45，广东省广州市从化中学2020届高三上学期第二次月考数学（理）试题

这是一份45，广东省广州市从化中学2020届高三上学期第二次月考数学（理）试题，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设集合， ， ，则
A. {2}B. {2，3}C. {-1，2，3}D. {1，2，3，4}
【答案】D
【解析】
【分析】先求，再求．
【详解】因为，
所以
故选D．
【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．
2. 复平面内，复数(为虚数单位)，则复数对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的除法运算求出复数及即可判断得解.
【详解】依题意，，
所以在复平面内对应的点位于第三象限.
故选：C
3. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. 1C. 2D.
【答案】B
【解析】更多课件 教案 视频 等低价同类优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 【分析】求出的坐标，然后利用计算即可.
【详解】因为，，所以，
又，所以，即，
解得．
故选：B．
4. 在中，D为BC中点，O为AD中点，过O作一直线分别交AB、AC于M、N两点，若（），则
A. 3B. 2C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的线性运算，得，利用共线向量的条件得出，化简即可得到的值，即可求解.
【详解】在中，为的中点，为的中点，
若，
所以，
，
因为，所以，
即，整理得，故选C.
【点睛】本题主要考查了向量的线性运算性质，以及向量的共线定理和三角形的重心的性质的应用，其中解答中熟记向量的线性运算，以及向量的共线定理的应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
5. 设A，B，C是半径为1的圆上三点，若，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】此题考查正弦定理、余弦定理、向量的数量积、两角和与差正余弦公式的灵活应用、三角函数求最值问题的综合知识；
设圆的圆心是，在等腰中，，由余弦定理可求出，根据正弦定理得：
所以，当时，的最大值为，选B
6. 函数y＝的图象大致为（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数解析式，判断函数奇偶性；再结合函数零点个数以及特值法即可判断.
【详解】y＝＝＝，
由此容易判断函数为奇函数，可以排除A；
又函数有无数个零点，可排除C；
当x取一个较小的正数时，y>0，由此可排除B，
故选：D.
【点睛】本题考查函数图象得识别，涉及函数奇偶性的判断，以及特殊值法，属基础题.
7. 执行如图所示的算法流程图，则输出的结果的值为
A. -1B. 0C. 1D. 1009
【答案】B
【解析】
【详解】分析：根据框图可得其实现了三角函数求和功能，输出的是求和的结果S．
解析：由框图可知其所实现了求和，所以，选B.
点睛:本题考查的理解程序框图的循环结构，求输出结果，特别要注意初始值与终止值，较易．
8. 已知函数的定义域为，且函数的图象关于直线对称，当时，（其中是的导函数），若,,，则的大小关系是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出,可得的值，能确定的解析式，分类讨论可确定的符号，可得在上递增，再利用指数函数、对数函数的单调性比较的大小关系，结合函数的奇偶性与单调性可得结果.
【详解】，，
，，
当时，；
当时，，
即在上递增，
的图象关于对称，
向右平移2个单位得到的图象关于轴对称，
即为偶函数，，
，
，
即，
，
即.
故选D.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题. 在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．
.
9. 如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，，此时气球的高是
，则河流的宽度BC等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】，，，
所以
.
故选C.
10. 已知函数的图象过点，且在上单调，把的图象向右平移个单位之后与原来的图象重合，当且时，，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
代入点求出，根据平移关系和在上单调，确定，从而得到；找到区间内的对称轴，由对称性可得的值，进而代入求得结果.
【详解】过点 ，即
又
又的图象向右平移个单位后与原图象重合

在上单调
令，，解得，
当时，为的一条对称轴
又
当，且时，
本题正确选项：
【点睛】本题考查三角函数值的求解，关键是能够通过三角函数的图象平移、周期、特殊点等求解出函数解析式，再利用三角函数的对称性将问题转化为特定角的三角函数值求解.
11. 已知同时满足下列三个条件：①；②是奇函数；③.若在上没有最小值，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由，求得，由是奇函数，求得，再利用求得，然后再在上没有最小值，利用函数图像求得结果即可.
【详解】由，可得
因为是奇函数
所以是奇函数，即
又因为，即
所以是奇数，取k=1，此时
所以函数
因为在上没有最小值，此时
所以此时
解得.
