49，江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高一上学期12月联合调研数学试题

这是一份49，江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高一上学期12月联合调研数学试题，共15页。试卷主要包含了选择题的作答，填空题和解答题的作答等内容，欢迎下载使用。

本试卷共4页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
第 Ⅰ 卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 函数的定义域为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数解析式列不等式组求解即可.
【详解】要使函数有意义，则，解得且，
所以函数的定义域为.
故选：B
2. 已知点是第二象限的点，则的终边位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】更多课件 教案 视频 等低价同类优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 【分析】点在第二象限，根据坐标特征得的符号，即可得所在象限.
【详解】因为点在第二象限，所以，，所以为第二象限角.
故选：B
3. 已知扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据扇形面积公式即可求解.
【详解】由弧度制定义，该扇形的半径为，
所以该扇形的面积为.
故选：B
4. 函数的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】方法一：根据函数的奇偶性及函数值的符号排除即可判断；方法二：根据函数的奇偶性及某个函数值的符号排除即可判断.
【详解】方法一：因为，即，所以，
所以函数定义域为，关于原点对称，
又，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，
故排除；
当时，，即，因此，故排除A.
故选:D.
方法二：由方法一，知函数是奇函数，其图象关于原点对称，故排除；
又，所以排除A.
故选：D.
5. 设，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数函数以及幂函数的单调性比较大小得出结果.
【详解】因为函数在上单调递减，函数在R上单调递增，
所以，，即，
所以.
故选：A.
6. 神舟十二号载人飞船搭载3名宇航员进入太空，在中国空间站完成了为期三个月的太空驻留任务，期间进行了很多空间实验，目前已经顺利返回地球.在太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水，回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理成饮用水，循环使用.净化水的过程中，每过滤一次可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的以下，则至少需要过滤的次数为（ ）（参考数据：）
A. 19B. 20C. 21D. 22
【答案】C
【解析】
【分析】由条件列不等式，结合指数、对数的运算性质求解即可.
【详解】设经过次过滤达到要求，原来水中杂质为1，
依题意可得，即，
所以，
所以，又，
所以，
因为，所以的最小值为，故至少要过滤次．
故选：C.
7. 已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递增，则满足的a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用题给条件求得m的值，再利用一元二次不等式解法即可求得实数a的取值范围.
【详解】幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递增，
则为正偶数，则，
则不等式即，
整理得，
此不等式等价于或，
解之得或.
则满足的a的取值范围为或.
故选：D
8. 已知定义在R上的偶函数满足，当时，.函数，则与的图象所有交点的横坐标之和为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】在同一坐标系内作出与的图象，再利用图象的对称性即可求得与的图象所有交点的横坐标之和.
【详解】函数的图象有对称轴，
定义在R上的偶函数满足，
则函数有对称轴，又当时，，
在同一坐标系在内作出与的图象，
由图象可得，与的图象有4个交点，
又与的图象均有对称轴，
则两函数所有交点的横坐标之和为4.
故选：B
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据对数运算法则以及换底公式、对数恒等式逐一判断各选项.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，根据换底公式正确，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：BC.
10. 已知，则正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据诱导公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
【详解】依题意，，所以，A选项错误；
，B选项正确；
，C选项正确.
，D选项错误.
故选：BC
11. 若函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则为偶函数B. 若的定义域为R，则
C. 若，则的单调增区间为D. 若在上单调递减，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】由函数的奇偶性判断A，由对数函数的性质判断B，根据复合函数的单调性判断CD．
【详解】时，，定义域是，满足，是偶函数，A正确；
定义域为时，，解得，B正确；
时，，由得或，增区间是，C错；
在上单调递减，由于的对称轴是，且时，，因此有，即，D正确．
故选：ABD．
12. 已知函数的定义域为D，若存在区间，使得同时满足下列条件：
①在上是单调函数；②在上的值域是.
则称区间为函数的“倍值区间”．
下列函数中存在“倍值区间”的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据定义分别讨论是否同时满足“倍值区间”的两个条件，即可得出结论.
【详解】依题意，函数存在“倍值区间”，则满足在上是单调函数，且或，
对于A，，在区间上是增函数，且值域为，则区间是函数的“倍值区间”，A正确；
对于B，在区间上是减函数，且值域为，则区间是函数的“倍值区间”，B正确；
对于C，在上单调递减，在上单调递增，
假定函数存在倍值区间，若在上单调递增，则，
即有，而或，无解，
若在上单调递减，则，即，两式相减得，
而，则两式相加得，矛盾，不存在倍值区间，C错误；
对于D，当时，，函数在上单调递减，
于是在上单调递增，且值域为，因此区间是函数的“倍值区间”，D正确.
故选：ABD
第II卷（非选择题共90分）
三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 函数（且）的图象必过定点__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用指数函数的性质即可得解.
【详解】因为（且），
令，得，，
所以（且）的图象必过定点.
故答案为：.
14. 函数的单调递减区间是___________.
【答案】（开闭区间均可）
【解析】
【分析】求出函数的定义域，再结合复合函数单调性可得．
【详解】由得，又在上递减，在上是增函数，
所以的减区间是，
故答案为：（写成开区间也正确）．
15. 已知正数，满足，则的最大值为___.
【答案】
【解析】
【分析】利用均值定理1的代换即可求得的最大值.
【详解】正数，满足，
则，故，
则
（当且仅当时等号成立）
故，则的最大值为.
故答案为：
16. 如果函数在其定义域D内，存在实数使得成立，则称函数为“可拆分函数”.设函数为“可拆分函数”，则实数m的取值范围是 ______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题中条件建立方程，化简变形后可得，求得函数的值域即可.
【详解】根据题意可知，必有，函数的定义域为，
则在其定义域内存在实数，使，
即，即，
所以，则，
又，所以，所以，则，
即，所以实数m的取值范围是.
故答案为：
四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
17. 设集合，.
（1）当时，求集合；
（2）若是的必要条件，求实数的取值范围.
【答案】17.
18.
【解析】
【分析】（1）解一元二次不等式得到集合，再根据交集定义求得结果；
（2）根据必要关系得出集合之间包含关系，再根据集合的包含关系求得结果.
【小问1详解】
当时，集合，
集合，
所以.
【小问2详解】
若是的必要条件，则，
因为，，
所以，
得到 ，故实数的取值范围.
18. 已知．
（1）化简，并求的值；
（2）若，且，求的值．
【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式分析运算即可；
（2）由题意可得，结合同角三角关系分析求解.
【小问1详解】
由题意可得：，，
所以.
【小问2详解】
因为，
则，
又因为，
则，可得，
所以.
19. 已知函数
（1）若，求实数的值；
（2）若，求函数的值域.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）利用对数的运算性质化简，利用解对数复合方程即可；
（2）令，结合二次函数即可求出函数的值域.
【小问1详解】
，
因为，所以，即，
解得或，所以或；
【小问2详解】
令，因为，所以，
则原函数可化为，，
在单调递增，在单调递减，
当时，；当时，，
所以函数的值域为.
20. 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比.已知各投资1万元时，两类产品的年收益分别为0.25万元和0.5万元.
（1）分别写出两种产品的年收益与投资金额的函数关系式；
（2）该家庭现有10万元资金，全部用于理财投资，设投资债券等稳健型产品的金额为万元.如何分配资金才能使投资获得最大年总收益？其最大年总收益是多少万元？
【答案】20.
21. 当投资债券金额为9万元，投资股票金额为1万元时，能获得最大年总收益为万元.
【解析】
【分析】（1）依题意设，，，，根据已知求解即可；
（2）根据题意列出年总收益函数，用换元法求出函数最值即可.
【小问1详解】
设投资债券等稳健性产品的年收益为，投资股票等风险型产品的年收益为，
由题意得，，，，
因为各投资1万元，两类产品的年收益分别为0.25万元和0.5万元，
所以，，即，，
所以，；
【小问2详解】
因为投资债券等稳健型产品的金额为万元（），
则投资股票等风险型产品的金额为万元.
设年投资总收益为，则，，令，
则，则，，
当即时，有最大值，
即当投资债券金额为9万元，投资股票金额为1万元时，能获得最大年总收益为万元.
21. 已知函数.
（1）是否存在实数使函数为奇函数；
（2）判断并用定义法证明的单调性；
（3）在（1）的前提下，若对，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）存在，时是奇函数；
（2）是R上的增函数，证明见解析；
（3）
【解析】
【分析】（1）利用题给条件列出关于实数的方程，解之即可求得实数的值；
（2）利用增函数定义和指数幂的运算规则即可证得为增函数；
（3）利用题给条件列出关于的不等式，利用不等式性质即可求得的取值范围.
【小问1详解】
若上奇函数，
则，
当时，满足 ，则是奇函数.
【小问2详解】
是R上的增函数，
证明如下：
设 ，则

