山东省德州市万隆中英文高级中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（解析版）

这是一份山东省德州市万隆中英文高级中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，个位数字，共有个，，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试卷共2页，22小题，满分150分，考试时间120分钟.
一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 为提高学生的身体素质，某校开设了游泳、武术和篮球课程，甲、乙、丙、丁4位同学每人从中任选门课程参加，则不同的选法共有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
【答案】C
【解析】
【分析】根据分步乘法计数原理计算即可.
【详解】甲、乙、丙、丁4位同学每人都有种不同的选法，
根据分步乘法计数原理可知，不同的选法共有种．
故选：C．
2. 掷一个均匀的骰子．记为“掷得点数大于”，为“掷得点数为奇数”，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知列出事件和事件的结果，求出，，然后利用条件概率公式求解即可.
【详解】掷一个均匀的骰子，有，，，，，共种结果，
事件包含点数为，共种结果，所以；
事件包含点数为共种结果，所以，
所以．
故选：D
3. 中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造．如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成个区域，每个区域分别印有数字，，，，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域如区域与区域所涂颜色相同．若有更多课件 教案 视频 等低价同类优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（ ）
A. 种B. 种
C. 种D. 种
【答案】B
【解析】
【分析】确定区域，，，的颜色，分区域与区域涂的颜色是否相同两种情况讨论，进而可得出答案.
【详解】由题意可得，只需确定区域，，，的颜色，即可确定整个伞面的涂色．
先涂区域，有种选择，再涂区域，有种选择，
当区域与区域涂的颜色不同时，区域有种选择，剩下的区域有种选择；
当区域与区域涂的颜色相同时，剩下的区域有种选择，
故不同的涂色方案有种．
故选：B．
4. 如图，我国古代珠算算具算盘每个档挂珠的杆上有颗算珠，用梁隔开，梁上面颗叫上珠，下面颗叫下珠，若从某一档的颗算珠中任取颗，记上珠的个数为，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可知，的所有可能取值为，，，方法一：，方法二：.
【详解】方法一：由题意可知，的所有可能取值为，，，
则．
方法二：由题意可知，的所有可能取值为，，，
则．
故选：A
5. 已知为两个随机事件，，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，结合条件概率和全概率公式，列出方程，即可求解.
【详解】由为两个随机事件，，且，，,
可得，
即，解得.
故选：D．
6. 设随机变量X的概率分布列如下：则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分布列的性质求得m的值，由确定变量的取值，结合分布列求得答案.
【详解】由分布列性质可得： ，则 ，
由,
故选：C
7. 在二项式的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项互不相邻的概率为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意，，可得展开式的通项公式为，当时为有理项，根据不相邻问题插空法及古典概率模型即可求解.
【详解】解：因为二项式的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，
所以展开式共有7项，，
所以展开式的通项公式为，，
因为的指数幂为整数即时为有理项，
所以展开式的第项为有理项，
所以把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项互不相邻的概率为，
故选：C.
8. 1654年，法国贵族德•梅雷骑士偶遇数学家布莱兹•帕斯卡，在闲聊时梅雷谈了最近遇到的一件事：某天在一酒吧中，肖恩和尤瑟纳尔两人进行角力比赛，约定胜者可以喝杯酒，当肖恩赢20局且尤瑟纳尔赢得40局时他们发现桌子上还剩最后一杯酒．此时酒吧老板和伙计提议两人中先胜四局的可以喝最后那杯酒，如果四局、五局、六局、七局后可以决出胜负那么分别由肖恩、尤瑟纳尔、酒吧伙计和酒吧老板付费，梅雷由于接到命令需要觐见国王，没有等到比赛结束就匆匆离开了酒馆．请利用数学知识做出合理假设，猜测最后付酒资的最有可能是（ ）
A. 肖恩B. 尤瑟纳尔C. 酒吧伙计D. 酒吧老板
【答案】B
【解析】
【分析】由题设求出肖恩、尤瑟纳尔每局获胜的概率，设决出胜负的场数为X，在七局四胜制中，求出X取4，5，6，7的概率，即可判断出结果.
【详解】由题意，肖恩每局获胜的概率为，尤瑟纳尔每局获胜的概率为，
先胜四场比赛结束就是比赛采用七局四胜制，设决出胜负的场数为X，于是得：
，，
，，
显然有，即，
所以最后付酒资的最有可能是尤瑟纳尔.
故选：B
二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）
9. 带有编号、、、、的五个球，则（ ）
A. 全部投入个不同的盒子里，共有种放法
B. 放进不同的个盒子里，每盒至少一个，共有种放法
C. 将其中的个球投入个盒子里的一个另一个球不投入，共有种放法
D. 全部投入个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法
【答案】AC
【解析】
【分析】利用分步计数原理直接判断选项A，利用组合、排列的结合判断选项BCD.
