贵州省清镇市博雅实验学校2023-2024学年高二上学期第四次月考数学试题数学

这是一份贵州省清镇市博雅实验学校2023-2024学年高二上学期第四次月考数学试题数学，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题，阅读与探究.，附加题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.
1. 数列1，，，，…的一个通项公式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定数列的前4项，利用观察法求出通项即得.
【详解】数列前4项的绝对值依次为1，，，，由此得数列第n项的绝对值为，
而数列的奇数项为正，偶数项为负，可用表示数列的第n项的符号，
因此.
故选：B
2. 如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取向量为空间向量的一组基底向量，表示出与，再借助空间向量运算即可计算作答.更多课件教案等低价滋源(一定远低于各大平台价格)请 家 威杏 MXSJ663 【详解】在正三棱柱中，向量不共面，，，
令，则，而，，
于是得，
因此，，
所以与所成角的大小为.
故选：B
3. 已知，为单位向量，向量与向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得.
【详解】依题意，，所以向量在向量上的投影向量为.
故选：B
4. 与直线3x﹣4y+5=0关于y轴对称的直线方程是（ ）
A. 3x+4y+5=0B. 3x+4y﹣5=0C. 3x﹣4y+5=0D. 3x﹣4y﹣5=0
【答案】B
【解析】
【分析】分别求出直线与坐标轴的交点，分别求得关于轴的对称点，即可求解直线的方程．
【详解】令，则，可得直线与轴的交点为，
令，则，可得直线与轴的交点为，
此时关于轴的对称点为，
所以与直线关于轴对称的直线经过两点，
其直线的方程为，化为，故选B．
【点睛】本题主要考查了直线方程点的求解，以及点关于线的对称问题，其中解答中熟记点关于直线的对称点的求解，以及合理使用直线的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
5. 如图，在四面体中，，点在上，且，为中点，则等于（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量加法法则以及空间向量的基底表示空间向量即可.
【详解】因为，为中点，
，
所以
，
故选：B.
6. 椭圆的离心率（）大小决定该椭圆的圆扁程度（离心率趋于0椭圆越圆，离心率越趋于1椭圆越扁），则四个椭圆的形状中，最接近于圆的椭圆是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，求出各选项中椭圆的离心率即可判断得解.
【详解】椭圆的离心率，椭圆的离心率，
椭圆的离心率，椭圆的离心率，
显然，所以最接近于圆的椭圆是，B正确.
故选：B
7. 曲线与曲线的（ ）
A. 长轴长相等B. 短轴长相等
C. 焦距相等D. 离心率相等
【答案】C
【解析】
【分析】利用椭圆、双曲线的概念判断AB；求出焦距、离心率判断CD.
【详解】当时，曲线是焦点在x轴上的双曲线，而双曲线只有实轴、虚轴，无长短轴，AB错误；
曲线是焦点在x轴上的椭圆，半焦距，
双曲线的半焦距，即有，C正确；
椭圆的离心率，双曲线的离心率，D错误.
故选：C
8. 与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ）
A. 一个椭圆上B. 双曲线的一支上
C. 一条抛物线上D. 一个圆上
【答案】B
【解析】
【分析】
设动圆的圆心为P，半径为r, 圆的圆心为O（0，0）, 圆的圆心为F（4，0）,则，根据双曲线得定义可得答案.
【详解】设动圆的圆心为P，半径为r，而圆的圆心为 ，半径为1；
圆,即的圆心为，半径为2.
依题意得， ，则
所以点P的轨迹是双曲线的一支.
故选：B
二、多项选择题：本题共2小题，每小题满分4分，共8分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得4分，部分选对得2人，有选错的得0分.
9. 数列2，0，2，0，…的通项公式可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据给定条件，逐项验证判断即得.
【详解】对于A，，符合题意，A是；
对于B，，符合题意，B是；
对于C，，符合题意，C是；
对于D，，不符合题意，D不是.
故选：ABC
10. 设两点的坐标分别为，．直线，相交于点，且它们的斜率之积是，保证的轨迹是椭圆（去掉，两点）时，下列哪些的值能满足条件（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根据给定条件，求出点轨迹方程即可判断得解.
【详解】设点，依题意，，整理得，
因此点的轨迹方程是，要的轨迹是椭圆（去掉，两点），
则当且仅当且，即且，AB不满足，CD满足.
故选：CD
三、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分.
11. 直线的一个方向向量是___________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据给定的直线方程，求出其斜率，进而求出其方向向量.
【详解】直线的斜率为，
所以直线的一个方向向量是.
故答案为：
12. 647和895的等差中项是__________；4和16的等比中项是__________ .
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据等差中项和等比中项的定义求得正确答案.
【详解】设是647与895的等差中项，则.
设是4与16的等比中项，则.
故答案为：；
13. 根据下列数列的特点，用适当的数填空：，，______，，，______，.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据数列前几项中根号下的数都是由小到大的正整数，即可求得结果
【详解】由于数列的前几项中根号下的数都是由小到大的正整数，所以第一空需要填，第二空需要填，
故答案为：，.
