+吉林省松原市前郭县南部学区2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷

这是一份+吉林省松原市前郭县南部学区2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2分）下面所给的银行标志图中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2分）下列运算中，正确的是（ ）
A．a2•a＝a3B．（a3）3＝a6C．a3+a3＝a5D．a6÷a2＝a3
4．（2分）经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，数据0.00000201用科学记数法表示为（ ）
A．20.1×10﹣3B．2.01×10﹣4
C．0.201×10﹣5D．2.01×10﹣6
5．（2分）小华在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把中间一项的系数染黑了，得到正确的结果为a2■ab+9b2，则中间一项的系数是（ ）
A．6B．﹣6C．6或﹣6D．18
6．（2分）如图，在△ABC中，点M，AM＝NM，BM⊥AC，且NM＝ND，若∠A＝70°（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）计算：+20240＝ ．
8．（3分）若分式的值为0，则x的值为 ．
9．（3分）分解因式：3a2﹣27＝ ．
10．（3分）若一个n边形的内角和正好是它的外角和的5倍，则n＝ ．
11．（3分）如图所示，∠A＝20°，则∠B+∠C+∠D+∠E＝ °．
12．（3分）如图所示，AA′，BB′表示两根长度相同的木条，BB′的中点，经测量AB＝9cm cm．
13．（3分）如图，在△ABC中，点E在AB的垂直平分线上，AD平分∠EAC．若AC＝3，CD＝1 ．
14．（3分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，若BC＝5，DE＝3，则四边形ABCD的面积是 ．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）解方程．
16．（5分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，E是AC的中点，DE⊥AC，连接CD．求证：△CDB是等边三角形．
17．（5分）先化简，再求值：（3x﹣y）2﹣（3x+2y）（3x﹣2y），其中，．
18．（5分）已知：P是线段AB的中点，∠1＝∠2，PD＝PC
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．线段AB的端点A、B均在格点上，分别按下列要求画图．
（1）在图①中画一个△ABC，使△ABC的面积是10；
（2）在图②中画一个△ABD，使△ABD是轴对称图形；
（3）在图③中画一个△ABE，点E在格点上，且∠E大于90°．
20．（7分）先化简：（1﹣）÷，再从1、2、0中选择一个合适的数代入求值．
21．（7分）已知三角形的底边长为（2x+1）cm，高是（x﹣2），若把底边和高各增加5厘米，那么三角形面积增加了多少？并求出x＝3时三角形增加的面积．
22．（7分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，BC与AD的延长线交于点E．
（1）求证：AD＝CD；
（2）若AE＝BE，∠B＝72°，直接写出图中所有的锐角等腰三角形．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）某中学为了止学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的1.5倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少5捆．
（1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格；
（2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元，学校决定在菜苗基地购买A、B两种菜苗共100捆，所花的费用不超过2400元
24．（8分）【问题】如图①，在等边△ABC中，点D、E在BC、AC上，AD、BE交于点O，则∠BOD＝ 度；
【探究】如图②，在等边△ABC中，点D、E分别在BC、CA的延长线上，求∠BOD的度数；
【应用】如图③，在△ABC中，点D、E分别在AB、BC的延长线上，若AB＝AC＝BD＝AO，BC＝EC，则∠AOD＝ 度．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为 ．
【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为 ．
【应用】（1）根据图②所得的公式，若a+b＝10，则a2+b2＝ ．
（2）若x满足（11﹣x）（x﹣8）＝2，求（11﹣x）2+（x﹣8）2的值．
