2022-2023学年安徽省蚌埠第一实验学校、六中九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年安徽省蚌埠第一实验学校、六中九年级（上）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录.鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题.以下关于鱼的剪纸中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.tan45°的值等于( )
A. 2B. 1C. 22D. 33
3.已知抛物线y=(x−2)2+1，下列结论错误的是( )
A. 抛物线开口向上B. 抛物线的对称轴为直线x=2
C. 抛物线的顶点坐标为(2,1)D. 当x<2时，y随x的增大而增大
4.若点A(x1,2)，B(x2,−1)，C(x3,4)都在反比例函数y=8x的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是( )
A. x15.如图，点C是⊙O的弦AB上一点.若AC=6，BC=2，AB的弦心距为3，则OC的长为( )
A. 3
B. 4
C. 11
D. 13
6.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE/​/BC，ADDB=23，DE=6cm，则BC的长为( )
A. 9cm
B. 12cm
C. 15cm
D. 18cm
7.如图，由二次函数y=ax2+b+c的图象可知，不等式ax2+bx+c>0的解集是( )
A. −6B. x>2
C. x<−6或x>2
D. x<−6
8.下表是一组二次函数y=x2+3x−5的自变量x与函数值y的对应值：
那么方程x2+3x−5=0的一个近似根是( )
A. 1B. 1.1C. 1.2D. 1.3
9.如图，直线y=14x+1与x轴交于点A，与函数y=kx(k>0,x>0)的图象交于点B，BC⊥x轴于点C，平移直线y=14x+1，使其过点C，且与函数y=kx(k>0,x>0)的图象交于D，若AB=2CD，则k的值为( )
A. 6B. 8C. 10D. 12
10.如图，△ABC和△ADE均是等腰直角三角形，其中斜边AD的端点D在斜边BC的延长线上，AD，CE相交于点F，则以下判断正确的是( )
A. △ACE是等边三角形
B. ∠ADB=2∠CAD
C. △CDE是等腰三角形
D. AF=2DF
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.点P是线段AB的黄金分割点，AP>BP，若AB=6，则AP= ______ ．
12.两直角边长分别为15和20的直角三角形外接圆的半径为______ ．
13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC= 5，点D是AC上一点，连接BD.若tanA=12，tan∠ABD=13，则CD= ______ ．
14.已知抛物线y=ax2−2ax+2a与y轴交于点C，顶点的纵坐标为1，直线y=−2x+4与x轴交于点E，与y轴交于点F．
(1)a的值为______ ；
(2)P为线段EF上一点，过点P作MN⊥EF，交抛物线于M，N两点，若PM=PN，则点P的坐标为______ ．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
解方程：2sin30°−2cs60°+tan45°．
16.(本小题8分)
已知a，b，c为△ABC的三边长，且a+b+c=36，a3=b4=c5．
(1)求线段a，b，c的长；
(2)若线段x是线段a，b的比例中顶(即ax=xb)，求线段x的长．
17.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(−2,1)，B(−1,4)，C(−3,2)．
(1)以原点O为位似中心，位似比为1：2，画出△ABC放大后的图形ΔA1B1C1，点A、B、C的对应点分别为点A1、B1、C1，并直接写出点C1的坐标；
(2)点D(a,b)是线段BC上的格点，请直接写出点D经过(1)的变化后对应点D1的坐标．
18.(本小题8分)
周末，王老师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量一栋楼的高度．小希站在自家阳台上，看对面一栋楼顶部的仰角为45°，看这栋楼底部的俯角为37°，已知两楼之间的水平距离为30m，求这栋楼的高度．
(参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75)
19.(本小题10分)
