2022-2023学年浙江省绍兴市高一上学期期末数学试题（含解析）

这是一份2022-2023学年浙江省绍兴市高一上学期期末数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合U=−1,0,1,2，A=−1,2，则∁UA=( )
A. 0B. 1C. 0,1D. ⌀
2.命题“∃x∈2,+∞,x2≤4”
否定形式为
( )
A. ∀x∈2,+∞,x2>4B. ∀x∈−∞,2，x2>4
C. ∀x∈2,+∞,x2≤4D. ∀x∈−∞,2，x2≤4
3.若点Psinπ6,12在角α的终边上，则tanα的值为
( )
A. 33B. 1C. π6D. π4
4.若函数fx是R上的偶函数，则“a=3”是“fa−1=f2”的
( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.已知扇形OAB的面积为π，AB⌢的长为π，则AB=( )
A. 2B. 2C. 2 2D. 4
6.已知函数fx=ax−ba−1，(a,b∈R且a>0，a≠1)，则fx的单调性
( )
A. 与a无关，与b有关B. 与a有关，与b无关
C. 与a有关，与b有关D. 与a无关，与b无关
7.尽管目前人类还无法准确的预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震时释放出的能量E(单位：焦耳)与地震级数M之间的关系式为lgE=4.8+年9月18日14时44分在台湾省花莲县发生的6.9级地震它释放出来的能量大约是同年12月8日0时54分花莲近海发生的5.6级地震的
倍( )
A. 50B. 100C. 200D. 300
8.已知函数fx，∀x，y∈R，有fx+y=fx⋅fa−y+fy⋅fa−x，其中a≠0，fa≠0，则下列说法一定正确的是
( )
A. fa=1
B. fx是奇函数
C. fx是偶函数
D. 存在非负实数T，使得fx=fx+T
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知α是锐角，则
( )
A. 2α是第二象限角B. sin2α>0C. α2是第一象限角D. tanα2<1
10.已知函数fx=x2−1，则
( )
A. fx+1=x+12−1
B. ffx=x2−12−1
C. 定义域为−1,0时，值域为−1,0
D. 值域为−1,0时，定义域为−1,0,1
11.已知a>0，b>0，且a+b=4，则下列取值没有可能的是
( )
A. ba+ab=2B. a+ba=2C. 1a2+1b2=14D. a2+b2=4 2
12.已知x0是函数fx=ex+2x−4的零点(其中e=2.71828…为自然对数的底数)，则下列说法正确的是
( )
A. x0∈0,1B. ln4−2x0=x0
C. x02−x0>1D. 2x0+1−e−x0>0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若10x=2，则x+lg5=___________．
14.已知函数fx=xα−2x的图象经过点2,−72，则α=___________．
15.已知2a+3+4b=4a+2b+3(a,b∈R且a≠b)，则a+b的取值范围为___________．
16.已知函数fx=x+ x2+1，若对任意实数x满足不等式fax2⋅f−2x+1≥1，则实数a的取值范围是___________．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
化简求值：
(1)2723− −32+lg336−2lg32；
(2)已知tanα=12，求13cs(−α)−2csπ2−αsinπ2+α+3sinπ+α的值．
18.(本小题12分)
已知全集U=R，集合A=xx2−2x−3<0，B=x1<2x<16．
(1)求A∪B；
(2)设集合C={x|a19.(本小题12分)
已知函数fx= 1+sinx1−sinx− 1−sinx1+sinx．
