山东省枣庄市薛城区2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题

这是一份山东省枣庄市薛城区2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题，共23页。试卷主要包含了选择题，四象限，则的值为，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1. 已知反比例函数的图像经过点，那么该反比例函数图像也一定经过点（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先把点代入反比例函数的解析式求出的值，再对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：反比例函数的图象经过点，
，
A、，此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
B、，此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
C、，此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；
D、，此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中，为定值是解答此题的关键．
2. 已知α为锐角，且sin（α﹣10°）＝，则α等于（ ）
A. 70°B. 60°C. 50°D. 30°
【答案】A
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值可得α﹣10°＝60°，进而可得α的值．
【详解】解：∵sin（α﹣10°）＝，
∴α﹣10°＝60°，
∴α＝70°．
故选A．更多课件教案等低价滋源(一定远低于各大平台价格)请 家 威杏 MXSJ663 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值的计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
3. 已知反比例函数的图像位于第二、四象限，则的值为（ ）
A. 1B. 3C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据反比例函数的定义得出，再由函数图像在第二、四象限内，可得出，两者联立，解方程及不等式即可得出结论．
【详解】根据题意得：，
解得：，
故选：A
【点睛】本题考查了反比例函数的定义、反比例函数的性质、解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于的一元二次方程和一元一次不等式，解决该题型题目时，根据反比例承数的定义得出方程，根据反比例函数的性质得出不等式，解方程及不等式即可得出结论．
4. 如图为固定电线杆AC，在离地面高度为7米的A处引拉线AB，使拉线AB与地面BC的夹角为α，则拉线AB的长为（ ）
A. 7sinα米B. 7csα米C. 7tanα米D. 米
【答案】D
【解析】
【分析】在中，，利用正弦定义可得，代入求解即可．
【详解】在中，，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，准确理解题意，能够把实际问题转化为数学问题是解题的关键．
5. 如图，小明探究课本“综合与实践”版块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为时，标准视力表中最大的“”字高度为，当测试距离为时，最大的“”字高度为（ ）mm
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，得、，结合相似三角形的性质，通过相似比计算，即可得到答案．
【详解】根据题意，得，且
∴
∴
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解．
6. 对于反比例函数，下列说法中不正确的是（ ）
A. 点在它的图象上B. 它的图象在第一、三象限
C. y随x的增大而减小D. 当时，y随x的增大而减小
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，根据反比例函数的图象及性质逐一判断即可．
详解】A选项：把点代入函数中，得成立，
∴点在函数的图象上，本选项说法正确；
B选项：∵，
∴函数图象在第一、三象限，本选项说法正确；
C选项：∵，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，本选项说法错误；
D选项：∵，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
∴当时，y随x的增大而减小，本选项说法正确．
故选：C
7. 太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是cm，则皮球的直径是（ ）
A. B. 15C. 10D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：如图，作AB⊥MN交MN于点B，因为cm，∠ANB＝60°，所以（cm），由于平行线间的垂线段相等，所以皮球的直径为15cm．
