42，四川省德阳市德阳中学校2023-2024学年高一上学期第二次月考数学试题

这是一份42，四川省德阳市德阳中学校2023-2024学年高一上学期第二次月考数学试题，共17页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试时间：2023年11月14日
第I卷（选择题 共36分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解出集合，根据并集的运算法则求得结果.
详解】由，
得，得
即，
则
故选：A.
2. 函数的零点所在的大致区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用零点存在定理，计算求解即可
【详解】根据条件，，，，可得，
，所以，函数的零点所在的大致区间是
故选：B
【点睛】本题考查零点存在定理的应用，属于基础题更多课件 教案 视频 等低价同类优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 3. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数对数函数单调性计算，，，得到答案.
【详解】，，，故.
故选：A
4. 下列函数既是偶函数又在上为增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合偶函数定义与函数的单调性判断即可得.
【详解】A中定义域为，故错误；
B中定义域为，令，
则，为奇函数，故错误；
C中定义域为，故错误；
D中定义域为，令，
则，为偶函数，
且在上为增函数，故正确.
故选：D.
5. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（ ）
A. y=xB. y=lnxC. y=D. y=
【答案】D
【解析】
【分析】分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案．
【详解】解：函数的定义域和值域均为，
函数的定义域为，值域为，不满足要求；
函数的定义域为，值域为，不满足要求；
函数的定义域为，值域为，不满足要求；
函数的定义域和值域均为，满足要求；
故选：．
【点睛】本题考查的知识点是函数的定义域和值域，熟练掌握各种基本初等函数的定义域和值域，是解答的关键．
6. 已知的值城为，且在上是增函数，则的范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数函数定义域及复合函数单调性，可将问题转化在上恒成立，且在上是减函数，计算即可得.
【详解】设，
由为定义在上的减函数，
故在上恒成立，
且在上是减函数，
则，
，
故.
故选：A.
7. 为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（ ）
A. 关于y轴对称，再向左平移3个单位长度
B. 关于y轴对称，再向右平移3个单位长度
C. 向左平移3个单位长度，再关于x轴对称
D. 向右平移3个单位长度，再关于x轴对称
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数的运算性质可得，结合函数图象的对称性和平移变换即可求解.
【详解】A：函数，关于y轴对称得，
再向左平移3个单位长度得，故A错误；
B：函数，关于y轴对称得，
再向右平移3个单位长度得，故B正确；
C：函数，向左平移3个单位长度得到
，再关于x轴对称得，故C错误；
D：函数，向右平移3个单位长度得到
，再关于x轴对称得，故D错误；
故选：B.
8. 已知是定义在上的单调函数，满足，且，若，则与的关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意，设，可得，代入，解得，从而得函数，所以可得，可得，得，然后求解的值，即可得.
【详解】解：∵是定义在上的单调函数，满足，
∴是一个常数，设，则，
由，得.
令，得，解得，
∵，∴，∴，
∵，∴，
解得或（舍去），∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了函数的解析式求解和单调性的应用，以及对数运算性质的应用，计算的过程中注意：
（1）根据题意，设，求得的值，确定出函数的解析式；
（2）根据的单调性判断出的大小关系，推导出；
（3）利用对数的运算性质和换底公式，列式求解出.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9. 下列结论中不正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据等式性质得到A正确，取特殊值得到BCD错误，得到答案.
【详解】对选项A：，不等式两边除以，则，正确；
对选项B：取，，满足，，错误；
对选项C：取，满足，，，错误；
对选项D：取，满足，，错误.
故选：BCD
10. 在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，并是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔()，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题中“不动点”函数所给定义，只需判断是否有解即可
【详解】对于A：由题意，所以，此方程无解，所以A中函数不是“不动点”函数；
对于B：由题意，即，记，因为，，，，由零点存在性定理知，函数在区间和区间上有零点，即方程有解，故B中函数是“不动点”函数；
对于C：由题意，解得：，所以C中函数是“不动点”函数；
对于D：，在同一直角坐标系下画出函数以及的图像，可确定两个函数的图像有交点，即方程有解，所以D中函数是“不动点”函数；
故选：BCD.
11. 给出下列说法，正确的有（ ）
A. 函数单调递增区间是
B. 已知的定义域为，则的取值范围是
C. 若函数在定义域上为奇函数，则
D. 若函数在定义域上为奇函数，且为增函数
【答案】BCD
【解析】
【分析】计算对数函数的定义域可得A；借助对数函数的定义域可将问题转化为，可得，计算即可得B；运用奇函数的定义计算即可得C；运用奇函数的定义及复合函数单调性判断即可求解D.
【详解】A选项，由，得，故A错误；
B选项，定义域为，则恒成立，
则，∴，故B正确；
C选项，定义域为，且为奇函数，
∴，∴，
当时，，满足题意，故C正确；
D选项，∵，
∴的定义域为，
且，
∴为奇函数，
又时，，均为增函数，
∴也是增函数，而为增函数，
∴为增函数，故D正确.
故选：BCD.
12. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则一定成立的有（ ）
A. 函数的图象关于直线对称
B. 函数的图象关于原点对称
C.
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性，运用赋值法可得出该函数的对称性与周期性，结合对应性质，运用赋值法可求出特定点的值.
