2023-2024学年贵州省六盘水市高二（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年贵州省六盘水市高二（上）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={x| x<2}，B={x|x2−4x≤0}，则A∪B=( )
A. (0,4]B. [0,4)C. [0,4]D. R
2.复数22−i的虚部是( )
A. 25iB. 25C. −25D. −25i
3.某校有教师360人，其中高级及以上职称教师240人，一级职称教师80人，其他职称教师40人，现采用分层抽样从中抽取18人参加某项调研活动，则高级及以上职称教师应抽取的人数是( )
A. 2B. 4C. 9D. 12
4.若p：2x−1<16；q：lg(4−x)<0，则p是q的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.已知a>0，b>0，且函数y=4aex−1+b的图象经过点(1,2)，则1a+1b的最小值为( )
A. 1+2 2B. 9C. 92D. 1−2 2
6.函数y=(2x−2−x)csx在区间[−π2,π2]的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.已知等边三角形ABC的边长为2，D，E分别是BC，AC的中点，则AD⋅BE=( )
A. −32B. −1C. −12D. 0
8.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2−x)+f(x)=0，f(1−x)−f(x)=0，则下列选项不一定正确的是( )
A. f(0)=0B. f(1)=0C. f(12)=0D. f(2024)=0
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法中正确的有( )
A. 若α⊥β，α⋂β=m，n⊥m，则n⊥β
B. 若m/​/α，m/​/n，n⊂β，则α/​/β
C. 若m/​/n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β
D. 若m⊥α，n⊂β，α/​/β，则m⊥n
10.下列等式成立的有( )
A. sin20°cs10°−sin170°cs160°= 32
B. cs15°−sin15°= 22
C. 3csπ12−sinπ12= 2
D. cs345°= 6+ 22
11.已知三条直线：kx+y−13=0，2x+y+1=0，x−y+1=0不能围成一个三角形，则实数k的值为( )
A. −2B. −1C. 0D. 2
12.已知实数x，y，z满足 x=(12)y=lnz，则下列不等式可能成立的有( )
A. y三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知a=(1,−1,1)，b=(−2,4,6)，则2024(a⋅b)的值为______ ．
14.从0～9这10个数中随机选择一个数，则这个数的平方的个位数字是奇数的概率为______ ．
15.四面体ABCD中，AB=CD= 2，AC=BD=2，AD=BC= 3，则该四面体的外接梂的表面积为______ ．
16.已知定义在R上的奇函数f(x)为单调递增函数，若f(3x−9x)+f(t⋅3x−4)≤0恒成立，则t的取值范围是______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a− 3c)sinA+csinC=bsinB．
(1)求B的大小；
(2)若c= 3，a+b=2，求△ABC的面积．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=2cs2x，将函数f(x)的图象向右平移π3个单位长度后得到函数g(x)的图象．
(1)求函数g(x)的解析式；
(2)若关于x的方程g(x)=a在区间[π4,3π4]上恰有两个实数根，求实数a的取值范围．
19.(本小题12分)
为了解某校任课教师年龄分布情况，现随机抽取100名教师，统计他们的年龄，并进行适当分组，绘制出如下图所示的频率分布直方图．
(1)求出频率分布直方图中实数a的值.根据频率分布直方图，估计该校任课教师年龄的下四分位数；(结果保留小数点后2位有效数字)
(2)根据频率分布直方图，现从年龄在[45,55)内的教师中采用分层抽样的方式抽取5人，再从这5人中随机抽取2人分享他们的教学经验，求这2人中至少有1人年龄在[50,55)内的概率．
20.(本小题12分)
如图，四棱锥P−ABCD中.底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别为PA，AB的中点．
