相似三角形常考的模型及压轴题（解析版）

这是一份相似三角形常考的模型及压轴题（解析版），共51页。

求：
(1)∠ACB的度数；
(2)DE的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用三角形内角和定理求出∠AED，进而易证△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可求解；
（2）根据相似三角形的性质可得，进而代入数据即可求解．
【详解】（1）在△ADE中，
∵∠A＝58°，∠ADE＝40°，
∴∠AED＝180°－∠A－∠ADE =82°，
∵∠ADE＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ACB＝∠AED＝82°，
（2）由（1）知，，
∵AB＝2AD，BC＝6cm，
∴，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定及其性质，涉及到三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定及其性质．
2．【湖南省邵阳市隆回县2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷】如图，在中，，，，．
(1)求证：．
(2)求的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）根据相似三角形的判定可得；
（2）根据相似三角形的性质得，即可求出的长．
【详解】（1）证明：，，
；
（2）解：由（1）知，，
则，
，，，
，
解得：，
的长是2．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解本题要熟练掌握相似三角形的判定与性质的基本知识．
3．【湖南省邵阳市武冈市2021-2022学年九年级上学期期末数学试题】定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形．
(1)概念理解：
①在互补四边形ABCD中，∠A与∠C是一组对角，若，则∠A＝______°；
②如图1，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且，求证：四边形ADEC是互补四边形．
(2)探究发现：如图2，在等腰△ABE中，AE＝BE，点C，D分别在边BE，AE上，AD＝BC，四边形为互补四边形，求证：．
【答案】(1)①90；②见解析；
(2)见解析
【分析】（1）①设，根据，∠A与∠C是一组对角列出方程，求解方程，即可求得∠A的度数；
②根据，证得△BDE∽△BCA，再由∠BED＝∠A可证四边形ADEC是互补四边形；
（2）证明△EAC≌△EBD，得∠EBD＝∠EAC，则可知∠ABD＝∠BAC，从而得到，再根据四边形为互补四边形得，可知，从而证明结论．
【详解】（1）①设
∵
∴
∵互补四边形ABCD中，∠A与∠C是一组对角
∴
∴解得
∴
故答案为：90
②证明：∵BE•BC＝AB•BD，
∴，
又∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BCA，
∴∠BED＝∠A，
∴∠A＋∠CED＝∠BED＋∠CED＝180°，
∴四边形ADEC是互补四边形．
（2）证明：∵AE＝BE，AD＝BC，
∴ED＝EC，
在△EAC和△EBD中， ，
∴△EAC≌△EBD（SAS），
∴∠EBD＝∠EAC．
∵AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA，
∴∠ABD＝∠BAC，
∵四边形CEDH是互补四边形，
∴∠E＋∠DHC＝180°，
∵∠AHB＝∠DHC，
∴∠E＋∠AHB＝180°，
又∠ABD+∠BAC+∠AHB=180°，
∴∠ABD＋∠BAC＝∠E，
∴；
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，互补四边形的定义，等腰三角形的性质等知识，综合性较强，熟练掌握互补四边形的性质是解题关键．
4．【湖南省怀化市2021-2022学年九年级上学期期末数学试题】如图，在中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且．
(1)求证：．
(2)若，，，求BD的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)BD的长是
【分析】（1）根据两角对应相等两个三角形相似即可得证；
（2）根据相似三角形的性质可知，设BD=，则AD=2，AB=3，从而列出方程解出x的值．
【详解】（1）证明：∵∠ADE=∠ACB，∠A=∠A，
∴
（2）解：由（1）可知，，
∴．
设BD=，则AD=2，AB=3，
∵AE=4，AC=9，
∴，