14. 抛物线上一点M到焦点距离是，则点M到准线的距离是__________，点M的横坐标是__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义可直接得到到准线的距离；根据抛物线的焦半径公式求解出的横坐标.
【详解】因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，
所以到准线的距离为；
又因为到准线的距离等于，所以，
故答案为：；.
【点睛】本题考查根据抛物线的定义以及焦半径公式完成计算，难度较易.抛物线的方程为，焦点为，抛物线上一点为，所以；抛物线的方程为，焦点为，抛物线上一点为，所以.
15. 已知圆，直线，圆上恰有一个点到直线的距离等于1，则___________．
【答案】1
【解析】
【分析】由圆心到直线距离可确定，进而得解.
【详解】圆的圆心为，，
由题可知圆心到直线距离，则.
故答案：1.
四、解答题：本题共4小题，每小题8分，共32分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. 已知数列是等差数列，若，，，求.
【答案】12
【解析】
【分析】根据题意，由等差数列的求和公式列出方程，即可得到结果.
【详解】因为数列是等差数列，且，，，
又，且，
解得.
17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点，作交PB于点F.
（1）求证：平面EDB；
（2）求证：平面EFD；
（3）求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求得平面EDB的一个法向量为，由证明；
（2）由，结合，利用线面垂直的判定定理证明；
（3）求得平面CPB的一个法向量为，易知平面PBD的一个法向量为，由求解.
【小问1详解】
解：以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别
为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
设.
依题意得，，，.
所以，，.
设平面EDB的一个法向量为，
则有即
取，则，
因为平面EDB，因此平面EDB.
【小问2详解】
依题意得，
因为，
所以.
由已知，且，
所以平面EFD.
【小问3详解】
依题意得，且，.
设平面CPB的一个法向量为，
则即，
取.
易知平面PBD的一个法向量为，
所以.
所以平面CPB与平面PBD的夹角为.
18. 已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于.
（1）求双曲线的标准方程．
（2）过双曲线：的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于，两点，求．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用双曲线定义求出方程即得.
（2）求出直线的方程，与双曲线方程联立求出弦长即得.
【小问1详解】
依题意，双曲线的半焦距，实半轴长，则虚半轴长，
所以双曲线标准方程为.
【小问2详解】
依题意，直线的方程为，即，设
由消去并整理得，解得，
所以.
19. 已知等差数列的前项和为，若，公差.
（1）求的表达式
（2）是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值时的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）当或时取得最大值，最大值为.
【解析】
【分析】（1）由首项和公差，可利用公式直接计算前n项和；
（2）由前n项和，结合二次函数的性质，即可得到结果.
【小问1详解】
等差数列中，若，公差，
则有.
【小问2详解】
，
又，∴当或时取得最大值，最大值为.
五、阅读与探究（本题共1小题，共8分.解答应写出文字说明，条理清晰）.
20. 请阅读下列材料，并解决问题：
圆锥曲线的第二定义
二次曲线，即圆锥曲线，是由一平面截二次锥面得到曲线，包括椭圆，抛物线，双曲线等.2000多年前，古希腊数学家最先开始研究二次曲线，并获得了大量的成果.古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究二次曲线曲线.阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”，事实上，二次曲线由很多统一的定义、统一的二级结论等等.比如：平面内的动点到一个定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则动点的轨迹就是圆锥曲线（这个圆锥曲线的第二定义）.其中定点称为其焦点，定直线称为其准线（其中椭圆与双曲线的准线方程为，抛物线准线方程为），正常数称为其离心率.当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.
（1）已知平面内的动点到一个定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则动点的轨迹方程为 （直接写出结果，无需过程）.
（2）在（1）所求的曲线中是否存在一点，使得该点到直线的距离最小？最小距离是多少？
【答案】（1）
（2）存在，最小距离.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，列出方程化简即得.
（2）利用三角换元法结合点到直线距离公式和辅助角公式即可.
【小问1详解】
依题意，，化简并整理得，
所以点的轨迹方程为.
【小问2详解】
假设存在这样的点到直线的距离最小，
设，其中，则点到直线的距离，其中，
则当时，.
所以存在这样的点，使得该点到直线的距离最小，距离最小为.
六、附加题（20分）
21. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记．
（1）求MN的长；
（2）a为何值时，MN的长最小？
（3）当MN的长最小时求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．
【答案】（1）；（2）时，最小，最小值为；（3）
【解析】
【分析】以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，求得、、、、、的坐标．
（1）直接由两点间的距离公式可得；
（2）把（1）中求得利用配方法求最值；
（3）由（2）可知，当，为中点时，最短，求出、的坐标，取的中点，连接，，可得的坐标，连接，，得到是平面与平面的夹角或其补角，再由与的夹角求解．
【详解】解：如图建立空间直角坐标系，
，， ， ，
，， ．
（1）；
（2），
当时，最小，最小值为；
（3）由（2）可知，当，为中点时，最短，
则，0，，，，，取的中点，连接，，
则，，，
，，，，
是平面与平面的夹角或其补角．
，，
．
平面与平面夹角的余弦值是．