8. 如图，在△ABC中，AD⊥BC交BC于点D，AD＝BD，若AB＝，tanC＝，则BC＝（ ）
A. 8B. C. 7D.
【答案】C
【解析】
【分析】证出△ABD是等腰直角三角形，得出AD＝BD＝AB＝4，由三角函数定义求出CD＝3，即可得出答案．
【详解】解：交于点，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
；
故选：．
【点睛】本题考查了解直角三角形、等腰直角三角形的性质以及三角函数定义；熟练掌握等腰直角三角形的性质和三角函数定义是解题的关键．
9. 在反比例函数图像上有三个点、、．则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据反比例函数，可以得出：在第二象限和第四象限内，随的增大而增大；在第二象限内，，在第四象限内，，因为，可以得出．
【详解】∵反比例函数，
∴在每一个象限内，随的增大而增大，
∵点、、在反比例函数图像上，且，
∴，
故选:A
【点睛】本题主要考查反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键．
10. 若图中反比例函数的表达式均为，则阴影面积为2的是（ ）
A. 图1B. 图2C. 图3D. 图4
【答案】B
【解析】
【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数的性质以及三角形的面积公式，分别求出四个图形中阴影部分的面积，即可求解．
【详解】选项A中，阴影面积，故选项A不符合题意；
选项B中，阴影面积为，故选项B符合题意；
选项C中，阴影面积为，故选项C不符合题意；
选项D中，阴影面积为，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．也考查了反比例函数的对称性，三角形的面积．
11. 图2是图1中长方体的三视图，若用表示面积，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由主视图和左视图的宽为x，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案．
【详解】∵S主=x2+2x=x（x+2），S左=x2+x=x（x+1），∴俯视图的长为x+2，宽为x+1，则俯视图的面积S俯=（x+2）（x+1）=x2+3x+2．
故选A．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高．
12. 在同一平面直角坐标系中，函数与 （k为常数且）的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意中的函数解析式和函数图象的特点，可以判断哪个选项中的图象是正确的．
【详解】解：根据函数可得，该函数图象与y轴的交点在x轴上方，排除B、D选项，
当k＞0时，函数的图象在第一、二、三象限，函数在第二、四象限，故选项A正确，
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
13. 济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60 m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，≈1.7，结果精确到1m，则该楼的高度CD为( )
A. 47mB. 51mC. 53mD. 54m
【答案】B
【解析】
【分析】由题意易得：∠A=30°，∠DBC=60°，DC⊥AC，即可证得△ABD是等腰三角形，然后利用三角函数，求得答案．
【详解】根据题意得：∠A=30°，∠DBC=60°，DC⊥AC，
∴∠ADB=∠DBC-∠A=30°，
∴∠ADB=∠A=30°，
∴BD=AB=60m，
∴CD=BD•sin60°=60×=30≈51（m）．
故选B．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．注意证得△ABD是等腰三角形，利用特殊角的三角函数值求解是关键．
14. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cs∠APC的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，则DE∥AB，由勾股定理逆定理可以证明△DCE为直角三角形，所以cs∠APC＝cs∠EDC即可得答案．
【详解】解：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图．
则DE∥AB，
∴∠APC＝∠EDC．
在△DCE中，有，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴cs∠APC＝cs∠EDC＝．
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形、平行线的性质，勾股定理，作出合适辅助线是解题关键．
15. 图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为( )
A. (54+10) cmB. (54+10) cmC. 64 cmD. 54cm
【答案】C
【解析】
【分析】过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．
【详解】如图所示，
过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则
Rt△ACE中，AE=AC=×54=27（cm），
同理可得，BF=27cm，
又∵点A与B之间的距离为10cm，
∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27=64（cm），
故选C．
【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题
16. 如图，P是反比例函数图象上一点，过P作x轴的垂线，若，则反比例函数的表达式为___________．

【答案】
【解析】
【分析】因为过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得三角形面积是个定值，即，从而可得出的值，即能得出函数的解析式．
【详解】解：由题意得：，
，
又函数图象在第二、四象限，
．
则该双曲线的解析式为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，属于一般性题目，解答本题的关键是掌握过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得三角形面积是个定值，即．
17. 已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．则sin∠ACB_______．
【答案】
【解析】
【分析】作BD⊥AC,交CA的延长线于D,由∠BAC＝120°，得到∠BAD=60°,根据含30°的直角三角形三边的关系得到AD=5,BD=5,再根据勾股定理计算出BC=5,然后利用正弦的定义求解.
【详解】解：作BD⊥AC交CA的延长线于D,如图,
∵∠BAC=120°,
∴∠BAD=60°,
在Rt△ABD中,∠ABD=30°,AB=10,
∴AD=AB=5,BD=5,
∴CD=AC+AD=5+5=10,
在Rt△BCD中,BC==5,
∴sin∠ACB===.