(1)若点E是线段PD的中点.证明：MN/​/平面AEC；
(2)设AB=2，AP=1，AD=1，线段PD上是否存在点E，使得AE与平面PBC所成角θ的正弦值为45．
21.(本小题12分)
已知直线l1：(1+2λ)x+(1+λ)y+2−λ=0(λ为任意实数)，直线l2：x+2y+2=0．
(1)当l1//l2时，求λ的值；
(2)过点P(−2,−1)作直线l2的垂线，垂足为Q，求点Q到直线l1的距离的最大值．
22.(本小题12分)
已知定义在(0,+∞)的函数f(x)=lg2(a+1x)，其中a>0．
(1)若方程f(12x−3)=2lg2x有解，求实数a的取值范围；
(2)若对任意实数t∈[12,1]，不等式1≤f(x)≤2在区间[t,t+1]上恒成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A={x| x<2}={x|0≤x<4}，
B={x|x2−4x≤0}={x|0≤x≤4}，
则A∪B={x|0≤x<4}∪{x|0≤x≤4}={x|0≤x≤4}．
故选：C．
先得A={x|0≤x<4}，B={x|0≤x≤4}，根据并集的运算可得．
本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由题意可得：22−i=2×(2+i)(2−i)×(2+i)=4+2i5=45+25i，即该复数的虚部为25．
故选：B．
根据复数的除法运算，分子和分母同时乘以2+i，进行化简运算，找到虚部即可．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数虚部的定义，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：由题意知，高级及以上职称教师应抽取的人数为240360×18=12人，
故高级及以上职称教师应抽取的人数为12人．
故选：D．
根据分层抽样的定义求解即可．
本题主要考查了分层抽样的定义，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：由不等式2x−1<16，可得x−1<4，解得x<5，所以集合P={x|x<5}；
由lg(4−x)<0，可得0<4−x<1，解得3因为集合Q是集合P的真子集，所以p是q的必要不充分条件．
故选：B．
根据指数幂与对数的运算性质，分别求得命题p，q为真命题时x的取值范围，再结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解．
本题考查了指数幂与对数的运算性质应用问题，也考查了充分条件、必要条件的判定问题，是基础题．
5.【答案】C
【解析】解：因为函数y=4aex−1+b的图象经过点(1,2)，所以4a+b=2，又a>0，b>0，
所以1a+1b=12(1a+1b)(4a+b)=12(5+ba+4ab)≥12(5+2 ba×4ab)=92，
当且仅当ba=4ab即a=13,b=23时，等号成立，所以1a+1b的最小值为92．
故选：C．
根据指数恒过的定点得4a+b=2，利用基本不等式中常数代换技巧即可求解最值．
本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：根据题意，设f(x)=(2x−2−x)csx，
f(π4)=(2π4−2−π4)csπ4>0，f(−π4)=(2−π4−2π4)csπ4<0，
排除BCD，
故选：A．
根据题意，由函数的解析式计算f(π4)和f(−π4)的值，分析选项可得答案．
本题考查函数的图象分析，涉及函数值符号的分析，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：由题意，
AD⋅BE=12(AB+AC)⋅12(BC+BA)
=14(2AB+BC)⋅(BC+BA)
=14(BC2−BC⋅BA−2BA2)
=14(4−2×2×12−8)=−32．
故选：A．
将BA,BC设为基底，表示出AD,BE，运用数量积定义解决问题．
本题考查平面向量的线性运算及数量积运算，属基础题．
8.【答案】C
【解析】解：因为f(2−x)+f(x)=0，f(1−x)−f(x)=0，
可得f(1)=0，f(2−x)=−f(1−x)，f(2+x)=−f(1+x)，f(1+x)=−f(x)，
即得f(x+2)=f(x)，所以函数f(x)的周期为2，
令x=1，可得f(1)=f(0)=0，故A，B正确；
又f(x)的周期为2，所以f(2024)=f(0)=0，故D正确；而C不一定正确．
故选：C．
根据条件可得函数f(x)的周期为2，利用赋值法可得f(0)=f(1)=0，由此可判断各选项．
