
所以，当且仅当，
即时，取等号，
当x∈（π+2kπ，2π+2kπ），则sinx＜0，
所以，
＝，当且仅当，
即时，取等号，
所以|f（x）|≥2，故|f（x）|的最小值为2，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式，函数的性质，基本不等式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
（多选）12．（5分）设a＞0，b＞0，a+b＝1，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为9B．a2+2b2的最小值为
C．没有最小值D．没有最大值
【分析】运用基本不等式可判断ACD，消元后利用二次函数求最值可判断B．
【解答】解：对于A选项，，
当且仅当时，等号成立，故A选项正确；
对于B选项，a2+2b2＝a2+2（1﹣a2）＝3a2﹣4a+2，
当时，取得最小值为，故B选项正确；
对于C、D选项，，
当且仅当a＝b时取得等号，故有最大值．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查了基本不等式的应用及二次函数求最值，属于基础题．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）设x＞1，y＞1，3lgxy﹣2lgyx＝5，则最大值为
【分析】先用换元法求出t＝lgxy的值得到y＝x2；再利用导函数和原函数之间的关系即可求得结论．
【解答】解：令t＝lgxy，则t＞0；
所以3lgxy﹣2lgyx＝5转化为3t﹣＝5⇒3t2﹣5t﹣2＝0⇒t＝2（﹣1舍）；
∴lgxy＝2⇒y＝x2；
∴＝＝；
令f（x）＝⇒f′（x）＝，
则x＞e时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
0＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
∴f（x）max＝f（e）＝；
∴最大值为：＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查换元法解题以及利用导数求函数的最值，是对基础知识的综合考查，属于中档题目．
14．（5分）已知sin（π﹣α）＝2csα，则cs2α﹣sinαcsα＝ ﹣ ．
【分析】由诱导公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanα的值，利用同角三角函数基本关系式化简所求即可得解．
【解答】解：因为sin（π﹣α）＝sinα＝2csα，
所以tanα＝2，
则cs2α﹣sinαcsα＝＝＝＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
15．（5分）已知函数y＝f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝|x﹣2a2|+|x﹣3a2|﹣5a2，且对于任意的x∈R满足f（x﹣2）≤f（x）恒成立，求a的取值范围是 [﹣，] ．
【分析】通过对x与a的关系分类讨论，画出图象，利用图象结合单调性即可得出．
【解答】解：∵当x≥0时，f（x）＝|x﹣2a2|+|x﹣3a2|﹣5a2．
∴当0＜x≤2a2时，f（x）＝2a2﹣x+3a2﹣x﹣5a2＝﹣2x；
当2a2＜x≤3a2时，f（x）＝x﹣2a2+3a2﹣x﹣5a2＝﹣4a2；
当x＞3a2时，f（x）＝x﹣2a2+x﹣3a2﹣5a2＝2x﹣10a2．
画出其图象如下：
由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，即可画出x＜0时的图象，与x＞0时的图象关于原点对称．
∵∀x∈R，f（x﹣2）≤f（x），
∴10a2≤2，
解得a∈[﹣，]．
故答案为：[﹣，]．
【点评】本题考查了函数的图象以及函数的奇偶性、分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
16．（5分）正实数a，b，c满足a2﹣3ab+4b2﹣c＝0，当取得最大时，的最大值为 1 ．
【分析】由条件可得c＝a2﹣3ab+4b2，可得＝＝，运用基本不等式可得a＝2b时，取得最大值，求得c＝2b2，代入运用二次函数的性质求出其最大值即可得答案．
【解答】解：正实数a，b，c满足a2﹣3ab+4b2﹣c＝0，
可得c＝a2﹣3ab+4b2，＝＝，
由+≥2＝4，当且仅当a＝2b取得等号，
则a＝2b时，取得最大值，
且c＝2b2，+﹣＝﹣＝﹣（﹣1）2+1，
当b＝1时，+﹣取得最大值，且为1，
故答案为：1．
【点评】本题考查基本不等式在最值问题中的应用．在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）定义在R上的偶函数f（x），当x≥0时，f（x）＝x2+2x
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）＝3，求x的值．
