2023-2024学年吉林省十一校联考高一上学期期中考试数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省十一校联考高一上学期期中考试数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合U={x∈N∣x<7},M={0,1,2},N={0,1,6}，则∁U(M∪N)=( )
A. {3,4,5,7}B. {3,4,5}C. {4,5}D. {2,3,4,5,6}
2.“所有的长方体都有12条棱”的否定是( )
A. 所有的长方体都没有12条棱B. 有些长方体没有12条棱
C. 有些长方体有12条棱D. 所有的长方体不都有12条棱
3.已知函数f(x)的定义域为[1,+∞)，则函数y=f(x−1)+f(4−x)的定义域为
( )
A. (0,3)B. [0,3]C. (2,3)D. [2,3]
4.高一(8)班共有30名同学参加秋季运动会中的100米短跑、立定跳远、跳高三项比赛.已知参加100米短跑比赛的有12人，参加立定跳远比赛的有16人，参加跳高比赛的有13人，同时参加其中两项比赛的有9人，则这三项比赛都参加的有( )
A. 3人B. 2人C. 1人D. 4人
5.函数fx=1x3 x2+9的部分图象大致为
( )
A. B.
C. D.
6.设等腰三角形▵ABC的腰长为x，底边长为y，且y=x+1，则“▵ABC的周长为16”是“▵ABC其中一条边长为6”的
( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7.若关于x的不等式mx2−mx−1<2x2−2x的解集为R，则m的取值范围为
( )
A. (−2,2)B. [2,+∞)C. (−∞,−2)D. (−2,2]
8.定义域为R的函数fx满足f3−x=fx+3，且当x2>x1>3时，fx1−fx2x1−x2>0恒成立，设a=f2x2−x+5，b=f52，c=fx2+4，则
( )
A. c>a>bB. c>b>aC. a>c>bD. b>c>a
二、多选题：本题共4小题，共20分。
9.下列各选项中的两个函数是同一个函数的是
( )
A. fx=2x，gx= 4x2B. fx= x，gx=x x
C. fx=9x，gx=9xx2D. fx=x+1，g(x)=x2−1x−1
10.已知幂函数fx满足f 5=5 5，则
( )
A. fx=x3B. fx= 5x2
C. fx的图象经过原点D. fx的图象不经过第二象限
11.已知函数fx的定义域为R，则“fx为偶函数”的一个必要不充分条件可以是
( )
A. f−1=f1B. ∀x∈R,f−x=fx
C. f0=0D. ∃x∈R,f−x=fx
12.函数f(x)=−x|x|−4在[a,b]上的最大值为4，最小值为b−10，则b−a的值可能为
( )
A. 2 2B. 10C. 8D. 9
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.某停车场的收费规则：停车1小时以内(含1小时整)收费5元；停车超过1小时，超出部分按每小时2元收费，不足1小时按1小时收费．王先生某日上午10：00进入该停车场停车，当日下午2：35驶出该停车场，则王先生应付的停车费为 元．
14.已知fx=x3+bx2x2+1是定义在2a,a+3上的奇函数，则a= ，b= ．
15.已知x>0,y>0,x+2y=8，则1x+1+xy的最小值为_______．
16.已知fx是定义在0,+∞上的单调函数，且∀x∈0,+∞，ffx− x=6，则f100=______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。
17.已知集合A=xx2−2x−24≤0，B=x6−m≤x≤3m+2．
(1)若m=3，求A∩B；
(2)若A∪B=A，求m的取值范围．
18.已知正实数a，b满足ab+a=15−b．
(1)求ab的最大值；
(2)证明：b≥6−a．
19.已知函数f2x+1=4x2+2x+2．
(1)求fx的解析式；
(2)试判断函数gx=fxx在 2,+∞上的单调性，并用单调性的定义证明．
20.已知某污水处理厂的月处理成本y(万元)与月处理量x(万吨)之间的函数关系可近似地表示为y=1400x2−mx+2580≤x≤210.当月处理量为120万吨时，月处理成本为49万元．该厂处理1万吨污水所收费用为0.9万元．
(1)该厂每月污水处理量为多少万吨时，才能使每万吨的处理成本最低？
(2)请写出该厂每月获利z(万元)与月处理量x(万吨)之间的函数关系式，并求出每月获利的最大值，
21.已知关于x的不等式ax2+2a+1<3a+1x．
(1)若原不等式的解集为{x∣x<−2或x>1}，求a的值；
(2)若a>0，且原不等式ax2+2a+1<3a+1x的解集中恰有8个质数，求a的取值范围．
22.已知定义在−2,2上的函数fx满足∀m,n∈−1,1，f2m+f2n=2fm+n⋅fm−n，f0≠0．
(1)试判断fx的奇偶性，并说明理由．
(2)证明：fx+2x2≥x−98．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】根据集合的运算求解即可．
解：U={x∈N∣x<7}={0,1,2,3,4,5,6},
因为M∪N={0,1,2,6}，
所以∁U(M∪N)={3,4,5}．
故选：B．
2.【答案】B
【解析】【分析】利用全称命题否定的方法进行判断．
解：“所有的长方体都有12条棱”的否定是“有些长方体没有12条棱”．
故选：B．
3.【答案】D
【解析】【分析】根据抽象函数定义域的求法计算即可．
解：因为f(x)的定义域为[1,+∞)，所以x−1≥14−x≥1，解得2≤x≤3．
故选：D．
4.【答案】C
【解析】【分析】作出图形即可得到方程，解出即可．
解：设这三项比赛都参加的有x人，则12+16+13−30=9+x+x，解得x=1．
故选：C．