(1)求fx的定义域；
(2)已知x为 第一或第二象限角，且fx=2 3，求x．
20.(本小题12分)
已知a，b为正实数，函数fx=x2−a+2bx+2ab
(1)若f1=1，求2a+b的最小值；
(2)若f0=2，求不等式fx≤0的解集(用a表示)．
21.(本小题12分)
某地为了改善中小型企业经营困难，特推进中小型企业加快产业升级，着力从政府专项基金补贴扶持，产量升级和政府指导价三个方向助力中小型企业.某企业A在产业升级前后的数据如下表：
若该企业在政府指导价下出售产品，能将其生产的产品全部售出.注：收益=销售金额+政府专项补贴−成本．
(1)当该企业没有政府补贴时，收益是多少？
(2)从A企业经营者角度分析，是不是申请的政府补贴越多，收益越大？若是请说明理由，若不是，则该企业向政府申请多少专项基金补贴，所获收益最大．
22.(本小题12分)
设函数fx= 1−xx．
(1)证明：函数fx在0,1上单调递减；
(2)求函数gx=fx+f1−x+a x1−xa∈R的值域．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】根据补集的定义即可求解．
解：因为集合U=−1,0,1,2，A=−1,2，由补集的定义可知：
∁UA={0,1}．
故选：C．
2.【答案】A
【解析】【分析】根据特称命题的否定形式即可求解．
解：命题“∃x∈2,+∞,x2≤4”的否定是“∀x∈2,+∞,x2>4”，
故选：A．
3.【答案】B
【解析】【分析】先根据特殊角三角函数值求出P点坐标，再应用任意角三角函数定义求出正切即可．
解：因为sinπ6=12，所以P12,12
所以由三角函数定义可知tanα=1212=1
故选：B．
4.【答案】A
【解析】【分析】根据函数为偶函数和fa−1=f2可得出：a−1=±2，求出a的值与a=3进行比较即可求解．
解：因为函数fx是R上的偶函数，
若fa−1=f2，则有a−1=±2，解得：a=3或a=−1，
所以若a=3成立，则fa−1=f2成立；但若fa−1=f2成立，则不一定有a=3成立，所以“a=3”是“fa−1=f2”的充分不必要条件，
故选：A．
5.【答案】C
【解析】【分析】根据扇形OAB的面积为π，和AB⌢的长得出圆心角为π2，扇形OAB所在圆的半径r=2，在Rt▵ABC中，由勾股定理即可求解．
解：设扇形OAB所在圆的半径为r，圆心角为α，
因为扇形OAB的面积为π，AB⌢的长为π，所以αr=π12αr2=π,
解得：r=2α=π2，所以▵ABC为等腰直角三角形，所以AB= r2+r2=2 2，
故选：C．
6.【答案】D
【解析】【分析】根据单调性定义判断即可
解：设x1当a>1时，又因x10，所以fx1−fx2=ax1−ax2a−1<0，
即得fx1当0ax2，a−1<0，所以fx1−fx2=ax1−ax2a−1<0，
即得fx1所以fx的单调性与a无关，与b无关．
故选：D．
7.【答案】B
【解析】【分析】根据E，M之间的关系式lgE=4.8+1.5M，结合对数的运算性质即可求解．
解：设6.9级和5.6级地震释放的能量分别为E1,E2，
由题意可知lgE1=4.8+1.5×6.9,lgE2=4.8+1.5×5.6，所以lgE1−lgE2=1.5×6.9−5.6=1.95⇒lgE1E2=1.95⇒E1E2=101.95≈100，
故选：B
8.【答案】D
【解析】【分析】利用特殊函数可判断ABC的正确，利用赋值法可证明fx为周期函数，从而可得正确的选项．
抽象函数的性质问题，可以根据抽象函数的运算性质寻找具体的函数来辅助考虑，此处需要对基本初等函数的性质非常熟悉.另外，在研究抽象函数的性质时，注意通过合理赋值来研究抽象函数的对称性、周期性．
解：取fx=12,a=1，则fa=12≠0，
fx+y=12,fx⋅fa−y+fy⋅fa−x=14×2=12，
因此fx+y=fx⋅fa−y+fy⋅fa−x成立，
此时f1=12，f−x=fx=12，故fx为偶函数，故 A错误，B错误．