解得（负值舍去），
∴BD的长是．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数构建方程解决问题．
8字模型
5．【湖南省长沙市长沙县2021-2022学年九年级上学期期末数学试题】如图，已知平行四边形ABCD，过点A的直线交BC的延长线于E，交BD、CD于F、G．
(1)若AB=3，BC=4，CE=2，求CG的长；
(2)证明：AF2=FG·FE．
【答案】(1)CG=1
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到ABCD，证明△EGC∽△EAB，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可；
（2）分别证明△DFG∽△BFA，△AFD∽△EFB，根据相似三角形的性质证明．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABCD，
∴△EGC∽△EAB，
∴ ，即，
解得，CG=1；
（2）证明：∵ABCD，
∴△DFG∽△BFA，
∴，
∵ADCB，
∴△AFD∽△EFB，
∴，
∴，
即AF2=FG·FE．
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
6．【湖南省岳阳市2020-2021学年九年级上学期期末数学试题】如图，与相交于点，已知，，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据边长得出对应边成比例，依据对顶角相等证，得出，进而证平行．
【详解】证明：∵，
，
，
又，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质和平行线的判定，解题关键是根据边长得出对应边成比例证三角形相似．
7．【湖南省岳阳市岳阳县2020-2021学年九年级上学期期末数学试题】如图，平行四边形中，是的延长线上一点，与交于点．
（1）求证：；
（2）若的面积为，求平行四边形的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）24
【分析】（1）要证△ABF∽△CEB，需找出两组对应角相等；已知了平行四边形的对角相等，再利用AB∥CD，可得一对内错角相等，则可证．
（2）由于△DEF∽△EBC，可根据两三角形的相似比，求出△EBC的面积，也就求出了四边形BCDF的面积．同理可根据△DEF∽△AFB，求出△AFB的面积．由此可求出▱ABCD的面积．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AB∥CD，
∴∠ABF=∠CEB，
∴△ABF∽△CEB；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB平行且等于CD，
∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，
∵CD=2DE，
∴，，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟悉相似三角形的性质和判定是解决问题的关键．
8．【湖南省长沙市雨花区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题】平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝EF＝FC，DE交AB于点M，MF交CD于点N．
(1)求证：AM=BM；
(2)若AB＝28，求CN的长．
【答案】(1)见解析
(2)7
【分析】（1）根据平行四边形的性质证明△AEM∽△CED，进而可以解决问题；
（2）证明△AFM∽△CFN，即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠CAB=∠DCA，
∵∠AEM=∠CED，
∴△AEM∽△CED，
∴，
∵AE=EF=FC，
∴，
∴；
∵AB=CD，
∴AM=BM；
（2）在△AFM和△CFN中，∠FAM=∠FCN，∠AFM=∠CFN，
∴△AFM∽△CFN，
∴，
∴；
∵
∴
∵AB=28，
∴CN=7．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线四边形的性质，解决本题的关键是得到△AEM∽△CED．
折叠问题
9．【湖南桂阳县东塔学校2022-2023学年九年级上学期期末学业质量数学监测】（1）模型探究；如图1，，，分别为三边，，上的点，且．与相似吗？请说明理由；
（2）模型应用：为等边三角形，边长为8，为边上一点，为射线上一点，将沿翻折，使点落在射线上的点处，且．
①如图2，当点在线段上时，求的值；
②如图3，当点落在线段的延长线上时，求与的面积之比．
【答案】（1），理由见解析；（2）①；②
