2023-2024学年辽宁省鞍山一中高二（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省鞍山一中高二（上）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知椭圆C：x28+y23=1，则椭圆C离心率为( )
A. 58B. 38C. 104D. 64
2.抛物线y=2x2的准线方程为( )
A. x=12B. y=18C. y=−12D. y=−18
3.已知直线x+y+2=0与圆x2+y2=9相交于A、B两点，则弦AB的长为( )
A. 7B. 2 7C. 2D. 2 2
4.已知直线l1：ax−3y+1=0，l2：2x−y+2=0，则下列说法中正确的是( )
A. 若l1//l2，则a=−6B. 若l1⊥l2，则a=32
C. 若l1//l2，则两直线间距离为 53D. 当a>0时，直线l1不过第三象限
5.椭圆4x2+9y2=144内有一点P(3,2)过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为
( )
A. 3x+2y−12=0B. 2x+3y−12=0
C. 4x+9y−144=0D. 9x+4y−144=0
6.下列命题中正确的是( )
A. 对空间任意一点O，不共线的三点A，B，C，若OP=xOA+yOB+zOC(其中x，y，z为实数)，则P，A，B，C四点共面
B. 若a/​/b，则存在唯一的实数λ，使a=λb
C. 若空间向量|a|=1,|b|=2，且a与b夹角的余弦值为−13，则a在b上的投影向量为−16b
D. 若向量a=(2,−1,3),b=(−4,2,t)的夹角为钝角，则实数t的取值范围为(−∞,103)
7.设F1，F2是椭圆C1：x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)与双曲线C2：x2a22−y2b22=1(a2>0,b2>0)的公共焦点，曲线C1，C2在第一象限内交于点M，∠F1MF2=60°，若椭圆的离心率e1∈[ 33,1)，则双曲线的离心率e2的取值范围是( )
A. (1, 2]B. (1, 3]C. [ 3,+∞)D. [ 2,+∞)
8.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，A1D1的中点，点E在BD上，点F在B1C上，且BE=CF，点P在线段CM上运动，下列说法正确的是( )
A. 三棱锥N−CME的体积不是定值
B. 直线B1D1到平面CMN的距离是 22
C. 存在点P，使得∠B1PD1=90°
D. △PDD1面积的最小值是5 56
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若椭圆x2m+y24=1的焦距为2，则m=( )
A. 3B. 5C. 2D. 1
10.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=π3，AB=2AD=2PD，PD⊥面ABCD，则( )
A. PA⊥BD
B. PB与平面ABCD所成角为π6
C. 二面角A−PB−C的余弦值为2 77
D. 直线AB与PC所成角的余弦值为2 55
11.下列四个命题表述正确的是( )
A. 倾斜角相等的两条直线，斜率也相等
B. 圆x2+y2=4上有且仅有3个点到直线l：x−y+ 2=0的距离等于1
C. 曲线C1：x2+y2+2x=0与曲线C2：x2+y2−4x−8y+m=0恰有三条公切线，则m=4
D. 已知圆C：x2+y2=4，点P为直线x+y=4上一动点，过点P向圆C引两条切线PA，PB，A，B为切点，则弦AB长度的最小值为2 2
12.已知O为坐标原点，F1，F2分别为双曲线C：y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的下、上焦点，C的实轴长为6，且F1到双曲线渐近线l的距离为3 3，P为C在第一象限上的一点，点Q的坐标为(0,2)，PQ为∠F1PF2的平分线，则下列说法正确的是( )
A. 双曲线C的渐近线方程为y=± 33xB. 双曲线C的离心率为2 33
C. |PF1|=3|PF2|D. 点P到y轴的距离为3 152
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.如图，二面角α−l−β等于150°，A，B是棱l上两点，BD，AC分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB=AC=2，BD= 3，则CD= ______ ．
14.已知抛物线C的方程为y2=2px(p>0)，直线l过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，且|AF|=3|BF|，则直线l的倾斜角为 ．
15.若点P(x,y)在圆x2+y2−4y+1=0上，则(x−1)2+y2的最小值为______ ．
16.已知点P在y= x2+1,x∈[−1, 3]上运动，点Q在圆C：x2+(y−a)2=34(a>0)上运动，且|PQ|最小值为32 3，则实数a的值为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知椭圆C：x28+y24=1的左焦点为F1，直线l：y=x−2与椭圆C交于A、B两点．
(1)求线段AB的长；
(2)若D为椭圆左顶点，求△ABD的面积．
18.(本小题12分)
已知直线l和圆C：x2+y2−2x+2y−2=0．
(1)若直线l过点P(2,−1)，且在两坐标轴的截距互为相反数，求直线l的方程；
(2)求过点(3,−2)且与圆C相切的直线方程．
19.(本小题12分)
