2024届高三八省八校第一次学业质量评价（T8联考）数学试卷（含解析） (3)

这是一份2024届高三八省八校第一次学业质量评价（T8联考）数学试卷（含解析） (3)，共19页。试卷主要包含了已知正数满足，则的大小关系为等内容，欢迎下载使用。

数学试题
考试时间：2023年12月25日 下午15：00-17：00
试卷满分：150分 考试用时：120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.已知复数满足，则复数（ ）
A.iB.C.D.
3.已知为等差数列，，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.直线将圆分成两段，这两段圆弧的弧长之比为（ ）
A.1:2B.1:3C.1:5D.3:5
5.设为抛物线的焦点，为抛物线上的三个点，若，则（ ）
A.6B.4C.3D.
6.秋冬季节是某呼吸道疾病的高发期，为了解该疾病的发病情况，疾控部门对该地区居民进行普查化验，化验结果阳性率为1.97%，但统计分析结果显示患病率为1%.医学研究表明化验结果是有可能存在误差的，没有患该疾病的居民其化验结果呈阳性的概率为0.01，则该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为（ ）
7.已知正数满足，则的大小关系为（ ）
A.B.C.D.
8.一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房……以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（ ）
A.1B.C.2D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了10次坐公交车和骑自行车所花的时间，10次坐公交车所花的时间分别为7，11，8，12，8，13，6，13，7，15（单位：min），10次骑自行车所花时间的均值为15min，方差为1.已知坐公交车所花时间X与骑自行车所花时间Y都服从正态分布，用样本均值和样本方差估计X，Y分布中的参数，并利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线如图所示.若小明每天需在早上8点之前到校，否则就迟到，则下列判断正确的是（ ）
A.坐公交车所花时间的均值为10，方差为3
B.若小明早上7：50之后出发，并选择坐公交车，则有50%以上的可能性会迟到
C.若小明早上7：42出发，则应选择骑自行车
D.若小明早上7：47出发，则应选择坐公交车
10.如图，在四边形中，，，，，，则下列结果正确的是（ ）
A.B.
C.D.的面积为
11.已知函数的定义域为，则下面判断正确的是（ ）
A.若，，则函数在上是增函数
B.若，，，则函数是奇函数
C.若，，，则函数是周期函数
D.若，且，，则函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递减
12.如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，点在侧面内运动（包含边界），且与平面所成角的正切值为，点为上一点，且，则下列结论中正确的有（ ）
A.正三棱台的高为
B.点的轨迹长度为
C.高为，底面半径为的圆柱可以放进棱台内
D.过点的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知单位向量的夹角为，，若，则______.
14.已知，则______.
15.三棱锥的每一个面都是边长为1的正三角形，以它的高所在直线为旋转轴，将其旋转得到三棱锥，则两个三棱锥公共区域的体积为______.
16.已知双曲线的左、右焦点分别为，，若过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，且.又以双曲线的顶点为圆心，半径为的圆恰好经过双曲线虚轴的端点，则双曲线的离心率为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知函数及其导函数的图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在区间上恰有2个极值点和2个零点，求实数的取值范围.
18.（本小题满分12分）
如图，直四棱柱的底面为菱形，，.
（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19.（本小题满分12分）
为应对全球气候变化，我国制定了碳减排的国家战略目标，采取了一系列政策措施积极推进碳减排，作为培育发展新动能、提升绿色竞争力的重要支撑，节能环保领域由此成为全国各地新一轮产业布局的热点和焦点.某公司为了解员工对相关政策的了解程度，随机抽取了180名员工进行调查，得到如下表的数据：
（1）补充表格，并根据小概率值的独立性检验，分析了解程度与性别是否有关？
（2）用分层抽样的方式从不太了解的人中抽取12人，再从这12人中随机抽取6人，用随机变量表示这6人中男性员工人数与女性员工人数之差的绝对值，求的分布列和数学期望.
附表及公式：
20.（本小题满分12分）
已知椭圆的右焦点为，点是椭圆与轴正半轴的交点，点是椭圆与轴正半轴的交点，且，.直线过圆的圆心，并与椭圆相交于两点，过点作圆的一条切线，与椭圆的另一个交点为，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）求直线的斜率.
21.（本小题满分12分）
已知数列为等差数列，公差，等比数列满足：，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新数列：，在与之间插入项中的项，新数列中之前（不包括）所有项的和记为，若，求使得成立的最大正整数的值.（其中符号表示不超过的最大整数）
22.（本小题满分12分）
已知函数，，，的导函数记为，为自然对数的底数，约为2.718.
（1）判断函数的零点个数；
（2）设是函数的一个零点，是函数的一个极值点，证明：
①；②.
2024届高三第一次学业质量评价（T8联考）
数学试题参考答案及多维细目表
1.【答案】B
【解析】，，，，故正确选项为B.
2.【答案】B
【解析】由可得，，，故正确选项为B.
3.【答案】A
【解析】设的公差为，由可得，，或，“”不是“”的必要条件；若，则一定有，“”是“”的充分条件，故正确选项为A.
4.【答案】A
【解析】设直线与圆的两个交点为，圆心为，，圆心到直线的距离为，，，，，两段圆弧的弧长之比等于两段弧所对圆心角的弧度数之比，等于，故正确选项为A.
5.【答案】C
【解析】设，，，则，
，，
故正确选项为C.
6.【答案】C
【解析】设“患有该疾病”，“化验结果呈阳性”.由题意可知，，.，，解得.
患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为0.98，故正确选项为C.
7.【答案】D
【解析】易知，，，排除选项A和B.当时，函数和函数均单调递增，且.由可得.综上所述，.故正确选项为D.
