江西省2023-2024学年高二上学期12月联考数学试卷(含答案)

这是一份江西省2023-2024学年高二上学期12月联考数学试卷(含答案)，共23页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2、已知，，，若P，A，B，C四点共面，则( )
A.3B.C.7D.
3、已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，P为抛物线C上一点，若，则的面积为( )
A.B.C.D.
4、已知正方体的棱长为a，点P是平面内的动点，若点P到直线的距离与到直线的距离相等，则点P的轨迹为( )
A.抛物线B.椭圆C.双曲线D.圆
5、手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力.某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个正方体的组合体.其直观图如图所示，，，P、Q、M、N分别是棱、、、的中点，则异面直线与所成角的余弦值是( )
A.B.C.D.
6、某学校派出五名教师去三所乡村学校支教，其中有一对教师夫妇参与支教活动.根据相关要求，每位教师只能去一所学校参与支教，并且每所学校至少有一名教师参与支教，同时要求教师夫妇必须去同一所学校支教，则不同的安排方案有( )
A.18种B.24种C.36种D.48种
7、如图，正方体的棱长为2，点E，F分别是，的中点，过点，E，F的平面截该正方体所得的截面记为，则截面的面积为( )
A.B.C.D.
8、曲率半径可用来描述曲线在某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小，已知椭圆上任意一点处的曲率半径公式为.若椭圆C上任意一点相应的曲率半径的最大值为，最小值为1，则椭圆C的标准方程为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、下列排列组合数中，正确的是( )
A.
B.
C.（m，，）
D.（m，，，）
10、已知圆，直线，下列说法正确的是( )
A.无论a取何值，直线l与圆C相交
B.直线l被圆C截得的最短弦长为
C.若，则圆C关于直线l对称的圆的方程为
D.直线l的方程能表示过点的所有直线的方程
11、在棱长为的正方体中，M、N两点在线段上运动，且，Q在线段上运动，则下列结论正确的是( )
A.三棱锥的体积为定值
B.在平面内存在点P，使得平面
C.点E在正方形（包括边界）内运动，且直线与直线成角，则线段长度的最小值为
D.与平面所成角的正弦值的取值范围为
12、已知抛物线上任意一点处的切线方程可以表示为.直线、、分别与该抛物线相切于点、、，、相交于点，与、分别相交于点P、Q，则下列说法正确的是( )
A.点D落在一条定直线上
B.若直线过该抛物线的焦点，则
C.
D.
三、填空题
13、圆与圆的位置关系是_____.
14、已知空间向量、、的模长分别为2、2、3，且两两夹角均为，点G为的重心，则_____.
15、2023年10月11日，习近平总书记在江西省上饶市考察，他来到婺源县秋口镇王村石门自然村了解推进乡村振兴等情况.其中婺源“晒秋”展开的是一幅乡村振兴新图景.当地百姓不仅要晾晒农产品使其得到更好的保存和售卖，更要考虑晒出独一无二的“中国最美的符号”.当地百姓现将“金色南瓜”“白色扁豆”“红色辣椒”“黄色皇菊”四种农产品全部晒入如图所示的5个小区域中，规定每个区域只能晒一种农产品，且相邻区域的农产品不能相同，则不同的晾晒方案种数为____.（用数字作答）
16、已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点A，B（不重合）线段的垂直平分线过点，则双曲线C的离心率为_________.
四、解答题
17、用数字1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数.
（1）偶数不能相邻，则不同的六位数有多少个？（结果用数字表示）
（2）若数字1和2之间恰有一个奇数，没有偶数，则不同的六位数有多少个？（结果用数字表示）
18、已知圆C的圆心在直线上，且与直线相切于点.
（1）求圆C的标准方程；
（2）若过点的直线l被圆C截得的弦长为6，求直线l的方程.
19、如图，在四棱锥中，平面，，E为线段的中点，已知，，.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20、已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为2.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）直线l与双曲线C相切，且与双曲线C的两条渐近线相交于P,Q两点，求（O为坐标原点）的面积.
21、如图，在四棱台中，底面是菱形，，，平面.
（1）证明：.
（2）棱上是否存在一点E，使得二面角的余弦值为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由.
22、已知A,B分别是椭圆的右顶点和上顶点，，直线的斜率为.
（1）求椭圆C的方程.
（2）已知P,Q是椭圆C上的两点，直线的斜率为，直线的斜率为，且满足.过点A作，垂足为H，试问平面上是否存在定点T，使得线段的长度为定值？若存在，求出该定点；若不存在，请说明理由.