已知⊙O的半径为5cm，弦AB/​/CD，AB=6cm，CD=8cm，求AB与CD间的距离．
20.(本小题10分)
如图，等腰直角三角形AMN的顶点M在等腰直角三角形ABC的边BC上，AB的延长线交MN于点D，其中∠AMN=∠ABC=90°．
(1)求证：AD⋅AC=AM⋅AN；
(2)若tan∠AMB=2，求ADBD的值．
21.(本小题12分)
如图，已知一次函数y1=kx+b的图象与函数y2=mx(x>0)的图象交于A(6,−12)，B(12,n)两点，与y轴交于点C.将直线AB沿y轴向上平移t个单位长度得到直线DE，DE与y轴交于点F．
(1)求y1与y2的解析式；
(2)观察图象，直接写出y1(3)连接AD，CD，若△ACD的面积为6，则t的值为______．
22.(本小题12分)
某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x(单位：元)的一次函数．
(1)求y关于x的一次函数解析式；
(2)当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．
23.(本小题14分)
在四边形ABCD中，∠BAD的平分线AF交BC于F，延长AB到E使BE=FC，G是AF的中点，GE交BC于O，连接GD．
(1)当四边形ABCD是矩形时，如图1，求证：①GE=GD；②BO⋅GD=GO⋅FC．
(2)当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，(1)中的结论都成立．请给出结论②的证明．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B.不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴)对称；熟练掌握知识点是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：tan45°的值等于1，
故选：B．
根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答．
本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A选项，∵a=1>0，
∴抛物线开口向上，故该选项不符合题意；
B选项，抛物线的对称轴为直线x=2，故该选项不符合题意；
C选项，抛物线的顶点坐标为(2,1)，故该选项不符合题意；
D选项，当x<2时，y随x的增大而减小，故该选项符合题意；
故选：D．
根据抛物线a>0时，开口向上，a<0时，开口向下判断A选项；
根据抛物线的对称轴为x=h判断B选项；
根据抛物线的顶点坐标为(h,k)判断C选项；
根据抛物线a>0，x本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线a>0，xh时，y随x的增大而增大；a<0时，xh时，y随x的增大而减小是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：点A(x1,2)，B(x2,−1)，C(x3,4)都在反比例函数y=8x的图象上，
∴x1=82=4，x2=8−1=−8，x3=84=2．
∴x2故选：B．
根据函数解析式算出三个点的横坐标，再比较大小．
本题考查反比例函数图象点的坐标特征，根据函数解析式求出三个点的横坐标是求解本题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：作OD⊥AB于点D，如图所示，
由题意可知：AC=6，BC=2，OD=3，
∴AB=8，
∴AD=BD=4，
∴CD=2，
∴OC= OD2+CD2= 32+22= 13，
故选：D．
根据垂径定理可以得到CD的长，根据题意可知OD=3，然后根据勾股定理可以求得OC的长．
本题考查垂径定理、勾股定理，解答本题的关键是求出CD的长．
6.【答案】C
【解析】解：∵ADDB=23，
∴ADAB=25，
∵DE/​/BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=ADAB，
∴6BC=25，
∴BC=15(cm)，
故选：C．
根据ADDB=23，得到ADAB=25，根据DE/​/BC，得到∠ADE=∠B，∠AED=∠C，得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例即可得出答案．
本题考查了相似三角形的判定与性质，得到相似三角形的对应边的比ADAB=25是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵求不等式ax2+bx+c>0的解集即求二次函数y=ax2+b+c的图象在x轴上方时x的取值范围，