本题考查了抽象函数及其应用，考查运算求解能力，属于基础题．
9.【答案】CD
【解析】解：A.缺少n⊂α这个条件，故A错误；
B.若m/​/α，m/​/n，n⊂β，则α/​/β或相交，故B错误；
C.若m/​/n，n⊥β，则m⊥β，又m⊂α，则α⊥β，故C正确；
D.若m⊥α，α/​/β，则m⊥β，又n⊂β，则m⊥n，故D正确．
故选：CD．
根据线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项．
本题考查线线，线面，面面的位置关系等基础知识，考查空间思维能力，是中档题．
10.【答案】BC
【解析】解：对A，sin20°cs10°−sin170°cs160°=sin20°cs10°−sin10°(−cs20°)=sin30°=12，A错误；
对B，cs15°−sin15°= 2(sin45°cs15°−cs45°sin15°)= 2sin30°= 22，B正确；
对C， 3csπ12−sinπ12=2sin(π3−π12)=2sinπ4= 2，C正确；
对D，cs345°=cs(360°−15°)=cs15°
=cs(45°−30°)=cs45°cs30°+sin45°sin30°= 6+ 24，D错误．
故选：BC．
应用三角恒等变换化简求值，逐个判断即可．
本题考查同角三角函数基本关系、两角和与差以及倍角公式，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：根据题意，直线l1：kx+y−13=0,l2：2x+y+1=0,l3：x−y+1=0，不能围成一个三角形，
显然l2，l3相交，
当直线l1与l2平行或重合时，可得k×1−1×2=0，解得k=2；
当直线l1与l3平行或重合时，可得k×(−1)−1×1=0，解得k=−1；
当直线l1过l2和l3的交点时，
由方程组2x+y+1=0x−y+1=0，解得x=−23,y=13，即两直线的交点为(−23,13)，
代入直线l1，可得−23k+13−13=0，解得k=0，
所以实数k的值为−1，0，2．
故选：BCD．
根据题意，分直线l1与l2平行或重合，直线l1与l3平行或重合和直线l1过l2和l3的交点，三种情况讨论，结合两直线平行的判定和两直线的交点坐标，列出方程，即可求解．
本题考查直线平行的性质的应用，属于基础题．
12.【答案】ABD
【解析】解：对于A，B，D，令 x=(12)y=lnz=t(t>0)，则x=t2,y=lg12t,z=et，
当t→0时x→0，y→+∞，z→1，此时y>z>x，D正确；
当t=12时x=14,y=1,z= e>1，此时z>y>x，B正确；
当t=1时x=1，y=0，z=e，此时z>x>y，A正确；
对于C，令f(t)=et−t2，则f′(t)=et−2t，
令g(t)=f′(t)=et−2t，则g′(t)=et−2，
令g′(t)>0，解得t∈(ln2,+∞)，此时g(t)单调递增，
令g′(t)<0，解得t∈(0,ln2)，此时g(t)单调递减，
所以g(t)≥qg(ln2)=2−2ln2>0，即f′(t)>0恒成立，
所以f(t)在(0,+∞)上单调递增，所以f(t)>f(0)>0，
所以et>t2恒成立，即z>x恒成立，所以C错误．
故选：ABD．
先令连等式为t，取特殊值确定ABD可能成立，再利用导数证明C错误即可．
本题考查了函数性质在比较函数值大小中的应用，属于中档题．
13.【答案】0
【解析】解：因为a=(1,−1,1)，b=(−2,4,6)，
所以2024(a⋅b)=2024×(−2−4+6)=0．
故答案为：0．
运用向量数量积定义和坐标运算规则解决问题．
本题主要考查了空间向量的数量积运算，属于基础题．
14.【答案】12
【解析】解：02=0，12=1，22=4，32=9，42=16，52=25，62=36，72=49，82=64，92=81，
其中个位数字是奇数的有12=1，32=9，52=25，72=49，92=81，共5个，
故这个数的平方的个位数字是奇数的概率为510=12．
故答案为：12．
利用列举法求解出古典概型的概率．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
15.【答案】9π2
【解析】解：因为AB=CD= 2,AC=BD=2,AD=BC= 3，
故此四面体ABCD的外接球等价于如图所示的长方体AFBG−ECHD的外接球，
所以GB2+GA2=AB2=2，GD2+GA2=AD2=3，GD2+GB2=BD2=4，
所以GD2+GA2+GB2=2+3+42=92，
外接球的直径DF= GD2+GA2+GB2=3 22，
故外接球的半径为3 24，
所以外接梂的表面积为4π×9×216=9π2．