参考答案
1、答案：A
解析：由题意直线的斜率为，所以直线的倾斜角为.
故选：A.
2、答案：C
解析：由P，A，B，C四点共面，可得，，共面，
设，
则，解得.
故选：C.
3、答案：D
解析：因为抛物线，
故由，解得，
所以，
所以的面积为.
故选：D.
4、答案：A
解析：过点P在平面内作，垂足为点M，连接，
在正方体中，平面，平面，则，
因为点P到直线的距离与到直线的距离相等，即，
即点P到直线的距离等于点P到点A的距离，
由抛物线的定义可知，点P的轨迹为抛物线.
故选：A.
5、答案：B
解析：在正方体中，以D为原点，、、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
因为，，
则、、、，
所以，，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值是.
故选：B.
6、答案：C
解析：先将五个人分为三组，每组的人数分别为3、1、1或2、2、1，
若三组的人数分别为3、1、1，则教师夫妇必在三人的一组，
则教师夫妇这组还需从剩余的三人中抽1人，此时，不同的分组方法数为种；
若三组人数分别为2、2、1，则两人一组的有一组是教师夫妇，
只需将剩余三人分为两组，且这两组的人数分别为2、1，此时，不同的分组方法种数为种.
接下来，将所分的三组分配给三所不同的学校，
因此，不同的安排方案种数为种.
故选：C.
7、答案：D
解析：延长，与直线相交于M，Q，
连接，与，分别交于点P，H，连接，，
则五边形即为截面，
正方体的棱长为2，点E，F分别是，的中点，
由得，
，，
故，
因为平面，，平面，
所以，，
由勾股定理得，
取的中点W，连接，则，且，
由勾股定理，
其中，
由相似关系可知，，
故.
故选：D.
8、答案：B
解析：依题意，，即，
则，
因，则当时，，，
当时，，，
因此，且，解得，，
所以椭圆C的标准方程为.
故选：B.
9、答案：BCD
解析：A选项，，故A错误；
B选项，，故B正确；
C选项，由于，故C正确；
D选项，左边，
右边，
即左边＝右边，所以（m，，），故D正确.
故选：BCD.
10、答案：AC
解析：对于A选项，直线的方程可变形为，
由可得，所以，直线l过定点，
因为，所以，点P在圆C内，
故无论取何值，直线l与圆C相交，A对；
对于B选项，圆心C为坐标原点，半径为，
当时，点C到直线l的距离取最大值，且其最大值为，
此时，直线l被圆C截得的弦长最短，且最短弦长为，B错；
对于C选项，当时，直线l的方程为，
设圆心关于直线l的对称点为，
则线段的中点在直线l上，则①，
直线，且直线l的斜率为，则②，联立①②可得，，
故若，则圆C关于直线l对称的圆的方程为，C对；
对于D选项，若直线l表示直线，则，无解，
且直线过点，故直线l不能表示直线，D错.
故选：AC.
11、答案：BD
解析：对于A选项，连接交于点，
因为四边形为正方形，则，且，
因为M、N两点在线段上运动，且，
则，又因为平面，
所以，，A错；
对于B选项，当点P与点重合时，因为且，
所以，四边形平行四边形，则，
因为平面，平面，所以，平面，即平面，
所以，在平面内存在点P，使得平面，B对；
对于C选项，因为，则异面直线与所成角等于或其补角，
因为平面，平面，则，
所以，，且，可得，
所以点E的轨迹是以点为圆心，半径为，且圆心角为的圆弧，
当时，即当M为的中点且E为线段与圆弧的交点时，
此时，线段长度取最小值，C错；
对于D选项，因为且，则四边形为平行四边形，则，
因为平面，平面，所以，平面，
因为，点Q到平面的距离等于点到平面的距离，
设点到平面的距离为d，，
则，
易知是边长为的等边三角形，则，
由，解得，
因为Q在线段上运动，则当点Q为线段的中点时，取最小值，
当点Q与点或点C重合时，取最大值，即，
设直线与平面所成角为，则，D对.
故选：BD.
12、答案：BCD
解析：对于A选项，由题意可知，直线的方程为，即①，
同理可知，直线的方程为②，
联立①②可得，，即点，
同理可得、，
无法确定点横坐标与纵坐标之间的关系，A错；
对于B选项，若直线过该抛物线的焦点，
若直线的斜率不存在，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立可得，，
由韦达定理可得，
直线的斜率为，直线的斜率为，
因为，则，B对；
对于C选项，由抛物线的定义可得，，
由A选项可知点，易知点，
所以，
，C对；
对于D选项，，，
所以，，D对.