【分析】（1）利用等式的性质判断出，即可得出结论；
（2）①同（1）的方法判断出，得出比例式，再设出，，进而表示出，，，代入比例式化简即可得出结论；
②同①的方法即可得出结论．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵如图1，，
，
∴，
∴，
（2）①如图2，设，
∵为等边三角形，其边长为8，，
∴，
则
∵是由沿翻折得到，
∴
∵
∴，
∴，
∴，即，
解得，即
②如图3，设，
∵为等边三角形，其边长为8，，
∴，
∴，
又∵是由沿翻折得到，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴，即，
∴，即，
∴．
【点睛】本题是相似三角形综合题，主要考查了折叠的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，等式的性质，判断出是解本题的关键．
10．【湖南省株洲市渌口区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题】
(1)[基础巩固]如图①，在三角形纸片ABC中，，将折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为______；
(2)[思维提高]如图②，在三角形纸片ABC中，，，将折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求的值；
(3)[拓展延伸]如图③，在三角形纸片ABC中，，，，将沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点处，折痕为CM．求线段AC的长；
【答案】(1)AM＝BM
(2)
(3)
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可；
（2）利用相似三角形的性质求出BM，AM即可；
（3）证明△BCM∽△BAC，推出，由此即可解决问题．
【详解】（1）解：如图①中，
∵△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，
∴MN垂直平分线段BC，
∴CN＝BN，
∵∠MNB＝∠ACB＝90°，
∴MN∥AC，
∵CN＝BN，
∴AM＝BM．
故答案为AM＝BM．
（2）如图②中，
∵CA＝CB＝6，
∴∠A＝∠B，
由题意MN垂直平分线段BC，
∴BM＝CM，
∴∠B＝∠MCB，
∴∠BCM＝∠A，
∵∠B＝∠B，
∴△BCM∽△BAC，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）如图③中，
由折叠的性质可知，CB＝CB′＝6，∠BCM＝∠ACM，
∵∠ACB＝2∠A，
∴∠BCM＝∠A，
∵∠B＝∠B，
∴△BCM∽△BAC，
∴
∴，
∴BM＝4，
∴AM＝CM＝5，
∴，
∴．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
11．【湖南省娄底市双峰县2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试题】在矩形中，将矩形折叠，使点落在点处，折痕为，
(1)如图1，若点恰好在边上，，；
①求证：；
②求的长；
(2)如图2，若是的中点，的延长线交于点，，求的长．
【答案】(1)①证明见解析；②
(2)
【分析】（1）①先判断出，再用同角的余角相等，判断出，即可得出结论；②先利用勾股定理求出，进而求出，再用勾股定理，建立方程求解，即可得出结论；
（2）如图②中，过点做交于点，于点，如图所示，根据题意得到，由相似比，令，则，推出，在中，由得到，解得，即，在中，，由勾股定理得，从而证得，得到，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解①∵四边形为矩形，
∴，
由折叠可知，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴；
②由折叠可知，，
∵四边形是矩形，
∴，，
在中，，，
∴
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴；
（2）解：过点做交于点，于点，如图所示：
∴，，
∵为中点，
∴，
由折叠可知，，，
∴，
∴，
∴，
∴，令，则，
∴，
∴，
在中，
∴，解得，即，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，折叠性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
动点问题