5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查函数图象的识别，包括函数的奇偶性、函数的单调性．
先判断函数的奇偶性，由函数图象的对称性排除选项C，再由函数在 (0,+∞) 的单调性或值域可得出正确答案．
【解答】
解：由已知 fx=1x3 x2+9 ， x∈(−∞,0)∪(0,+∞) ，
则 f(−x)=1(−x)3 (−x)2+9=−1x3 x2+9=−f(x) ，
故 f(x) 是奇函数，图象关于原点对称，故C项错误；
当 x∈(0,+∞) 时， x3 x2+9>0 ，则 f(x)>0 ，
故AD项错误，
又设 ∀x1,x2∈(0,+∞) ，且 x1则 0故 01x23 x22+9>0 ，
即 f(x1)>fx2 ，故 f(x) 在 (0,+∞) 上单调递减．
综上，函数 fx=1x3 x2+9 图象的性质与选项B中图象表示函数的性质基本一致．
故选：B．
6.【答案】A
【解析】【分析】根据充分、必要条件等知识确定正确答案．
解：若“▵ABC的周长为16”，则y=x+12x+y=16，解得x=5y=6,
所以“▵ABC其中一条边长为6”．
若“▵ABC其中一条边长为6”，如x=6，
则y=6+1=7，此时三角形ABC的周长为6+6+7=19，
即无法得出“▵ABC的周长为16”，
所以“▵ABC的周长为16”是“▵ABC其中一条边长为6”充分不必要条件．
故选：A
7.【答案】D
【解析】【分析】分m=2和m≠2两种情况讨论即可．
解：不等式转化为(m−2)x2−(m−2)x−1<0．
当m−2=0，即m=2时，−1<0恒成立，符合题意．
当m−2≠0时，m−2<0m−22+4m−2<0，解得−2故m的取值范围为(−2,2]．
故选：D．
8.【答案】C
【解析】【分析】根据函数的对称性和单调性比较大小即可求解．
解：因为定义域为R的函数fx满足f3−x=fx+3，
所以函数fx的图象关于x=3对称，所以b=f52=f72，
又因为当x2>x1>3时，fx1−fx2x1−x2>0，
所以函数fx在3,+∞单调递增，则在−∞,3单调递减，
因为2x2−x+5−(x2+4)=x2−x+1=(x−12)2+34>0，
所以2x2−x+5>x2+4>72>3，
所以f2x2−x+5>fx2+4>f72，即a>c>b，
故选：C，
9.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查了判断两个函数是否为同一函数，属于基础题．
由两函数的定义域与对应法则是否相同判断即可．
【解答】
解：选项A，因为 gx= 4x2=2x=f(x) ，且两函数定义域都是 R ，
故两函数是同一个函数，所以A正确；
选项B，因为 fx= x 的定义域为 0,+∞ ，而 g(x)=x x 的定义域为 (0,+∞) ，
故两函数不是同一个函数，所以B错误；
选项C， gx=9xx2=9x=fx ，且定义域都为 xx≠0 ，
故两函数是同一个函数，所以C正确；
选项D， fx=x+1 的定义域为 R ， gx=x2−1x−1 的定义域为 xx≠1 ，
故两函数不是同一个函数，所以D错误．
故选：AC．
10.【答案】ACD
【解析】【分析】根据幂函数的概念与指数幂的运算得fx=x3，结合图象逐项判断即可得答案．
解：设幂函数fx=xa，根据题意可得5 5= 5a，解得a=3，则fx=x3，
fx的图象如图所示：