故选：BCD.
13、答案：相交
解析：由题意圆与圆的标准方程分别为，,
所以圆与圆的圆心坐标、半径分别为，，，，
所以，
所以圆与圆的位置关系是相交.
故答案为：相交.
14、答案：或
解析：如下图所示：
因为G为的重心，则，
可得，则，
所以，
，故.
故答案为：.
15、答案：48
解析：中间区域可从四种农产品中选一种，有种选择，
剩余的4个区域只能选择剩余的3种农产品，故会有1种农产品重复，
将重复的农产品选出，有种选择，
且将重复的农产品放入相对的两个区域内晾晒，有2种选择，
剩余的农产品放入剩余的两个区域，有种选择，
故有种方案.
故答案为：48.
16、答案：
解析：直线与线段的垂直平分线垂直，
则线段的垂直平分线的斜率为，
线段的垂直平分线过点，
线段的垂直平分线为：，即，
联立，解得：
即的中点坐标为，
设，，则，两式作差可得，
的中点坐标为，的斜率为1，
，，，
则，
所以双曲线C的离心率.
故答案为：.
17、答案：（1）144
（2）96
解析：（1）若六位数中，偶数不能相邻，则先将三个奇数进行排序，
然后从三个奇数形成的4个空位中选出3个空位插入三个偶数，
所以，不同的六位数个数为.
（2）在数字1和2之间恰有一个奇数，有2种，
将这个整体与其余三个数字进行排列，满足条件的六位数的个数为.
18、答案：（1）
（2）或
解析：（1）因为圆心C在直线上，设圆心，
则与直线垂直，且直线的斜率为，
则，可得，解得，
所以，圆心C的坐标为，则圆C的半径为，
所以，圆C的标准方程为.
（2）由题意可知，圆心C到直线l的距离为，
若直线轴，则直线的方程为，此时，圆心C到直线l的距离为，合乎题意；
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即，
则圆心C到直线l的距离为，可得，解得，
此时，直线l的方程为，即.
综上所述，直线l的方程为或.
19、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：连接交于点H，连接，
因为，，则四边形是平行四边形，
因为，则H为的中点，所以，，
又因为平面，平面，故平面.
（2）因为平面，以点A为坐标原点，、所在直线分别为y、z轴，
平面内过点A且与垂直的直线为x轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为，，，
则、、、，
所以，，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，
所以，，
因此，直线与平面所成角的正弦值为.
20、答案：（1）
（2）
解析：（1）因为双曲线的渐近线方程为，实轴长为2，
所以，解得，，
所以双曲线C的标准方程为.
（2）如图所示：
不妨设直线l与双曲线C相切于点M，由题意直线l的斜率不为0，故设直线l方程为，
将其与双曲线方程联立，消去x并整理得，
从而，即，
不妨设，，
而双曲线的渐近线方程可统一写成，
将其与直线l方程联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，，
由得，
所以
，
原点到直线的距离为，
所以（O为坐标原点）的面积为，
结合以及得，即（O为坐标原点）的面积为.
21、答案：（1）证明见解析
（2）棱上存在点E，且满足题意
解析：（1）如图所示：
连接，，因为为棱台，所以A，，，C四点共面，
又因为四边形为菱形，所以，
因为平面，平面，
所以，
又因为，且，平面，
所以平面，
因为平面，
所以.
（2）取中点Q，连接，
因为底面是菱形，且，所以是正三角形，所以，即，
由于平面，以A为原点，分别以,,为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，
则，，，，
假设点E存在，设点E的坐标为，其中，
可得，,
设平面的法向量，则，
取，可得，,所以.
又由平面的法向量为，
所以，解得，
由于二面角为锐角，则点E在线段上，所以，即，
故棱上存在一点E，当时，二面角的余弦值为.
22、答案：（1）；
（2）存在点，使得线段TH的长度为2.
解析：（1）设椭圆的右顶点，上顶点，
则，，，解得，.
所以椭圆C的方程为.
（2）由（1）知，上顶点，
设点，点，则，，
因为，所以，即，①.
由题意可知，设直线的方程为，且直线不能经过点A，即，
联立方程组，得，
因为P，Q是椭圆C上的两点，所以，
即②，所以由韦达定理可得③，④.
由③④可得
，即⑤，
，即⑥.
把④⑤⑥代入①得
，化简得，
即，解得（舍去）或.
故直线PQ过定点.
又，垂足为H，易知H落在以AM为直径的圆上，圆心为，半径为2.
所以存在点，使得线段TH的长度为2.