【详解】由定义域为，且为偶函数，
∴①，
∴关于直线对称，故A正确；
又为奇函数，∴，
即，
用替换上式中，得②，
∴关于点对称，
又关于直线对称，
故关于轴对称，即为偶函数，无法确定的图象是否关于原点对称，
故B错误；
由①②得③，
∴④，
∴，∴，所以函数周期为4，
在②式中，令得，解得，
①式中令得，
②式中令得，
∴，故C正确，
无法判断结果，故D错误.
故选：AC.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 已知函数，则__________.
【答案】7
【解析】
【分析】根据分段函数求出，代入根据对数的运算性质即可得出答案.
【详解】由已知可得，，所以.
故答案为：7.
14. 函数的定义域为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数解析式列出相应不等式组，即可求得答案.
【详解】由题意可得函数需满足 ，
解得 ，
故函数的定义域为，
故答案为：.
15. 若，则的最小值是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据对数的运算找出之间的关系，再利用基本不等式求出最值.
【详解】
即：则，于是
当且仅当时等号成立.
故答案为：.
【点睛】灵活使用对数的运算法则，以及掌握基本的基本不等式题型.
16. 已知，函数的零点分别为，函数的零点分别为，则的最小值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据零点的定义分别求解出，代入中可得到，根据的范围得到的最小值，从而得到结果.
【详解】由得：，则，
，
则，
由得：，则，
，
则，
由得：
本题正确结果：
【点睛】本题考查函数零点的具体应用，关键是通过零点的定义求得零点的坐标，从而可将所求式子化简为关于变量的函数，根据对数型函数最值得求解方法求得结果.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 求下列各式的值.
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据指数幂的运算性质计算即可；
（2）根据对数的运算性质计算即可.
【小问1详解】
原式；
【小问2详解】
原式.
18. 已知集合，，全集
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）代入得到，根据补集的运算求出.然后解可求出，进而根据交集的运算，即可得出结果；
（2）显然成立.时，解即可得出实数取值范围.
【小问1详解】
当时，，所以或.
由以及指数函数的单调性，可解得，所以.
所以.
【小问2详解】
当时，有时，即，此时满足；
当时，由得，，解得，
综上，实数的取值范围为.
19. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，t分钟后物体的温度可由公式：（k为常数，e为自然对数的底数）得到，现有的物体，放在的空气中冷却，1分钟以后物体的温度是.
（1）求常数k的值：
（2）该物体冷却多少分钟后物体温度是.（精确到1）（参考数据：，，）
【答案】（1）；
（2）4
【解析】
【分析】（1）由题意列出方程，结合指数式和对数式的互化解之即可；
（2）由（1）知，结合对数的运算性质计算即可求解.
【小问1详解】
由题意可知，
∴可列：，
解得：，∴，
∴；
【小问2详解】
由已知可知：，即，
∴，
∴，
∴物体冷却4分钟后物体温度是.
20. 已知指数函数（，且）的图象过点.
（1）求的解析式：
（2）若函数，且在区间上有零点，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据指数函数的概念直接求出参数即可；
（2）由（1）可得，令，利用换元法可知在上有解，分类参数可得，结合基本不等式即可求解.
【小问1详解】
由题意，的图象过点，
∴，解得，
故函数的解析式为；
【小问2详解】
∵，
∴，
令，由于，则，
∴，，
函数在上有零点，等价于方程在上有解，
∴，，当且仅当即时等号成立，
∴，即，
故实数m的取值范围为.
21. 已知函数（且）的定义域为或，.
（1）求实数m的值：
（2）判断在区间上的单调性，并用定义法证明；
（3）若函数在区间上的值域为，求的值.
【答案】（1）；
（2）证明见解析 （3）或.
【解析】
【分析】（1）根据对数函数定义域要求，结合一元二次不等式即可求解，
（2）根据对数的运算，结合单调性的定义即可求解,
（3）根据函数的单调性，即可求解值域作答.
【小问1详解】
由已知，即：的解集为或，
∴.
【小问2详解】
当时，在区间上为增函数；当时，在区间上为减函数；
证明：任取，，且，∵
∴
，
∵，∴，∴，
∴当时，，即，∴在区间上为增函数，
当时，，即，∴在区间上为减函数.
【小问3详解】
，由（2）可知
①若，在上单调递增
∴，又，
∴，
∴，或（舍去）
∴；
②若，上单调递减
∴
∴，，
∴，∴.
综上所示，或.
22. 已知函数.
（1）若为偶函数，求实数m的值；
（2）当时，若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当时，关于x的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数m的取值范围.
【答案】（1）-1； （2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据偶函数解得：m=-1，再用定义法进行证明；
（2）记，判断出在上单增，列不等式组求出实数a的取值范围；
（3）先判断出在R上单增且，令，把问题转化为在上有两根，令，，利用图像有两个交点，列不等式求出实数m的取值范围.
【小问1详解】
定义域为R.
因为为偶函数，所以，即，解得：m=-1.
此时，
所以
所以为偶函数，
所以m= -1.
【小问2详解】
当时，不等式可化为：，
即对任意恒成立.
记，只需.
因为在上单增，在上单增，
所以在上单增，
所以，
所以，解得：，
即实数a的取值范围为.
【小问3详解】
当时，在R上单增，在R上单增，所以在R上单增且.
则可化为.
又因为在R上单增，所以，换底得：
，即.
令，则，问题转化为在上有两根，
即，
令，，分别作出图像如图所示：