则fx的图象经过原点，不经过第二象限．
故选：ACD．
11.【答案】AD
【解析】【分析】利用偶函数的性质逐项判断即可．
解：若f(x)为偶函数，f0=0不一定成立，但∀x∈R,f(−x)=f(x)，
∴f(−1)=f(1),∃x∈R,f(−x)=f(x)．
由f(−1)=f(1)不能推出f(x)为偶函数，所以f−1=f1是“fx为偶函数”的一个必要不充分条件，故 A正确；；
若∀x∈R,f(−x)=f(x)，则f(x)为偶函数，是“fx为偶函数”的一个充分必要条件，故 B错误；
由f(0)=0不能推出f(x)为偶函数，所以f0=0是“fx为偶函数”的一个不必要不充分条件，故 C错误；
由∃x∈R,f(−x)=f(x)不能推出f(x)为偶函数，所以是“fx为偶函数”的一个必要不充分条件，故 D正确；
故选：AD．
12.【答案】BCD
【解析】【分析】分类讨论x得到f(x)的图象，然后分b≤2、22+2 2三种情况讨论求解即可．
解：当x≥0时，f(x)=−x2+4x=−(x−2)2+4≤4；
当x<0时，f(x)=x2+4x=(x+2)2−4≥−4.作出f(x)的图象，如图所示．
当x<0时，由f(x)=x2+4x=4，即x2+4x−4=0，解得x=−2−2 2．
当x=−2时，f(−2)=−4．
当x≥0时，由f(x)=−x2+4x=−4，即−x2+4x+4=0，解得x=2+2 2．
当x=2时，f(2)=4．
根据f(x)在[a,b]上的最大值为4，最小值为b−10，可对b作如下讨论：
若b≤2，则b−10≤−8<−4，不合题意；
若2若b>2+2 2，则2 2−8综上可得b=5，−2−2 2≤a≤2，−2≤−a≤2+2 2，故3≤b−a≤7+2 2．
故选：BCD．
13.【答案】13
【解析】【分析】
本题考查求分段函数的函数值，属于容易题．
根据题意得到王先生的停车时长，然后根据收费要求求停车费即可．
【解答】
解：依题意得，王先生的停车时长为4小时35分，则按5小时计费，王先生应付的停车费为 5+4×2=13 元．
故答案为：13．
14.【答案】−1；0
【解析】【分析】
本题考查了利用函数的奇偶性求解参数，属于基础题．
由定义域的对称性可求解参数 a，再由奇函数定义求解参数b即可．
【解答】
解：因为 f(x) 是定义在 [2a,a+3] 上的奇函数，
所以 2a+a+3=0 ，解得 a=−1 ，
又因为 f(x)=x3+bx2x2+1 是奇函数，
则 f(−x)=−x3+b−x2−x2+1=−x3+bx2x2+1=−f(x)=−x3+bx2x2+1 恒成立，
即 −x3+bx2x2+1=−x3−bx2x2+1 恒成立，
化简得 2bx2=0 ，因为该等式对 ∀x∈[−2,2] 恒成立，
所以 b=0 ．
故答案为： −1 ； 0 ．
15.【答案】79
【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解即可．
解：因为x+2y=8，所以x=8−2y，
则1x+1+xy=1x+1+8−2yy=1x+1+8y−2．
因为x+1+2y=9，
所以1x+1+8y−2=191x+1+8y(x+1+2y)−2=191+16+2yx+1+8(x+1)y−2≥1917+2 2yx+1⋅8(x+1)y−2=259−2=79，
当且仅当2yx+1=8(x+1)y，即x=45,y=185时，等号成立．
故答案为：79
16.【答案】14
【解析】【分析】由单调函数的性质，可得fx− x为定值，可以设t=fx− x，则fx=t+ x，又由ft=6，可得fx的解析式求f100．
解：∀x∈0,+∞，ffx− x=6，fx是定义在0,+∞上的单调函数，
则fx− x为定值，设t=fx− x，则fx=t+ x，
ft=t+ t=6，解得t=4，得fx=4+ x，
所以f100=4+ 100=14．
故答案为：14．
17.【答案】解：(1)
当m=3时，B=x3≤x≤11，
因为A=xx2−2x−24≤0=x−4≤x≤6，所以A∩B=3,6．
(2)
因为A∪B=A，所以B⊆A．
当B=⌀时，6−m>3m+2，解得m<1．
当B≠⌀时，6−m≤3m+26−m≥−43m+2≤6，解得1≤m≤43．
综上，m的取值范围为−∞,43．

