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天津市蓟州区第一中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题
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这是一份天津市蓟州区第一中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题，共6页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共9小题，每题5分，共45分）
1.抛物线的准线方程是（ ）
A. B. C. D.
2.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列满足，，则（ ）
A.12B.20C.28D.30
3.在等差数列中，若，则的值等于（ ）
A.8B.10C.13D.26
4.已知双曲线C：的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
5.已知双曲线方程为，过点作直线与该双曲线交于M，N两点，若点A恰好为中点，则直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
6.若等差数列的前项和为，，，则当取得最小值时，的值为（ ）
A.4B.6C.7D.8
7.已知双曲线的右焦点到抛物线的准线的距离为4，点是双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点，则双曲线的标准方程为（ ）
A. B.
C. D. 更多课件 教案 视频 等低价同类优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 8.已知，是椭圆：和双曲线：的公共焦点，且A，B两点为，在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
9.已知抛物线的焦点为，设，是抛物线上的两个动点，如满足，则的最大值（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（共6小题，每题5分，共30分）
10.在等差数列中，若，则___________.
11.已知等差数列中，，当且仅当时，前项和取得最大值，则公差d的取值范围是___________.
12.设等差数列，的前n项和分别是，，且，则___________.
13.设抛物线焦点为F，准线为，过焦点的直线分别交抛物线于A，B两点，分别过A，B作的垂线，垂足C，D.若，且三角形CDF的面积为，则p的值为___________.
14.已知双曲线C：的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线：的焦点与双曲线C的右焦点重合，则抛物线E上的动点M到直线：和：距离之和的最小值为___________.
15.椭圆：的左、右顶点分别为，，点P在C上且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是___________.
三、解答题（共6小题，共75分）
16.已知在非零数列中，，，数列的前项和.
（1）证明：数列为等差数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）若数列满足，求数列的前项和.
17.在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求点到的距离.
18..已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆上，，，过与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P，Q两点，N为线段的中点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点，且，求直线的方程.
19.（1）在数列中，，，且满足，求数列的通项公式；
（2）在数列中，，，求数列的通项公式；
（3）若数列是正项数列，且，求数列的通项公式；
20.已知椭圆：的离心率为，右焦点为，两焦点与短轴两端点围成的四边形面积为.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）直线与椭圆有唯一的公共点M（M在第一象限），此直线与y轴的正半轴交于点N，直线与直线交于点P且，求直线的斜率.
2023-2024学年蓟州一中第一学期第二次月考数学答案
一、DBCAA CDDB
二、10.10； 11. ； 12. ；13. ； 14. 3 ； 15.
三、16.（1）证明：在非零数列中，，，则，可得，又，∴，数列是以1为首项，以为公差的等差数列；
（2）解：∵数列的前项和，∴，
当时，.
适合上式，∴；
（3）解：由（1）可知，，
又由（2）知，，∴，
可知数列是等差数列，
则.
17.证明：（1）如图，取中点，连接，，
因为为中点，，，，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
因为F为中点，M为中点，则，
又平面，平面，所以平面，
因为，平面，所以平面平面，又平面，故平面；
解：（2）根据题意，分别以，，所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，由条件可得，，，，，，
则，，，
设平面的法问量为，则，解得，取，则，，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为；
（3）由（2）可知，，，
故点到的距离为.
18.解：（1）由，得，因为，，
由余弦定理得，得，
，∴，∴椭圆的方程为.
（2）因为直线的斜率存在，设直线方程为，，，联立，整理得，由韦达定理知，，
此时，又，则，∵，∴，得到或.
则或，的直线方程为或.
19.解：（1）∵，，
∴，，∴数列为等差数列，
，，
∴.
（2）∵，∴，又，
∴是以首项为，公差为的等差数列，
∴∴.
（3）∵，
∴，，两式相减可得：，，又时，也满足上式，
∴，，∴.
20.解：（Ⅰ）由题意可得，解得，
因此，椭圆的标准方程为：.