取fx=sinx,a=π2，则fa=1≠0，
fx+y=sinx+y,fx⋅fa−y+fy⋅fa−x
=sinxcsy+csxsiny=sin(x+y)，
因此fx+y=fx⋅fa−y+fy⋅fa−x成立，
此时fx为奇函数，故 C错误．
令x=y=0，则f0=2f0⋅fa，
令x=a,y=0，则fa=f20+f2a，
若f0=0，
令y=a，则fx+a=fx⋅f0+fa⋅fa−x，
且fa=f2a，而fa≠0，故fa=1．
所以fx+a=fa−x，
令x=y=a，则f2a=2faf0=0，
令x=2a，则f2a+y=f2a⋅fa−y+fy⋅f−a，
整理得到：f2a+y=fy⋅f−a，而f2a+y=f−y，
故f−y=fy⋅f−a，此时令y=−a，则fa=f−a⋅f−a=1，
故f−a=1或f−a=−1
若f−a=1，则f−y=fy，故fx为偶函数，
故fx+a=fa−x=fx−a即fx=f2a+x，
所以fx为周期函数且周期为2a．
若f−a=−1，则f−y=−fy，故fx为奇函数，
故fx+a=fa−x=−fx−a即f2a+x=−fx，
故f4a+x=−fx+2a=fx
所以fx为周期函数且周期为4a．
若f0≠0，则fa=12，
此时f20=12−14=14，故f0=12或f0=−12．
若f0=12，
令x=y=a，则f2a=12×12+12×12=12，
令x=−a,y=a，则f0=f−af0+faf2a，所以f−a=12．
令y=a，则fx+a=fxf0+fafa−x=12fx+12fa−x，
令y=−a，则fx−a=fxf2a+f−afa−x=12fx+12fa−x，
故fx+a=f(x−a)即fx+2a=f(x)，
故fx为周期函数且周期为2a．
若f0=−12，
令x=y=a，则f2a=−12×12−12×12=−12，
令x=−a,y=a，则f0=f−af0+faf2a，所以f−a=12．
令y=a，则fx+a=fxf0+fafa−x=−12fx+12fa−x，
令y=−a，
则fx−a=fxf2a+f−afa−x=−12fx+12fa−x，
故fx+a=f(x−a)即fx+2a=f(x)，
故fx为周期函数且周期为2a．
综上，fx为周期函数，故 D正确．
故选：D．
9.【答案】BCD
【解析】【分析】由0<α<π2，可得：0<α2<π4，故选项C和D正确；
由0<α<π2，可得：0<2α<π，故选项A错误，选项B正确，从而解出．
解：因为α为锐角，所以0<α<π2，则有0<2α<π，所以sin2α>0成立，
但2α的终边可能在第一象限或第二象限或y轴的非负半轴上，故选项A错误；选项B正确；
因为0<α2<π4，所以α2是第一象限角，且tanα2<1，故选项C和D正确．
故选：BCD．
10.【答案】ABC
【解析】【分析】根据函数的解析式分别从函数的对应法则，定义域和值域逐项进行检验即可判断．
解：对于A，因为函数fx=x2−1，则fx+1=x+12−1，故选项A正确；
对于B，因为函数fx=x2−1，则f(f(x))=f(x2−1)=(x2−1)2−1，故选项B正确；
对于C，因为函数fx=x2−1，若函数的定义域为−1,0，函数在定义域内单调递减，由二次函数的图象和性质可得，函数的值域为−1,0，故选项C正确；
对于D，因为函数fx=x2−1的值域为−1,0，所以函数对应的定义域为−1,0,1或0,1或−1,0，故选项D错误，
故选：ABC．
11.【答案】BCD
【解析】【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可依次求解
解：对于A:已知a>0，b>0，所以ba+ab≥2 ba×ab=2，
当且仅当a=b=2时，ba+ab=2，故A有可能;
对于B:已知a>0，b>0，所以a+ba=a+4−aa=a+4a−1≥2 4−1=3，
a+ba=2不成立，故B没有可能;
对于C:已知a>0，b>0，且a+b=4，所以a+b2=16