【点睛】本题考查了解直角三角形,中等难度,构造直角三角形,在直角三角形中利用边长表示出正弦值是解题关键.
18. 如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是_____m（结果保留根号）
【答案】40
【解析】
【分析】利用等腰直角三角形的性质得出AB=AD，再利用锐角三角函数关系即可得出答案．
【详解】解:由题意可得：∠BDA=45°，
则AB=AD=120m，
又∵∠CAD=30°，
∴在Rt△ADC中，
tan∠CDA=tan30°=，
解得：CD=40（m），
故答案为40．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出tan∠CDA=tan30°=是解题关键．
19. 如图，点B是反比例函数y＝图象上的一点，矩形OABC的周长是20，正方形OCDF与正方形BCGH的面积之和为68，则k的值为_______
【答案】16
【解析】
【分析】设B点坐标为(x，y)，根据题意得到，，再利用完全平方公式可得到xy=16，然后根据反比例函数的比例系数k的几何意义即可得到答案．
【详解】设B点坐标为(x，y)，则OC=y，BC=x，
根据题意得：，，
∴，
∴，即，
∴，即矩形OABC的面积是16，
∴，
∵反比例函数图象在第一象限，
∴k=16．
故答案为：16．
【点睛】本题考查了函数图象上点的坐标特征，完全平方公式的运用，反比例函数的比例系数k的几何意义，熟练掌握k的几何意义及完全平方公式是解题的关键．
20. 在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+1与图数y＝的限象交于A（﹣2，a），B两点．
（1）写出a，k的值________；
（2）已知点P（0，n），过点P作平行于x轴的直线l，交函数y＝的图象于点 C（x1， y1），交直线 y＝﹣x+1的图象于点 D（x2，y2），若|x1|≤|x2|，结合函数图象，请写出 m的取值范围________．
【答案】 ①. 】a=3，；； ②. 或．
【解析】
【分析】（1）将点代入，得出点的坐标，再代入函数，即可求出的值；
（2）求出点的坐标，结合函数的图象即可求解．
【详解】解：（1）直线与函数的图象交于，
把代入
解得，
．
把代入，
解得；
（2）画出函数图象如图
解得或，
，
，
根据图象可得：若，则或．
故答案为：（1）a=3，；（2）或．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．
三、解答题
21. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解本题的关键；
（1）先计算绝对值，代入特殊角的三角函数值，负整数指数幂，化简二次根式，零次幂，再计算乘法运算，最后合并即可；
（2）先代入特殊角的三角函数值，再计算乘方运算，乘法运算，再合并即可．
【小问1详解】
解：
．
【小问2详解】
．
22. 小红想利用阳光下的影长测量学校旗杆AB的高度．如图，他在某一时刻在地面上竖直立一个2米长的标杆CD，测得其影长DE=0.4米．
（1）请在图中画出此时旗杆AB在阳光下的投影BF．
（2）如果BF=1.6，求旗杆AB的高．
【答案】(1)见解析 (2) 8m
【解析】
【分析】（1）利用太阳光线平行光线作图：连接CE，过A点作AF∥CE交BD于F，则BF为所求；
（2）证明△ABF∽△CDE，然后利用相似比计算AB的长．
【详解】（1）连接CE，过A点作AF∥CE交BD于F，则BF为所求，如图；
（2）∵AF∥CE，
∴∠AFB=∠CED，
而∠ABF=∠CDE=90°，
∴△ABF∽△CDE，
∴， 即，
∴AB=8（m）,
答：旗杆AB的高为8m．
23. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，BC＝8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E.
(1)求线段CD的长；
(2)求cs ∠ABE的值．
【答案】（1）5；（2）.
【解析】
【详解】试题分析：（1）利用正弦定义很容易求得AB=10，然后由已知D为斜边AB上的中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解.（2）cs∠ABE=，则求余弦值即求BE，BD的长，易求得BD=5.再利用等面积法求BE的长.