故选D.
【点睛】本题考查了三角函数的综合问题，利用条件求得函数的解析式是解题的关键，属于较难题.
12. 已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立．
【详解】∵，即，
（1）当时，，
当时，，
故当时，在上恒成立；
若在上恒成立，即在上恒成立，
令，则，
当函数单增，当函数单减，
故，所以．当时，在上恒成立；
综上可知，的取值范围是，
故选C．
【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填写在答题卡上）
13. 若，．则___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用三角函数的和差公式求得，进而利用基本关系式与倍角公式求得，从而得解.
【详解】因为，所以，
又，所以，
所以
，
，
所以，
，，
则.
故答案为：.
14. 已知正三角形的边长为，设，．则与的夹角=______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意利用向量的数量积从而求解.
【详解】由题意知，，且，则,
则，，
所以，
设与的夹角为，则，
因为，所以与的夹角为.
故答案为：.
15. 若非零向量，的夹角为锐角θ，且，则称被“同余”．已知被“同余”，且则在上的投影=_________
【答案】##
【解析】
【分析】根据被“同余”，计算，可求－在上的投影.
【详解】被“同余”，则
所以，
－在上的投影为.
故答案为：
16. 设函数有且仅有一个零点，则实数=_________
【答案】
【解析】
【分析】常数分离得有唯一的解，求出的单调性与极值，由有且仅有一个零点可得.
【详解】当时，恒成立，在上无零点．
当时，即有在上有且仅有一个解．
则，
当时，，当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
当时，取得极大值，
又，∴若方程在上有且仅有一个解，则
故答案为：
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知曲线C：(α为参数)和定点A(0,)，F1，F2是此曲线的左、右焦点，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求直线AF2极坐标方程；
(2)经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交曲线C于M，N两点，求||MF1|－|NF1||的值．
【答案】（1）ρcsθ＋ρsinθ＝;（2）.
【解析】
【分析】
（1）先将曲线C参数方程化为普通方程，求出F2点坐标，进而求出直线AF2的直角坐标方程，再化为极坐标方程；
（2）根据条件求出具有几何意义的直线l参数方程，代入曲线C的普通方程，运用韦达定理和直线参数的几何意义，即可求解.
【详解】(1)曲线C：可化为，
故曲线C为椭圆，则焦点F1(－1，0)，F2(1，0)．
所以经过点A(0，)和F2(1，0)的直线AF2的方程为
x＋＝1，即x＋y-＝0，
所以直线AF2的极坐标方程为ρcsθ＋ρsinθ＝.
(2)由(1)知，直线AF2的斜率为-，因为l⊥AF2，
所以直线l的斜率为，即倾斜角为30°，
所以直线l的参数方程为(t为参数)，
代入椭圆C的方程中，得13t2－t－36＝0.
因为点M，N在点F1的两侧，
所以||MF1|－|NF1||＝|t1＋t2|＝.
【点睛】本题考查普通方程化参数方程、直角坐标方程化极坐标方程，考查直线参数方程几何意义的运用，属于中档题.
18. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn.若a1=b1=3，a4=b2，S4-T2=12.
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）求数列{an+bn}的前n项和.
【答案】（1）an=2n+1，bn=3n；（2）.
【解析】
【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，根据a1=b1=3，a4=b2，S4-T2=12，求出，得到数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）根据等差和等比数列的前n项和公式用分组求和法求和.
【详解】（1）由a1=b1，a4=b2，则S4-T2=(a1+a2+a3+a4)-(b1+b2)=a2+a3=12，
设等差数列{an}的公差为d，则a2+a3=2a1+3d=6+3d=12，所以d=2.
所以an=3+2(n-1)=2n+1，
设等比数列{bn}的公比为q，由题意知b2=a4=9，即b2=b1q=3q=9，
所以q=3，所以bn=3n.
（2）an+bn=(2n+1)+3n，
所以{an+bn}的前n项和为(a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bn)=(3+5+…+2n+1)+(3+32+…+3n)
= .
【点睛】本题考查了等差和等比数列基本量的计算，前项和公式，分组求和法，属于中档题.