12．【湖南省永州市零陵区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题】如图①，在Rt△ABC中，，，，点P由A点出发以1cm/s的速度向终点C匀速移动，同时点Q由点C出发以2cm/s的速度向终点B匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动．
(1)填空：在______秒时，△PCQ的面积为△ACB的面积的；
(2)经过几秒，以P，C，Q为顶点的三角形与△ACB相似？
(3)如图②，D为AB上一点，且，运动时间t为多少时，？
【答案】(1)；
(2)经过秒或秒，以P，C，Q为顶点的三角形与△ACB相似；
(3)运动时间为1.2秒时，PQ⊥CD
【分析】（1）分别表示出线段和线段的长后利用列出方程求解；
（2）设运动时间为，与相似，当与相似时，可知或，则有或，分别代入可得到关于的方程，可求得的值．
（3）由，△ACD是等腰三角形，构造△ADE≌△ACE可知从而通过相似比求出t．
【详解】（1）设经过秒△PCQ的面积为△ACB的面积的，
由题意得：PC＝，CQ＝
则，
解得：．
故答案为：3．
（2）设运动时间为s，以P，C，Q为顶点的三角形与△ACB相似．
当△PCQ∽△ACB时，
则有，
∴，
解得，
当△QCP∽△ACB时，
则有，
∴，
解得．
因此，经过秒或秒，以P，C，Q为顶点的三角形与△ACB相似．
（3）如图②，过点A作，连接DE．
∵，
∴△ACD是等腰三角形，
∵，
∴∠DAE＝∠CAE，
∵AE＝AE
∴△ADE≌△ACE
∴DE＝CE，∠ADE＝∠ACE＝90°
在Rt△ACB中，，，
∴AB＝10cm
∴DB＝4cm
设CE＝，则DE＝，BE＝，
在Rt△DEB中，
∴
解得＝3，即CE＝3
∵，
∴
∴，即
解得t＝1.2
因此，运动时间为1.2秒时，PQ⊥CD．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
13．【湖南省湘潭市湘潭县凤凰中学2022-2023学年九年级上学期数学期末考试】如图，在直角中，，，．，分别是、边的中点，点从A出发沿线段以每秒3个单位长的速度向匀速运动；点从点A出发沿射线以每秒2个单位长的速度匀速运动，当点与点重合时停止运动，点也随之停止运动，设点、运动时间是秒，．
(1)当______时，点到达终点；
(2)当点运动到点时，求的面积；
(3)设的面积为S，求出点在线段上运动时，S与的函数关系式；
(4)请直接写出时的值．
【答案】(1)4秒
(2)
(3)
(4)当 时，
【分析】（1）由已知和勾股定理先求出，再由D，E分别是，的中点，求出、、，从而求出t；
（2）先求出当点P运动到点D时所用时间，得出的长，即可求出的长，再根据的面积进行计算即可；
（3）由已知用t表示出、、，再由，通过面积公式求出S与t的函数关系式；
（4）通过假设，分两种情况讨论即可求解．
【详解】（1）解：已知中，，，，
由勾股定理得：，
又由D，E分别是，的中点，
∴，，，
∴当点P到达终点B时所用时间（秒），
答：t的值为4秒．
故答案为：4秒．
（2）解：当点P运动到点D时，所用时间为秒，
∴，
∴，
∴．
（3）解：①如图，当点P在上（不包含D点），即时，
由已知得：，，
∴，
∵，
∴的面积，
∴Q在线段上运动时，S与t的函数关系式为；
②如图当点P在（包括点D、E）上，即，
过点P作于F，
则，
∴的面积，
所以此时Q在线段上运动时，S与t的函数关系式为；
③如图，当点P在上（不包括E点），即，
由已知得：，
过点P作于F，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积，
∴Q在线段上运动时，S与t的函数关系式为；
综上分析可知，Q在线段上运动时，S与t的函数关系式为：．
（4）解：若，则点P、Q必在同侧．分两种情况：
①当点Q在上，点P在上时，
假设成立，
则，
∴，
∴，
此时方程的解是，但此解不符合题意，
则不成立；
②当时，点Q在延长线上，点P在上，
此时，，，
若，设直线交与N，
∵，
∴，
∴，
则；
又∵，
∴，
则，
∴，
解得符合题意．
综上所述，当 时，．
【点睛】本题主要考查的知识点是勾股定理、三角形中位线定理及相似三角形的判定与性质，关键是通过勾股定理和三角形中位线定理求解，以及通过假设推出错误结论并论证．
14．【湖南省怀化市鹤城区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题】如图1，在矩形ABCD中，点E是CD边上的动点（点E不与点C，D重合），连接AE，过点A作AF⊥AE交CB延长线于点F，连接EF，点G为EF的中点，且点G在线段AB的左侧，连接BG．
(1)求证：△ADE∽△ABF；
(2)若AB＝20，AD＝10，设DE＝x，点G到直线BC的距离为y．
①求y与x的函数关系式；
②当时，求x的值；
(3)如图2，若AB＝BC，设四边形ABCD的面积为S，四边形BCEG的面积为S1，当时，直接写出的值．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