又∵当−6∴不等式ax2+bx+c>0的解集为−6故选：A．
由求不等式ax2+bx+c>0的解集即求二次函数y=ax2+b+c的图象在x轴上方时x的取值范围，再结合图象即可得出答案．
本题考查图象法解一元二次不等式，利用数形结合的思想是解题关键．
8.【答案】C
【解析】解：观察表格得：方程x2+3x−5=0的一个近似根为1.2．
故选：C．
观察表格可得0.04更接近于0，得到所求方程的近似根即可．
本题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：过点D作DE⊥x轴于点E，
由直线y=14x+1可知A(−4,0)，
设B(m,14m+1)，
∴OC=m，BC=14m+1，
∴AC=4+m，
由题意可知，△ABC∽△CDE，
∴CEAC=DEBC=CDAB=12，
即CE4+m=DE14m+1=12，
∴CE=2+12m，DE=18m+12，
∴OE=OC+CE=m+2+12m=32m+2，
∴点D的坐标为D(32m+2,18m+12)，
∵点B、点D在反比例函数y=kx(k>0,x>0)上，
∴k=m(14m+1)=(32m+2)(18m+12)，
解得：m=4或m=−4(舍去)，
∴k=4×2=8．
故选：B．
过点D作DE⊥x轴于点E，设B(m,14m+1)，通过△ABC∽△CDE表示点D的坐标，由k=m(14m+1)=(32m+2)(18m+12)即可求解．
本题考查反比例函数与一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点坐标特征，由k=xy列出方程是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：如图所示，取BC的中点O，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴OA⊥BC,OA=OB=OC=12BC，
以O为原点，BC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，过点E作EG垂直直线OA于G，EH垂直于直线BC于H，则四边形EHOG是矩形，
∴∠GEH=∠AED=90°，∠AGE=∠DHE=90°，
∴∠GEH−∠AEH=∠AED−∠AEH，即∠AEG=∠DEH，
又∵AE=DE，
∴△AEG≌△DEH(AAS)，
∴EG=EH，AG=DH，
∴点E在直线y=x上运动，
不妨设A(0,4)，E(m,m)，则C(4,0)，D(m+m−4,0)，即D(2m−4,0)，
∴EC2=(m−4)2+m2，ED2=(2m−4−m)2+m2=(m−4)2+m2，
∴ED=EC，
∴△CDE是等腰三角形，故C符合题意；
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ACB=45，
∴∠ADB+∠CAD=∠BCA=45°，
∵当D在运动的过程中，∠ADC的度数会发生变化，伴随着∠CAD也发生变化，
∴∠ADB=2∠CAD不一定随时成立，故B不符合题意；
∵当E在运动过程中，EC的长度是会发生变化的，
∴AC=CE不一定随时成立，
∴△ACE不一定是等边三角形，故A不符合题意；
假设C(6,6)，则D(8,0)，
设直线AD解析式为y=kx+b，
∴b=48k+b=0，
∴k=−12b=4，
∴直线AD解析式为y=−12x+4，
同理得直线CE的解析式为y=3x−12，
联立y=−12+4y=3x−12，
解得x=327y=127，
∴F(327,127)，
过点F作FT⊥x轴于T，则FT//OA，
∴△FTD∽△AOD，
∴FDAD=FTOA=37≠13，
∴AF≠2DF，故D不符合题意；
故选：C．
如图所示，取BC的中点O，则OA⊥BC,OA=OB=OC=12BC，以O为原点，BC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，过点E作EG垂直直线OA于G，EH垂直于直线BC于H，则四边形EHOG是矩形，证明△AEG≌△DEH，得到EG=EH，AG=DH，则点E在直线y=x上运动，不妨设A(0,4)，E(m,m)，则C(4,0)，D(m+m−4,0)，即D(2m−4,0)，利用勾股定理求出EC2，ED2即可判断C；先证明∠ADB+∠CAD=45°，再由于当D在运动的过程中，∠ADC的度数会发生变化，伴随着∠CAD也发生变化，则∠ADB=2∠CAD不一定随时成立，即可判断B；当E在运动过程中，EC的长度是会发生变化的，则AC=CE不一定随时成立，即可判断A；假设C(6,6)，则D(8,0)，求出直线AD、CE的解析式，进而求出点F的坐标，过点F作FT⊥x轴于T，则FT//OA，证明△FTD∽△AOD，得到FDAD=FTOA=37≠13，则AF≠2DF，即可判断D．