【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，BE＝CE．该校计划在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，直接写出种草区域的面积和．
26．（10分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D．点P为边BC上一动点，连接AP，使点Q在射线AC上，过点Q作QE⊥BC于点E．
（1）AD的长为 ；
（2）当点P在线段BD上时，求证：△APD≌△PQE；
（3）若AP将△ABC分成面积比为1：3的两部分，求DE的长；
（4）若△PCQ的一个内角为15°，直接写出∠APQ的大小．
2023-2024学年吉林省松原市前郭县南部学区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据分式有意义的条件可得2x﹣1≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：2x﹣1≠3，
解得：x≠，
故选：D．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
2．（2分）下面所给的银行标志图中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，
选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形，
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（2分）下列运算中，正确的是（ ）
A．a2•a＝a3B．（a3）3＝a6C．a3+a3＝a5D．a6÷a2＝a3
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方法则逐项判断即可．
【解答】解：A、a2•a＝a，故该选项正确；
B、（a3）6＝a9，故该选项不正确，不符合题意；
C、a3+a4＝2a3，故该选项不正确，不符合题意；
D、a6÷a2＝a4，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
4．（2分）经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，数据0.00000201用科学记数法表示为（ ）
A．20.1×10﹣3B．2.01×10﹣4
C．0.201×10﹣5D．2.01×10﹣6
【分析】利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000201＝2.01×10﹣6．
故选：D．
【点评】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，掌握形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10是关键．
5．（2分）小华在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把中间一项的系数染黑了，得到正确的结果为a2■ab+9b2，则中间一项的系数是（ ）
A．6B．﹣6C．6或﹣6D．18
【分析】运用完全平方公式求出（a±3b）2对照求解即可．
【解答】解：∵（a±3b）2＝a4±6ab+9b6，
∴染黑的部分为±6．
故选：C．
【点评】本题主要考查完全平方公式，熟记完全平方公式是解题的关键．
6．（2分）如图，在△ABC中，点M，AM＝NM，BM⊥AC，且NM＝ND，若∠A＝70°（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【分析】根据垂直定义可得∠AMB＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠ABM＝20°，再根据已知易得BM是AN的垂直平分线，从而可得BA＝BN，然后根据等腰三角形的三线合一性质可得∠ABM＝∠NBM＝20°，再利用角平分线性质定理的逆定理可得BN平分∠MBD，从而可得∠NBM＝∠NBD＝20°，最后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答．
【解答】解：∵BM⊥AC，
∴∠AMB＝90°，
∵∠A＝70°，
∴∠ABM＝90°﹣∠A＝20°，
∵AM＝MN，
∴BM是AN的垂直平分线，
∴BA＝BN，
∴∠ABM＝∠NBM＝90°﹣∠A＝20°，
∵MN＝ND，NM⊥BM，
∴BN平分∠MBD，
∴∠NBM＝∠NBD＝20°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠ABM﹣∠NBM﹣∠NBD＝50°，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，角的计算，熟练掌握是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）计算：+20240＝ 5 ．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：+20240
＝4+3
＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
