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    2023-2024学年河北省NT20名校联合体高一上学期12月月考数学试卷(含解析)
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    2023-2024学年河北省NT20名校联合体高一上学期12月月考数学试卷(含解析)

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    这是一份2023-2024学年河北省NT20名校联合体高一上学期12月月考数学试卷(含解析),共14页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.全集U=x∣x∈N∗且x<10,A=1,3,5,7,B=6,7,8,9,则∁UA∪B=( )
    A. 2B. 2,4C. 7D. 2,4,7
    2.已知fx=ax+1,gx=x2−2x+2a,∃x1,x2∈0,1,fx1>gx2,则a的取值范围是
    ( )
    A. −∞,2B. 2,+∞C. −∞,1D. 1,+∞
    3.“a<1a”是“a<−1”的
    ( )
    A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
    C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
    4.已知a>0且a≠1,fx=aa−1x与gx=xa的图象可以是
    ( )
    A. B.
    C. D.
    5.已知a=lg23,b=lg35,c=1315,则a,b,c的大小关系为
    ( )
    A. a>b>cB. b>a>cC. c>b>aD. c>a>b
    6.已知a>0,b>0,a+b=1,则ba+4b的最小值为
    ( )
    A. 4B. 6C. 8D. 9
    7.已知a>0,b>0,则 a+ b≥2的一个充分不必要条件是
    ( )
    A. ab≥1B. a+b≥2C. 1a+1b≥2D. a+b2≥2− ab
    8.已知fx=a−1x,x≤12x+ax−2,x>12,(a>1)的值域为D,D⊆23,+∞,则a的取值范围是
    ( )
    A. 1,2B. 2,3C. 1,169D. 169,2
    二、多选题:本题共4小题,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
    9.已知−1≤a≤3,1≤b≤2,则以下命题正确的是
    ( )
    A. −1≤ab≤6B. 0≤a+b≤5
    C. −2≤a−b≤1D. a+1b−1≤4
    10.以下函数是偶函数的是( )
    A. fx=2x+2−xB. fx=1x2−x+1
    C. fx=x−1 x+1x−1x≠±1D. fx=lg10x+1−x2
    11.已知fx=lg2x2−mx+m+3的定义域为D,值域为M,则
    ( )
    A. 若D=R,则M≠R
    B. 对任意m∈R,使得f−5=f−7
    C. 对任意m∈R,fx的图象恒过一定点
    D. 若fx在−∞,3上单调递减,则m的取值范围是6
    12.x2−bx+c<0的解集为x0,x0+2,则
    ( )
    A. b2=4c+4
    B. 若1−b+c>0,则x02<1
    C. 若x0>0,则cx2−bx+1<0的解集为1x0+2,1x0
    D. b+c有最小值为−94
    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
    13.x>0时,y=x2(x+1)2+1x+1的值域为__________.
    14.写出一个函数fx的解析式,满足:①fx是定义在R上的偶函数;②x≠0时,fx=−f1x,则fx=__________.
    15.全集U=1,2,3,4,5,6,7,8,A=1,2,4,5,6,B=1,2,3,4,7,C=2,3,5,6,7,如图中阴影部分的集合为M,若∃x∈M使得:x2−mx+4m−3<0,则m的取值范围是______.
    16.教材必修1第87页给出了图象对称与奇偶性的联系:若y=fx为奇函数,则y=fx−a+b的图象关于点a,b中心对称,易知:fx=2x−12x+1是奇函数,则gx=2x+32x+2图象的对称中心是__________.
    四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
    17.(本小题10分)
    已知集合A=x∣x2+mx−12<0,B={x∣x−20).
    (1)m=1时,求A∩B;
    (2)若B⊆A,求m的取值范围.
    18.(本小题12分)
    已知fx满足f2x−1x−2=x.
    (1)求fx的解析式;
    (2)解不等式f1−x219.(本小题12分)
    已知fx=lg2 x2+a+x是奇函数.
    (1)求a;
    (2)证明:fx是R上的增函数.
    20.(本小题12分)
    20 . fx=2x−2−x2+t2x+2−x.
    (1)若t=−910,求fx<0的解集;
    (2)若fx最小值为1,求t.
    21.(本小题12分)
    已知二次函数fx=x2+bx+c,fx=x的解为−1,3.
    (1)求b,c;
    (2)证明:−1,3也是方程ffx=x的解,并求ffx=x的解集.
    22.(本小题12分)
    已知fx=1x+2−mx+n 的 对称中心为−2m−2n,74.