【解析】【分析】(1)解不等式得到集合A，然后求交集即可；
(2)根据A∪B=A得到B⊆A，然后分B=⌀和B≠⌀两种情况求解即可．
18.【答案】解：(1)
因为a>0，b>0，ab+a=15−b，所以ab+a+b=15≥ab+2 ab，
则 ab−3 ab+5≤0，解得 ab≤3，即0当且仅当a=b=3时，等号成立．
故ab的最大值为9．
(2)
证明：(方法一)因为ab+a+b=15≤a+b22+(a+b)，
解得a+b≥6或a+b≤−10(舍去)，
当且仅当a=b=3时，等号成立．
故a+b≥6，即b≥6−a得证．
(方法二)由(1)得ab≤9，则−ab≥−9，故a+b=15−ab≥15−9=6，即b≥6−a得证．

【解析】【分析】(1)利用基本不等式求最大值即可；
(2)利用基本不等式证明即可．
19.【答案】解：(1)
f2x+1=4x2+2x+2=2x+12−2x+1+2，
所以fx=x2−x+2．
(2)
gx=fxx=x+2x−1，
gx在 2,+∞上单调递增，证明如下：
设 2=x1−x2+2x1−2x2=x1−x2x1x2x1x2+2x2−x1x1x2=x1−x2x1x2−2x1x2，
其中x1−x2<0,x1x2−2>0,x1x2>0，所以gx1−gx2<0，
所以gx1
【解析】【分析】(1)利用凑配法求得fx的解析式．
(2)先求得gx的解析式并判断出单调性，然后利用单调性的定义进行证明．
20.【答案】解：(1)
依题意，49=1400×1202−m×120+25，解得m=110，
所以y=1400x2−110x+2580≤x≤210，
yx=x400+25x−110≥2 x400⋅25x−110=25，
当且仅当x400=25x,x=100时等号成立，
所以当每月污水处理量为100万吨时，每万吨的处理成本最低．
(2)
依题意，z=0.9x−1400x2−0.1x+25=−1400x2+x−2580≤x≤210，
当x=−1−1200=200万吨时，z取得最大值为−1400⋅2002+200−25=75万元．

【解析】【分析】(1)先求得m，利用基本不等式求得正确答案．
(2)先求得z的解析式，然后根据二次函数的性质求得正确答案．
21.【答案】解：(1)
由题意得−2，1是关于x的方程ax2−(3a+1)x+2a+1=0的两根，且a<0，
则x1x2=2a+1a=−2，x1+x2=3a+1a=−1，
解得a=−14．
(2)
不等式ax2+2a+1<(3a+1)x可化为(x−1)(ax−2a−1)<0，
因为a>0，所以关于x的方程(x−1)(ax−2a−1)=0的两根为1，2a+1a，
且2a+1a=2+1a>1，
因为关于x的不等式(x−1)(ax−2a−1)<0的解集为：1,2+1a，
解集中恰有8个质数，
所以19<2+1a≤23，
解得121≤a<117，即a的取值范围为121,117．

【解析】【分析】(1)根据一元二次不等式的解集和方程的根之间的关系求解即可；
(2)根据不等式的解集和质数的定义列不等式求解即可．
22.【答案】解：(1)
fx为偶函数，理由如下：
令m=n=0，
由f2m+f2n=2fm+n⋅fm−n，
得2f(0)=2f2(0)，又f0≠0，
所以f(0)=1，
令n=−m，则f(2m)+f(−2m)=2f(0)f(2m)，
所以f(−2m)=f(2m)，即f(−x)=f(x)，x∈[−2,2]，
故fx为偶函数．
(2)
令n=0及f(0)=1，可得
f(2m)+1=2f2(m)，
所以f(2m)=2f2(m)−1≥−1，即f(x)≥−1，
又y=−2x2+x−98=−2(x−14)2−1≤−1，
当x=14∈[−2,2]时，等号成立，
故f(x)≥−2x2+x−98，
即fx+2x2≥x−98，
故原不等式得证．

【解析】【分析】(1)令m=n=0，可得f(0)=1，再令n=−m，结合偶函数的定义即可判定；
(2)令n=0，可得f(x)≥−1，又y=−2x2+x−98=−2(x−14)2−1≤−1，即可证明原不等式成立．