【详解】对于A：由分步计数原理，
五个球全部投入个不同的盒子里共有种放法，故A正确；
对于B：由排列数公式，
五个不同的球放进不同的个盒子里，每盒至少一个，共有种放法，故B错误；
对于C：将其中的个球投入一个盒子里共有种放法，故C正确；
对于D：全部投入个不同的盒子里，没有空盒，
共有：种不同的放法，故D错误．
故选：AC
10. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由二项式展开式性质，应用赋值法判断A,B,D选项，应用通项公式判断C选项.
【详解】对于选项A，令，得，则，即选项A正确；
对于选项B，令，得，所以，即选项B错误；
对于选项C，由二项式展开式通项公式可得：，即选项C错误；
对于选项D，令，得，所以，即选项D正确，
故选：．
11. 甲罐中有个红球，个白球和个黑球，乙罐中有个红球，个白球和个黑球球除颜色外，大小质地均相同先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的是（ ）
A. 事件与相互独立B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项，计算出，根据，判断出与相互独立；BD选项，利用条件概率求出答案；C选项，利用全概率公式求出答案.
【详解】A选项，由题意，，，
而，A错误；
B选项，由，，
所以，B正确；
C选项，
，C正确；
D选项，，正确．
故选：BCD．
12. 已知离散型随机变量服从二项分布，其中，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法正确的有（ ）
A.
B. ，且为偶数时，
C. 时，随着的增大而增大
D. 时，随着的增大而减小
【答案】AC
【解析】
【分析】根据二项分布的概率公式判断A、C、D，根据组合数公式判断B.
【详解】因为，所以，且，
对于A：由二项分布可知，故正确；
对于B，由时，，则
所以，
，
所以，故B不正确，
对于C、D：，
当时，，且为正项且单调递增的数列，
故随着的增大而增大，故C正确，
当时，，且为摆动数列，故D不正确.
故选：AC
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 展开式中的系数为________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可知，进而利用展开式的通项公式化简整理，即可得出结果.
【详解】由题意可知，展开式的通项中时，
展开式的通项公式为
由于要求展开式中的系数，所以，，当时，展开式的项为，
所以展开式中的系数为.
故答案为：.
14. 在中国革命史上有许多与“8”有关的可歌可泣的感人故事，如“八子参军”、“八女投江”等，因此数字“8”是当之无愧的新时代“英雄数字”．如果一个四位数，各个位置上数字之和等于8，这样的数称为“英雄数”（比如1223，，就是一个“英雄数”），则所有的“英雄数”有________个（用数字回答）
【答案】120
【解析】
【分析】根据题意，将原问题转化为将8个小球分为4组且第一组不能为0的问题，根据0的个数分情况，结合挡板法即可求解．
【详解】根据题意，8个相同的小球排成一排，8个小球两两之间不包括头尾共有7个空位中，
若四位数的“英雄数”中不含0，则需要在这7个空位中随机安排3个挡板，可以将小球分为4组每两个挡板之间的小球的数目依次对应四位数的千、百、十、个位数字，共有个，
若四位数的“英雄数”中只有一个0，则需要在这7个空位中随机安排2个挡板，可以将小球分成个数不为0的3组，0可以作为百、十、个位其中一位上的数字，此时共有个，
若四位数的“英雄数”中有两个0，则需要在这7个空位中随机安排1个挡板，可以将小球分成个数不为0的2组，0可以作为百、十、个位其中两位上的数字，此时共有个，
若四位数“英雄数”中有3个0，则只能是8000，只有一种情况，
综上：共有个“英雄数”．
故答案为：120．
15. 设有两个罐子，罐中放有个白球、个黑球，罐中放有个白球，现在从两个罐子中各摸一个球交换，这样交换次后，黑球还在罐中的概率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，得到，化简得到，结合等比数列的通项公式，即可求解.
【详解】设表示事件交换次后黑球仍在罐中，
则
，
所以，可得，
又由，可得，
所以由等比数列性质，得，所以．
故答案为：．
16. 如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落过程中，每次碰到小木钉后可能向左或向右落下，其中向左落下的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，，，，，则小球落入__________号格子的概率最大.图片仅供参考
【答案】7
【解析】
【分析】小球下落需要次碰撞，每次向左落下的概率为，向右下落的概率为，归纳出小球掉入号格子，需要向左次，向右次，概率为，然后由小球落入号格子的概率最大，列不等式组求解．
【详解】小球下落需要次碰撞，每次向左落下的概率为，向右下落的概率为，
小球掉入号格子，需要向左次，概率为，
小球掉入号格子，需要向左次，向右次，概率为，
小球掉入号格子，需要向左次，向右次，概率为，
小球掉入号格子，需要向左次，向右次，概率为，
依此类推，小球掉入号格子，需要向左次，向右次，
概率为，
设小球落入号格子的概率最大，显然，，
则解得，又为整数，所以，
所以小球落入号格子的概率最大．
故答案为：．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 名男生和名女生站成一排．
（1）甲不在中间也不在两端的站法有多少种？
（2）甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？
（3）男、女分别排在一起的站法有多少种？
（4）男、女相间的站法有多少种？
（5）甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？
【答案】（1）种
（2）种
（3）种
（4）种
（5）种
【解析】
【分析】（1）按有特殊位置元素的排列方法求解；
（2）按有特殊位置元素的排列方法求解；
（3）按捆绑法排列即可；
（4）按插空法排列即可；
（5）按部分均匀的排列方法求解即可.