    (1)求m,n;
    (2)若在区间a,b(a>−2)上,fx的值域为a,b,求a,b.
    答案和解析
    1.【答案】B
    【解析】【分析】根据集合的并集和补集运算求解.
    解:由题意可知: A∪B=1,3,5,6,7,8,9 ,
    又因为 U=1,2,3,4,5,6,7,8,9 ,所以 ∁UA∪B=2,4 .
    故选:B.
    2.【答案】A
    【解析】【分析】由题意得出 fx1max>gx2min 求解即可.
    解: ∃x1,x2∈0,1 , fx1>gx2 ,所以, fx1max>gx2min ,
    gx=x2−2x+2a=x−12+2a−1 在 0,1 上单调递减,所以 gx2min=2a−1 ,
    当 a=0 时, fx1=1>gx2=x22−2x2 ,即 1>x22−2x2 ,取 x2=x1=0 成立.
    当 a<0 时, fx1max=1 ,即 2a−1<1 ,得 a<1 ,所以 a<0
    当 a>0 时, fx1max=1+a ,即 1+a>2a−1 ,得 a<2 ,所以 0综上: a 的取值范围是 −∞,2 .
    故选:A
    3.【答案】B
    【解析】【分析】解出不等式 a<1a ,再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
    解:不等式 a<1a 等价于 a−1a<0 等价于 a2−1a<0 ,所以 aa2−1<0 ,
    即 aa−1a+1<0 ,解得 0故 a<−1 能推出 a<1a 成立,但是 a<1a 成立不一定有 a<−1 ,
    所以“ a<1a ”是“ a<−1 ”的必要不充分条件.
    故选:B
    4.【答案】D
    【解析】【分析】分类讨论判断出 fx 图像性质及 gx 图像性质即可得.
    解:对 fx=aa−1x ,该函数过定点 0,1 ,且 fx>0 恒成立,
    对 gx=xa ,该函数过定点 0,0 ,
    若 0又 0若 a>1 ,对 fx=aa−1x , a−1>0 ,则 a−1x 在 R 上单调递增,
    又 a>1 ,故 fx 在 R 上单调递增,
    故排除AB;
    对 gx ,由 a>0 且 a≠1 ,故 gx 在定义域内单调递增,
    故排除C.
    故选:D.
    5.【答案】A
    【解析】【分析】根据指数函数、对数函数单调性结合中间值“1”、“ 32 ”分析判断.
    解:因为 232=2 2<3<4 ,可知: lg22323<5<3 3=332 ,可知: lg3315>0 ,可知: 0<1315<130=1 ,即 0综上所述: c故选:A.
    6.【答案】C
    【解析】【分析】利用基本(均值)不等式求和的最小值.
    解:∵ a>0 , b>0 , a+b=1 ,
    ∴ ba+4b =1−aa+4b =1a+4b−1 =a+b1a+4b−1 =ba+4ab+4 ≥2 ba⋅4ab+4 =8 (当且仅当 ba=4ab 即 a=13 , b=23 时取“=”).
    故选:C
    7.【答案】A
    【解析】【分析】对A选项:借助基本不等式可验证充分性,再取特殊值否定必要性即可得;
    对B选项:借助特殊值否定充分性即可得;
    对C选项:借助特殊值否定充分性即可得;
    对D选项:变形处理后会得出选项为充要条件.
    解:对A选项:若 ab≥1 ,则 a+ b≥24ab≥2 ,当且仅当 a=b 时等号成立,
    当 a=4 、 b=16 时, a+ b≥2 ,
    但 ab<1 ,故 a>0 , b>0 时, ab≥1 为 a+ b≥2 的充分不必要条件,故A正确;
    对B选项:取 a=125 , b=4925 ,有 a+ b=85<2 ,
    故 a+b≥2 不是 a+ b≥2 的一个充分条件,故B错误;
    对C选项:取 a=b=14 ,有 a+ b=1<2 ,
    故 1a+1b≥2 不是 a+ b≥2 的一个充分条件,故C错误;
    对D选项:由 a+b2≥2− ab ,即 a+ b2≥4 ,即 a+ b≥2 ,
    故 a+b2≥2− ab 是 a+ b≥2 的充要条件,故D错误.
    故选:A.
    8.【答案】D
    【解析】【分析】本题的关键是对 a 进行分类讨论,同时结合函数单调性和基本不等式求解相关函数值域,最后得到不等式组,解出即可.
    分情况讨论 12 时分段函数的值域,再根据集合间的关系列不等式,解不等式.
