湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高一上学期期末模拟数学试题

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1. 命题“”的否定是( )
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据全称命题的否定理解判断.
【详解】命题“”的否定是“”.
故选：A.
2. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解对数不等式求出集合A，再求出指数函数的值域即可求出集合B，进而根据交集的概念即可求出结果.
【详解】因为，即，所以，
而由于，则，即
所以.
故选：B.
3. 下列说法正确的是( )
A. 若，则B. 若则
C. 若，，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】利用不等式的性质、结合特例法逐一判断即可.
【详解】A：当时，显然不成立，因此本选项说法不正确；
B：，而，所以有，因此本选项说法不正确；
C：当时，显然满足，，但是不成立，因此本选项说法不正确；
D：由，而，所以，即，因此本选项说法正确，
故选：D
4. 已知角终边上一点，则( )
A. 2B. -2C. 0D.
【答案】B
【解析】
【分析】通过坐标点得出角的正切值，化简式子，即可求出结果.
【详解】解：由题意，
角终边上一点，
∴
∴，
故选：B.
5. 函数的图象大致形状是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性可得函数为偶函数，可排除CD，然后根据时的函数值可排除B.
【详解】因为，定义域为R，
又，
所以是偶函数，图象关于轴对称，故排除CD，
又当时，，，故排除B.
故选：A.
6. 若正数、满足，若不等式的恒成立，则的最大值等于( )
A. 4B. C. D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】由已知得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，即可得出实数的最大值.
【详解】已知正数、满足，可得，
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为，
.
因此，实数的最大值为.
故选：A.
7. 已知函数在内恰有3个最值点和4个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】数形结合，由第4个正零点小于等于1，第4个正最值点大于1可解.
【详解】，
因为，所以，
又因为函数在内恰有个最值点和4个零点，
由图像得：，解得：，
所以实数的取值范围是.
故选：B
8. 已知定义在R上的函数对于任意的x都满足，当时，，若函数至少有6个零点，则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】函数的根转化为两个新函数图像的焦点问题，再对对数函数的进行分类讨论即可.
【详解】由知是周期为2的周期函数，
函数至少有6个零点等价于函数 与的图象至少有6个交点，
①当时,画出函数与的图象如下图所示,
根据图象可得,即.
②当时,画出函数与的图象如下图所示,
根据图象可得,即 .
综上所述,的取值范围是.
故选：A
二､多选题(共20分)
9. 下列说法中，正确的是( )
A. 集合和表示同一个集合
B. 函数的单调增区间为
C. 若，，则用，表示
D. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则当时，
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，根据集合的定义即可判断；对于B，利用复合函数的单调性即可判断；对于C，利用对数的换底公式及运算性质即可判断；对于D，利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式即可判断.
【详解】对于A，集合中元素为数，集合为点，可知表示的不是同一个集合，所以A选项错误；
对于B，根据解得函数的定义域为，
令则，
为二次函数，开口向下，对称轴为，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
函数为增函数，根据复合函数的单调性可知函数的单调增区间为，所以B选项正确；
对于C，因为，，根据对数的换底公式可得，所以C选项正确；
对于D，因为当时，，可令，则，所以，又因为是定义在上的奇函数，所以，与题干结果不符，所以D选项错误.
故选：BC.
10. 下列说法不正确的是( )
A. 函数的零点是和
B. 正实数a，b满足，则不等式的最小值为
C. 函数的最小值为2
D. 的一个必要不充分条件是
【答案】ACD
【解析】
【分析】A：求出函数的零点即可判断；B：利用和基本不等式即可判断求解；C：令，利用换元法和基本不等式即可判断；D：判断从是否可得，结合充分条件和必要条件的概念即可判断．
【详解】对于选项A：或，
则函数的零点是或，故A错误；
对于选项B：，
，
当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为，故B正确；
对于选项C：令，则，
则函数化为，当且仅当，即时等号成立，
∵t≥2，故等号不成立，即，故C错误；
对于选项D：若，则，即是的充分条件，故D错误．
故选：ACD．
11. 已知函数(其中)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A.
B. 要想得到的图象，只需将的图象向左平移个单位
C. 函数在区间上单调递增
D. 函数在区间上的取值范围是
【答案】AC
【解析】
【分析】由图得、，点在图象上求得及的解析式可判断A；根据图象平移规律可判断B；利用正弦函数的单调性可判断C；根据的范围求得可判断D.
【详解】由图得，所以，，
所以，因为点在图象上，所以，
，因为，所以，可得，故A正确；
对于B，将的图象向左平移个单位，得到的图象，故B错误；
对于C，由得，
所以函数在区间上单调递增，故C正确；
对于D，时，，所以，
函数在区间上的取值范围是，故D错误.
故选：AC.
12. 已知函数若方程有三个不同的解，且，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】画出的图象，结合图象以及对数运算确定正确答案.
【详解】由题意可知，，作出的图象，如图所示：
因为方程有三个不同的解，由图可知，故D错误；
且，，
所以，故A错误，B正确；
所以，故C正确；
故选：BC
【点睛】关于形如、等函数图象的画法，可结合绝对值的意义、函数的奇偶性、函数的单调性进行作图，作图过程中要注意曲线“弯曲”的方向，也要注意函数定义域的影响.
三､填空题(共20分)
13. 函数的最小正周期，则__________.
【答案】±2
【解析】
【分析】根据正弦型函数的周期公式求解.
【详解】因，
所以，解得，
故答案为：.
14. 函数的值域为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用换元法结合二次函数的性质求值域.
【详解】令，则，
可得：，
∵函数的对称轴为，
∴当时，函数取到最大值，
即函数的最大值为，故函数的值域为.
故答案为：.