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，坐标与图形，一次函数与几何综合，勾股定理等等，正确建立坐标系确定E点在第一象限角平分线上运动是解题的关键．
11.【答案】3 5−3
【解析】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP>BP，AB=6
∴AP= 5−12AB=6× 5−12=3 5−3，
故答案为：3 5−3．
由黄金分割点可知，较大部分比较小部分，等于整体比较大部分，等于 5−12，代入求值即可．
本题考查黄金比例，掌握黄金比例的比值是解决本题的关键．
12.【答案】252
【解析】解：由题意可求出该直角三角形的斜边长为 152+202=25，
∴该直角三角形外接圆的半径为252．
故答案为：252．
根据勾股定理可求出该直角三角形的斜边长为25，再根据直角三角形外接圆的半径为其斜边的一半即可求解．
本题考查勾股定理，直角三角形外接圆的性质．掌握直角三角形外接圆的半径为其斜边的一半是解题关键．
13.【答案】 5
【解析】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E．
∵∠C=90°，
∴tanA=BCAC=12，即 5AC=12，
解得：AC=2 5，
∴AB= AC2+BC2= (2 5)2+( 5)2=5．
∵tanA=DEAE=12，tan∠ABD=DEBE=13，
∴可设DE=x，则AE=2x，BE=3x．
∵AE+BE=AB，
∴2x+3x=5
解得：x=1，
∴DE=1，AE=2，
∴AD= DE2+AE2= 5，
∴CD=AC−AD= 5．
故答案为： 5．
过点D作DE⊥AB于点E.由tanA=BCAC=12，可求出AC=2 5，进而由勾股定理可求出AB=5.再根据tanA=DEAE=12，tan∠ABD=DEBE=13，可设DE=x，则AE=2x，BE=3x，从而由AE+BE=AB可列出关于x的等式，解出x 的值，即可求出DE=1，AE=2，最后根据勾股定理可求出AD，进而可求出CD．
本题考查解直角三角形，勾股定理等知识．正确作出辅助线是解题关键．
14.【答案】1 (54,32)
【解析】解：(1)y=ax2−2ax+2a=a(x−1)2+a
∴顶点坐标为(1,a)，
∵顶点的纵坐标为1，
∴a=1
∴抛物线解析式为y=x2−2x+2
(2)过点E作EG⊥EF交y轴于点G
∵MN⊥EF，直线EF所在直线为y=−2x+4，
∴当x=0时，y=4；令y=0，则−2x+4=0，则x=2
∴E(2,0)，F(0,4)
∵∠OFE+∠OEF=90°，∠OEF+∠OEG=90°
∴∠OFE=∠OEG
∴tan∠OFE=tan∠OEG
即：OEOF=OGOE
∴24=OG2，解得：OG=1
∴G(0,−1)
∴直线EG解析式为y=12x+1，
∵EG∖user2//MN
∴直线MN的解析式为y=12x+b，
设P(m,12m+b)，M(x1,12x1+b),N(x2,12x2+b)，
由y=12x+by=x2−2x+2消去y得到x2−52x+2−b=0，
∴x1+x2=52，
∵PM=PN
∴m=x1+x22=54，
∵点P在直线y=−2x+4上，
∴P(54,32)
故答案为：
(1)求出顶点坐标，利用纵坐标的值解题即可；
(2)MN⊥EF，直线EF所在直线为y=−2x+4，得到直线MN的解析式为y=12x+b，设P(m,12m+b)，M(x1,12x1+b),N(x2,12x2+b)，利用根与系数的关系求出x1+x2解题即可．
本题考查一次函数的应用，一元二次方程的根与系数的关系，一元二次函数的顶点，解题的关键是学会用数形结合思想解决问题．
15.【答案】解：2sin30°−2cs60°+tan45°
=2×12−2×12+1
=1−1+1
=1．
【解析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
16.【答案】解：(1)由题意可设a3=b4=c5=k，则a=3k，b=4k，c=5k，
∵a+b+c=36，
∴3k+4k+5k=36，
解得：k=3，
∴a=9，b=12，c=15；
(2)∵ax=xb，
∴9x=x12，
整理，得：x2=108，
解得：x=6 3(舍去负值)．
【解析】(1)设a3=b4=c5=k，则a=3k，b=4k，c=5k，再结合题意可列出关于k的等式，解出k的值，即可求出线段a，b，c的长；
(2)由题意可直接得出9x=x12，解出x的值(舍去负值)即可．
本题考查比例的性质，比例中项的概念．利用“设k法”是解题关键．
17.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1为所作，点C1的坐标为(−6,4)；

(2)点D经过(1)的变化后对应点D1的坐标为(2a,2b)．
