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    江西省 抚州市 临川区江西省抚州市第一中学2023-2024年九年级上学期第二次月考数学试题

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    江西省 抚州市 临川区江西省抚州市第一中学2023-2024年九年级上学期第二次月考数学试题

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    这是一份江西省 抚州市 临川区江西省抚州市第一中学2023-2024年九年级上学期第二次月考数学试题,共27页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    考试时长:120分钟,分值:120分.
    一、选择题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
    1. 已知=,则的值为( ).
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】根据比例的性质计算即可;
    【详解】∵=,
    ∴;
    故答案选C.
    【点睛】本题主要考查了比例的性质应用,准确计算是解题的关键.
    2. 一个几何体由若干大小相同的小正方体组成,它的俯视图和左视图如图所示,那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为( )
    A. 4B. 5C. 6D. 7
    【答案】B
    【解析】
    【分析】在“俯视打地基”的前提下,结合左视图知俯视图上一行三个小正方体的上方(第2层)至少还有1个正方体,据此可得答案.
    【详解】解:由俯视图与左视图知,该几何体所需小正方体个数最少分布情况如下图所示:更多课件教案等低价滋源(一定远低于各大平台价格)请 家 威杏 MXSJ663
    所以组成该几何体所需小正方体的个数最少为5,
    故选:B.
    【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体,解题的关键是掌握口诀“俯视打地基,主视疯狂盖,左视拆违章”.
    3. 如图,在平行四边形ABCD中,∠ABC的角平分线交AD于点E,∠BCD的角平分线交AD于点F,若AB=7,BC=10,则EF的长为( )
    A. 4B. 3C. 6D. 5
    【答案】A
    【解析】
    【分析】根据平行四边形的性质可知∠DFC=∠FCB,又因为CF平分∠BCD,所以∠DCF=∠FCB,则∠DFC=∠DCF,则DF=DC,同理可证AE=AB,那么EF就可表示为AE+FD-BC=2AB-BC,继而可得出答案.
    【详解】解:∵平行四边形ABCD,
    ∴AD∥BC,
    ∴∠DFC=∠FCB,
    又CF平分∠BCD,
    ∴∠DCF=∠FCB,
    ∴∠DFC=∠DCF,
    ∴DF=DC,
    同理可证:AE=AB,
    ∵AB=7,AD=BC=10,
    ∴EF=AE+FD-AD=2AB-BC=4.
    故选:A.
    【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质,在平行四边形中,当出现角平分线时,一般可利用等腰三角形的性质解题,难度不大,关键是解题技巧的掌握.
    4. 如图,在△ABC中,D、E、F分别是边BC、AC、AB上一点,连接BE交FD于点G,若四边形AFDE是平行四边形,则下列说法错误是( ).
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】根据四边形AFDE是平行四边形,于是得到DF∥AC,DE∥AF,由平行线分线段成比例逐一分析之.
    【详解】∵四边形AFDE是平行四边形,
    ∴DF∥AC,
    ∴,故A正确;
    ∵DE∥AF
    ∴,故B正确;
    ∵DF∥AC,

    又四边形AFDE是平行四边形
    ∴AF=DE
    ∴,故D正确;
    ∵DF∥AC,
    ∴,故C错误;
    故选:C.
    【点睛】本题考查了平分线分线段成比例,熟练掌握平行线分线段成比例定理和平行四边形性质是解题的关键.
    5. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作,书中记载了这样一个题目:今有黄金九枚,白银一十一枚,称之重适等,交易其一,金轻十三两,问金,银各重几何?其大意是:甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同),乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同),两袋重量相等,两袋互换一枚后,甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计),问黄金,白银各重几两?设每枚黄金重x两,每枚白银重y两,根据题意得方程组( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,关键是正确理解题意,找出题目中的等量关系:①枚黄金的重量11枚白银的重量;②枚白银的重量枚黄金的重量1枚白银的重量枚黄金的重量两.
    【详解】解:设每枚黄金重x两,每枚白银重y两,根据题意得方程组为,
    故选:B.
    6. 如图,在平面直角坐标系中,点A、B分别在y,x轴上,轴.点M、N分别在线段、上,,,反比例函数的图象经过M、N两点,P为x正半轴上一点,且,的面积为3,则k的值为( )

