2024驻马店环际大联考“逐梦计划”高一上学期12月阶段考试（三）数学含解析

这是一份2024驻马店环际大联考“逐梦计划”高一上学期12月阶段考试（三）数学含解析，共18页。

（试卷总分：150分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，则的大小关系为（ ）
A B. C. D.
4. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若则
C. 若，则D. 若且，则
5. 已知函数，在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 函数的大致图像为（ ）
A. B.
C. D.
7. 若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 对于实数，规定表示不大于的最大整数，例，那么使得不等式成立的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题中正确命题的是（ ）
A. 与互为反函数，其图像关于对称；
B 已知函数，则；
C. 当，且时，函数必过定点；
D. 命题“”的否定是“”
10. 若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：，；，；．那么可以作为方程的一个近似解的是（精确度为0.1）（ ）
A. 1.35B. 1.40C. 1.43D. 1.50
11. 下列函数中满足“对任意，都有”的是（ ）
A. B. C. D.
12. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小值为6
B. 若函数定义域为，则函数的定义域为
C. 幂函数在上为减函数，则的值为2
D. 若不等式的解集为或，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上.
13. 已知集合，若，则实数的取值范围是______．
14. 设函数，其中是有理数集，则的值为______．
15. 已知，，且，则的最大值为_________
16. 已知函数．若函数有三个零点，则取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知关于的不等式的解集为．
（1）求实数的值；
（2）设集合，若，求实数的取值范围.
18. 计算下列各式值．
（1）
（2）
19. 已知函数．
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性并说明理由；
（3）求证：对于任意的都有．
20. 已知函数．
（1）若在区间上不单调，求实数的取值范围；
（2）若，求在区间上的最小值．
21. 已知函数，且．
（1）判断的奇偶性；
（2）若，求函数的最小值．
22. 2022年2月4日北京冬奥会在全世界的瞩目下拉开大幕，北京成为了迄令为止，世界上第一个双奥之城，北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”寓意创造非凡，探索未来，更是受到了各国友人的抢购，造成了一墩难求的局面，某冬奥官方纪念品销售处在2022年1月累计销量突破了40万件．现某企业计划引进新的生产设备和新的产品方案，通过市场分析，2022年2月每生产x（万件）获利（万元），该公司预计2022年2月这个新产品的其他成本总投入为万元．由市场调研分析得知，当前该产品的冰墩墩供不应求．记该企业2022年2月的利润为（单位：万元）．
（1）求函数的解析式；
（2）当2022年2月该产品的冰墩墩的产量为多少万件时，该企业2月的利润最大？最大利润是多少？请说明理由．环际大联考
“逐梦计划”2023~2024学年度第一学期阶段考试（三）
高一数学试题
（试卷总分：150分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求集合A，再根据交集运算求解.
【详解】由题意可得：，
所以.
故选：A.
2. 函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】判断函数单调递增，求出f（0）=-4，f（1）=-1，
f（2）=3＞0，即可判断．
【详解】∵函数单调递增，
∴f（0）=-4，f（1）=-1，
f（2）=7＞0，
根据零点的存在性定理可得出零点所在的区间是，
故选B．
【点睛】本题考查了函数的单调性，零点的存在性定理的运用，属于容易题．
3. 已知，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数函数和对数函数单调性，并与“0”，“1”进行比较大小即可.
【详解】，，，
则，
故选：D.
4. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若则
C. 若，则D. 若且，则
【答案】C
【解析】
【分析】对于ABD：举反例说明即可；对于C：根据不等式的性质分析判断.
【详解】对于选项A：例如，满足，
但，不满足，故A错误；
对于选项B：例如，则，故B错误；
对于选项C：若，则，
且，则，
综上所述：，故C正确；
对于选项D：例如，满足且，
但，不满足，故D错误；
故选：C
5. 已知函数，在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数函数的单调性结合对数的真数大于0列式求解.
【详解】由题意可得：在上是减函数，且在上恒成立，
则，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：B.
6. 函数的大致图像为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性，以及，即可容易求得结果.
【详解】因为，且定义域关于原点对称，
故是偶函数，图像关于轴对称，排除A,D；
又因为，故排除B.
故选：C.
7. 若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知：在上恒成立，分和两种情况，结合二次函数分析求解.
【详解】由题意可知：在上恒成立，
若，则，符合题意；
若，则，解得，
综上所述：实数m的取值范围是.
故选：B.
8. 对于实数，规定表示不大于的最大整数，例，那么使得不等式成立的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由不等式解得的范围，然后根据的定义求出的范围．
【详解】由题得，即，
解得，则．
故选：D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题中正确命题的是（ ）
A. 与互反函数，其图像关于对称；
B. 已知函数，则；
C. 当，且时，函数必过定点；
D. 命题“”的否定是“”
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，由与互为反函数，其图像关于对称即可判断；对于B，令可得，从而可求得函数值；对于C，根据指数函数过定点的性质即可求得所过定点；对于D，由存在命题的否定即可得出答案.
【详解】对于A，因为与互为反函数，其图像关于对称；
所以当时，与互为反函数，其图像关于对称，故命题A正确；
对于B，因为，所以令，得，故命题B错误；
对于C，因为，故过定点，故命题C正确；
对于D，命题“”的否定是“”，故D错误.
故选：AC.
10. 若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：，；，；．那么可以作为方程的一个近似解的是（精确度为0.1）（ ）
A. 1.35B. 1.40C. 1.43D. 1.50
【答案】BC
【解析】
【分析】根据二分法求零点的步骤以及精确度可求得结果.