故答案为：9π2．
利用补形法即可得解．
本题考查了四面体外接球的表面积计算，属于中档题．
16.【答案】(−∞,3]
【解析】解：由f(3x−9x)+f(t⋅3x−4)≤0得f(3x−9x)≤−f(t⋅3x−4)，
因为f(x)为R上的奇函数，所以−f(t⋅3x−4)=f(−t⋅3x+4)，
故f(3x−9x)≤f(−t⋅3x+4)，
又因f(x)在R上单调递增，
所以3x−9x≤−t⋅3x+4即9x−(t+1)⋅3x+4≥0，
设m=3x>0，则m2−(t+1)m+4≥0恒成立，
则t≤m2+4m−1=m+4m−1，
因m+4m−1≥2 m×4m−1=3，当且仅当m=4m即m=2，x=lg32时等号成立，
故t≤3．
故答案为：(−∞,3]．
由题f(x)为在R上的奇函数和单调递增函数，根据f(3x−9x)+f(t⋅3x−4)≤0，得3x−9x≤−t⋅3x+4，设m=3x>0得t≤m+4m−1，再利用基本不等式可得结果．
本题考查奇偶性与单调性的综合，考查运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)在△ABC中，因为(a− 3c)sinA+csinC=bsinB，
由正弦定理可得，(a− 3c)a+c2=b2，
化简得a2+c2−b2= 3ac，
所以csB=a2+c2−b22ac= 3ac2ac= 32，
因为B∈(0,π)，所以B=π6；
(2)由(1)及题意可得B=π6,c= 3，
故csπ6=a2+( 3)2−b22a× 3，
整理得a2−b2+3=3a，
又a+b=2，解得a=b=1，
所以S△ABC=12acsinB=12×1× 3×sinπ6= 34．
【解析】(1)运用正弦定理化简(a− 3c)sinA+csinC=bsinB，再运用余弦定理便可解出结果；
(2)运用方程组思想解出a，b的值，从而解出△ABC的面积．
本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)将函数f(x)=2cs2x的图象向右平移π3个单位长度，
得到函数g(x)=2cs2(x−π3)=2cs(2x−2π3)，
即g(x)=2cs(2x−2π3).
(2)x∈[π4,3π4]时，
2x−2π3∈[−π6,5π6]，
2cs(2x−2π3)∈[− 3,2]，
而g(π4)= 3，g(π3)=2，g(x)在[π4,π3]上单调递增，[π3,3π4]上单调递减，

因为函数g(x)=2cs(2x−2π3)与y=a在区间[π4,3π4]上恰有两个实数根，
所以a∈[ 3,2)．
【解析】(1)直接利用三角函数的图象的变换的应用求出函数的关系式；
(2)先求函数g(x)的值域和单调性，再利用三角函数的性质的应用求出a的取值范围．
本题考查三角函数图象的变换，余弦型函数的性质的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由频率分布直方图得：
(0.012+2a+2×0.024+0.048+0.060)×5=1，
解得a=0.016．
设样本数据的下四分位数为m，
则(25−20)×0.012+(30−25)×0.016+(m−30)×0.024=0.25，
解得m≈34.58，
根据频率分布直方图的下四分位数，可估计该校任课教师年龄的下四分位数约为34.58．
(2)由(1)得a=0.016，
结合频率分布直方图可算得年龄在[45,50)的人数为0.024×5×100=12人，
年龄在[50,55)的人数为0.016×5×100=8人，
用分层抽样的方式从这两组中抽取5人，则落在[45,50)的2位教师编号为a，b，
则从这5人中随机抽取2人，所有基本事件为：
(1,2)，(1,3)，(1,a)，(1,b)，(2,3)，(2,a)，(2,b)，(3,a)，(3,b)，(a,b)，共10种，
至少有1名年龄在[50,55)的有(1,a)，(1,b)，(2,a)，(2,b)，(3,a)，(3,b)，(a,b)，共7种，
∴这2人中至少有1名年龄在[50,55)的概率为P=710．
【解析】(1)根据频率分布直方图的特征和下四分位数的概念计算，即可求解；
(2)求出抽取在[45,50)，[50,55)内的人数，标记，列举出所有的样本点，利用古典概型的概率公式即可求解．
本题考查频率分布直方图、下四分位数、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20.【答案】证明：(1)连接BD交AC于点O，连接EO，因为底面ABCD为矩形，故点O是AC中点，

又E是线段PD的中点，在△PBD中，有OE/​/PB；
在△PBA中，M，N分别为PA，AB的中点，有MN/​/PB，所以OE//MN，