    解:若 1当 x>12 时, fx=x+ax−2≥2 a−2 ,当且仅当 x= a>12 时,等号成立,
    又函数 fx 的值域 D 满足 D⊆23,+∞ ,
    则 a−1≥232 a−2≥231若 a=2 , fx=1,x≤12x+2x−2,x>12 当 x≤12 时, fx=1 ,
    当 x>12 时, fx=x+2x−2≥2 2−2 ,当且仅当 x= 2 时,等号成立,
    又函数 fx 的值域 D=2 2−2,+∞ ,不满足 D⊆23,+∞ ,不成立;
    若 a>2 ,当 x≤12 时, fx=a−1x 在 −∞,12 上单调递增,此时 fx∈0, a−1 ,
    则 0, a−1⊆D ,
    又 0, a−1⊆23,+∞ 不成立,
    所以此时 D⊆23,+∞ 不成立;
    综上所述: 169≤a<2 ,
    故选:D.
    9.【答案】BD
    【解析】【分析】利用不等式的基本性质逐个选项分析排除即可.
    解:对于A: ∵a∈−1,3,b∈1,2∴ab∈−2,6 ,故A错误.
    对于B: ∵a∈−1,3,b∈1,2∴a+b∈0,5 ,故B正确.
    对于C: ∵b∈1,2∴a−b∈−3,2 ,故C错误.
    对于D; ∵a+1∈0,4,b−1∈0,1,∴a+1b−1∈0,4 ,故D正确.
    故选:BD.
    10.【答案】AD
    【解析】【分析】根据函数的奇偶性对选项进行分析,从而确定正确答案.
    解:A选项, fx 的定义域为 R , f−x=2−x+2x=fx ,
    所以 fx 是偶函数,符合题意.
    B选项, x2−x+1=x−122+34>0 , fx 的定义域为 R ,
    f−1=13,f1=1,f−1≠f1 ,所以 fx 不是偶函数.
    C选项, f−2=−3× −2−4=−3 2=−3 22,f2=1× 31= 3 ,
    f−2≠f2 ,所以 fx 不是偶函数.
    D选项, fx=lg10x+1−x2 的定义域为 R ,
    f−x=lg10−x+1+x2=lg1+10x10x+x2
    =lg10x+1−lg10x+x2=lg10x+1−x2=fx ,所以 fx 是偶函数.
    故选:AD
    11.【答案】ACD
    【解析】【分析】对于A,根据题设得真数 x2−mx+m+3 不能取遍所有正实数,再利用对数函数定义即得.对于B,直接代入求解即可.对于C,根据 m∈R ,求解即可.对于D,根据对数型函数的单调性和真数大于零即可解得.
    解:对于A,要使定义域为R,只需 x2−mx+m+3>0 恒成立,
    所以判别式 m2−4m+3<0 ,所以真数 x2−mx+m+3 不能取遍所有正实数,所以 M≠R ,故A对
    对于B,若 f−5=f−7 ,
    即 lg2−52−−5m+m+3=lg2−72−−7m+m+3 ,整理得 lg228+6m=lg252+8m ,得 28+6m>052+8m>028+6m=52+8m ,
    此时 m∈⌀ ,故B错;
    对于C, x2−mx+m+3=x2+3+m1−x ,因为与m无关,所以 1−x=0,x=1,y=lg24=2, 过定点(1,2),故C正确;
    对于D,若 fx 在 −∞,3 上单调递减,只需函数 t=x2−mx+m+3 在 −∞,3 上递减,且 t3≥0 ,即 m2≥39−3m+m+3≥0 ,解得 m=6 ,故D对.
    故选:ACD
    12.【答案】AC
    【解析】【分析】根据三个二次之间的关系可得 x0+x0+2=2x0+2=bx0x0+2=c .对于A:根据 x0+2−x0=2 结合韦达定理分析求解;对于B:举例说明即可;对于C:整理可得 x0x−1x0+2x−1<0 ,结合二次不等式运算求解;对于D:代入整理可得 b+c=x0+22−2≥−2 ,即可得最小值.