(3)
【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明；
（2）①如图1中，作于，利用三角形的中位线定理，推出，再根据，即可解决问题；
②由，可以假设，，利用相似三角形的性质构建方程，求出即可解决问题；
（3）连接，先证明，设，，则，根据及，构建一元二次方程，即可解决问题．
【详解】（1）证明：，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
；
（2）①如图1，过点作于，则，
，
，
点为的中点，
，
，
，
，
，
；
②，
设，，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
，
，，
，
，
；
（3）如图2，连接，设，．
四边形是矩形，，
四边形是正方形，
，
设，，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，
解得：，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，会利用参数构建方程是解决问题的关键．
相似三角形判定与性质综合
15．【湖南省衡阳市衡南县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图所示，直线与轴相交于点，与y轴相交于点B，将沿着y轴折叠，使点A落在x轴上，点A的对应点为点C．
(1)求点C的坐标；
(2)设点P为线段上的一个动点，点P与点A、C不重合，连接，以点P为端点作射线交于点M，使，
①求证：；
②是否存在点P使为直角三角形?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①见解析；②存在，点有两个，
【分析】（1）根据A与C关于y轴对称，据此即可确定C的坐标；
（2）①根据点C与点A关于y轴对称，即可得到，则，再根据三角形的外角的性质即可证得，从而证得两个三角形相似；
②首先求得B的坐标，当时，则有，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得的长，求得P的坐标；
当时，则时，，则此时点P与点O重合．则P的坐标可以求得．
【详解】（1）解：，且点C与点A关于y轴对称，
；
（2）①证明：，且，，
，
又∵点C与点A关于y轴对称，且，
，
；
②解：存在．
由题意：，，，
当时，则有，
∴，即，
，即：；
当时，则，
，
，
，
，
过点B只有一条直线与垂直，
∴此时点P与点O重合，即：符合条件的点的坐标为：．
∴使△PBM为直角三角形的点P有两个，．
【点睛】本题是属于一次函数综合题，考查了相似三角形的判定和性质、待定系数法、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题是解题关键．
16．【湖南省衡阳市第十五中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图1，在矩形中，，的平分线与、分别交于点、，点是的中点，直线，交于点，交于点．
(1)求证：①；②；
(2)若，．
①求的长度；
②如图2，点是线段上的动点（不与点、重合），交于点，交于点，设，当时，求的值．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)①；②的值为
【分析】（1）①直接根据“”判定即可；
②根据等腰三角形和平行四边形的性质，进而得出结论；
（2）①先根据等量代换得出，再设，根据列出关于的方程，求出的值，进而计算的长；
②先过点作，求得的值，再根据四边形是平行四边形，以及，求得，列出关于的方程，求得的值即可．
【详解】（1）证明：①在矩形中，，
∴，，
∵点O是的中点，
∴，
∴在和中，
，
∴；
②∵四边形是矩形，
∴，，
又∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴；
（2）①由（1）得，四边形是平行四边形，
∴，，
∵，且，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
解得：，
∴；
②如图，过点G作于点I，
由（2）可知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，，
∴，即，
同理，
∵，
∴，
又∵，
∴，
即，
解得，
∴当时，的值为．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的性质，解题时需要运用全等三角形的判定与性质，解答此题的关键是运用相似三角形的面积之比等于相似比的平方这一性质，并根据图形面积的等量关系列出方程进行求解．
17．【湖南省永州市道县2022-2023学年九年级上学期期末质量监测数学试题】综合与实践：数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣，获得数学知识．