【详解】因，所以，所以函数在内有零点，
因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，
因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，
因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，
因为，所以满足精确度；
所以方程的一个近似根（精确度）是区间内的任意一个值，根据四个选项可知选BC .
故选：BC
11. 下列函数中满足“对任意，都有”的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据函数的单调性确定正确答案.
【详解】因为对任意，都有，
所以在上单调递增，
A：根据反比例函数性质可知在上单调递增，符合题意；
B：根据指数函数性质可知，在上单调递减，不符合题意；
C：根据对数函数的性质可知在上单调递增，符合题意；
D：根据一次函数的性质可知，在上单调递增，符合题意．
故选：ACD.
12. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小值为6
B. 若函数定义域为，则函数的定义域为
C. 幂函数在上为减函数，则的值为2
D. 若不等式的解集为或，则
【答案】BD
【解析】
【分析】对A，运用对勾函数的性质即可判断，对B利用抽象函数定义域求法即可判断，对C利用幂函数的特点和单调性即可判断，对D利用一元二次不等式的解集和韦达定理即可判断.
【详解】对于A，令，则 ， 是对勾函数，且在内单调递增，
当时，，
所以的最小值为 ，故A错误；
对于B，，，则函数的定义域为，故B正确；
对于C， ，且，解得 ，故C错误；
对于D，依题意，方程 的两个解是 或 ，并且，
由韦达定理： ， ， ，D正确；
故选：BD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上.
13. 已知集合，若，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】按并集定义计算即可得解.
【详解】，又，
所以的取值范围为.
故答案为：.
14. 设函数，其中是有理数集，则的值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】利用有理数集的定义，结合分段函数的解析式即可得解.
【详解】因为，，
所以，则.
故答案为：1.
15. 已知，，且，则的最大值为_________
【答案】
【解析】
【分析】直接由基本不等式求解．
【详解】∵，，∴，即，当且仅当，即时等号成立．
故答案为：．
【点睛】本题考查用基本不等式求最值，属于基础题．
16. 已知函数．若函数有三个零点，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】函数有三个零点，即与的图象有三个交点，即画出函数的图象，可求出答案.
【详解】若函数有三个零点，即与的图象有三个交点，
当时，，
当时，在有最大值4，
画出函数的图象，如下图，
由图可知，.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知关于的不等式的解集为．
（1）求实数的值；
（2）设集合，若，求实数的取值范围.
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集特点可求解；
（2）根据集合的包含关系列式运算求得结果.
【小问1详解】
不等式的解集为，
，且和1是的两根，
，
解得：.
【小问2详解】
因为，所以，
由题知，且
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
18. 计算下列各式的值．
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）7
【解析】
【分析】（1）根据指数幂的运算即可；
（2）根据对数的运算法则和性质即可.
【小问1详解】
【小问2详解】
19. 已知函数．
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性并说明理由；
（3）求证：对于任意的都有．
【答案】（1）
（2）奇函数，理由见解析
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由，求得的范围，可得函数的定义域；
（2）根据函数的定义域关于原点对称，且，可得为奇函数；
（3）代入并结合对数运算性质即可证明.
【小问1详解】
由，得，
函数的定义域为．
【小问2详解】
因为，且定义域为，关于原点对称，
所以函数为上的奇函数.
【小问3详解】
对于任意，有，
又，
所以.
20. 已知函数．
（1）若在区间上不单调，求实数的取值范围；
（2）若，求在区间上的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二次函数的性质得到对称轴的位置，从而列式得解；
（2）利用二次函数的性质，分类讨论的范围，从而得解.
【小问1详解】
因为函数在上不单调，对称轴，
所以，即，解得，
故实数的取值范围为；
【小问2详解】
因为开口向上，对称轴，
当时，函数在上单调递减，
所以；
当时，函数在上单调递减，在单调递增，
所以；
故.
21. 已知函数，且．
（1）判断的奇偶性；
（2）若，求函数的最小值．
【答案】（1）为R上的奇函数
（2）
【解析】
【分析】（1）由求出，再由奇偶函数的定义即可判断；
（2）先判断函数的单调性即可求出函数在的最小值.
【小问1详解】
因为，所以，
此时，且定义域为R，
又因为，
所以为R上的奇函数.
【小问2详解】
由（1）得，
因为是R上减函数，所以是R上增函数．
又因为是增函数，
所以是R上的增函数，
当时，.
22. 2022年2月4日北京冬奥会在全世界的瞩目下拉开大幕，北京成为了迄令为止，世界上第一个双奥之城，北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”寓意创造非凡，探索未来，更是受到了各国友人的抢购，造成了一墩难求的局面，某冬奥官方纪念品销售处在2022年1月累计销量突破了40万件．现某企业计划引进新的生产设备和新的产品方案，通过市场分析，2022年2月每生产x（万件）获利（万元），该公司预计2022年2月这个新产品的其他成本总投入为万元．由市场调研分析得知，当前该产品的冰墩墩供不应求．记该企业2022年2月的利润为（单位：万元）．
（1）求函数的解析式；
（2）当2022年2月该产品的冰墩墩的产量为多少万件时，该企业2月的利润最大？最大利润是多少？请说明理由．
【答案】（1）
（2）当产量为3万件时，该企业利润最大，最大利润是390万元
【解析】
【分析】（1）由题意列式求解，
（2）由二次函数性质与基本不等式求解，
【小问1详解】
由已知，，
又
【小问2详解】
当时，，
则当时，；
当时，，
当且仅当，即时，，
∵，∴的最大值为390，
故当产量为3万件时，该企业利润最大，最大利润是390万元．