湖北省沙市中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份湖北省沙市中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、“幸福感指数”是指某个人主观评价他对自己目前生活状态满意程度的指标,常用区间内的一个数来表示,该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取10位湖州市居民,他们的幸福感指数为5,6,6,6,7,7,8,8,9,10.则这组数据的80%分位数是( )
A.7.5B.8C.8.5D.9
2、已知i是虚数单位,则复数对应的点所在的象限是( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3、已知,,若,则等于( )
A.2B.C.D.
4、已知m,n是不重合的直线,,,是不重合的平面,则下列说法正确的是( )
A.若,,则B.,,,,则
C.若,,则D.,,,则
5、在中,若,则该三角形一定是( )
A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.不能确定
6、在E区域病毒流行期间,为了让居民能及时了解疫情是否被控制,专家组通过会商一致认为:疫情被控制的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”,记连续7天每天记录的新增感染人数的数据为一个预报簇,根据最新的连续四个预报簇①,②,③,④,依次计算得到结果如下:①平均数;
②平均数,且标准差;
③平均数,且极差;
④众数等于1,且极差.其中符合疫情被控制的指标的预报簇为( )
A.①②B.①③C.③④D.②④
7、在等腰梯形ABCD中,,,,E为CD的中点,F为线段BC上的点,则的最小值是( )
A.0B.C.D.1
8、在棱长为1的正方体中,P为正方体内一动点(包括表面),若,且.则点P所有可能的位置所构成的几何体的体积是( )
A.1B.C.D.
二、多项选择题
9、下列命题中正确的是( )
A.已知平面向量,,则与共线
B.已知平面向量,满足,在上的投影向量为,则的值为2
C.已知复数满足,则
D.已知复数,满足,则
10、给出下列命题,其中正确的是( )
A.任意向量,,满足
B.在空间直角坐标系中,点关于坐标平面yOz的对称点是
C.若是空间的一个基底,则也是空间的一个基底
D.若为正四面体,G为的重心,则
11、以下对各事件发生的概率判断正确的是( ).
A.甲,乙两人玩剪刀,石头,布的游戏,则玩一局甲不输的概率是
B.每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和,例如,在不超过14的素数中随机选取两个不同的数,其和等于14的概率为
C.抛掷一枚骰子1次,事件“向上的点数是1,2”,事件“向上的点数是1,3”,则事件A与事件B不是相互独立事件
D.从三件正品,一件次品中随机取出两件,则取出的产品全是正品的概率是
12、将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,如图所示,点E,F分别为线段BC,AD的中点,则( )
A.
B.四面体的表面积为
C.四面体的外接球的体积为
D.过EF且与BD平行的平面截四面体所得截面的面积为
三、填空题
13、已知空间向量,,则在方向上的投影向量为________.
14、从1,2,3,4四个数字中,随机地选取两个不同的数字,则两个数字的和为偶数的概率为___.
15、已知复数,满足,,若(i为虚数单位),则___.
16、在正三棱柱中,,点P满足,其中,,则三角形周长最小值是___________.
四、解答题
17、我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为突出,某市政府为了节约生活用水,居民生活用水定额管理,即确定一个居民月用水量标准x,用水量不超过x的部分按平价收费,超出x的部分按议价收费,下面是居民月均用水量的抽样频率分布直方图.
（1）求直方图中a的值:
（2）试估计该市居民月均用水量的众数,平均数:
（3）如果希望85%的居民月均用水量不超过标准x,那么标准x定为多少比较合理?
18、在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足.
（1）求的值;
（2）已知,的面积为,求a的值.
19、如图,在多面体ABCDE中,为等边三角形,,,,.
（1）求证:平面平面EBC;
（2）求直线AB与平面DEC所成角的正弦值.
20、为普及抗疫知识,弘扬抗疫精神,某学校组织防疫知识竞赛,比赛分两轮进行,每位选手都必须参加两轮比赛,若选手在两轮比赛中都胜出,则视为该选手赢得比赛.现已知甲,乙两位选手,在第一轮胜出的概率分别为,,在第二轮胜出的概率分别为,,甲,乙两位选手在一轮二轮比赛中是否胜出互不影响.