【小问1详解】
先排甲有种，其余有种，
共有种排法.
【小问2详解】
先排甲、乙，再排其余人，
共有种排法.
【小问3详解】
把男生和女生分别看成一个元素，
男生和女生内部还有一个全排列，共种.
【小问4详解】
先排名男生有种方法，
再将名女生插在男生形成的个空上有种方法，
故共有种排法.
【小问5详解】
人共有种排法，
其中甲、乙、丙三人有种排法，
因而在种排法中每种对应一种符合条件的排法，
故共有种排法．
18. 已知二项式，若选条件_____填写序号，
（1）求展开式中含的项；
（2）设，求展开式中奇数项的系数和．
请在：①只有第项的二项式系数最大；②第项与第项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为，
这三个条件中任选一个，补充在上面问题中的线上，并完成解答．
【答案】（1）
（2）2080
【解析】
【分析】（1）选任意条件后求出，然后由二项展开式通项公式，进而求得含的项；
（2）用赋值法求得奇数项系数和.
【小问1详解】
选条件①，由只有第项的二项式系数最大可知，展开式共有项，所以，
选条件②，由第项与第项的二项式系数相等可知，，所以，
选条件③，由所有二项式系数的和为可知，可得，
所以二项式可化为，
因为，
令，则展开式中含的项为.
【小问2详解】
由（1）知二项式为，
令，，
令，，
两式相加得，
所以，
所以展开式中奇数项的系数和为2080.
19. 作为一种益智游戏，中国象棋具有悠久的历史，中国象棋的背后，体现的是博大精深的中华文化．为了推广中国象棋，某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，小明作为选手参加．除小明以外的其他参赛选手中，50%是一类棋手，25%是二类棋手，其余的是三类棋手．小明与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是0.3、0.4和0.5．
（1）从参赛选手中随机选取一位棋手与小明比赛，求小明获胜的概率；
（2）如果小明获胜，求与小明比赛的棋手为一类棋手的概率．
【答案】（1）0.375
（2）04
【解析】
【分析】(1)利用条件概率公式求解；
(2)利用条件概率公式求解即可.
【小问1详解】
设“小明与第i（，2，3）类棋手相遇”，
根据题意，，
记“小明获胜”，则有，，，
由全概率公式，
小明在比赛中获胜的概率为
，
所以小明获胜的概率为0.375．
【小问2详解】
小明获胜时，则与小明比赛的棋手为一类棋手的概率为
，
即小明获胜，对手为一类棋手的概率为0.4．
20. 某商场正在进行“消费抽奖”活动，道具是甲、乙两个箱子，里面装有形状大小材质数量均相同的小球若干，已知每个箱子里装有红球个，黄球个，蓝球若干个，若从一个箱子里任取两个小球，这两个小球均是蓝球的概率为.
（1）从甲箱里任取两个球，在已知一个小球是黄球的条件下，求另一个小球也是黄球的概率；
（2）若活动规定取到一个红球积分为分，取到一个黄球积分为分，取到一个蓝球积分为分，参加活动的人需要在甲、乙两个箱子中各随机抽取一个球，用表示一个人参加活动的总积分，求的分布列.
【答案】（1）
（2）分布列答案见解析
【解析】
【分析】（1）设甲、乙两个盒子里蓝球的个数均为，利用古典概型的概率公式可求得的值，记事件从甲箱里任取两个球，其中有一个小球是黄球，事件从甲箱里任取两个球，两球都是黄球，利用条件概率公式可求得所求事件的概率；
（2）分析可知随机变量的可能取值有、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列.
【小问1详解】
解：设甲、乙两个盒子里蓝球的个数均为，
由题意可得，整理可得，解得，
记事件从甲箱里任取两个球，其中有一个小球是黄球，事件从甲箱里任取两个球，两球都是黄球，
则，，所以，.