8．（3分）若分式的值为0，则x的值为 ﹣3 ．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：因为分式的值为0＝0，
化简得x5﹣9＝0，即x8＝9．
解得x＝±3
因为x﹣8≠0，即x≠3
所以x＝﹣4．
故答案为﹣3．
【点评】本题主要考查分式的值为0的条件，注意分母不为0．
9．（3分）分解因式：3a2﹣27＝ 3（a+3）（a﹣3） ．
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式．
【解答】解：3a2﹣27
＝4（a2﹣9）
＝6（a+3）（a﹣3）．
故答案为：3（a+3）（a﹣3）．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法和公式法是解决本题的关键．
10．（3分）若一个n边形的内角和正好是它的外角和的5倍，则n＝ 12 ．
【分析】根据多边形的内角和与外角和列得方程，解方程即可．
【解答】解：由题意可得（n﹣2）•180°＝360°×5，
解得：n＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查多边形的内角和与外角和，结合已知条件列得正确的方程是解题的关键．
11．（3分）如图所示，∠A＝20°，则∠B+∠C+∠D+∠E＝ 200 °．
【分析】先根据三角形的内角和定理可得∠1+∠2＝180°﹣∠A，再根据两个三角形的内角和为360°可得结论．
【解答】解：如图，
∵∠A＝20°，
∴∠1+∠2＝180°﹣20°＝160°，
∵∠B+∠C+∠3＝180°，∠D+∠E+∠2＝180°，
∴∠B+∠C+∠D+∠E＝360°﹣（∠1+∠5）＝360°﹣160°＝200°，
故答案为：200．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，能求出∠1+∠2的度数是解此题的关键．
12．（3分）如图所示，AA′，BB′表示两根长度相同的木条，BB′的中点，经测量AB＝9cm 9 cm．
【分析】先证明OA＝OB＝OB′＝OA′，进而证明△AOB≌△A′OB′（SAS）得到A′B′＝AB＝9cm即可．
【解答】解：∵AA′＝BB′，O是AA′，
∴，
在△AOB和△A′OB′中，
，
∴△AOB≌△A′OB′（SAS），
∴A′B′＝AB＝9cm，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有SSS，SAS，AAS，ASA，HL．
13．（3分）如图，在△ABC中，点E在AB的垂直平分线上，AD平分∠EAC．若AC＝3，CD＝1 4 ．
【分析】根据等腰三角形的性质得到ED＝CD＝1，根据线段垂直平分线的性质得到BE＝AE＝3，计算即可．
【解答】解：∵AC＝AE，AD平分∠EAC，CD＝1，
∴ED＝CD＝1，AE＝AC＝5，
∵点E在AB的垂直平分线上，
∴BE＝AE＝3，
∴BD＝BE+ED＝3+8＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
14．（3分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，若BC＝5，DE＝3，则四边形ABCD的面积是 21 ．
【分析】过点D作DF⊥BC，交BC延长线于点F，证△DBE≌△DBF（AAS），得BE＝BF，再证Rt△AED≌Rt△CFD（HL），得AE＝CF＝2，则AB＝9，然后由三角形面积公式即可得出结论．
【解答】解：如图，过点D作DF⊥BC，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，
∴DE＝DF＝3，∠AED＝∠BED＝∠BFD＝90°，
在△DBE和△DBF中，
，
∴△DBE≌△DBF（AAS），
∴BE＝BF，
在Rt△AED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△CFD（HL），
∴AE＝CF＝2，
∴AB＝AE+BE＝AE+BF＝AE+BC+CF＝2+5+2＝5，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝AB•DE+×9×3+，
故答案为：21．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线定义以及三角形面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）解方程．
【分析】本题的最简公分母是（4﹣x），方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．
【解答】解：方程两边都乘（4﹣x），
得x﹣3﹣（6﹣x）＝﹣1，
去括号、整理，
解得x＝3，
当x＝5时，4﹣x≠0．
所以，x＝7是原方程的解．
【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．
16．（5分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，E是AC的中点，DE⊥AC，连接CD．求证：△CDB是等边三角形．