16a2+16b2=a+b2a2+a+b2b2=a2+b2+2aba2+a2+b2+2abb2=1+b2a2+a2b2+1+2ba+2ab≥2+2 b2a2×a2b2+2 2ba×2ab=8
当且仅当a=b=2时取等号
所以161a2+1b2≥8，即得1a2+1b2≥12，所以1a2+1b2=14不成立，故C没有可能;
对于D:因为a2+b2≥2ab，所以2a2+b2≥a+b2=16，
所以a2+b2≥8，a2+b2=4 2不成立，故D没有可能;
故选：BCD．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】先利用零点存在性定理得到函数的零点x0∈0,1，然后根据零点的取值逐项进行检验即可求解．
解：对于A，因为函数fx=ex+2x−4在R上是增函数，f(0)=1−4=−3<0，f(1)=e+2−4>0，由零点存在性定理可得：函数的零点x0∈0,1，故选项A正确；
对于B，由f(x0)=ex0+2x0−4=0可得：4−2x0=ex0，
两边同时取自然对数可得：ln4−2x0=x0，故选项B正确；
对于C，因为x0∈0,1，所以2−x0>1，则有x02−x0<1，故选项C错误；
对于D，因为x0∈0,1，所以2x0−e−x0+1=2x0ex0−1+ex0ex0=2x0ex0+(ex0−1)ex0>0，故选项D正确，
故选：ABD．
13.【答案】1
【解析】【分析】先利用指对数式的转换求出x，再应用对数运算律计算即可．
解：因为10x=2，所以x=lg2，
所以x+lg5=lg2+lg5=lg10=1
故答案为：1．
14.【答案】−1
【解析】【分析】根据题意，将点的坐标代入函数即可求解．
解：因为函数fx=xα−2x的图象经过点2,−72，
所以f(2)=2α−22=−72，也即2α=12，所以α=−1，
故答案为：−1．
15.【答案】−∞,4
【解析】【分析】化简2a+3+4b=4a+2b+3得到，a,b的等式关系，再根据基本不等式求解，注意等号的取得．
解：∵2a+3+4b=4a+2b+3∴2a+3−2b+3=4a−4b
82a−2b=2a−2b⋅2a+2b
又∵a≠b∴2a−2b≠0∴2a+2b=8
根据基本不等式得8=2a+2b≥2 2a⋅2b⇒8≥2 2a+b
∴2a+b≤16=24∴a+b≤4，又因为a≠b，所以a+b<4
故答案为：−∞,4
16.【答案】1,+∞
【解析】【分析】根据fx的表达式可判断fx在定义域上单调递增，且fx>0，故可将不等式转化为fax2≥f2x−1，结合单调性得ax2≥2x−1，即可进行求解．
解：由fx=x+ x2+1得f−x=−x+ x2+1,fx⋅f−x= x2+12−x2=1，
又当x>0时，函数y=x,y= x2+1均为单调递增函数，因此fx=x+ x2+1在0,+∞单调递增，且fx>0
当x<0时，由于fx⋅f−x=1，x>0时fx>0，故当x<0时，fx>0，且fx=x+ x2+1=1 x2+1−x，而函数y=−x,y= x2+1在−∞,0均为单调递减函数，因此fx=1 x2+1−x在−∞,0均为单调递增函数，又fx在定义域R连续，
故fx在定义域上单调递增，且fx>0，
由fax2⋅f−2x+1≥1得fax2≥1f−2x+1=f2x−1，由单调性得ax2≥2x−1，故ax2−2x+1≥0对任意实数x满足，因此a>0Δ=4−4a≤0⇒a≥1
故答案为：1,+∞
17.【答案】解：(1)原式=33×23−3+lg3364
=32−3+2
=8．
(2)因为13cs(−α)−2cs(π2−α)sin(π2+α)+3sinπ+α=13csα−2sinαcsα−3sinα
=13−2tanα1−3tanα，又因为tanα=12，
所以13cs(−α)−2cs(π2−α)sin(π2+α)+3sinπ+α=13−2tanα1−3tanα=13−11−32=−24．

【解析】【分析】(1)根据指数幂和对数的运算性质即可求解；
(2)分别利用诱导公式和同角三角函数的关系将所求式子化简为13cs(−α)−2cs(π2−α)sin(π2+α)+3sinπ+α=13−2tanα1−3tanα，然后将tanα=12代入即可求解．
