江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题

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一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案直接填写在答题卡相应位置上
1. 已知，则( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由并集和补集的概念即可得出结果.
【详解】∵
∴，则，
故选：C.
2. 已知，则( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用对数换底公式和对数的运算性质进行运算求解即可．
【详解】，
故选：B．
3. 设为实数，且，则“”是“的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】解：由不能推出，如，，，，
满足，但是，故充分性不成立；
当时，又，可得，即，故必要性成立；
所以“”是“的必要不充分条件.
故选：B.
4. 函数的零点所在的大致区间为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可知在递增，且，由零点存在性定理即可得出答案.
【详解】易判断在递增，.
由零点存在性定理知，函数的零点所在的大致区间为.
故选:D.
5. 已知，则的值是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令，代入所求式子，结合诱导公式化简即可得出结果.
【详解】令，则，，
则.
故选：C.
6. 将函数的图象向右平移个单位长度，在纵坐标不变的情况下，再把平移后的函数图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则函数所具有的性质是( )
A. 图象关于直线对称
B. 图象关于点成中心对称
C. 的一个单调递增区间为
D. 曲线与直线的所有交点中，相邻交点距离的最小值为
【答案】D
【解析】
【分析】先利用题意得到，然后利用正弦函数的性质对每个选项进行判断即可
【详解】函数的图象向右平移个单位长度得到，
纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到，
对于A，因为
所以直线不是的对称轴，故错误；
对于B，
所以图象不关于点成中心对称，故错误；
对于C，当，则，
因为正弦函数在不单调，故不是的一个单调递增区间，故错误；
对于D，当时，则或，
则或，则相邻交点距离最小值为，故D正确
故选：D.
7. 函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性及在上的函数值正负逐个选项判断即可．
【详解】因为，定义域为R，
所以，
所以为奇函数，又因为时，所以由图象知D选项正确，
故选D．
8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：.已知函数，则函数的值域是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依题意可得，再根据指数函数的性质讨论，和时，函数的单调性与值域，即可得出答案.
【详解】因为，定义域为，
因为在定义域上单调递增，则在定义域上单调递减，
所以在定义域上单调递减，
时，，
时，；
则时，
时，，
时，.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题解题关键在于理解题中高斯函数的定义，才能通过研究的性质来研究的值域，突破难点.
二､多项选择题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分)
9. 下列说法正确的是( )
A. 若为正整数，则
B. 若，则
C.
D. 若，则
【答案】BC
【解析】
【分析】利用不等式性质、基本不等式及正弦函数的图象性质逐个选项判断即可得到答案．
【详解】对于A，若，则，故A错误；
对于B，时，，故B正确；
对于C，由，则，当且仅当时取等号，故C正确；
对于D，当时，，故D错误；
故选：BC．
10. 设为实数，已知关于的方程，则下列说法正确的是( )
A. 当时，方程的两个实数根之和为0
B. 方程无实数根的一个必要条件是
C. 方程有两个不相等的正根的充要条件是
D. 方程有一个正根和一个负根的充要条件是
【答案】BCD
【解析】
【分析】逐项分析每个选项方程根的情况对应的参数m满足的不等式，解出m的范围，判断正误.
【详解】对于A选项，时无实根，A错误；
对于B选项，当时方程有实根，当时，方程无实根则，解得，一个必要条件是，B正确；
对于C选项，方程有两个不等正根，则，，，，解得；
对于D选项，方程有一个正根和一个负根，则，，解得，D正确；
故选：BCD.
11. 设，已知，则下列说法正确的是( )
A. 有最小值B. 没有最大值
C. 有最大值为D. 有最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】由均值不等式分别求出的最值，即可得出答案.
【详解】时正确，
时，则错误，D正确；
故选：ABD.
12. 设为正实数，为实数，已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 若函数的最大值为2，则
B. 若对于任意的，都有成立，则
C. 当时，若在区间上单调递增，则的取值范围是
D. 当时，若对于任意的，函数在区间上至少有两个零点，则的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A：根据正弦函数的有界性分析判断；对B：利用函数的周期的定义分析判断；对C：以为整体，结合正弦函数的单调性分析判断；对D：以为整体，结合正弦函数的性质分析判断.
【详解】A选项，由题意，则，A正确；
B选项，若，则的周期为，
设的最小正周期为，则，
解得，B错误；
C选项，当时，
∵，则，
若在区间上单调递增，则，
解得，C正确；
选项，由题意可得，对，在上至少两个零点，
∵，则，
若对，在上至少两个零点，则，解得，D正确；
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：求解函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质问题的三种意识
(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式．
(2)整体意识：类比y＝sinx的性质，只需将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sinx中的“x”，采用整体代入求解．
①令ωx＋φ＝kπ＋ (k∈Z)，可求得对称轴方程．
②令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标．
③将ωx＋φ看作整体，可求得y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，注意ω的符号．
(3)讨论意识：当A为参数时，求最值应分情况讨论A>0，A<0.