    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】过点作轴于点,设点的坐标为,点的坐标为,点的坐标为,则,,,先求出点的坐标为,再根据可得,然后将点的坐标代入反比例函数的解析式可得,从而可得的值,由此即可得.
    【详解】解:如图,过点作轴于点,

    设点的坐标为,点的坐标为,点的坐标为,则,,,


    ,,
    ∴,,
    ,解得,



    的面积为3,
    ,即,
    整理得:,
    将点代入得:,
    整理得:,
    将代入得:,解得,
    则,
    故选:B.
    【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何应用,熟练掌握反比例函数的性质,正确求出点的坐标是解题关键.
    二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分,将答案填在答题纸上)
    7. 若是一元二次方程的两个实数根,则________.
    【答案】##
    【解析】
    【分析】由一元二次方程的根与系数的关系得,,,然后代入求解即可.
    【详解】解:由一元二次方程的根与系数的关系得,,,
    ∴,
    故答案为:.
    【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系,代数式求值.解题的关键在于熟练掌握:一元二次方程的两个实数根,满足,.
    8. 用数字0,1,2,3组成个位数字与十位数字不同的两位数,其中是偶数的概率为__________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】先列表得出所有情况,再找到符合题意的情况,利用概率公式计算即可.
    【详解】解:0不能在最高位,而且个位数字与十位数字不同,
    列表如下:
    一共有可以组成9个数字,偶数有10、12、20、30、32,
    ∴是偶数的概率为.
    故答案为:.
    【点睛】本题考查了列表法求概率,注意0不能在最高位.
    9. 如图,焊接一个钢架,包括底角为的等腰三角形外框和3m高的支柱,则共需钢材约______m(结果取整数).(参考数据:,,)

    【答案】21
    【解析】
    【分析】根据解直角三角形及等腰三角形的性质可进行求解.
    【详解】解:∵是等腰三角形,且,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴共需钢材约为;
    故答案为21.
    【点睛】本题主要考查解直角三角形,熟练掌握三角函数是解题的关键.
    10. 如图,直线,直线与这三条平行线分别交于点和点.若,则的长为__________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】根据平行线分线段成比例列出比例式解答即可.
    详解】∵,
    ∴,
    ∵,则
    ∴,
    解得.
    故答案为:.
    【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例,找准对应线段是解题的关键.
    11. 如图,点A在反比例函数图像的一支上,点B在反比例函数图像的一支上,点C,D在x轴上,若四边形是面积为9的正方形,则实数k的值为______.

    【答案】
    【解析】
    【分析】如图:由题意可得,再根据进行计算即可解答.
    【详解】解:如图:

    ∵点A在反比例函数图像的一支上,点B在反比例函数图像的一支上,

    ∵四边形是面积为9的正方形,
    ∴,即,解得:.
    故答案为.
    【点睛】本题主要考查了反比例函数k的几何意义,掌握反比例函数图像线上任意一点作x轴、y轴的垂线,它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为k的绝对值.
    12. 如图,和都是等腰直角三角形,点E在内,,连接交于点G,交于点H,连接,给出下面四个结论:①;②;③;④.其中所有正确结论的序号是________.
    【答案】① ③ ④
    【解析】
    【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质与判定,熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质与判定是解题的关键.
    由题意易得,,,,则可证,然后根据全等三角形的性质及平行四边形的性质与判定可进行求解.
    【详解】解:∵和都是等腰直角三角形,
    ∴,,,,
    ∵,,
    ∴,故①正确;
    ∴,
    ∴,,故③正确;
    ∵,,,
    ∴,;故②错误;
    ∴,
    ∵,
    ∴四边形是平行四边形,
    ∴,故④正确;
    故答案为① ③ ④.
    三、解答题(本大题共5小题,每小题6分,共30分.)
    13. (1)计算:;
    (2)先化简,再求值:,其中a为满足的整数.
    【答案】(1) (2),
    【解析】
    【分析】本题考查了二次根式的混合运算,分式化简求值,解题关键是熟练运用二次根式的运算法则以及分式运算法则进行求解.
    (1)根据二次根式的性质,化简绝对值,零指数幂,特殊角的三角函数值,进行计算即可求解;
    (2)先根据分式的加减计算括号内的,同时将除法转化为乘法,再根据分式的性质化简,最后将字母的值代入求解.
    【详解】解:(1)