    解:由题意可知:方程 x2−bx+c=0 的根为 x0,x0+2 ,则 x0+x0+2=2x0+2=bx0x0+2=c ,
    对于选项A:因为 x0+2−x0= 2x0+22−4x0x0+2= b2−4c=2 ,
    整理得 b2=4c+4 ,故A正确;
    对于选项B:例如 x0=2 ,则 b=6c=8 ,满足 1−b+c=1−6+8=3>0 ,
    则 x02=4>1 ,故B错误;
    对于选项C:若 x0>0 ,则 x0+2>x0>0 ,
    不等式 cx2−bx+1<0 即为 x0x0+2x2−2x0+2x+1<0 ,
    整理得 x0x−1x0+2x−1<0 ,
    令 x0x−1x0+2x−1=0 ,解得 x=1x0 或 x=1x0+2 ,
    且 2x0+2>0 , 1x0>1x0+2 ,
    所以 cx2−bx+1<0 的解集为 1x0+2,1x0 ,故C正确;
    对于选项D:因为 b+c=2x0+2+x0x0+2=x0+22−2≥−2 ,
    当且仅当 x0=−2 时,等号成立,
    所以 b+c 有最小值为 −2 ,故D错误;
    故选:AC.
    13.【答案】34,1
    【解析】【分析】利用换元法,令 t=1x+1 ,结合二次函数的性质分析求解.
    解:因为 x>0 ,令 t=1x+1∈0,1 ,则 x=1t−1 ,
    则 y=1t−121t−1+12+t=t2−t+1 , t∈0,1 ,
    可知 y=t2−t+1 开口向上,对称轴为 t=12 ,且 y|t=0=y|t=1=1,y|t=12=34 ,
    所以 y=t2−t+1 在 0,1 内的值域为 34,1 ,
    即 y=x2(x+1)2+1x+1 在 0,+∞ 内的值域为 34,1 .
    故答案为: 34,1 .
    14.【答案】0,x=0lnx,x≠0 (答案不唯一)
    【解析】【分析】根据题意可知符合要求的函数不止一个,符合要求即可.
    解:由题意可得: fx=0,x=0lnx,x≠0 符合题意.
    故答案为: 0,x=0lnx,x≠0 .
    15.【答案】−∞,−6∪463,+∞
    【解析】【分析】先根据交集和补集运算求解 M=3,7 ,然后利用有解求解 m 的范围即可.
    解:因为 A=1,2,4,5,6 , B=1,2,3,4,7,C=2,3,5,6,7 ,所以 B∩C=2,3,7 ,
    图中阴影部分表示的集合为 B∩C∩∁UA=3,7 ,即 M=3,7 ,
    由题意, 32−3m+4m−3<0 或 72−7m+4m−3<0 ,解得 m<−6 或 m>463 ,
    所以 m 的取值范围是 −∞,−6∪463,+∞ .
    故答案为: −∞,−6∪463,+∞
    16.【答案】1,54
    【解析】【分析】利用奇函数的性质把 gx 变形成 y=fx−a+b ,即 gx=−14fx−1+54 ,再找出对称中心.
    解:因为 fx=2x−12x+1=2x+1−22x+1=1−22x+1 ,
    fx−1=1−22x−1+1 ,
    gx=2x+32x+2=2×2x−1+322×2x−1+1=2x−1+1+122x−1+1=1+122x−1+1 ,
    所以 gx=−14fx−1+54=−14fx−1−5 ,
    因为 y=fx 为奇函数,则 y=−14fx 也奇函数,
    所以 gx 关于点 1,54 对称,
    故答案为: 1,54
    17.【答案】解:(1)当 m=1 时, A=x∣x2+x−12<0=x−4 B=x1(2)化简 A=x∣x2+mx−12<0=x−m− m2+482B={x∣x−20) ,
    若 B⊆A ,则 −m− m2+482≤2−m2+m≤−m+ m2+482m>0 ,解得 0
    【解析】【分析】(1)化简集合,根据交集定义即得.
    (2)化简集合,根据 B⊆A ,列出不等式组求解即得.
    18.【答案】解:(1)令 t=2x−1x−2=2+3x−2≠2 ,则 x=2t−1t−2 ,
    则 ft=2t−1t−2 ,所以 fx=2x−1x−2,x≠2 .
    (2)因为 1−x2≤1,−1−x≤−1 ,
    因为 fx=2x−1x−2=2+3x−2 在 −∞,2 内单调递减,
    若 f1−x2−1−x ,即 x2−x−2<0 ,
    则 x≥0x2−x−2<0 或 x<0x2+x−2<0 ,解得 0≤x<2 或 −2所以不等式 f1−x2
    【解析】【分析】(1)利用换元法求函数解析式;
    (2)根据 1−x2,−1−x 的取值范围,结合 fx 的单调性可得 1−x2>−1−x ,分类讨论解不等式即可.
    19.【答案】解:(1)因为 fx=lg2 x2+a+x 是奇函数,则 fx+f−x=0 ,
    可得 lg2 x2+a+x+lg2 x2+a−x=lg2x2+a−x2=lg2a=0 ,解得 a=1 .