如图①，在矩形中，点E、F、G分别为边、、的中点，连接、，H为的中点，连接．将绕点B旋转，线段、和的位置和长度也随之变化．
当绕点B顺时针旋转时，请解决下列问题：
(1)图②中，，此时，点E落在的延长线上，点F落在线段上，连接，猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想；
(2)图③中，若，，则 ；当，时， ；
(3)在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线，并沿对角线剪开，得
（如图④）．点M、N分别在、上，连接，将沿翻折，使点C的对应点P落在的延长线上，若平分，则长为 ．
【答案】(1)，理由见解析；
(2)；；
(3)．
【分析】（1）先证明，得，再根据中位线性质得，等量代换即可；
（2）连接，先证明，利用相似三角形的性质可得，再根据中位线性质得，等量代换即可；
（3）过作于，根据折叠性质得，根据角平分线证明出，设，，根据三角函数定义找到、之间的关系，再利用，得到，代入解方程即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，四边形为矩形，
∴四边形为正方形，
∴，
∵E、F为，中点，即：，
∴，
∴，
∴，
∵H为中点，G为中点，
∴，
∴．
（2）连接，如图所示，
由题意知，，，
∴，
由矩形性质及旋转知，，
∴，
∴，
∵G为中点，H为中点，
∴，
∴，
∴若，，则；当，时，；．
故答案为：；；
（3）过作于，如图所示，
由折叠知，，，
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
设，，
由知，，
即，，
∵，
∴，
∴，
即，，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形性质、三角形中位线性质、折叠性质、全等三角形判定与性质、相似三角形的性质与判定、三角函数定义等知识点，找到相似三角形是解题关键．
18．【湖南省永州市冷水滩区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题】已知点E、F分别是四边形ABCD边AB、AD上的点，且DE与CF相交于点G．
(1)如图①，若，AB＝CD，∠A＝90°，且，求证：∠CGE＝90°；
(2)如图②，若，AB＝CD，且∠A＝∠EGC时，求证：；
(3)如图③，若BA＝BC＝3，DA＝DC＝4，设DE⊥CF，当∠BAD＝90°时，试判断是否为定值，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)为定值，证明见解析
【分析】（1）先证明四边形ABCD是矩形，则∠A=∠FDC=90°，再将AD•DF=AE•DC变形为比例的形式，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△ADE∽△DCF，得∠ADE=∠DCF，再进一步导出∠CGE=∠DGF=90°；
（2）先证明△GDF∽△ADE，得，变形为，再证明△DCF∽△GCD，得比例式，最后得DE•CD=CF•DA；
（3）作CN⊥AD于点N，CM⊥AB交AB的延长线于点M，连接BD，设CN=x，先证明四边形AMCN是矩形，再证明△ABD≌△CBD，得∠BCD=∠BAD=90°，可推出∠BCM=∠DCN，证明△BCN∽△DCN，推得，在Rt△BCM中根据勾股定理列方程求出x的值，即得到CN的长，再证明△ADE∽△NCF，即可求出的值．
【详解】（1）证明：∵，AB＝CD，∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠FDC＝90°，
∵，
∴，
∴△AED∽△DFC，
∴∠CFD＝∠AED，
∵∠ADE＋∠AED＝90°，
∴∠ADE＋∠CFD＝90°，
∴∠DGF＝∠CGE＝90°；
（2）证明：∵∠A＝∠EGC，∠ADE＝∠GDF，
∴△DFG∽△DEA，
∴，
∵，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠AED＝∠EDC，
∴∠B＝∠ADC，
∵△DFG∽△DEA，
∴∠AED＝∠DFG，
∴∠DFC＝∠GDC，
∵∠DCG＝∠FCD，
∴△CGD∽△CDF，
∴，
∴，
∴；
（3）解：为定值，
理由：过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN＝x，
∵∠BAD＝90°，即AB⊥AD，
∴∠A＝∠M＝∠CNA＝90°，
∴四边形AMCN矩形，
∴AM＝CN，AN＝CM，
∵在△BAD和△BCD中，
，
∴，
∴∠BCD＝∠A＝90°，
∴∠ABC＋∠ADC＝180°，
∵∠ABC＋∠CBM＝180°，
