2023-2024学年京改版九年级上册第十八章相似形单元测试卷(含答案)

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2023-2024学年 京改版九年级上册 第十八章� 相似形 单元测试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．如图，在矩形ABCD中，点是边BC的三等分点，点是边CD的中点，线段AG，AH与对角线BD分别交于点E，F．设矩形ABCD的面积为，则以下4个结论中：①；②；③；④．正确的结论有（     ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图，，，则下列比例式不正确的是（   ）A． B． C． D．3．如图，平行四边形内接于，已知，，的面积为1，3，1，那么的面积为（　　）A．3 B．4 C．5 D．64．如图，直线，直线和被所截，，，，则的长为（    ）A． B． C． D．5．如图，在的小正方形组成的网格中，和的顶点都在网格点上，则的度数为（    ）A． B． C． D．6．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（　　）  A． B． C． D．7．如图，在中，，且，则的值为(   )A． B． C． D．8．如图，在平行四边形中，为上一点，，连结交于点，若的面积为4，则四边形的面积等于（    ）A．50 B．35 C．31 D．209．如图，菱形，点M，N在AC上，，．若，，则（    ）A．3 B．4 C．5 D．610．若，相似比为，的周长为10，则的周长是（    ）A．5 B．10 C．15 D．2011．如图，在中，若，，，则的长为 ．12．如图，矩形中，，点为对角线上一动点，于点，连接，当时，则的长度为 ；当最小时，的长为 ．13．如图，点是的重心，过点作，交于点，连接，若的面积为3，则的面积为 ．14．如图，在矩形中，是边上一点，连接交对角线于点，若，则的长为 ．15．已知，则 ．16．如图，在矩形中，，，、分别是、边上的动点，，则的最小值为 ．17．已知，如图1，在等腰中，，点E是射线上的动点，点D是边上的动点，且，射线交射线于点F．(1)求证：；(2)连接，如果是以为腰的等腰三角形，求线段的长；(3)如图2，当点E在边上时，连接，若，线段的长为 ．18．如图，矩形中，，点从点出发沿向点移动（不与重合）．同时，点从点出发沿向点移动（不与重合），若有一点到达终点则两点都停止运动，设运动时间为．(1)若点均以的速度移动，当四边形为菱形时，求的值；(2)若点为的速度移动，点以的速度移动，当为直角三角形时，求的值．评卷人得分一、单选题评卷人得分二、填空题评卷人得分三、解答题参考答案：1．B【分析】根据矩形性质得到，即可得到，从而得到即可判断①②，同时根据相似即可判断对应高之比，即可判断③④，即可得到答案．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∴，∵点是边的三等分点，点是边的中点，，设，则，∴，故①正确，②错误；∵，∴，同理可得：，∵，设，则，∴，∴，故③正确，④错误；故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形相似的性质和判定，平行线分线段成比例定理，三角形面积等知识，解题的关键是理解题意，掌握同高三角形面积等于底边比，相似三角形面积的比等于相似比的平方．2．B【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质和判定，灵活应用平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．根据平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定定理与性质定理求解即可．【详解】解：∵，∴，，∴，故A、C选项的比例式正确，不符合题意；∵，，∴，∴，，∴，，∴，故B选项的比例式不正确，符合题意；∵，∴，，∴， 故D选项的比例式正确，不符合题意；无法得到，故选：B．3．B【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定以及性质，作三角形的高，交与N，交于M，设，，得出的面积为，由平行四边形的性质得出，进一步得出，根据面积之比等于高的比的平方，列出关于的比例，求出即可求出答案．【详解】解：作三角形的高，交与N，交于M，如图：设，．∵．∴，∴的面积为；又∵，∴，根据面积之比等于高的比的平方，∴，解得，（舍去）故的面积为4．故选：B．4．D【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入已知线段的长度即可求解，根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解题的关键．【详解】解：∵，∴，∴，解得，故选：．5．B【分析】本题考查了勾股定理的性质，相似三角形的性质与判定根据网格的特点，利用勾股定理求得、各边长，进而证明，根据相似三角形的性质得出，即可求解．【详解】解：∵，，∵，∴，∴，，根据网格可得，故选：B．6．C【分析】本题考查相似三角形的判定定理，熟悉掌握判定定理是解决本题的关键．【详解】解：∵，∴，A. 添加，可得到相似，不符合题意；B. 添加，可得到相似，不符合题意；C.添加 ，不能得到相似，符合题意；D. 添加，可得到相似，不符合题意；故选C．7．A【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理：由，根据平行线分线段成比例定理得到，．【详解】解：，，，故选：A．8．C【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．