    (2)
    ∵,,
    ∴,,
    又∵a为满足的整数,
    ∴,
    ∴原式.
    14. 如图,,点B是线段上的一点,且,求证:.
    【答案】见解析
    【解析】
    【分析】题考查了相似三角形的判定,熟练掌握两角对应相等的两个三角形相似是解题的关键.
    【详解】证明:∵,,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴.
    15. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.
    (1)求的取值范围;
    (2)当时,用配方法解方程.
    【答案】(1)且
    (2),
    【解析】
    【分析】(1)根据题意,可得,注意一元二次方程的系数问题,即可解答,
    (2)将代入,利用配方法解方程即可.
    【小问1详解】
    解:依题意得:,
    解得且;
    【小问2详解】
    解:当时,原方程变为:,
    则有:,


    方程根为,.
    【点睛】本题考查了根据根的情况判断参数,用配方法解一元二次方程,熟练利用配方法解一元二次方程是解题的关键.
    16. 如图所示,一次函数与反比例函数相交于点A和点.

    (1)求m的值和反比例函数解析式;
    (2)当时,求x的取值范围.
    【答案】(1),
    (2)或
    【解析】
    【分析】(1)根据一次函数的图象与反比例函数的图象交于、B两点可得的值,进而可求反比例函数的表达式;
    (2)观察函数图象,写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可.
    【小问1详解】
    将点代入得:
    解得:
    将代入得:

    【小问2详解】
    由得:,解得
    所以的坐标分别为
    由图形可得:当或时,
    【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,解决本题的关键是掌握反比例函数与一次函数的性质.
    17. 如图,正方形的一个顶点在反比例函数的图象上,请根据下列条件试用无刻度的直尺分别在图1和图2中按要求画四边形,使都在双曲线上.
    (1)在图1中;画一个平行四边形ABCD;
    (2)在图2中,画一个矩形ABCD.
    【答案】(1)见解析 (2)见解析
    【解析】
    【分析】(1)在反比例函数图象上任取一点,作直线交反比例函数图象于点,作直线,交反比例函数图象于点,则,所以四边形为平行四边形.
    (2)作正方形的对角线,交反比例数图象于点,作直线交反比例函数图象于点,作直线,交反比例函数图象于点,则,所以四边形为平行四边形,又,则,则四边形是矩形.
    【小问1详解】
    解:如图所示,在反比例函数图象上任取一点,作直线交反比例函数图象于点,作直线,交反比例函数图象于点,则,所以四边形为平行四边形.
    ∵反比例数图象是中心对称图形,
    ∴,
    ∴四边形为平行四边形;
    【小问2详解】
    解:如图所示,作正方形的对角线,交反比例数图象于点,作直线交反比例函数图象于点,作直线,交反比例函数图象于点,连接,则四边形为矩形;
    ∵,是正方形的顶点,
    ∴,
    设直线的解析式为,