∴∠MBC＝∠ADC，
∵∠CND＝∠M＝90°，
∴△BCM∽△DCN，
∴，
∴，
∴，
在Rt△CMB中，，BM＝AM－AB＝x－3，
由勾股定理得：．
∴，
x＝0（舍去），，
∴，
∵∠A＝∠FGD＝90°，
∴∠AED＋∠AFG＝180°，
∵∠AFG＋∠NFC＝180°，
∴∠AED＝∠CFN，
∵∠A＝∠CNF＝90°，
∴△AED∽△NFC，
∴．
【点睛】此题重点考查矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识与方法，通过作辅助线构造相似三角形是解第（3）题的关键，此题难度较大，属于考试压轴题．
19．【湖南省湘潭市2021-2022学年九年级上学期期末数学试题】（1）问题背景：如图1，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线交直线AC于D，过点C作CE⊥BD，交直线BD于E．请探究线段BD与CE的数量关系．（事实上，我们可以延长CE与直线BA相交，通过三角形的全等等知识解决问题．）
(1)结论：线段BD与CE的数量关系是 （请直接写出结论）；
(2)类比探索：在（1）中，如果把BD改为∠ABC的外角∠ABF的平分线，其他条件均不变（如图2），（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)拓展延伸：在（2）中，如果AB≠AC，且AB＝nAC（0＜n＜1），其他条件均不变（如图3），请你写出BD与CE的数量关系（用含n的代数式表示），并写出理由．
【答案】(1)BD＝2CE
(2)成立，见解析
(3)BD=2nCE，见解析．
【分析】（1）延长CE、BA交于F点，先证明△BFC是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质可得CF=2CE，然后证明△ADB≌△AFC可得BD=FC，进而证出BD=2CE；
（2）延长CE、AB交于点G，先利用ASA证明△GBE≌△CBE，得出GE=CE，则CG=2CE，再证明△DAB≌△GAC，即可得出BD=CG=2CE；
（3）同（2），延长CE、AB交于点G，先利用ASA证明△GBE≌△CBE，得出GE=CE，则CG=2CE，再证明△DAB∽△GAC，根据相似三角形对应边的比相等及AB=nAC即可得出BD=CG=2nCE．
【详解】（1）解：BD=2CE．理由如下：
如图1，延长CE、BA交于F点．
∵CE⊥BD，交直线BD于E，
∴∠FEB=∠CEB=90°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∴∠F=∠BCF，
∴BF=BC，
∵BE⊥CF，
∴CF=2CE．
∵△ABC中，AC=AB，∠BAC=90°，
∴∠CBA=45°，
∴∠F=（180-45）°÷2=67.5°，∠FBE=22.5°，
∴∠ADB=67.5°=∠F，
∵在△ADB和△AFC中，，
∴△ADB≌△AFC（AAS），
∴BD=CF，
∴BD=2CE；
故答案为：BD=2CE；
（2）解：结论BD=2CE仍然成立．理由如下：如图2，延长CE、AB交于点G．
∵∠1=∠2，∠1=∠3，∠2=∠4，
∴∠3=∠4，
又∵BE=BE，∠GEB=∠CEB=90°，
∴△GBE≌△CBE（ASA），
∴GE=CE，
∴CG=2CE．
∵∠D+∠DCG=∠G+∠DCG=90°，
∴∠D=∠G，
又∵∠DAB=∠GAC=90°，AB=AC，
∴△DAB≌△GAC，
∴BD=CG=2CE；
（3）解：BD=2nCE．理由如下：
如图3，延长CE、AB交于点G．
∵∠1=∠2，∠1=∠3，∠2=∠4，
∴∠3=∠4，
又∵BE=BE，∠GEB=∠CEB=90°，
∴△GBE≌△CBE（ASA），
∴GE=CE，
∴CG=2CE．
∵∠D+∠DCG=∠G+∠DCG=90°，
∴∠D=∠G，
又∵∠DAB=∠GAC=90°，
∴△DAB∽△GAC，
∴，
∵AB=nAC，
∴BD=nCG=2nCE．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点的应用，此题关键是正确找出辅助线，通过辅助线构造全等三角形或相似三角形解决问题，要掌握辅助线的作图根据．题目比较好，综合性也比较强．
20．【湖南省永州市零陵区2022-2023学年九年级上学期期末质量监测数学试题】（1）【问题探究】如图1，在正方形中，点E、F、G、H分别在线段、、、上，且．试猜想的值，并证明你的猜想．
（2）【知识迁移】如图2，在矩形中，，，点E、F、G、H分别在线段、、、上，且．则求的值（用含m，n的式子表示）．
（3）【拓展应用】如图3，在四边形中，，，，点E、F分别在线段、上，且．则______．
【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）
【分析】（1）过点A作交于点M，作交的延长线于点N，