试题解析：(1)在△ABC中，∵∠ACB＝90°，sinA＝，而BC＝8，∴AB＝10.∵D是AB的中点，∴CD＝AB＝5.
(2)在Rt△ABC中，∵AB＝10，BC＝8，∴AC＝＝6.
∵D是AB中点，∴BD＝5，S△BDC＝S△ADC，∴S△BDC＝S△ABC，即CD·BE＝·AC·BC，∴BE＝.
在Rt△BDE中，cs∠DBE＝＝ ＝，即cs∠ABE的值为.
点睛：在直角三角形中求长度，一般可通过勾股定理或全等三角形来求；若已知角度则可用锐角三角函数来求；若这些方法均不可行，又是求高或已知高长度则可利用等面积法来求.
24. 如图，直线y=kx+b与双曲线y=相交于A（1，2），B两点，与x轴相交于点C（4，0）．
（1）分别求直线AC和双曲线对应的函数表达式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出当x＞0时，关于x不等式kx+b＞的解集．
【答案】（1）y=x+，y=；
（2）△AOB的面积为；
（3）1【解析】
【分析】（1）将点A ( 1，2 )代入y =，求得m=2，再利用待定系数法求得直线的表达式即可；
（2）解方程组求得点B的坐标，根据，利用三角形面积公式即可求解；
（3）观察图象，写出直线的图象在反比例函数图象的上方的自变量的取值范围即可．
【小问1详解】
解：将点A ( 1，2 )代入y =，得m=2，
∴双曲线的表达式为： y=，
把A（1，2）和C（4，0）代入y=kx+b得：
y=，解得：，
∴直线的表达式为：y=x+；
【小问2详解】
解：联立 ，
解得，或，
∵点A 的坐标为（1，2），
∴点B的坐标为（3，），
∵
=，
∴△AOB的面积为；
【小问3详解】
解：观察图象可知：不等式kx+b>的解集是1【点睛】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用方程组求两个函数的交点坐标，学会利用分割法求三角形面积．
25. 为响应国家的“节能减排”政策，某厂家开发了一种新型的电动车，如图，它的大灯A射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为22°和31°，AT⊥MN，垂足为T，大灯照亮地面的宽度BC的长为m．
（1）求BT的长（不考虑其他因素）．
（2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是0.2s，从发现危险到电动车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离．某人以20km/h的速度驾驶该车，从做出刹车动作到电动车停止的刹车距离是，请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求（大灯与前轮前端间水平距离忽略不计），并说明理由．
（参考数据：sin22°≈，tan22°≈，sin31°≈，tan31°≈）
【答案】该车大灯的设计不能满足最小安全距离的要求，理由详见解析．
【解析】
【详解】试题分析：（1）在直角中，根据三角函数的定义，若，则，在中利用三角函数即可列方程求解；
（2）求出正常人作出反应过程中电动车行驶的路程，加上刹车距离，然后与的长进行比较即可．
试题解析：
解：（1）根据题意及图知：，
，
；
在中，
∴，
可设则
在中，
∴，
即：，
解得：，
∴，
∴，
，
，；
∴该车大灯的设计不能满足最小安全距离的要求．
26. 如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角为，沿斜坡走米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为，且斜坡的坡比为．

（1）求小明从点A到点D的过程中，他上升的高度；
（2）大树BC的高度约为多少米？（参考数据：，，）
【答案】（1）小明从点A到点D的过程中，他上升的高度为3米
（2）大树的高度约为米
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形，熟练掌握勾股定理的内容，解直角三角形的方法和步骤，以及正确画出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
（1）作于H，根据，得出，再根据勾股定理得出，列出方程求解即可；
（2）延长交于点G，设，则，根据，得出，根据，得出，再根据，得出．最后根据，列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：作于H，如图1所示：
AI
中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
答：小明从点A到点D的过程中，他上升的高度为3米；
【小问2详解】
解：如图2所示：延长交于点G，
设，
由题意得，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴．
∵，
∴，
解得：．
答：大树的高度约为米．