【分析】（1）先设x＜0，则﹣x＞0，然后根据x＞0时的函数解析式及f（x）为偶函数，满足f（﹣x）＝f（x），代入可求．
（2）当x≥0时，f（x）＝x2+2x＝3，当x＜0时，f（x）＝x2﹣2x＝3，解方程即可求解x．
【解答】解：（1）∵当x≥0时，f（x）＝x2+2x，
设x＜0，则﹣x＞0，f（﹣x）＝x2﹣2x，
∵f（x）为偶函数，f（﹣x）＝f（x），
f（x）＝x2﹣2x，
故f（x）＝，
（2）当x≥0时，f（x）＝x2+2x＝3，
解可得，x＝1或x＝﹣3（舍），
当x＜0时，f（x）＝x2﹣2x＝3，
解可得，x＝3（舍）或x＝﹣1，
综上可得，x＝﹣1或x＝1．
【点评】本题主要考查了利用偶函数的定义求解函数解析式及，体现了分类讨论思想的应用．
18．（12分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象大致如图．
（1）求f（x）的解析式，及其单调递增区间；
（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到曲线C，把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数g（x）的图象．若关于x的方程g（x）﹣m＝0在上有两个不同的实数解α和β，求实数m的取值范围，及α+β的值．
【分析】（1）根据题意，结合三角函数的性质，即可求出f（x）的解析式，再令，k∈Z，即可求出函数f（x）的单调递增区间；
（2）根据题意，将函数y＝f（x）的图象进行变换，可得，再根据正弦函数的图象可得实数m的取值范围，再根据三角函数的对称性，即可求出结果．
【解答】解：（1）由图象可知A＝1，又函数过点，，
所以，所以ω＝2，
所以f（x）＝sin（2x+φ）．
又因为函数过点，所以，，k∈Z，
又0＜φ＜π，故，则．
令，k∈Z，
整理得，k∈Z，
所以f（x）的单调增区间是，k∈Z．
（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位长度得到曲线C：
，
再把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到的图象．
由g（x）﹣m＝0在上有两个不同的实数解，
即在上有两个不同的实数解，
因为，设，则，
则需直线y＝m与y＝2sint的图象在两个不同的公共点．
作出函数y＝2sint，的图像，如下图所示：
可得实数m的取值范围为[1，2）．
设2sint＝m在上有两个不同的实数解为t1和t2，
而方程g（x）﹣m＝0在上有两个不同的实数解为α和β，
则，，
由三角函数的对称性可得：t1+t2＝π，即有，化简得：．
【点评】本题主要考查由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换，正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
19．（12分）“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一大块麦地里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是…除了我”．《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田，假设霍尔顿在一块凸四边形ABCD的麦田里成为守望者，为了分割麦田，他将AC连结，经测量AD＝DC＝2，AB＝1，BC＝3．霍尔顿发现无论AC多长，3csB﹣4csD是定值1．霍尔顿还发现麦田的生长与土地面积的平方的权重相关，记△ABC和△ADC的面积分别为S1和S2，为了更好地规划麦田，霍尔顿需要求出8csB×﹣3csB×的最大值．
（1）记csB＝x，用x表示8csB×﹣3csB×；
（2）求8csB×﹣3csB×的最大值，
【分析】（1）利用三角形的面积公式求出csD和csB的关系，设csB＝x，求出x的取值范围，用csB表示8csB×﹣3csB×即可．
（2）构造函数f（x），利用导数判断f（x）的单调性，求出f（x）的极值与最值即可．
【解答】解：（1）在△ABC中，，
同理可得，在△ADC中，．
因为4csD＝3csB﹣1∈（﹣1，1），所以．
令，
则．
（2）令，则f'（x）＝15x2+4x﹣3，
由f'（x）＝0且，解得．
当时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0．
所以当时，f（x）取得极小值且是最小值，最小值为，
所以，当时，的最大值为．
【点评】本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
20．（12分）已知函数f（x）＝ax+lgax（a＞0，a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为6+lga2．
（1）求实数a的值；
（2）对于任意的x∈[2，+∞），不等式kf（x）﹣1≥0恒成立，求实数k的取值范围．