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上
13. 命题“”的否定是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据特称命题的否定，可得答案.
【详解】由题意，则其否定为.
故答案为：.
14. 已知，则__________.
【答案】3
【解析】
【分析】将已知式中分子，再分子分母同时除以，解方程即可得出答案.
【详解】由题意，
即，则.
故答案为：3.
15. 设函数，则满足的的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】结合函数解析式，对分三种情况讨论，分别计算可得.
【详解】当时，，则在时无解；
当时，，在单调递增，时，则的解集为；
当时，，则时恒成立；
综上，的解集为.
故答案为：．
16. 已知函数是定义在上不恒为零的偶函数，且对于任意实数都有成立，则__________.
【答案】0
【解析】
【分析】根据解析式求出，进而得到若，则，从而求出.
【详解】由，令可得，今可得，
由是偶函数可得，则，
时，若，则，
则，
则.
故答案为：0.
三､解答题：本大题共6小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上
17. 设，已知集合.
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的必要条件，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)求出集合，由并集的定义即可得出答案.
(2)由“”是“”必要条件可得，则，解不等式即可得出答案.
【小问1详解】
由可得，即，则，
时，.
【小问2详解】
由“”是“”的必要条件可得，
则，则，实数的取值范围是.
18. 设，计算下列各式的值：
(1)；
(2).
【答案】(1)1 (2)5
【解析】
【分析】(1)所求表达式分子分母同时除以，代入求解即可；
(2)将分子看成，所求表达式分子分母同时除以，代入求解即可；
小问1详解】
原式；
【小问2详解】
原式.
19. 设函数和的定义域为，若是偶函数，是奇函数，且.
(1)求函数和的解析式；
(2)判断在上的单调性，并给出证明.
【答案】(1)，
(2)单调递减，证明见解析
【解析】
【分析】(1)根据函数奇偶性构造关于和得方程组，进而求出它们的解析式；
(2)根据函数单调性定义进行证明.
【小问1详解】
由，可得，
由为偶函数，为奇函数，可得，
则，；
【小问2详解】
由(1)得
在单调递减，证明如下：
取任意，
由，可得，则，
则，
则，则在单调递减.
20. 如图所示，有一条“L”形河道，其中上方河道宽，右侧河道宽，河道均足够长.现过点修建一条长为的栈道，开辟出直角三角形区域(图中)养殖观赏鱼，且.点在线段上，且.线段将养殖区域分为两部分，其中上方养殖金鱼，下方养殖锦鲤.
(1)当养殖观赏鱼的面积最小时，求的长度；
(2)若游客可以在河岸与栈道上投喂金鱼，在栈道上投喂锦鲤，且希望投喂锦鲤的道路长度与投喂金鱼的道路长度之比不小于，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】(1)过作垂直于，求得，从而得出养殖观赏鱼的面积，利用基本不等式可求得最小时的值，进而求得的长度；
(2)由，可得，则，由题意，则，化切为弦可得，结合即可求得结果.
【小问1详解】
过作垂直于，垂足分别为，
则，
，
养殖观赏鱼的面积，
由可得，则，当且仅当即时取等号，
则最小时，，此时l 的长度为；
【小问2详解】
由，可得，
则，
由题意，则，
而，
则，由可得，则，则.
21. 设为实数，已知函数，.
(1)若函数和的定义域为，记的最小值为，的最小值为.当时，求的取值范围；
(2)设为正实数，当恒成立时，关于的方程是否存在实数解？若存在，求出此方程的解；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【解析】
【分析】(1)利用指数函数的单调性及二次函数的性质，分别求出和的最小值，然后解不等式即可；
(2)利用二次函数性质，求得的最小值为，由题意可得，当时,，，可得，即可得出结论.
【小问1详解】
当时，函数和均单调递增，所以函数单调递增，故当时，取最小值，则；
当时，，，
则当，即时，取最小值，即，
由题意得，则，即的取值范围是；
【小问2详解】
当时，，，
则当，即时，取最小值为，
则恒成立时，有，即，
当时，，，
则，则，
故关于的方程不存在实数解.
22. 设，函数.
(1)讨论函数的零点个数；
(2)若函数有两个零点，求证：.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】(1)利用分离参数法分类讨论函数的零点个数；
(2)利用根与系数关系和三角函数单调性证明.
【小问1详解】
，
令，即，
时，即，
或即时，无解；
即时，仅有一解，此时仅有一解；
即时，有两解，
各有一解，此时有两个零点；
综上，时，无零点，
时，有一个零点，
时，有两个零点；
【小问2详解】
有两个零点时，令，则为两解，
则，则，
则，
由可得，
则，则，
则，
由可得，
则，由在递减，
可得，则.
【点睛】函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．