因为OE⊂平面AEC，MN⊄平面AEC，
所以MN/​/平面AEC；
(2)以A为原点，{AB,AD,AP}为基底，建立如图空间直角坐标系，
因为AB=2，AP=1，AD=1，
所以A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,1,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，
所以PB=(2,0,−1)，PC=(2,1,−1)，
设平面PBC的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅PB=2x−z=0n⋅PC=2x+y−z=0，
令z=2，得x=1，y=0，所以n=(1,0,2)，
设PE=λPD=(0,λ,−λ)(0≤λ≤1)，则E(0,λ,1−λ)，
所以AE=(0,λ,1−λ)，
要使得AE与平面PBC所成角的正弦值为45，
则sinθ=|cs|=|n⋅AE||n||AE|=2−2λ 5 λ2+(1−λ)2=45，
解得：λ=13，λ=−1(舍去)，
故线段PD上存在点E，使得AE与平面PBC所成角θ的正弦为45．
【解析】(1)连接BD交AC于点O，连接EO，则OE/​/PB，又MN/​/PB，从而可证OE//MN，根据线面平行的判定定理即可证明；
(2)建立如图空间直角坐标系，设PE=λPD=(0,λ,−λ)(0≤λ≤1)，利用空间向量法求出AE与平面PBC的所成角，求出λ即可．
本题考查线面平行的证明，直线与平面所成角的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)当l1//l2时，有2(1+2λ)−(1+λ)=0，且2(1+2λ)≠2−λ，
解得λ=−13；
所以λ=−13．
(2)l2：x+2y+2=0，设过点P(−2,−1)与直线l2的垂线的直线方程为：2x−y+a=0，
将P的坐标代入可得2×(−2)−(−1)+a=0，解得a=3，
即直线的方程为2x−y+3=0，
联立方程2x−y+3=0x+2y+2=0，解得x=−85y=−15，即Q(−85,−15)，
直线l1：(1+2λ)x+(1+λ)y+2−λ=0即λ(2x+y−1)+(x+y+2)=0，
联立2x+y−1=0x+y+2=0，解得x=3y=−5，
所以直线l1恒过点R(3,−5)，
使点Q到直线l1的距离的最大值，只需线段QR垂直于直线l1，
此时点Q到直线l1的距离的最大值为：|QR|= (3+85)2+(−5+15)2= 10055．
【解析】(1)利用两直线平行公式建立λ的方程求解，注意检验两直线重合的情况；
(2)先求出直线l2的垂线，联立方程求解点Q，把点Q到直线l1的距离的最大值转化为两点的距离求解．
本题考查直线垂直，平行的性质的应用，属于基础题．
22.【答案】解：(1)已知a>0，当x>0时f(x)=lg2(a+1x)，则f(12x−3)=lg2(a+2x−3),(x>32)，
要使方程有解f(12x−3)=2lg2x有解，
即方程lg2(a+2x−3)=lg2x2⇔a=x2−2x+3,(x>32)有根，
转化为函数y=a与y=x2−2x+3,(x>32)的图象有交点，
又函数y=x2−2x+3=(x−1)2+2,(x>32)的函数值大于94，
故实数a的取值范围为a>94．
(2)由f(x)=lg2(a+1x),(x>0,a>0)可知，函数f(x)在区间[t,t+1]上为减函数，t∈[12,1]；
故函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值为：f(x)max=f(t)=lg2(a+1t)，
最小值为：f(x)min=f(t+1)=lg2(a+1t+1)．
对于任意实数t∈[12,1]，不等式1≤f(x)≤2在区间[t,t+1]上恒成立，等价于：
f(x)max≤2f(x)min≥1，即lg2(a+1t)≤2lg2(a+1t+1)≥1，解得a≤4−1ta≥2−1t+1，
a≤4−1ta≥2−1t+1对任意实数t∈[12,1]恒成立⇔a≤(4−1t)mina≥(2−1t+1)max，
即a≤4−112=2a≥2−11+1=32，解得：32≤a≤2．
故实数a的取值范围为[32,2]．
【解析】(1)由题意可将原方程变形为a=x2−2x+3,(x>32)，利用转化的思想可知函数y=a与y=x2−2x+3,(x>32)的图象有交点，结合二次函数的性质即可求解；
(2)易知函数f(x)在区间[t,t+1]上为减函数，则f(x)max=f(t)、f(x)min=f(t+1)，结合恒成立问题，列出不等式组，解之即可求解．
本题考查利用函数的单调性与最值解决不等式恒成立问题、方程根的分布问题的解题思路，属于中档题．