【分析】根据等腰三角形的性质以及30°所对边等于斜边的一半得出BC＝BD，进而得出△CDB是等边三角形．
【解答】证明：∵E是AC的中点，DE⊥AC，
∴AD＝CD，
∵DE∥BC，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠DCA＝30°，
∴∠CDB＝60°，
∵∠A＝30°，
∴BC＝AB，
∴BC＝BD，
∴△BDC是等边三角形．
【点评】此题主要考查了等边三角形的判定，得出AD＝BD是解题关键．
17．（5分）先化简，再求值：（3x﹣y）2﹣（3x+2y）（3x﹣2y），其中，．
【分析】把x、y的值代入计算即可得到答案，熟练掌握整式的混合运算法则是解此题的关键．
【解答】解：（3x﹣y）2﹣（2x+2y）（3x﹣3y）
＝9x2﹣8xy+y2﹣（9x6﹣4y2）
＝3x2﹣6xy+y6﹣9x2+6y2
＝5y7﹣6xy，
当，，原式＝．
【点评】本题考查了整式的化简求值，根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项把原式化简，熟练掌握整式的混合运算法则是解此题的关键．
18．（5分）已知：P是线段AB的中点，∠1＝∠2，PD＝PC
【分析】先根据线段AB的中点的定义得PA＝PB，再根据∠1＝∠2得∠APD＝∠BPC，据此可依据“SAS”判定△APD和△BPC全等，然后根据全等三角形的性质可得出结论．
【解答】证明：∵P是线段AB的中点，
∴PA＝PB，
∵∠1＝∠2，
∴∠4+∠EPF＝∠2+∠EPF，
即∠APD＝∠BPC，
在△APD和△BPC中，
，
∴△APD≌△BPC（SAS），
∴∠D＝∠C，
即∠C＝∠D．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．线段AB的端点A、B均在格点上，分别按下列要求画图．
（1）在图①中画一个△ABC，使△ABC的面积是10；
（2）在图②中画一个△ABD，使△ABD是轴对称图形；
（3）在图③中画一个△ABE，点E在格点上，且∠E大于90°．
【分析】（1）利用三角形面积公式，把B点向右平移4格得到C点，则△ABC满足条件；
（2）以过A的铅垂线为对称轴，作出B点的对称点D，则△ABD满足条件；
（3）把B点向右平移1格得到E点，则△ABE满足条件．
【解答】解：（1）如图①，△ABC为所求．
（2）如图②，△ABD为所求．
（3）如图③，△ABE为所求．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．
20．（7分）先化简：（1﹣）÷，再从1、2、0中选择一个合适的数代入求值．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：
＝•
＝，
∵a≠0，a﹣3≠0，
∴a≠0，a≠3，
∴当a＝2时，原式＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21．（7分）已知三角形的底边长为（2x+1）cm，高是（x﹣2），若把底边和高各增加5厘米，那么三角形面积增加了多少？并求出x＝3时三角形增加的面积．
【分析】根据题意可得面积增加（2x+1+5）（x﹣2+5）﹣（2x+1）（x﹣2）＝x+10，将x的值代入求解可得．
【解答】解：根据题意，面积增加（2x+3）（x﹣2）
＝（2x2+3x+6x+18）﹣（2x2﹣5x+x﹣2）
＝x2+3x+9﹣（x2﹣x﹣1）
＝x+10，
当x＝3时，原式＝7）．
【点评】本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握整式的乘法运算法则和顺序是解题的关键．
22．（7分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，BC与AD的延长线交于点E．
（1）求证：AD＝CD；
（2）若AE＝BE，∠B＝72°，直接写出图中所有的锐角等腰三角形．
【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可；
（2）根据等腰三角形的判定解答即可．
【解答】（1）证明：∵CD∥AB，
∴∠ACD＝∠BAC，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴∠ACD＝∠DAC，
∴AD＝CD；
∠CAD，
∴∠CAD＝∠ACD，
∴AD＝CD．
（2）解：∵AE＝BE，∠B＝72°，
∴△ABE是等腰三角形，
∴∠E＝36°，∠BAE＝72°，
∵对角线AC平分∠BAD，
∴∠CAE＝36°，
∴AC＝CE，
∴△ACE是等腰三角形，
∴∠ACE＝108°，
∴∠ACB＝72°，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵CD∥AB，
∴∠DCE＝∠B＝72°，
∴∠CDE＝72°，
∴△CDE是等腰三角形，
∴所有的锐角等腰三角形是△ABC，△CDE．