【解析】(1)把A、B、C的横纵坐标都乘以2得到点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
(2)利用(1)中的坐标变换规律求解．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
18.【答案】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，则AE=CD=30m，
在Rt△ABE中，∠BAE=45°，AE=30m，
∴BE=AE=30m，
在Rt△ACE中，∠CAE=37°，AE=30m，
∴CE=tan37°×AE≈0.75×30=22.5(m)，
∴BC=BE+CE=52.5(m)，
答：这栋楼的高度大约为52.5m．
【解析】通过作垂线构造直角三角形，在两个直角三角形中，由锐角三角函数的定义进行计算即可．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
19.【答案】解：如图①，过O作OF⊥AB于F交CD于E，连接OA，OC，
∵AB//CD，
∴OE⊥CD；
由垂径定理得AF=FB=12AB=3cm，CE=DE=12CD=4cm，
∴OF= OA2−AF2=4cm，OE= OC2−CE2=3cm，
∴EF=OF−OE=1cm；

如图②，过O作OF⊥AB于F，OE⊥CD于E，连接AO，CO，
同理可得OF=4cm，OE=3cm，
当AB，CD在圆心O的两侧时，EF=OF+OE=7(cm)，
∴AB与CD的距离为7cm或1cm．

【解析】有两种情况，即AB，CD在圆心O的同侧或两侧两种情况，需分类讨论．
此题主要考查的是勾股定理及垂径定理，需注意AB、CD的位置关系有两种，不要漏解．
20.【答案】(1)证明：∵三角形AMN和三角形ABC都为等腰直角三角形，
∴∠AND=∠ACM=45°．
∵∠ADN=∠AMD+∠DAM=90°+∠DAM，∠AMC=∠ABM+∠DAM=90°+∠DAM，
∴∠ADN=∠AMC，
∴△ADN～△AMC，
∴ADAM=ANAC，即AD⋅AC=AM⋅AN；
(2)解：∵tan∠AMB=ABBM=2，
∴可设BM=a，则AB=2a，
∴AM= AB2+BM2= 5a．
∵∠BAM+∠AMB=90°，∠BAM+∠ADM=90°，
∴∠AMB=∠ADM，
∴tan∠ADM=AMDM=tan∠AMB=2，即 5DM=2，
∴DM= 52，
∴AD= AM2+DM2= ( 5a)2+( 52a)2=52a，
∴BD=AD−AB=52a−2a=12a，
∴ADBD=52a12a=5．
【解析】(1)由等腰直角三角形的性质可知∠AND=∠ACM=45°.再根据∠ADN=90°+∠DAM，∠AMC=90°+∠DAM，即得出∠ADN=∠AMC，从而可证△ADN～△AMC，进而得出AD⋅AC=AM⋅AN；
(2)由tan∠AMB=ABBM=2，可设BM=a，则AB=2a，由勾股定理可得AM= 5a.又易证∠AMB=∠ADM，即得出tan∠ADM=AMDM=tan∠AMB=2，从而可求出DM= 52，再由勾股定理可求出AD= AM2+DM2=52a，从而可求出BD=AD−AB=12a，进而得出ADBD=5．
本题考查等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，解直角三角形．掌握三角形相似的判定定理和性质并利用数形结合的思想是解题关键．
21.【答案】解：(1)将点A(6,−12)代入y2=mx中，
∴m=−3，
∴y2=−3x，
∵B(12,n)在y2=−3x上，可得n=−6，
∴B(12,−6)，
将点A、B代入y1=kx+b，
∴12k+b=−66k+b=−12，
解得k=1b=−132，
∴y1=x−132；
(2)12(3)2．
【解析】(1)见答案；
(2)∵一次函数与反比例函数交点为A(6,−12)，B(12,−6)，
∴12(3)在y1=x−132中，令x=0，则y=−132，
∴C(0,−132)，
∵直线AB沿y轴向上平移t个单位长度，
∴直线DE的解析式为y=x−132+t，
∴F点坐标为(0,−132+t)，
过点F作GF⊥AB交于点G，连接AF，
直线AB与x轴交点为(132,0)，与y轴交点C(0,−132)，
∴∠OCA=45°，
∴FG=CG，
∵FC=t，
∴FG= 22t，
∵A(6,−12)，C(0,−132)，
∴AC=6 2，
∵AB/​/DF，
∴S△ACD=S△ACF，
∴12×6 2× 22t=6，
∴t=2，
故答案为：2．
(1)将点A(6,−12)代入y2=mx中，求反比例函数的解析式；通过解析式求出B点坐标，然后将点A、B代入y1=kx+b，即可求出一次函数的解析式；
(2)通过观察图象即可求解；
