39，2020-2021学年下学期广东省河源市河源中学高二开学考试数学试卷（2月份）

这是一份39，2020-2021学年下学期广东省河源市河源中学高二开学考试数学试卷（2月份），共20页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 为了了解运动员对志愿者服务质量的意见，打算从1200名运动员中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段间隔为
A. 40B. 20C. 30D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】根据系统抽样的定义和方法，结合题意可分段的间隔等于个体总数除以样本容量，即可求解.
【详解】根据系统抽样的定义和方法，结合题意可分段的间隔，故选C.
【点睛】本题主要考查了系统抽样的定义和方法，其中解答中熟记系统抽样的定义和方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
2. 我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛(河南初赛)，他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数满足 成等差数列且成等比数列，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】由中位数和平均数的定义可得的值，再由等差数列和等比数列中项的性质求得，利用基本不等式求出的最小值．
【详解】甲班学生成绩的中位数是80+x＝81，得x＝1；
由茎叶图可知乙班学生的总分为76+80×3+90×3+（0+2+y+1+3+6）＝598+y，
乙班学生的平均分是86，且总分为86×7＝602，所以598+y＝602，解得 y＝4，更多课件 教案 视频 等低价同类优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 若正实数满足 成等差数列且成等比数列，
则，所以或（舍去），即有a+b＝4，a＞0，b＞0，
则，
当且仅当，即时，最小值为．
故选：C．
【点睛】本题考查了等差中项、等比中项的应用，考查了茎叶图，考查了平均数、中位数的求解，考查了基本不等式.
3. 椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍，则的值为（ ）
A. B.
C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】将椭圆方程化为标准形式，再由条件列方程求的值.
【详解】椭圆化为标准方程为，故，
因为焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍，
所以，
故选：B.
4. 若，满足则的最大值为
A. 0B. 1C. D. 2
【答案】D
【解析】
【详解】如图，先画出可行域，由于，则，令，作直线，在可行域中作平行线，得最优解，此时直线的截距最大，取得最小值2，故选D.
考点：本题考点为线性规划的基本方法
5. “勾股圆方图”是我国古代数学家赵爽设计的一幅用来证明勾股定理的图案，如图所示.在“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形.若直角三角形中较小的锐角满足，则从图中随机取一点，则此点落在阴影部分的概率是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设大正方形的边长为5，由已知条件求出小正方形和大正方形的面积，利用几何概型公式即可得到答案.
【详解】设大正方形边长为,由知直角三角形中较小的直角边长为，较长的直角边长为，所以小正方形的边长为且面积,大正方形的面积为25，则此点落在阴影部分的概率是.
故选D.
【点睛】处理这类与平面区域面积有关的几何概型问题,关键是准确地把握题意,数形结合,画出所有试验结果构成的平面区域Ω和事件A所构成的平面区域,求出两个图形的面积再求概率即可.
6. 已知曲线上一点，则点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据曲线在某点处的导数的几何意义，可得切线的斜率，然后根据点斜式，可得结果.
【详解】由曲线，则
所以
所以切线方程为：
即：
故选：C
【点睛】本题主要考查曲线在某点处切线方程的求法，属基础题.
7. 设命题：函数在上为单调递增函数；命题：函数为奇函数，则下列命题中真命题是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据指数型函数以及余弦型函数的性质，可得命题、命题真假，然后根据真值表，可得结果.
【详解】由函数在上为单调递增函数
所以函数在上为单调递增函数
故命题为真命题，
由的定义域为
且
故可知函数为偶函数
所以命题为假命题.
所以为真命题.
故选：D
【点睛】本题考查函数的单调性，奇偶性的判断以及真值表的应用，属基础题.
8. 正四棱锥侧棱长为，底面的边长为，E是的中点，则异面直线与所成的角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立适当的空间直角坐标系，将异面直线的夹角转换为直线的方向向量的夹角来做即可.
【详解】连接，交于点O，连接，
以为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
正四棱锥的侧棱长为，底面的边长为，E是的中点，
，，
，，
设异面直线与所成的角为，
则，，异面直线与所成的角为．
故选：C.
9. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析即可得解.
【详解】当时，，故，
当时，，则由不能推出，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
10. 某几何体的三视图如下图所示，它的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三视图可得该几何体为上半部分为一个半球，下半部分为一个圆锥组成的组合体，利用体积公式求解即可.