如图，四棱台ABCD−A1B1C1D1中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，AB=2A1B1=2 2，E，F分别为DC，BC的中点，上下底面中心的连线O1O垂直于上下底面，且O1O与侧棱所在直线所成的角为45°．
(1)求证：BD1//平面C1EF；
(2)求直线EF与平面ABB1A1所成角的正弦值．
20.(本小题12分)
已知抛物线C：x2=−2py(p>0)的焦点为F，且经过点(2,−1)．
(1)求抛物线C方程及其准线方程；
(2)过F作斜率不为0的直线交抛物线C于M、N两点，直线y=−1分别交OM，ON于A、B两点，求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
21.(本小题12分)
已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD为菱形，且∠DAB=60°，PD⊥AD．
(1)证明：PB=PC；
(2)若PD=PB=BC=2 3，求二面角A−PB−C的余弦值．
22.(本小题12分)
已知两定点F1(− 2,0),F2( 2,0)，满足条件|PF2|−|PF1|=−2的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx−1与曲线E交于A，B两个不同的点．
(1)求曲线E的方程；
(2)求实数k的取值范围；
(3)设点T在直线x=12上，过T的两条不同的直线分别交曲线E于M、N和P、Q两点，且|TM||TP|=|TQ||TN|，求直线MN与直线PQ的斜率之和．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵椭圆C：x28+y23=1，
∴a2=8，b2=3，可得c2=a2−b2=5，
故a=2 2，c= 5，
故椭圆C的离心率e=ca= 52 2= 104．
故选：C．
根据已知条件求出a，b，c，进而求解结论．
本题主要考查椭圆离心率的求解，考查计算能力，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：抛物线的方程可变为x2=12y
故p=14，
其准线方程为y=−18，
故选：D．
先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程即可．
本题考查抛物线的简单性质，解题关键是记准抛物线的标准方程，别误认为p=1，因看错方程形式马虎导致错误．
3.【答案】B
【解析】解：∵圆x2+y2=9的圆心为(0,0)，半径r=3，
∴圆心到直线x+y+2=0的距离d=2 2= 2，
∴弦长|AB|=2 9−2=2 7．
故选：B．
易得圆的圆心和半径，由距离公式可得圆心到直线的距离d，由勾股定理可得|AB|．
本题考查直线与圆的位置关系，考查勾股定理的运用，属基础题．
4.【答案】C
【解析】解：A中，若两条直线平行，则−a=−3×2，且2a≠2，解得a=6，所以A不正确；
B中，两条直线垂直可得：2a+(−3)⋅(−1)=0，解得a=−32，所以B不正确；
C中，由两条直线平行，由A选项可知，a=6，可得直线l2的方程为6x−3y+6=0，
所以两条直线的距离为d=|6−1| 62+(−3)2= 53，所以C正确；
D中，当a>0时，直线l1的斜率k=a3>0，所以直线一定过第三象限，所以D不正确．
故选：C．
由直线平行或垂直求出参数的值，判断出所给命题的真假．
本题考查直线平行或垂直的性质的应用，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：设弦的端点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则x1+x2=6，y1+y2=4，
把A、B坐标代入椭圆方程得，4x12+9y12=144，4x22+9y22=144，
两式相减得，4(x12−x22)+9(y12−y22)=0，即4(x1+x2)(x1−x2)+9(y1+y2)(y1−y2)=0，
所以y1−y2x1−x2=−4(x1+x2)9(y1+y2)=−4×69×4=−23，即kAB=−23，
所以这弦所在直线方程为：y−2=−23(x−3)，即2x+3y−12=0．
故选B．
利用平方差法：设弦的端点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入椭圆方程，两式作差，利用中点坐标公式及斜率公式可求得直线斜率，再用点斜式即可求得直线方程．
本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、直线方程的求解，涉及弦中点问题常运用平方差法，应熟练掌握．
6.【答案】C
【解析】解：对于A，若O∉平面ABC，则OA，OB，OC不共面，由空间向量基本定理可知，P为空间任意一点，
所以P，A，B，C四点不一定共面，故A错误；
对于B，当b=0，a≠0时，找不到实数λ，使a=λb，故B错误；
对于C，因为空间向量|a|=1，|b|=2，且a与b夹角的余弦值为−13，则a在b上的投影向量为|a|csθ⋅b|b|=1×(−13)×b2=−16b，故C正确；
对于D，因为向量a=(2,−1,3)，b=(−4,2,t)的夹角为钝角，
则a⋅b=−8−2+3t0，半径r= 32，
求|PQ|最小值，只需求|PC|的最小值．
|PC|= m2+(a− m2+1)2，
由m2∈[0,3]，设t= 1+m2∈[1,2]，
则|PC|= t2−1+(a−t)2= 2t2−2at+a2−1
= 2(t−a2)2+12a2−1，
由于最小值大于0，所以12a2−1>0，即a> 2，
当a2>2，即a>4时，|PC|min= 7−4a+a2，
由题意可得|PC|min=3 32+ 32=2 3，
解得a=5(−1舍去)；
当a2