【分析】（1）由函数f（x）在[1，2]上是单调函数，从而可得f（x）在[1，2]上的最大值与最小值之和为a+a2+lga2＝6+lga2，计算即可求解a的值；
（2）将已知不等式转化为对于任意的x∈[2，+∞），k≥恒成立，求出的最大值，即可求解k的取值范围．
【解答】解：（1）因为函数y＝ax，y＝lgax（a＞0，a≠1）在[1，2]上的单调性相同，
所以函数f（x）＝ax+lgax（a＞0，a≠1）在[1，2]上是单调函数，
所以函数f（x）在[1，2]上的最大值与最小值之和为a+a2+lga2＝6+lga2，
所以a2+a﹣6＝0，解得a＝2或a＝﹣3（舍），
所以实数a的值为2．
（2）由（1）可知f（x）＝2x+lg2x，因为对于任意的x∈[2，+∞），不等式kf（x）﹣1≥0恒成立，
所以对于任意的x∈[2，+∞），k≥恒成立，
当x∈[2，+∞）时，f（x）＝2x+lg2x为单调递增函数，
所以f（x）≥f（2）＝5，所以≤，即k≥，
所以实数k的取值范围是[，+∞）．
【点评】本题主要考查函数恒成立问题，考查函数单调性的应用以及最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
21．（12分）已知函数．
（1）判断并证明f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）在（2，+∞）上的单调性，并证明．
【分析】（1）根据题意可得f（x）的定义域以及f（x）＝﹣f（﹣x），从而可判断奇偶性．
（2）利用定义法可证明函数单调性．
【解答】解：（1）因为的定义域为{x|x≠0}，且关于原点对称，
又由，
所以f（x）是奇函数；
（2）证明：设2＜x1＜x2，则，
又因为2＜x1＜x2，则x1﹣x2＜0，x1x2＞4，则f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在（2，+∞）上是单调递增函数．
【点评】本题考查函数的奇偶性以及单调性的证明，属于中档题．
22．（12分）已知函数f（x）＝lg（10x+1）﹣x，g（x）＝，函数g（x）是奇函数．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并求实数a的值；
（2）若对任意的t∈（0，+∞），不等式g（t2+t+1）+g（﹣tk）＞0恒成立，求实数k的取值范围；
（3）设h（x）＝f（x）+x，若存在x∈（﹣∞，1]，使不等式g（x）＞h[lg（10b+9）]成立，求实数b的取值范围．
【分析】（1）求解定义域，利用奇偶性定义判断即可；利用g（x）是奇函数求实数a的值；
（2）判断g（x）的单调性，利用单调性脱去“g”，结合参数分离和基本不等式求最值，即可求解实数k的取值范围；
（3）由h（x）＝f（x）+x，求解h（x），不等式g（x）＞h[lg（10b+9）]在x∈（﹣∞，1]有解，化为g（x）＞lg（10b+10）在x∈（﹣∞，1]成立，由指数函数的单调性求得g（x）的最大值，解不等式可得b的范围，结合对数的定义，计算可得所求b的取值范围．
【解答】解：（1）由函数f（x）＝lg（10x+1）﹣x，可得f（x）的定义域为R，
因为f（﹣x）＝lg（10﹣x+1）+x＝lg（+1）+
＝lg（）+＝lg（1+10x）﹣lg10x+x
＝lg（1+10x）﹣x+x＝lg（1+10x）﹣x＝f（x），
所以f（﹣x）＝f（x），
则f（x）是偶函数；
因为函数g（x）＝2x﹣a•2﹣x是奇函数，
g（x）的定义域为R，可得g（0）＝0，即1﹣a＝0，
可得a＝1．
检验a＝1时，g（x）＝2x﹣2﹣x是奇函数．
故a＝1．
（2）由（1）可得奇函数g（x）＝2x﹣2﹣x在R上是递增函数，
不等式g（t2+t+1）+g（﹣tk）＞0，可得g（t2+t+1）＞﹣g（﹣tk），
即g（t2+t+1）＞g（tk），
所以t2+t+1＞tk在t∈（0，+∞）恒成立，
即k＜t++1在t∈（0，+∞）恒成立．
因为t∈（0，+∞），所以t+≥2（当且仅当t＝1时，取等号）
t++1的最小值为3，
可得实数k的取值范围是（﹣∞，3）．
（3）由h（x）＝f（x）+x，即h（x）＝lg（10x+1），
那么h[lg（10b+9）]＝lg（10lg（10b+9）+1）＝lg（10b+9+1）＝lg（10b+10），
存在x∈（﹣∞，1]，不等式g（x）＞h[lg（10b+9）]成立，
即存在x∈（﹣∞，1]，g（x）＞lg（10b+10）成立，
可得（2x﹣2﹣x）max＞lg（10b+10）．
因为g（x）在x∈（﹣∞，1]是递增函数，
所以lg（10b+10）＜g（1）＝，
所以＞10b+10，
可得b＜﹣1．
又，
可得b＞﹣．
故实数b的取值范围是（﹣，﹣1）．
【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的定义和运用，以及不等式恒成立与有解问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．