利用正方形中，，，求证即可；
（2）过点A作交于点M，作交的延长线于点N，
利用在长方形中，，，求证，再根据其对应边成比例，将已知数值代入即可；
（3）过点C作于点M，设交于点O，证明，推出得结论．
【详解】（1）
理由：如图1中，过点A作交于点M，作交的延长线于点N，
在正方形中，，，，，
∴，，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，即，
∴
（2）如图2中，过点A作交于点M，作交的延长线于点N，
在长方形中，，，，，
∴，，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴
∴
∴
∵，，
∴
（3）如图3中，过点C作于点M，设交于点O
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题．
21．【湖南省长沙市岳麓区周南学士实验学校2022-2023学年九年级上学期期末考试数学试卷】我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．
(1)已知四边形ABCD是“等对角四边形”，，，则 =________°，=_________°．
(2)如图1，在中，，为斜边边上的中线，过点作垂直于交于点，试说明四边形是“等对角四边形”．
(3)如图2，在中，，，，平分，点在线段延长线上，以点为顶点构成的四边形为“等对角四边形”，求线段的长．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)或
【分析】（1）根据四边形是“等对角四边形”，，则，则；
（2）在中，根据为斜边边上的中线，可知，则，根据，可知，则．根据，则，故，且，故四边形是“等对角四边形”；
（3）点在的延长线上，当，时，过作于，于，则，根据平分，，可知是等腰直角三角形，则，根据，可知，则 ，即，故，则，根据，可得，根据，，可知，则，即 则，故=，若点在的延长线上，，时，过作交的延长线于，如图：根据平分，可知，则，则是等腰直角三角形，故，根据，，可知，则，即，故，则 ，故，进而可知．
【详解】（1）解：∵四边形是“等对角四边形”，，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）证明：如图：
在中，
∵为斜边边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
且，
∴四边形是“等对角四边形”；
（3）解：点在的延长线上，当，时，过作于，于，如图：
∴，
∵平分，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴ ，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即
∴，
∴=；
点在的延长线上，，时，过作交的延长线于，如图：
∵平分，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴ ，
∴，
∴；
综上所述，线段的长为或5
【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了四边形内角和定理，直角三角形，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理应用等知识，理解“等对角四边形”的定义并且利用分类讨论思想是解题的关键．
22．【湖南省永州市祁阳市2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷】阅读下面材料：
小波遇到这样一个问题：如图1，在中，是边上的中线，点D在边上，与相交于点P．
(1)小波发现，，过点C作，交的延长线于点F，通过构造（如图2），经过推理和计算得到的值为______．
(2)参考小波思考问题的方法，解决问题：
①如图3，在中，点D在的延长线上，，点E在上，且，求的值；
②如图4，在中，点D在的延长线上，，点E在上，且，求出的值．
【答案】(1)
(2)①，②
【分析】（1）过点作，交的延长线于点，证明，可得，再根据，得，列比例式可得结论；
（2）①过作，交延长线于点，构建，根据，证明和，列比例式可得：；②过作交于，构建，根据证明和，求出和可得结论．
【详解】（1）解：如图2，过点作，交的延长线于点，
，，
为边的中线，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）①如图3，过作，交延长线于点，
，
，
，
，
设，，
，
，
，
，
；
②如图4，过作交于，
，
，
设，，
，
，
，
，
．
【点睛】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质，三角形相似的性质和判定，本题运用了类比的思想，作平行线，构建三角形，证明相似可解决问题．