（Ⅱ）由题意可知，直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，且，联立，消去并整理，得
，
，可得，
一、选择题（共9小题，每题5分，共45分）
1.抛物线的准线方程是（ ）
A. B. C. D.
2.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列满足，，则（ ）
A.12B.20C.28D.30
3.在等差数列中，若，则的值等于（ ）
A.8B.10C.13D.26
4.已知双曲线C：的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
5.已知双曲线方程为，过点作直线与该双曲线交于M，N两点，若点A恰好为中点，则直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
6.若等差数列的前项和为，，，则当取得最小值时，的值为（ ）
A.4B.6C.7D.8
7.已知双曲线的右焦点到抛物线的准线的距离为4，点是双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点，则双曲线的标准方程为（ ）
A. B.
C. D. 更多课件 教案 视频 等低价同类优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 8.已知，是椭圆：和双曲线：的公共焦点，且A，B两点为，在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
9.已知抛物线的焦点为，设，是抛物线上的两个动点，如满足，则的最大值（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（共6小题，每题5分，共30分）
10.在等差数列中，若，则___________.
11.已知等差数列中，，当且仅当时，前项和取得最大值，则公差d的取值范围是___________.
12.设等差数列，的前n项和分别是，，且，则___________.
13.设抛物线焦点为F，准线为，过焦点的直线分别交抛物线于A，B两点，分别过A，B作的垂线，垂足C，D.若，且三角形CDF的面积为，则p的值为___________.
14.已知双曲线C：的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线：的焦点与双曲线C的右焦点重合，则抛物线E上的动点M到直线：和：距离之和的最小值为___________.
15.椭圆：的左、右顶点分别为，，点P在C上且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是___________.
三、解答题（共6小题，共75分）
16.已知在非零数列中，，，数列的前项和.
（1）证明：数列为等差数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）若数列满足，求数列的前项和.
17.在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求点到的距离.
18..已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆上，，，过与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P，Q两点，N为线段的中点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点，且，求直线的方程.
19.（1）在数列中，，，且满足，求数列的通项公式；
（2）在数列中，，，求数列的通项公式；
（3）若数列是正项数列，且，求数列的通项公式；
20.已知椭圆：的离心率为，右焦点为，两焦点与短轴两端点围成的四边形面积为.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）直线与椭圆有唯一的公共点M（M在第一象限），此直线与y轴的正半轴交于点N，直线与直线交于点P且，求直线的斜率.
2023-2024学年蓟州一中第一学期第二次月考数学答案
一、DBCAA CDDB
二、10.10； 11. ； 12. ；13. ； 14. 3 ； 15.
三、16.（1）证明：在非零数列中，，，则，可得，又，∴，数列是以1为首项，以为公差的等差数列；
（2）解：∵数列的前项和，∴，
当时，.
适合上式，∴；
（3）解：由（1）可知，，
又由（2）知，，∴，
可知数列是等差数列，
则.
17.证明：（1）如图，取中点，连接，，
因为为中点，，，，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
因为F为中点，M为中点，则，
又平面，平面，所以平面，
因为，平面，所以平面平面，又平面，故平面；
解：（2）根据题意，分别以，，所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，由条件可得，，，，，，
则，，，
设平面的法问量为，则，解得，取，则，，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为；
（3）由（2）可知，，，
故点到的距离为.
18.解：（1）由，得，因为，，
由余弦定理得，得，
，∴，∴椭圆的方程为.
（2）因为直线的斜率存在，设直线方程为，，，联立，整理得，由韦达定理知，，
此时，又，则，∵，∴，得到或.
则或，的直线方程为或.
19.解：（1）∵，，
∴，，∴数列为等差数列，
，，
∴.
（2）∵，∴，又，
∴是以首项为，公差为的等差数列，
∴∴.
（3）∵，
∴，，两式相减可得：，，又时，也满足上式，
∴，，∴.
20.解：（Ⅰ）由题意可得，解得，
因此，椭圆的标准方程为：.
（Ⅱ）由题意可知，直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，且，联立，消去并整理，得
，
，可得，
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