    解得:,
    ∴直线的解析为,
    则,
    解得:或,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    由(1)可得四边形是平行四边形,
    ∵,
    ∴四边形矩形.
    【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题,反比例函数的性质,平行四边形的性质与判定,矩形的性质与判定,综合运用以上知识是解题的关键.
    四、(本大题共3小题,每小题8分,共24分)
    18. 如图,在中,平分,BD的垂直平分线分别交,,于点E,F,G,连接,.
    (1)求证:四边形是菱形;
    (2)若,求的长.
    【答案】(1)见解析 (2)
    【解析】
    【分析】本题考查了菱形的判定和性质,角平分线的性质,线段垂直平分线的性质,直角三角形的性质,熟练运用菱形的判定和性质是本题的关键.
    (1)由角平分线的性质和垂直平分线的性质可证,可得,,由菱形的判定可证结论;
    (2)过点作,由菱形的性质可得,,由直角三角形的性质可得,,即可求的长.
    【小问1详解】
    证明:平分,

    垂直平分,
    ,,
    ,,

    ,,
    四边形是平行四边形,
    又,
    四边形是菱形;
    【小问2详解】
    解:如图,过点作,

    四边形是菱形,


    又,
    ,,
    ,,



    19. 综合实践活动中,某小组用木板自制了一个测高仪测量树高,测高仪为正方形,,顶点A处挂了一个铅锤M.如图是测量树高的示意图,测高仪上的点D,A与树顶E在一条直线上,铅垂线交于点H.经测量,点A距地面,到树的距离,.求树的高度(结果精确到).
    【答案】树的高度为
    【解析】
    【分析】由题意可知,,,易知,可得,进而求得,利用即可求解.
    【详解】解:由题意可知,,,
    则,
    ∴,
    ∵,,
    则,
    ∴,
    ∵,则,
    ∴,
    ∴,
    答:树的高度为.
    【点睛】本题考查解直角三角形的应用,得到是解决问题的关键.
    20. 初三年级“黄金分割项目活动”展示,为了解全体初三年级同学的活动成绩,抽取了部分参加活动的同学的成绩进行统计后,分为“优秀”,“良好”,“一般”,“较差”四个等级,并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图,请结合统计图中的信息,回答下列问题:
    (1)扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为 度,并将条形统计图补充完整.
    (2)如果学校初三年级共有340名学生,则参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有 人.
    (3)此次活动中有四名同学获得满分,分别是甲,乙,丙,丁,现从这四名同学中挑选网名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示,请用列表法或画树状图法,求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率.
    【答案】(1),条形统计图见解析
    (2)
    (3)
    【解析】
    【分析】(1)由周角乘以“优秀”所对应的扇形的百分数,得出“优秀”所对应的扇形的圆心角度数;求出全年级总人数,得出“良好”的人数,补全统计图即可;
    (2)根据比赛成绩良好的占比乘以340即可求解;
    (3)画出树状图,由概率公式即可得出答案.
    【小问1详解】
    解:;
    故答案为:;
    全年级总人数为(人),
    “良好”的人数为(人),
    将条形统计图补充完整,如图所示:
    【小问2详解】
    参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有:(人),
    故答案为:;
    【小问3详解】
    画树状图,如图所示:
    共有个可能的结果,选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有2个,
    ∴(选中的两名同学恰好是甲、丁)=.
    【点睛】此题主要考查了列表法与树状图法,以及扇形统计图、条形统计图的应用,样本估计总体,从统计图表中获取信息是解题的关键.
    五、(本大题共2小题,每小题9分,共18分)
    21. 国际风筝节期间,王大伯决定销售一批风筝,经市场调研:蝙蝠型风筝进价每个为10元,当售价每个为12元时,销售量为180个,若售价每提高1元,销售量就会减少10个,请回答以下问题:
    (1)用表达式表示蝙蝠型风筝销售量(个)与售价(元)之间的函数关系();
    (2)王大伯为了让利给顾客,并同时获得840元利润,售价应定为多少?
    【答案】(1)