8.【答案】A
【解析】由题意可得，，，，.
时，
.
，数列是以为首项，为公比的等比数列.
，
故正确选项为A.
9.【答案】BCD
【解析】坐公交车所花时间的均值为
，方差为，
故选项A错误.
根据题意，可以得到，，之后出发，并选择坐公交车，有以上的可能性会超过，即8点之后到校，会迟到，故选项B正确.
由图可知，，，应选择在给定的时间内不迟到的概率大的交通工具.
小明早上7：42出发，有可用，则应选择骑自行车，故选项C正确.
小明早上7：47出发，只有可用，则应选择坐公交车，故选项D正确.故正确选项为BCD.
10.【答案】ACD
【解析】由可得，
，，，故选项A正确.
连接，在中，，，故选项B错误.
，，，
在四边形中，，四点共圆.
连接，，，，故选项C正确.
的面积.故正确选项为ACD.
11.【答案】
【解析】令，满足，
但在上不是增函数，故选项A错误.
令，，则，，
即，函数是奇函数，故选项B正确.
，，都有，
，，
即，是周期函数，故选项C正确.
任取，在区间上单调递增，，
，，
，
且，
函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递减，故选项D正确.故正确选项为BCD.
12.【答案】CD
【解析】依题意，如图，延长正三棱台侧棱相交于点，.
在等腰梯形中，由，，，易知.
为等边三角形，三棱锥为正四面体，.
如图，设为等边的中心，易证侧面，，
点到底面的距离为，又，，正三棱台的高为，故选项A错误.
与平面所成角的正切值为，即，.正好为等边的内切圆半径，点的轨迹长度为，故选项B错误.
正三棱台的高，的内切圆半径为，可以放入，故选项C正确.
设正四面体的内切球半径，则，解得.
，该棱台内最大的球即为正四面体的内切球.
，，，为的中点，过点的平面正好过该内切球的球心，故截面面积为，故选项D正确.故正确选项为CD.
13.【答案】2
【解析】依题意，，解得.
14.【答案】243
【解析】，，，，
，令得.
15.【答案】
【解析】如图，依题意可得，绕高旋转后，与原底面重合部分为正六边形.
正三角形的边长为1，正六边形的边长为，面积为.
又易知各棱长均为1的三棱锥的高为，公共区域的体积为.
16.【答案】2
【解析】如图，，，
，，.
以双曲线的顶点为圆心，半径为的圆恰好经过双曲线虚轴的端点，
，，.
在中，，
在中，.
，，
，解得，.
17.解：（1），.
根据，函数在区间上单调递增，由图可知
，则，.
，.，.
此时.
（2）当时，.
在区间上恰有2个极值和2个零点，
，，的取值范围为.
18.证明：（1）四边形是菱形，.
又平面，平面，.
，平面，平面，
平面，平面平面.
（2）方法一：几何法.如图，连接，设菱形对角线交点分别为，连接，，过点作于点，连接.
平面平面，平面，
由（1）知，平面，，
平面，平面，
平面，则为直线与平面所成的角.
，，，，
.
，，，
，.
，，
直线与平面所成角的正弦值为.
方法二：向量法.连接AC，设菱形对角线交点分别为，连接，依题意可知，平面，以为原点，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
，，，
，，，，
，，.
设平面的法向量为，
则取，
设直线与平面的夹角为，
则，
直线与平面所成角的正弦值为.
19.解：（1）补充表格如下：
零假设为：了解程度与性别无关.
根据列联表中的数据，经计算得到，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即了解程度与性别无关.
（2）用分层抽样在不太了解的60人中抽取12人，抽得女性8人，男性有4人.
的可能取值为.
则，，
，.
的分布列为：
20.解：（1）由题意可得，，
，，椭圆的方程为.
（2）若圆的切线轴，则，，不满足题意.
设直线的方程为，
直线与圆相切，，，
联立与，
消得.
设，，则，.
到直线的距离为1，则
，
将代入消可得，
化简可得，解得（负值舍去），，故直线的斜率为1或.
21.解：（1）设等比数列的公比为，依题意可得，，
解得或，（舍去）.
，.
（2）新数列中之前的所有项中，含有中的项共有项，
，
.
下证当时，.
，
，当时，，
.
当时，，故；
当时，，.
，
，满足不等式的最大正整数.
22.解：（1），令，解得，
当时，，
当时，，
在区间上单调递增，在区间上单调递减，令，
时，可令，.
此时，易知时，.
当时，，，
，，即在区间上无零点.
又，
，
使得，
即在区间上有一个零点，函数的零点个数为1.
（2）①由（1）可知，函数有唯一零点，且.下面判断函数的极值点情况，
，
令，则，
当时，，在区间上单调递增，
当时，，
在区间上单调递增.
综上，当时，在区间上单调递增.
，令，，
令，解得.
，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
，，，
又，
使得，
即，且当时，，
当时，，
在区间上单调递减，在区间上单调递增，
当时，函数存在唯一的极值点，且.
综上，.
②，要证，
即证，
令，
下证在区间上单调递增，即证恒成立，
，
，，
故在区间上单调递减，在区间上单调递增，
当时，恒成立，
在区间上单调递增，
，原命题得证.了解程度
性别
合计
男性
女性
比较了解
60
60
不太了解
20
20
合计
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
题号
1
2
3
4
5
6
答案
B
B
A
A
C
C
题号
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
BCD
ACD
BCD
CD
了解程度
性别
合计
男性
女性
比较了解
60
60
120
不太了解
20
20
60
合计
80
100
180
0
2
4
6