【小问2详解】
解：由题意可知，随机变量的可能取值有、、、、，
则，，
，，
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
21. 北京时间4月30日晩，2023年国际象棋世界冠军赛在哈萨克斯坦首都阿斯塔纳闭幕，来自温州的国际象棋男子特级大师丁立人最终击败涅波姆尼齐亚，加冕世界棋王.这是中国棋手首次夺得国际象棋男子世界冠军.某小学为了提高同学学习国际象棋的兴趣，举行了二年级国际象棋男子团体赛，各班级均可以报送一支5人队伍.比赛分多轮进行，每轮比赛每队都需选定4名选手，每轮比赛选手可不同.比赛没有平局，每轮比赛结束，得胜班级得1分，反之0分.晋级赛规则如下：第一轮随机为各队伍匹配对手；从第二轮比赛开始，积分相同的队伍之间再由抽签决定对手.具体比赛程序如下图.这样进行三轮对抗之后，得2分及以上的班级晋级，反之淘汰.晋级的队伍再进行相应的比赛.

（1）二（1）班选派了A，B，C，D，E五名选手，在第一轮比赛中，已知选手A参加了比赛，请列举出该班级所有可能的首发队员的样本空间；
（2）现共有8支参赛队伍，且实力相当，二（3）班在第一轮比赛输给了二（4）班，则两队在第三轮重新遇上的概率为多少?
（3）某班级在筹备队员时，班内已推选水平较为稳定的选手4名，很多同学纷纷自荐最后一个名额.现共有5名自荐选手，分别为五级棋士2名、六级棋士2名和七级棋士1名，五、六、七级棋士被选上的概率分别为0.8，0.6，0.5，最后一名选手会在这5名同学中产生.现任选一名自荐同学，计算该同学被选上的概率，并用表示选出的该同学的级别，求X的分布列.
【答案】（1）
（2）
（3）; 分布列见解析.
【解析】
【分析】（1）根据题意列举即可；
（2）两个班级进入第三轮的1分队伍的概率均为，在第三轮中两班级再重新遇上的概率为，从而得到答案；
（3）根据条件概率与贝叶斯公式求解.
【小问1详解】
选手A参加了比赛，该班级所有可能的首发队员的样本空间：
.
【小问2详解】
在第二轮比赛时，设1分队伍为，其中代表二（4）班，
0分队伍为，其中代表二（3）班，
在1分队伍中比赛后失败，其概率为，在0分队伍中比赛后胜利，其概率为，
在第三轮比赛中进入1分队伍不妨设有四支队伍，
抽签后所有可能对手情况有共3种，重新遇上的情况只有，故其概率为，
综上：两队在第三轮重新遇上的概率为.
【小问3详解】
设从5人中任选一人是五、六、七级棋士的事件是, 则, 且两两互斥,
，
设“任选一名自荐同学，计算该同学被选上”,
则.
可能的取值有：，

X的分布列为
22. 随着网络快速发展，电子商务成为新的经济增长点，市场竞争也日趋激烈，除了产品品质外，客服团队良好的服务品质也是电子商务的核心竞争力，衡量一位客服工作能力的重要指标——询单转化率，是指咨询该客服的顾客中成交人数占比，可以看作一位顾客咨询该客服后成交的概率，已知某网店共有10位客服，按询单率分为，两个等级（见下表）
视，等级客服的询单转化率分别为对应区间的中点值，完成下列两个问题的解答；
（1）现从这10位客服中任意抽取4位进行培训，设抽取的等级客服的人数为，求随机变量的分布列，并求这4人的询单转化率的中位数不低于的概率；
（2）已知该网店日均咨询顾客约为1万人，为保证服务质量，每位客服日接待顾客的数量不超过1300人.在网店的前期经营中，进店咨询的每位顾客由系统等可能地安排给任一位客服接待，为了提升店铺成交量，网店实施改革，经系统调整，进店咨询的每位顾客被任一位A等级客服接待的概率为a，被任一位B等级客服接待的概率为b，若希望改革后经咨询日均成交人数至少比改革前增加300人，则a应该控制在什么范围？
【答案】（1）分布列见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意的可能取值为、、、、，对应的询单转化率中位数分别为，进而利用超几何分布求出对应的概率，求出答案；
（2）根据二项分布的期望公式计算出改革前的日均成交人数为7200，然后表示出改革后的日均成交人数，结合每位客服日接待顾客的数量不超过1300人，列出不等式组，即可求出的取值范围.
【小问1详解】
依题意、等级客服的询单转化率分别为.
则的可能取值为、、、、，
由题意可得，服从超几何分布，所以的分布列为，.
即，，
，，
，
所以的分布列为：
当时，4人转化率为，中位数为；
当时，4人转化率为，中位数为；
当时，4人转化率为，中位数为；
当时，4人转化率为，中位数为；
当时，4人转化率为，中位数为.
所以当时，这4人的询单转化率的中位数不低于.
所以.
【小问2详解】X
－1
0
1
2
P
X
5
6
7
P



等级
B
询单转化率
人数
6
4