根据四边形是平行四边形得到，得到，结合得到，即可得到，结合的面积是4即可得到四边形的面积，即可得到，即可得到答案．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵，即，∴，∴，，设高的公比为k，底的公比为m，∴，，，，∵的面积是4，∴，即，∴，∴四边形的面积是：，故选：C．9．B【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，根据菱形的对角线平分一组对角可得，然后求出和相似，再利用相似三角形对应边成比例列出求解即可．【详解】如图， 在菱形中，，又∵，，∴．∴，∴，即，解得．故选B．10．D【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键在于熟知相似三角形的周长之比等于相似比．【详解】解：∵，相似比为，∴的周长与的周长之比为，∵的周长为10，∴的周长是20，故选D．11．【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，先根据线段之间的关系得到，再证明得到，据此代值计算即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，故答案为：．12． 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握这些知识是关键．当时，点E与点D、点F与点B重合，此时利用相似三角形的性质即可求得的长；确定何时最小，由相似三角形的性质得到是等腰三角形，由三线合一即可求解．【详解】解：当时，点E与点D、点F与点B重合，如图，∵，四边形是矩形，∴，∵，∴，∴，∵，∴；设交于点，如图，由于，当重合时，即时，有最小值；∵，，∴，∴，∵，∴，当重合时，则，此时点G是的中点，∴，即当最小时，的长为；故答案为：13．【分析】本题主要考查了三角形的重心，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线即可解题． 连接并延长交于点E，根据三角形重心可得，，从而可得，再利用平行线分线断成比例可得，进而可得可得，然后证明可得，从而可得，最后可求出的面积．【详解】解：连接并延长交于点E，如下图：∵点P是的重心，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，故答案为：．14．4【分析】本题考查了矩形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理，利用勾股定理求出根据矩形的性质证明，利用三角形相似的性质即可求解．【详解】解：是矩形，，，，，，，，，，．15．【分析】本题主要考查等比性质的应用，，则，由此可解．【详解】解：∵，∴，故答案为：.16．5【分析】因与两条线段不在同一条直线上，只需将两条线段转换在同一条直线上即可，作，且，连接，又因点在上是一动点，由边与边关系，只有当点在直线上时的和最小，由平行四边形可知时可求的最小值．【详解】解：设，则；过点作，且连接，当点、、三点共线时，的最值小；如图：四边形是平行四边形：由点、、三点共线，由四边形是矩形．四边形是平行四边形．又在中，由勾股定理得：又∵，则，解得∶，在中，由勾股定理得：又又故答案为：5．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理和最短距离问题等知识点，重点掌握相似三角形的判定与性质，求的长时也可以用三角形的中位线求解，难点是作辅助线，三点共线时两条线段的和最小．17．(1)见解析(2)或或9(3)2【分析】（1）可推出，从而得出结论；（2）分为三种情形：当点E在上时，设，则，根据得出，从而求得结果；当点E在的延长线上，当时，设，则，根据得出，进而求得结果；当时，设，由得出，求得m的值，进一步得出结果；（3）作，交于点G，作于H，作于Q，作于T，可得：，，，从而得出比例式，设，则，设，则，依次表示出，根据列出①；可得出，从而，进而得出②，由①②求x的值，进而得出结果．【详解】（1）证明：，，，，，；（2）解：如图1，当点E在上时，设，是以为腰的三角形，，，由（1）得：；∴，即，∴，，如图2，当点E在的延长线上，当时，由（1）得：；∴，即，设，则，∴，∴，∴，如图3，当时，设，由得，，，，综上所述：的长为或或9；（3）解：如图4，作，交于点G，作于H，作于Q，作于T，可得：，，，∴，设，则，设，则，∴，，，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，，由得，，①，，，，，，，∴，∴②，由①②得，，，故答案为：2．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．18．(1)的值为(2)t的值为或1或【分析】（1）易得四边形为平行四边形，当时，四边形是菱形，在中，由勾股定理建立方程即可求得t的值；（2）分两种情况考虑：当时，利用相似三角形的性质即可求得t的值；当时，由即可求得t的值，从而问题即可解决．【详解】（1）解：∵在矩形中，，由题意知：，∴四边形为平行四边形，∴当时，四边形是菱形，∵，∴在中，由勾股定理得：，解得：  即当四边形为菱形时，的值为；（2）解：当点F与点A重合时，，即；①当时，过点E作于G，如图，则四边形是矩形，∴，∵，∴，；∵，∴，∵，∴，∴，即，解得：或；  ②当时，则四边形是矩形，∴，∴，即，显然，满足题意；由于点F不与点B重合，则；综上，满足题意的t值为或1或．  【点睛】本题是动点问题，考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，菱形的性质及平行四边形的判定，勾股定理，解方程等知识，有一定的综合性．