    (2)由(1)可知: fx=lg2 x2+1+x ,
    因为 x2+1> x2=x≥−x ,可知 x2+1+x>0 对任意 x∈R 恒成立,
    所以 fx 的定义域为 R .
    对任意 x1,x2∈0,+∞ ,且 0≤x1则 1≤x12+1所以 1≤ x12+1+x1< x22+1+x2 ,
    则 lg2 x12+1+x1所以 fx 在 0,+∞ 内单调递增,
    又因为 fx 为奇函数,则 fx 在 −∞,0 内单调递增,
    且 fx 连续不断,所以 fx 是 R 上的增函数.

    【解析】【分析】(1)根据奇函数的定义分析求解;
    (2)根据单调性的定义结合奇函数的性质分析证明.
    20.【答案】解:(1)因为 fx=2x−2−x2+t2x+2−x=2x+2−x2−4+t2x+2−x=2x+2−x2+t2x+2−x−4 ,
    令 m=2x+2−x≥2 2x⋅2−x=2 ,当且仅当 2x=2−x ,即 x=0 时,等号成立,
    则 y=m2+tm−4,m≥2 ,
    若 t=−910 ,则 y=m2−910m−4,m≥2 ,
    令 y=m2−910m−4<0 ,可得 2≤m<52 ,
    即 2x+2−x<52 ,整理得 22x2−5×2x+2<0 ,解得 12<2x<2 ,可得 −1所以 fx<0 的解集为 −1,1 .
    (2)若 fx 最小值为1,结合(1)可知: y=m2+tm−4,m≥2 的最小值为1,
    因为 y=m2+tm−4 的开口向上,对称轴为 m=−t2 ,
    若 −t2≤2 ,即 t≥−4 时, y=m2+tm−4 在 2,+∞ 内单调递增,
    可知当 m=2 时, y=m2+tm−4 取得最小值,
    即 4+2t−4=1 ,解得 t=12 ;
    若 t2>2 ,即 t<−4 时, y=m2+tm−4 在 2,−t2 内单调递减,在 −t2,+∞ 单调递增,
    可知当 m=−t2 时, y=m2+tm−4 取得最小值,
    即 t24+t×−t2−4=1 ,无解;
    综上所述: t=12 .

    【解析】【分析】(1)换元令 m=2x+2−x≥2 ,整理得 y=m2+tm−4,m≥2 ,分步解不等式即可得结果;
    (2)结合(1)可得 y=m2−tm−4,m≥2 的最小值为1,分 t2≤2 和 t2>2 两种情况,结合二次函数性质分析求解.
    21.【答案】解:(1)因为 fx=x 的解为 −1,3 ,则 1−b+c=−19+3b+c=3 ,解得 b=−1c=−3 .
    (2)由(1)可知: fx=x2−x−3 ,且 f−1=−1,f3=3 ,
    则 ff−1=f−1=−1,ff3=f3=3 ,
    即 −1,3 也是方程 ffx=x 的解,
    对于 ffx=x ,即 fx2−x−3=x2−x−32−x2−x−3−3=x ,
    整理得: x−3x− 3x+1x+ 3=0 ,解得 x=− 3,−1, 3,3 ,
    所以 ffx=x 的解集为 − 3,−1, 3,3 .

    【解析】【分析】(1)根据题意列式求解即可;
    (2)根据 f−1=−1,f3=3 ,代入证明即可,展开 ffx=x 解方程即可.
    22.【答案】解:(1)由 fx=1x+2−mx+n 可知,定义域为 x≠−2 ,其对称中心为 −2m−2n,74 ,
    故有 −2m−2n=−2 ,即 m+n=1 ,有 −m×−2+n=74 ,解得 m=34 , n=14 ,
    即 fx=1x+2−34x+14 ,对称中心为 −2,74 ,
    检验计算得
    fx+f−4−x=1x+2−34x+14+1−4−x+2−34−4−x+14=72 ,
    故成立,
    即 m=34 , n=14 ;
    (2)当 x>−2 时,由 1x+2 、 −34x 都随 x 的增大而减小,
    故 fx 在 −2,+∞ 上单调递减,
    又 fx 在区间 a,b(a>−2) 上, fx 值域也为 a,b ,
    故有 fa=bfb=a ,即 1a+2−34a+14=b1b+2−34b+14=a ,且 −2解得 a=−1 , b=2 .

    【解析】【分析】(1)由定义域也会对称,结合函数对称的性质计算即可得;
    (2)结合函数的 单调性及定义域与值域的关系即可得.
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