(3)由题意先求出直线DE的解析式为y=x−132+t，过点F作GF⊥AB交于点G，连接AF，由∠OCA=45°，求出FG= 22t，再求出AC=6 2，由平行线的性质可知S△ACD=S△ACF，则12×6 2× 22t=6，即可求t．
本题考查一次函数和反比例函数的图象及性质，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象及性质，平行线的性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设y=kx+b，把当x=20，y=360，和当x=30，y=60代入，可得20k+b=36030k+b=60，
解得：k=−30b=960，
∴y=−30x+960(10≤x≤32)；
(2)设每月所获的利润为W元，
∴W=(−30x+960)(x−10)
=−30(x−32)(x−10)
=−30(x2−42x+320)
=−30(x−21)2+3630．
∴当x=21时，W有最大值，最大值为3630，
答：销售价格定为21元时，每月获得的利润最大，最大利润为3630元．
【解析】(1)根据题意利用待定系数法可求得y与x之间的关系；
(2)写出利润和x之间的关系式可发现是二次函数，求二次函数的最值问题．
主要考查利用函数的模型解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义求解．注意：数学应用题来源于实践用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．
详解：(1)设y=kx+b，把当x=20，y=360，和当x=30，y=60代入，可得20k+b=36030k+b=60，
解得：k=−30b=960，
∴y=−30x+960(10≤x≤32)；
(2)设每月所获的利润为W元，
∴W=(−30x+960)(x−10)
=−30(x−32)(x−10)
=−30(x2−42x+320)
=−30(x−21)2+3630．
∴当x=21时，W有最大值，最大值为3630，
答：销售价格定为21元时，每月获得的利润最大，最大利润为3630元．
23.【答案】解：(1)证明：①连接CG，过点G作GJ⊥CD于点J．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，AD=BC，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF=45°，
又∵AD/​/BC，
∴∠DAF=∠AFB
∴∠AFB=∠BAF=45°，
∴BA=BF，
∵BE=CF，
∴AE=AB+BE=BF+CF=BC=AD，
在△EAG和△DAG中，
AG=AG,∠EAG=∠DAGEA=DA
∴△EAG≌△DAG(SAS)，
∴EG=DG，∠AEG=∠ADG，
②∵AD//FC，AG=GF，
∴DJ=JC，
∵GJ⊥CD，
∴GD=GC，
∴∠GDC=∠GCD，
∵∠ADC=∠BCD=90°，
∴∠ADG=∠GCO，
∴∠OEB=∠OCG，
∵∠BOE=∠GOC，
∴△OBE∽△OGC，
∴BEGC=OBOG，
∵GC=GD，BE=CF，
∴BO⋅GD=GO⋅FC；
(2)解：过点D作DT⊥BC于点T，过点G作GJ⊥DT于点J，连接GT．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠DAG=∠AFB，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAG=∠BAF，
∴∠BAF=∠AFB，
∴AB=BF，
∴AE=AB+BE=BF+CF=BC=AD，
在△EAG和△DAG中，
AG=AG,∠EAG=∠DAGEA=DA
∴△EAG≌△DAG(SAS)，
∴∠AEG=∠ADG，
∵AD//FT，AG=GF，
∴DJ=JT，
∵GJ⊥DT，
∴GD=GT，
∴∠GDT=∠GTD，
∵∠ADT=∠BTD=90°，
∴∠ADG=∠GTO，
∴∠OEB=∠OTG，
∵∠BOE=∠GOT，
∴△OBE∽△OGT，
∴BEGT=OBOG，
∵GD=GT，BE=CF，
∴BO⋅GD=GO⋅FC．
【解析】(1)连接CG，过点G作GJ⊥CD于点J.证明△EAG≌△DAG(SAS)，可得EG=DG，∠AEG=∠ADG，再证明△OBE∽△OGC，推出BEGC=OBOG，可得结论；
(2)过点D作DT⊥BC于点T，连接GT.证明△EAG≌△DAG(SAS)，推出EG=DG，∠AEG=∠ADG，再证明△OBE∽△OGT，推出BEGT=OBOG，可得结论．
本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．x
1
1.1
1.2
1.3
1.4
y
−1
−0.49
0.04
0.59
1.16