【详解】由三视图可知：该几何体为上半部分为一个半径长度为6的半球，
下半部分为一个底面半径为6，高为8的圆锥组成的组合体．
其体积为．
故选：B.
11. 设P是椭圆上一点，M、N分别是两圆：和上的点，则的最小值和最大值分别为（ ）
A. 9，12B. 8，11C. 8，12D. 10，12
【答案】C
【解析】
【分析】
先依题意判断椭圆焦点与圆心重合，再利用椭圆定义以及圆的性质得到最大值和最小值即可.
【详解】如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为，恰好是椭圆的两个焦点，由椭圆定义知，
连接PA，PB分别与圆相交于M，N两点，此时最小，最小值为；
连接PA，PB并延长，分别与圆相交于M，N两点，此时最大，最大值为．
故选：C．
【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了圆外的点到圆上的点的距离最值问题，属于中档题.
12. 已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且恒成立，其中是自然对数的底，则一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造新函数，通过导数研究该函数的单调性，利用单调性比较大小，可得结果.
【详解】令，则，
由，所以，
故函数为上的单调递增，所以，
故，即，故B正确，C错误；
对于AD无法判断其正误，
例如，则，满足题意，
此时，即
故AD不一定成立.
故选：B
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 函数的极小值点为______．
【答案】2
【解析】
【分析】利用导数判断单调性，进而判断极小值点.
【详解】函数的定义域为R，
令得， ，
当时，，此时函数为单调递增；
当时，，此时函数为单调递减；
当时，，此时函数为单调递增。
综上所述，在处取得极小值，即的极小值点为2．
故答案为：2.
14. 在集合A＝{2,3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1,2,3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为________．
【答案】
【解析】
【详解】由题意得点P(m,n)有:(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共6个,在圆x2+y2=9内部的点有(2,1),(2,2),即所求概率为=.
15. 已知椭圆的一个焦点为，经过点且斜率为1的直线与该椭圆交于，两点，则线段的长为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据椭圆焦点可得，然后联立直线与椭圆方程，利用弦长公式，可得结果.
【详解】设
由椭圆的一个焦点为，
所以，则可知
椭圆方程为，又直线的
方程为：
由
故答案为：
【点睛】本题主要考查椭圆中弦长公式的应用，属基础题.
16. 已知点是抛物线的对称轴与其准线的交点，点为该抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，当取最小值时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
采用数形结合，找到当取最小值时，得到直线与抛物线相切，进一步可得点坐标，然后根据双曲线的定义，可得结果.
【详解】如图所示：
作垂直准线交于点，则
所以
故当直线与抛物线相切时，最小.
设直线方程：
则
所以，即，不妨令
则可得，所以
则
所以
故答案为：
【点睛】本题主要考查抛物线与双曲线的几何性质，难点在于得到直线与抛物线相切，属难题.
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的政治成绩（均为整数）分成六段：，，…， 后得到如下频率分布直方图．
（Ⅰ）求分数在内的频率；
（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计该校高二年级学生期中考试政治成绩的平均分；
（Ⅲ）用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2人，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率．
【答案】（Ⅰ）0．3（Ⅱ）71（Ⅲ）
【解析】
【分析】（Ⅰ）由题意得分数在[70，80）内的频率等于1减去得分在[40，70]与[80，100]内的概率；（Ⅱ）平均数为每个小长方形的面积乘以每个小长方形底边中点横坐标的和；（Ⅲ）由题意，根据直方图计算出[80，90）分数段的人数为15人；[90，100]分数段的人数为3人；由分层抽样得在[80，90）与[90，100]分数段抽取人数分别为5人，1人．因为从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90（分），则另一人的分数一定是在[80，90）分数段，所以只需在分数段[80，90）抽取的5人中确定1人．再利用古典概型计算出事件发生的概率即可
【详解】（Ⅰ）分数在[70，80）内的频率为：
（Ⅱ）平均分为：
（Ⅲ）由题意，[80，90）分数段的人数为：人
[90，100]分数段的人数为：人；
∵用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，
∴[80，90）分数段抽取5人，分别记为A，B，C，D，E；[90，100]分数段抽取1人，
记为M．因为从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分，则另一人的
分数一定是在[80，90）分数段，所以只需在分数段[80，90）抽取的5人中确定1人．
设“从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分为”事件，
则基本事件空间包含的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），
（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E），（A，M），（B，M），（C，M），（D，M），（E，M）共15种．
事件包含的基本事件有（A，M），（B，M），（C，M），（D，M），（E，M）5种．
∴恰有1人的分数不低于90分的概率为
18. 已知直线l：，一个圆的圆心C在x轴正半轴上，且该圆与直线l和y轴均相切．
（1）求该圆的方程；
（2）若直线：与圆C交于A，B两点，且，求m的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设出圆心，，根据半径r的几何关系进行判断，从而求出半径r，即可得到圆的方程；
（2）由圆的方程找出圆心坐标和半径r，再利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，由圆的性质得到弦的一半，弦心距及圆的半径构成直角三角形，由求出的d，圆的半径r，以及的一半，利用勾股定理列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．
【小问1详解】
设圆心，，半径为r，
该圆与直线l和y轴均相切，，
化简得，即，
解得（舍去）或，，，
圆的方程为.