19. 已知，，函数.
（1）求函数图象的对称轴方程；
（2）若方程在上的解为，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知利用平面向量数量积的运算、三角恒等变换的应用化简看得到函数的解析式，利用正弦函数的对称性即可得到答案；
（2）找到的关系，利用诱导公式得到答案.
【小问1详解】
由题意可得：
，
令，解得，
所以函数y＝f(x)图象的对称轴方程为．
【小问2详解】
由（1）及已知条件可知与关于对称，
则，即，且，
所以.
20. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝1，PA＝AB＝，点E是棱PB的中点．
（1）求异面直线EC与PD所成角的余弦值；
（2）求二面角B－EC－D的余弦值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】(1)由底面，且底面为矩形，可得，，两两垂直，以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，分别求出的坐标，由数量积求夹角公式可得异面直线与所成角的余弦值；
(2)分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．
【小问1详解】
底面，且底面为矩形，，，两两垂直，
以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
又，，
,0,，,0,，,1,，,1,，,0,，
为棱的中点，,．
,1,，,1,，
，
异面直线与所成角的余弦值为；
【小问2详解】
由(1)得,1,，，，
设平面的法向量为，
由，令，则，
设平面的法向量为，
由，令，则，
，
由图可知二面角为钝角，
二面角的余弦值为．
21. 广州市从化区政府拟在云岭湖建一个旅游观光项目，设计方案如下：如图所示的圆O是圆形湖的边界，沿线段AB，BC，CD，DA建一个观景长廊，其中A，B，C，D是观景长廊的四个出入口且都在圆O上，已知：BC=12百米，AB=8百米，在湖中P处和湖边D处各建一个观景亭，且它们关于直线AC对称，在湖面建一条观景桥APC．观景亭的大小、观景长廊、观景桥的宽度均忽略不计，设．
（1）当时，求三角形区域ADC内的湖面面积的最大值；
（2）若CD=8百米且规划建亭点P在三角形ABC区域内（不包括边界），试判断四边形ABCP内湖面面积是否有最大值？若有，求出最大值，并写出此时的值；若没有，请说明理由．
【答案】（1）平方百米
（2）当=时，四边形ABCP内的湖面面积取到最大值，最大值为32平方百米
【解析】
【分析】（1）在中，可得，令，，在中，运用余弦定理可得，由基本不等式可得，由即可得结果；
（2）先求出，计算出，进而可得结果.
【小问1详解】
∵，∴在中，
令AD=x，CD=y， 在中，
∴，
∵，
∴（当且仅当x=y时，取等号）
∵，∴（平方百米）
所以三角形区域ADC内的湖面面积最大值平方百米．
【小问2详解】
∵点P和点D关于直线AC对称，∴，PC=CD=8
由（1）知，∴
∵，∴∵点P在区域内
∴，∴，
∵在中，
在中，
∴
解得或（舍去），
∵，∴四边形ABCP内的湖面面积有最大值，
所以当时，四边形ABCP内的湖面面积取到最大值，最大值为32平方百米
22. 已知函数．
（1）若函数在上存在单调增区间，求实数的取值范围；
（2）若，证明：对于，总有
【答案】（1）；（2）详见解析.
【解析】
【分析】（1）求出的导数，将其转化为在区间内存在区间使得即在上能成立，根据函数的最小值即可确定的范围；（2）问题转化为证明，在上恒成立，构造函数，，求出的导数，判断出函数的单调性，从而证出结论．
【详解】（1）由题，
因为函数在存在单调增区间，
故在区间内存在区间使得成立，
即能成立，
即在上能成立，
而在的最小值是，
故；
（2）若，则，
，
而，
又因为，所以，
要证原不等式成立，只要证，
只要证，
只要证，在上恒成立，
首先构造函数，，
因为，
可得，在时，，即在上是减函数，
在时， ，即在上是增函数，
所以，在上，，所以，
所以，，等号成立当且仅当时，
其次构造函数，，
因为，
可见时，，即在上是减函数，
时， ，即在上是增函数，
所以在上，，所以，
所以，，等号成立当且仅当时．
综上所述，，
因取等条件并不一致，
所以，在上恒成立，
所以，总有成立．