15. 已知，，且，，则的值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】由平方关系求得，，再求出即可得解.
【详解】解：因为，，且，，
所以，，且，
则，
所以.
故答案为：.
16. 若函数与对于任意，都有，则称函数与是区间上的“阶依附函数”．已知函数与是区间上的“2阶依附函数”，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意得在上恒成立，又，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，，设，研究的最小值即可．
【详解】因为函数与是区间上的“2阶依附函数”，
所以在上恒成立，
又在上单调递增，则，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
，
令，，设，
，则在上单调递增，
所以，
所以．
故答案为：．
四､解答题(共70分)
17. 已知函数的定义域为A，的值域为B.
(1)求A和B；
(2)若，求的最大值.
【答案】(1)A为，B为
(2)3
【解析】
【分析】(1)根据函数的解析式有意义，得到满足，即可求解函数的定义域A；根据在定义域内为增函数，即可求出值域B.
(2)由(1)可知，根据集合间的包含关系可求出参数a的范围，则可得出的最大值.
【小问1详解】
解：由题意，函数，满足，
解得，所以函数的定义域为，
而函数在R上是增函数，
，，
所以函数的值域为，
故定义域A为，值域B为.
【小问2详解】
解：由(1)可知，若，
则，解得，
所以的最大值为3，此时满足，
故最大值为3.
18. 已知函数的图象关于点对称．
(1)求，m的值；
(2)将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域．
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】(1)由二倍角公式降幂后，由余弦函数的对称性可求得值；
(2)由图象变换得出的表达式，再由余弦函数值域得结论．
【小问1详解】
，
依题意可得，，，
则，．
【小问2详解】
由(1)知，则．
当时，，
则，
故在上的值域为．
19. 已知函数是定义在上的奇函数．
(1)判断函数的单调性并用定义加以证明；
(2)求使成立的实数的取值范围．
【答案】(1)在上是增函数，证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】(1)根据奇函数利用求出，再验证即可，由函数单调性定义证明即可；
(2)根据函数的单调性列出不等式组求解即可.
【小问1详解】
定义在上的奇函数，所以，所以，
当时，，满足，故满足题意.
在上是增函数,证明如下：
设且，
则；
因为且，所以，
所以，所以，所以在上是增函数；
【小问2详解】
由，得
由(1)知在上是增函数，
所以，即，解得．
所以实数的取值范围是．
20. 如图，风景区的形状是如图所示的扇形OAB区域，其半径为4千米，圆心角为60°，点C在弧AB上．现在风景区中规划三条商业街道DE、CD、CE，要求街道DC与OA平行，交OB于点D，街道DE与OA垂直(垂足E在OA上)．
(1)如果弧BC的长为弧CA长的三分之一，求三条商业街道围成的△CDE的面积；
(2)试求街道CE长度的最小值．
【答案】(1)平方千米
(2)千米
【解析】
【分析】(1)结合已知角及线段长，利用三角形的面积公式可求；
(2)由已知结合解三角形的知识，利用三角函数恒等变换可表示，然后结合正弦函数性质可求．
【小问1详解】
如下图，连接，过作，垂足为．当弧的长为弧长的三分之一时，，在中，，，故，．在中，，，所以，则，所以，可得的面积(平方千米)；
【小问2详解】
设，则，，，
又，则，所以．在直角三角形中，，其中．因为，所以，又，所以当时，有最小值为，即．综上，街道长度的最小值为千米．
21. 用打点滴的方式治疗“新冠”病患时，血药浓度(血药浓度是指药物吸收后，在血浆内的总浓度，单位：)随时间(单位：小时)变化的函数符合，其函数图象如图所示，其中为药物进入人体时的速率，k是药物的分解或排泄速率与当前浓度的比值.此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在到之间，当达到上限浓度时(即浓度达到时)，必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数符合，其中c为停药时的人体血药浓度.
(1)求出函数的解析式；
(2)一病患开始注射后，最多隔多长时间停止注射？为保证治疗效果，最多再隔多长时间开始进行第二次注射？(结果保留小数点后一位，参考数据：)
【答案】(1)
(2)从开始注射后，最多隔16小时停止注射，为保证治疗效果，最多再隔7.7小时后开始进行第二次注射
【解析】
【分析】(1)根据图象可知，两个点，在函数图象上，代入后求解参数，求；
(2)由(1)求中的范围；求得后，再求中的范围．
【小问1详解】
解：由图象可知点函数图象上，
则两式相除得，解得：，
∴函数.
【小问2详解】
解：由，得，解得，，
∴从开始注射后，最多隔16小时停止注射；
由题意可知，又，∴，
由，得，
即，
所以解得：，
∴为保证治疗效果，最多再隔7.7小时后开始进行第二次注射.
22. 设函数的定义域为D，若存在，使得成立，则称为的一个“不动点”，也称在定义域D上存在不动点.已知函数.
(1)若函数在区间上存在不动点，求实数a的取值范围；
(2)设函数，若，都有成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】(1)由题可得[0，1]上有解，令，可得在[1,2]上有解，分离参数即可求解；
(2)将问题转化为，利用单调性求出的最值，令，，可得恒成立，分离参数求解即可.
【小问1详解】
由题意知，即在[0，1]上有解，
令，，则，则在[1,2]上有解，
则，
当时，在递减，在递增，则
则，即，
故实数a的取值范围为.
【小问2详解】
，即，
则
又在[－1,0]上是减函数，
则，
∴，
令，，则，，
则
又在上递增，则，又
∴，
∴，
∴实数a的取值范围为.
【点睛】方法点睛：本题考查不等式恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
(1)若，，总有成立，故；
(2)若，，有成立，故；
(3)若，，有成立，故；
(4)若，，有，则的值域是值域的子集 ．