【点评】此题考查等腰三角形的判定，关键是根据平行线的性质和角平分线的定义和等腰三角形的判定解答即可．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）某中学为了止学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的1.5倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少5捆．
（1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格；
（2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元，学校决定在菜苗基地购买A、B两种菜苗共100捆，所花的费用不超过2400元
【分析】（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，根据用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少5捆，列方程可得菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元；
（2）设购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗（100﹣m）捆，由本次购买花费不超过2400元得：20m+30（100﹣m）≤2250解即可得答案．
【解答】解：（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，
根据题意得：﹣＝4，
解得x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，
答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元；
（2）设购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗（100﹣m）捆，
20m+30（100﹣m）≤2400，
解得：m≥60，
∴所花的费用不超过2400元，在菜苗基地购买A种菜苗至少60捆．
答：菜苗基地购买A种菜苗至少60捆．
【点评】本题考查分式方程和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式．
24．（8分）【问题】如图①，在等边△ABC中，点D、E在BC、AC上，AD、BE交于点O，则∠BOD＝ 60 度；
【探究】如图②，在等边△ABC中，点D、E分别在BC、CA的延长线上，求∠BOD的度数；
【应用】如图③，在△ABC中，点D、E分别在AB、BC的延长线上，若AB＝AC＝BD＝AO，BC＝EC，则∠AOD＝ 76 度．
【分析】【问题】利用SAS证明△BAE≌△ACD，根据全等三角形的性质及三角形外角性质求解即可；
【探究】根据等边三角形的性质得到AB＝AC，∠BCA＝∠CAB＝60°，则∠BAE＝∠ACD＝120°，推出△BAE≌△ACD（SAS），根据全等三角形的性质得到∠E＝∠D，根据三角形外角性质即可求出∠BOD；
【应用】利用SAS证明△ACE≌△DBC，根据全等三角形的性质得到∠E＝∠BCD，再根据三角形外角性质及等腰三角形的性质推出∠AOD＝2∠BCD，∠AOD＝114°﹣∠BCD，据此求解即可．
【解答】解：【问题】∵△ABC为等边三角形，
∴BC＝AB，∠BAE＝∠ACD＝60°，
在△BAE和△ACD中，
，
∴△BAE≌△ACD（SAS），
∴∠CBE＝∠ACD，
∴∠BOD＝∠CBE+∠BCD＝∠ACD+∠BCD＝∠BCA＝60°，
故答案为：60；
【探究】∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BCA＝∠CAB＝60°，
∴∠BAE＝∠ACD＝120°，
在△BAE与△ACD中，
，
∴△BAE≌△ACD（SAS），
∴∠E＝∠D，
∵∠BOD＝∠E+∠EAO，∠D+∠CAD＝∠BCA＝60°，
∴∠BOD＝60°；
【应用】∵AB＝AC，∠ABC＝66°，
∴∠ACB＝∠ABC＝66°，
∴∠ACE＝∠DBC＝114°，
在△ACE和△DBC中，
，
∴△ACE≌△DBC（SAS），
∴∠E＝∠BCD，
∵∠AOD＝∠E+∠OCE，∠OCE＝∠BCD，
∴∠AOD＝2∠BCD，
∵AC＝AO，
∴∠AOD＝∠ACO＝180°﹣∠ACD＝180°﹣∠BCD﹣∠ACB＝180°﹣66°﹣∠BCD＝114°﹣∠BCD，
∴2∠BCD＝114°﹣∠BCD，
∴∠BCD＝38°，
∴∠AOD＝76°，
故答案为：76．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为 （a+b）2＝a2+2ab+b2 ．
【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为 a2+b2 ．
【应用】（1）根据图②所得的公式，若a+b＝10，则a2+b2＝ 90 ．
（2）若x满足（11﹣x）（x﹣8）＝2，求（11﹣x）2+（x﹣8）2的值．
【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，BE＝CE．该校计划在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，直接写出种草区域的面积和．