（1）在甲,乙二人中选派一人参加比赛,谁赢得比赛的概率更大?
（2）若甲,乙两人都参加比赛,求至少一人赢得比赛的概率.
21、如图,在三棱锥中,平面ABC.
（1）若,,求证:;
（2）若E,F分别在棱AC,PA上,且,,问在棱PB上是否存在一点D,使得平面BEF.若存在,则求出的值;若不存在.请说明理由.
22、如图所示,某镇有一块空地,其中km,km,.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点,拟在中间挖一个人工湖,其中M,N都在边AB上,且,挖出的泥土堆放在地带上形成假山,剩下的地带开设儿童游乐场.为安全起见,需在的一周安装防护网.
（1）当km时,求OM长度;
（2）若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍,试确定的大小;
（3）为节省投入资金,人工湖的面积要尽可能小,问如何设计施工方案,可使的面积最小?最小面积是多少?
参考答案
1、答案：C
解析：,
数据5,6,6,6,7,7,8,8,9,10的80%的分位数是.
故选:C.
2、答案：D
解析：,
,
则,
在复平面内对应点的坐标为,在第四象限.
故选:D.
3、答案：B
解析：已知,,若,
,,,
则,
故选:B.
4、答案：D
解析：若,,则也可能相交,故A不正确.
若,,,,则与β不一定平行,因此不正确;
若,,则或,故C不正确,
,,,则,故D正确.
故选:D.
5、答案：A
解析：
6、答案：C
解析：①错,举反倒:0,0,0,0,2,6,6;其平均数,不符合题意;
②错,举反倒:0,3,3,3,3,3,6;其平均数且,不符合题意;
③对,若7天中某一天新增感染人数x超过5人,即,
则极差大于,故假设不成立,故一定符合上述指标;
④对,若7天中某一天新增感染人数x超过5人,即,则极差不小于,与极差小于或等于4相矛盾,故假设不成立,故一定符合上述指标.
故选:C
7、答案：B
解析：由题意等腰梯形ABCD的高为,
如图,以AB为x轴,AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系,则,,,设,则,,,
所以时,取得最小值.
故选:B.
8、答案：D
解析：根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理,满足的点P在三棱柱内,满足的点P在三棱柱内,故同时满足和的点P在这两个三棱柱的公共部分,即图中的三棱锥内,其体积是.
9、答案：BC
解析：
10、答案：CD
解析：A:因为与是一个标量,设,,
若要,则需要向量,方向相同,但,不一定相同,
所以不一定成立,故A错误;
B:点关于坐标平面yOz的对称点为,故B错误;
C:因为是空间的一个基底,所以,,不共面,
假设,,共面,则存在实数,,使得,
即,所以,方程组无解,
所以,,不共面,所以也是空间的一个基底,故C正确;
D:,,
则,又G为的重心,
所以,故,故D正确.
故选:CD
11、答案：BCD
解析：对于A,画树形图如下:
从树形图可以看出,所有可能出现的结果共有9种,这些结果出现的可能性相等,P(甲获胜),P(乙获胜),故玩一局甲不输的概率是,故A错误;
对于B,不超过14的素数有2,3,5,7,11,13共6个,从这6个素数中任取2个,有2与3,2与5,2与7,2与11,2与13,3与5,3与7,3与11,3与13,5与7,5与11,5与13,7与11,7与13,11与13共15种结果,其中和等于14的只有一组3与11,所以在不超过14的素数中随机选取两个不同的数,其和等于14的概率为,故B正确;
对于C,由相互独立事件的定义可知,故C正确;
对于D,记三件正品为,,,一件次品为B,任取两件产品的所有可能为,,,,,,共6种,其中两件都是正品的有,,,共3种,则所求概率为,故D正确.故选BCD.
12、答案：BCD
解析：设O是BD的中点,则OA,OB,OC,OD两两相互垂直,
二面角为之二面角,平面,
A选项,连接BF,CF,,,,所以三角形BFC不是等腰三角形,而E是BC的中点,所以EF与BC不垂直,A选项错误.