【小问2详解】
由得圆心坐标，半径，
所以圆心到直的距离，
由得，
化简，即，
解得．
19. 现有一环保型企业，为了节约成本拟进行生产改造，现将某种产品产量x与单位成本y统计数据如表：
（1）试确定回归方程；
（2）指出产量每增加1000件时，单位成本平均下降多少？
（3）假定单位成本为70元件时，产量应为多少件？
参考公式：
参考数据
【答案】（1）
（2）1.818元 （3）4050件
【解析】
【分析】（1）根据所给数据画出散点图，根据公式算出相应的即可得解.
（2）直接代入预测模型预测即可.
（3）直接代入预测模型解方程即可.
【小问1详解】
设x表示每月产量单位：千件，y表示单位成本单位：元件，作散点图如图．
由图知y与x间呈线性相关关系．
设线性回归方程为，其中，，
由公式可求得，，
回归方程.
【小问2详解】
由回归方程知，每增加1000件产量，单位成本下降1.818元．
【小问3详解】
当时，，得千件．
单位成本是70元件时，产量约为4050件．
20. 如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点是棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在,或.
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，即可证得平面.
（2）以为原点，分别以，和的方向为，和轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解；
（3）假设存在点，设，根据，得到的坐标，结合平面的法向量为列出方程，即可求解.
【详解】（1）由题意，因为，，，∴，
又∴，∴，
∵侧面，∴.
又∵，，平面
∴直线平面.
（2）以为原点，分别以，和的方向为，和轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则有，，，，
设平面的一个法向量为
，
∵，∴，令，则，∴
设平面的一个法向量为，，，
∵，∴，令，则，∴，
，，，∴.
设二面角为，则.
∴设二面角的余弦值为.
（3）假设存在点，设，∵，，
∴，∴∴
设平面的一个法向量为，
∴，得.
即，∴或，∴或.
【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
21. 已知抛物线的焦点为，直线与相交于两点．
（1）记直线的斜率分别为，求证：；
（2）若抛物线上异于的一点到的准线的距离为，且，问：直线是否恒过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）先设出点，联立抛物线和直线方程得方程组，化简消元得，由韦达定理可得，之后将分别用和来表示，代入整理证得结果；
（2）利用题的条件，结合抛物线的定义，求得，从而求得抛物线的方程，结合第一问的结果，可得 通过直角得垂直，由向量数量积等于零来体现，最后求得或进而求得直线过的定点.
【详解】（1）：设，
由，消可得
可得
，
即
（2）抛物线上异于的一点到的准线的距离为，
，

设
由（1）可得
，

即
即
或
当时，，
即，此时过点，与点重合，不合题意，
当时
即，此时过点
综上所述直线过定点
【点睛】本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
22. 已知函数,其中
为自然对数的底数.
(1)当时，讨论函数的单调性;
(2)当时，求证:对任意.
【答案】(1)在上单调递减.
(2)证明见及解析
【解析】
【详解】分析：(1)将代入 ，对函数求导即可判定函数的单调性．
(2)将不等式转化为关于的一次函数，讨论在时一次函数对任意的两个端点都小于0，即可证明．
详解：
(1)
;
∴在上单调递减
(2)要证对恒成立
即证;对恒成立
令,
即证当时，恒成立
即证;成立
∵
∴①式成立
现证明②式成立:月份
1
2
3
4
5
6
产量千件
2
3
4
3
4
5
单位成本元件
73
72
71
73
69
68