【分析】【教材原题】观察图①，可得等式；
【类比探究】阴影部分由两个正方形组成；
【应用】（1）根据完全平方公式可得；
（2）运用完全平方公式可得；
【拓展】已知种花区域面积和AC＝7，可得AE•CE，即可求出种草区域的面积和．
【解答】解：【教材原题】：观察图①可得，（a+b）2＝a2+7ab+b2，
故答案为：（a+b）2＝a7+2ab+b2；
【类比探究】：观察图②可得，图中阴影部分图形的面积和＝a7+b2，
故答案为：a2+b5；
【应用】：（1）a2+b2＝（a+b）6﹣2ab＝100﹣10＝90，
故答案为：90；
（2）（11﹣x）2+（x﹣4）2＝[（11﹣x）+（x﹣8）]7﹣2（11﹣x）（x﹣8）＝2﹣4＝5，
∴（11﹣x）7+（x﹣8）2的值是4；
【拓展】：∵AC⊥BD，AE＝DE，
∴S△ADE＝AE6，S△BEC＝CE5，
∵种花区域的面积和为，
∴AE2+CE5＝25，
∵AC＝7，
∴AE•CE＝12，
∴AE•BE＝DE•CE＝12，
∴种草区域的面积和＝（AE•BE+DE•CE）＝12．
【点评】本题考查了完全平方公式，关键是熟练掌握并学会运用完全平方公式解决问题．
26．（10分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D．点P为边BC上一动点，连接AP，使点Q在射线AC上，过点Q作QE⊥BC于点E．
（1）AD的长为 2 ；
（2）当点P在线段BD上时，求证：△APD≌△PQE；
（3）若AP将△ABC分成面积比为1：3的两部分，求DE的长；
（4）若△PCQ的一个内角为15°，直接写出∠APQ的大小．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得BD＝CD，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论；
（2）证∠PAD＝∠QPE，再证∠QED＝∠PDA＝90°，然后由AAS证△APD≌△PQE即可；
（3）分两种情况，①点P在线段BD上时，②点P在线段CD上时，分别求出DE的长即可；
（4）分两种情况，①点P在线段BD上时，∠QPC＝15°，证△APQ为等边三角形，得∠APQ＝60°；②点P在线段CD上时，∠QPC＝15°或∠PQC＝15°，求出∠APQ＝120°或150°；即可得出结论．
【解答】（1）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴∠PDA＝90°，BD＝CD，
∴AD＝BC＝，
故答案为：2；
（2）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC＝∠BAC＝45°＝∠C，
∵PA＝PQ，
∴∠PAQ＝∠PQA，
∵∠PAQ＝∠PAD+∠DAC＝∠PAD+45°，∠PQA＝∠C+∠QPE＝45°+∠QPE，
∴∠PAD＝∠QPE，
∵QE⊥BC，
∴∠QED＝∠PDA＝90°，
∴△APD≌△PQE（AAS）；
（3）解：分两种情况：
①如图1，点P在线段BD上时，
∵AP将△ABC分成面积比为5：3的两部分，
∴BP：PC＝1：8，
∵BP+PC＝BC＝4，
∴BP＝1，PC＝5，
由（1）可知，BD＝CD＝，△APD≌△PQE，
∴PD＝BD﹣BP＝5，AD＝PE＝2，
∴DE＝PE﹣PD＝2﹣2＝1；
②如图2，点P在线段CD上时，
∵AP将△ABC分成面积比为4：3的两部分，
∴BP：PC＝3：5，
∵BP+PC＝BC＝4，
∴BP＝3，PC＝7，
同（1）得：BD＝CD＝BC＝3，
∴PD＝CD﹣PC＝1，AD＝PE＝2，
∴DE＝PE+PD＝4+1＝3；
综上所述，DE的长为3或3；
（4）解：分两种情况：
①点P在线段BD上时，如图1，
∵QE⊥BC，
∴∠QEC＝90°，
∵∠QCE＝∠ACB＝45°，
∴∠EQC＝90°﹣45°＝45°，
∴∠PQC＞45°，
∴只有∠QPC＝15°，
∴∠AQP＝∠ACP+∠QPC＝45°+15°＝60°，
∵AP＝PQ，
∴△APQ为等边三角形，
∴∠APQ＝60°；
②点P在线段CD上时，如图7，
∵∠PCQ＝180°﹣∠ACB＝180°﹣45°＝135°，
∴∠QPC＝15°或∠PQC＝15°，
当∠QPC＝15°时，
由（2）可知，△APD≌△PQE，
∴∠PAD＝∠QPE＝15°，
∴∠PAC＝∠CAD﹣∠PAD＝45°﹣15°＝30°，
∵PA＝PQ，
∴∠PQC＝∠PAC＝30°，
∴∠APQ＝180°﹣∠PQC﹣∠PAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°；
当∠PQC＝15°时，
∵PA＝PQ，
∴∠PQC＝∠PAC＝15°，
∴∠APQ＝180°﹣∠PQC﹣∠PAC＝180°﹣15°﹣15°＝150°；
综上所述，∠APQ的度数为60°或120°或150°．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的外角性质、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
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