由可得 ，，则
则，即
则 是R上的增函数.
【小问3详解】
对，不等式恒成立，
即恒成立，
又是奇函数，则不等式可化为.
又是R上的增函数，则恒成立 ，
即恒成立，则恒成立,
又 ，则
，
则的取值范围为.
22. 函数的定义域为R，若存在常数，使得对一切实数x均成立，则称为“圆锥托底型”函数.
（1）判断函数，是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由；
（2）若是“圆锥托底型”函数，求出M的最大值；
（3）问实数满足什么条件，是“圆锥托底型”函数.
【答案】（1）是“圆锥托底型”函数，不是“圆锥托底型”函数，理由见解析
（2）
（3）当，时，是“圆锥托底型”函数.
【解析】
【分析】（1）利用题给条件对一切实数x均成立去判断函数，是否满足要求即可解决；
（2）按x分类讨论，利用均值定理即可求得M的最大值；
（3）分别按分类讨论，即可求得是“圆锥托底型”函数时，实数满足什么条件.
【小问1详解】
由题意，当时，恒成立，
故是“圆锥托底型”函数；
对，考虑时，恒成立，即恒成立，
因为，故不存在常数使得对一切实数x均成立，
故不是“圆锥托底型”函数
【小问2详解】
由题意，若是“圆锥托底型”函数，
则对一切实数x均成立.
①当时，显然成立；