18.【答案】解：(1)因为A={x|x2−2x−3<0}={x|−1B={x|1<2x<16}={x|0所以A∪B=x−1(2)因为集合C={x|a又C⊆A∪B，所以a≥−1a+2≤4，解得−1≤a≤2．

【解析】【分析】(1)根据一元二次不等式的解法和指数函数的单调性求出集合A,B的具体取值范围，然后利用并集的定义即可求解；
(2)根据集合的包含关系列出不等式组，解之即可求解．
19.【答案】解：(1)1+sinx1−sinx>0sinx≠±1，即−1所以fx的定义域为xx≠π2+kπ,k∈Z
(2)fx= 1+sinx21−sin2x− 1−sinx21−sin2x=1+sinxcsx−1−sinxcsx=2sinxcsx
①当x为第一象限角时，fx=2tanx=2 3，所以x=2kπ+π3，k∈Z；
②当x为第二象限角时，fx=−2tanx=2 3，所以x=2kπ+2π3，k∈Z．

【解析】【分析】(1)根据被开偶次方根式不小于零，和分母不为零，列不等式求解．
(2)根式里的 式子写成平方形式，去掉根式解决．
20.【答案】解：(1)因为f1=1−a+2b+2ab=1，所以1b+2a=2，
由于a，b∈R+，
所以2a+b=122a+b1b+2a
=12×4+1+2ab+2ba≥92，
当且仅当a=b=32取“=”．
(2)由题f0=2，所以ab=1，
所以b=1a
所以fx=x2−a+2ax+2=x−ax−2a≤0
①当a> 2时，原不等式的解集为{x|2a≤x≤a}，
②当0③当a= 2时，原不等式的解集为 2．

【解析】【分析】(1)由f1=1得1b+2a=2，根据条件构造基本不等式求最值即可；
(2)由f0=2得到ab=1，即b=1a代入不等式中分类讨论解不等式即可；
21.【答案】解：(1)由题意当该企业没有政府补贴时，收益=销售金额−成本
即：2×30−45=15(万元)
(2)设获政府补贴x(万元)时，收益为y(万元)，则
y=t6+48t−8t+64t−3+t−2
=−t+64t+49，
由于t=x+2∈2,22，所以y≤−2 t⋅64t+49=33，
当且仅当t=8，即x=6等号成立，
所以，不是申请的政府补贴越多，收益越大，
当政府补贴为6万元时，所获收益最大．

【解析】【分析】(1)直接利用表中条件计算即可．
(2)根据表中条件列出式子，再运用基本不等式求出最值．
22.【答案】解：(1)对任意的x1，x2∈0,1，且x1fx1−fx2= 1−x1x1− 1−x2x2= 1−x1x2 x1x2− 1−x2x1 x1x2
=x2−x1 x1x2 x2−x1x2+ x1−x2x1
∵0∴x2−x1>0， x1x2 x2−x1x2+ x1−x2x1>0
∴fx1−fx2>0，
即：fx1>fx2
∴函数fx在0,1上单调递减．
(2)gx= 1−xx+ x1−x+a x1−x=1 x1−x+a x1−x
∴gx的定义域为0,1,
令t= x1−x∈(0,12]，则ℎt=1t+at，t∈(0,12]
①当a≤0时，ℎt在t∈(0,12]单调递减，又∵ℎ(12)=2+a2，
所以gx的值域为[2+a2,+∞)；
②当0所以gx的值域为[2+a2,+∞)；
③当a>4时， 1a<12，所以ℎt在(0, 1a]单调递减，在( 1a,12]单调递增，
ℎ( 1a)=a 1a+1 1a=2 a，
所以gx的值域为[2 a,+∞)．
所以，综上可得：
当a≤4时，gx的值域为[2+a2,+∞)；
当a>4时，gx的值域为[2 a,+∞).

【解析】【分析】(1)由单调性定义法(任取、作差、变形、断号、写结论)可证明．
(2)换元法转化为求含参分式型函数的值域，对参数进行分类讨论研究函数的单调性即可得值域．
A企业
产量(万件)
投入成本(万元)
销售单价(元/件)
产业升级前
2
45
30
完成产业升级后，获补贴x(万元)x∈0,20
产量t=x+2(t为升级后产量)
8t+64t−3
6+48t