B选项,,所以三角形ABC和三角形ADC是等边三角形,所以四面体的表面积为,B选项正确.
C选项,由于,所以O是四面体外接球的球心,外接球的半径为,体积为,C选项正确.
D选项,设G是CD中点,H是AB中点,画出图象如下图所示,
,,H,F,E,G四点共面.
由于,平面EFGH,平面EFGH,所以平面EFGH,,,
由于,,,所以平面AOC,所以,而,所以,所以截面面积为.D选项正确.
故选:BCD
13、答案：.
解析：
14、答案：
解析：从1,2,3,4四个数字中,随机地选取两个不同的数字的选法有种,
两个数字的和为偶数的情况有1,3;2,4共两种情况,
故概率为.
故答案为:.
15、答案：1
解析：设,,其中a,b,c,且满足,,则
所以,即,
所以,所以,
所以
故答案为:1.
16、答案：
解析：根据题意,因为,其中,,
所以点P在线段上.
如图所示,沿展开正三棱柱的侧面,
故三角形周长为,
当,P,A三点共线时,取等号.
故答案为:.
17、答案：（1）;
（2）众数为2.25吨,平均数为2.035吨;
（3）月均用水量低于3吨的居民人数所占的百分比为,所以,,
由题意可得,解得.
解析：（1）由概率统计相关知识,各组频率之和的值为1,
频率=(频率/组距)*组距,,
解得:,
的值为0.3;
（2）由频率分布直方图估计该市居民月均用水量的众数为(吨),
估计该市居民月均用水量的平均数为:0.5
(吨)
（3）由频率分布直方图得月均用水量低于2.5吨的频率为:
,
月均用水量低于3吨的频率为:,
.
18、答案：（1）2;
（2）1或
解析：（1）由正弦定理得:,
,,
,因为A,C是三角形内角,,,
所以,而由正弦定理得,,即;
（2）由第一问可知,,设AB边上的高为h,
则三角形ABC的面积,,
作下图:
过点C作AB的垂线,垂足为D,则,
设,则由勾股定理得到下列方程组:
,解得,
由公式法得,,
,;,.
19、答案：（1）见解析;
（2）见解析;
（3）.
解析：（1）取EC中点M,连结FM,DM
,,
ADMF是平行四边形,
平面DEC,平面DEC,平面DEC.
,,
又,,平面ABE
平面ABE,,
又为等边三角形,F为边EB的中点,
,平面EBC
又,平面EBC,
平面DEC,平面平面EBC.
（2）取BC中点N,连结DN,
所以直线AB与平面DEC所成角即为直线DN与平面DEC所成角,
过N作,垂足为h,连接DH.
平面平面,平面EBC,,平面DEC.
DH为斜线DN在面DEC内的射影,为直线DN与平面DEC所成角,
在中,,,,
直线AB与平面DEC所成角的正弦值为.
20、答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）设事件A表示“甲赢得比赛”,事件B表示“乙赢得比赛”,
,
,
,
甲,乙二人中选派一人参加比赛,甲赢得比赛的概率更大.
（2）甲,乙两人都参加比赛,至少一人赢得比赛的对立事件是两个人都没有赢得比赛,
甲,乙两人都参加比赛,至少一人赢得比赛的概率为:
.
21、答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）证明:平面ABC,平面ABC,,
又,,平面PBC,
平面PBC,,
,,平面PAB,
平面PAB,
.
（2）存在,且,
理由如下:
如图,作PA的中点M,连接CM,DM,
由得,又,
,平面BEF,平面BEF,
平面BEF,
又,F分别为AC,AM的中点,
,平面BEF,平面BEF,平面BEF,
,平面CDM,平面CDM,
平面平面CDM,
平面CDM,平面BEF.
22、答案：（1）;
（2）;
（3）,.
解析：（1）在中,,,
在中,,,,
由余弦定理得
;
（2）设,,
,即,
在中,由正弦定理得,,
即,即,即,
由,得,,即;
（3）设,由（2）知,
又在中,由,得,
,
当且仅当,即时,
的面积取最小值为.