    (2)王大伯为了让利给顾客,并同时获得840元利润,售价应定为16元
    【解析】
    【分析】(1)设蝙蝠型风筝售价为x元时,销售量为y个,根据“当售价每个为元时,销售量为个,若售价每提高1元,销售量就会减少个”即可得出y关于x的函数关系式;
    (2)设王大伯获得的利润为W,根据“总利润=单个利润×销售量”,即可得出W关于x的函数关系式,然后令,解一元二次方程并检验即可解答.
    【小问1详解】
    解:设蝙蝠形风筝售价为x元时,销售量为y个,根据题意可知.
    【小问2详解】
    解:设王大伯获得的利润为,则,
    令,则,
    解得:,,
    答:王大伯为了让利给顾客,并同时获得840元利润,售价应定为16元.
    【点睛】本题主要考查了列函数关系式、二次函数、一元二次方程的应用,根据数量关系找出函数的关系式是解答本题的关键.
    22. 已知,矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示,点C在x轴的正半轴上,点A在y轴的正半轴上,已知点B的坐标为,反比例函数的图象经过的中点D,且与交于点E,设直线的解析式为,连接.
    (1)求反比例函数的表达式和点E的坐标;
    (2)直接写出不等式的解集;
    (3)点M为y轴正半轴上一点,若的面积等于的面积,求点M的坐标;
    【答案】(1),
    (2)和
    (3)
    【解析】
    【分析】本题主要考查反比例函数与四边形的综合,掌握反比例函数的图形和性质是解题的关键.
    (1)由矩形的性质可得,然后得的中点的坐标,再代入反比例函数解析式,可求出k,然后再求E的坐标;
    (2)由图象可知和时,反比例函数的图象在上方,由此可得答案;
    (3)根据点的坐标的特点得的面积,设,由的面积,可得答案;
    【小问1详解】
    ∵四边形为矩形,点,
    ∴,
    ∵的中点D,
    ∴,
    ∵反比例函数的图象经过的中点D,
    ∴,
    ∴反比例函数的解析式为:;
    当时,,
    ∴点E的坐标;
    【小问2详解】
    ∵与交于点D、E两点,
    ∴和时,反比例函数的图象在上方,
    即解集为和;
    【小问3详解】
    ∵,,
    ∴的面积为,
    设,
    则的面积,
    ∴,
    ∴或(舍去).
    六、(本大题共12分)
    23. 某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中,将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形,按如图1的方式摆放,,随后保持不动,将绕点C按逆时针方向旋转(),连接,,延长交于点F,连接.该数学兴趣小组进行如下探究,请你帮忙解答:
    (1)【初步探究】如图2,当时,则_____;
    (2)【初步探究】如图3,当点E,F重合时,请直接写出,,之间的数量关系:_________;
    (3)【深入探究】如图4,当点E,F不重合时,(2)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出推理过程;若不成立,请说明理由.
    (4)【拓展延伸】如图5,在与中,,若,(m为常数).保持不动,将绕点C按逆时针方向旋转(),连接,,延长交于点F,连接,如图6.试探究,,之间的数量关系,并说明理由.
    【答案】(1)
    (2)
    (3)仍然成立,理由见解析
    (4)
    【解析】
    【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质,可得,根据题意可得,根据等原三角形的性质可得平分,即可得,根据旋转的性质可知;
    (2)证明,可得,根据等腰直角三角形可得,由,即可即可得出;
    (3)同(2)可得,过点,作,交于点,证明,,可得,即可得出;
    (4)过点作,交于点,证明,可得,,在中,勾股定理可得,即可得出.
    【小问1详解】
    等腰直角三角形和等腰直角三角形,

    故答案为:
    【小问2详解】
    在与中,

    重合,
    故答案为:
    【小问3详解】
    同(2)可得

    过点,作,交于点,
    则,

    在与中,



    是等腰直角三角形,
    ,,


    在与中,




    即,
    【小问4详解】
    过点作,交于点,
    ,,









    ,,
    中,,

    即.
    【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质,旋转的性质,全等三角形的性质与判定,相似三角形的性质与判定,掌握全等三角形的性质与判定,相似三角形的性质与判定是解题的关键.1
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